مقدر النسبة

مُقدِّر النسبة هو مُقدِّر إحصائي لنسبة متوسطي متغيرين عشوائيين. تتسم تقديرات النسبة بالتحيز ، ويجب إجراء تصحيحات عند استخدامها في الدراسات التجريبية أو الاستقصائية. كما أن تقديرات النسبة غير متناظرة، لذا لا يُنصح باستخدام الاختبارات المتناظرة، مثل اختبار t، لإنشاء فترات الثقة.

يكون الانحياز من رتبة O (1/ n ) (انظر ترميز big O ) لذلك مع زيادة حجم العينة ( n )، سيقترب الانحياز بشكل مقارب من 0. لذلك، يكون المقدر غير متحيز تقريبًا لأحجام العينات الكبيرة.

لنفترض وجود خاصيتين - x و y - يمكن ملاحظتهما لكل عنصر مأخوذ عينة منه في مجموعة البيانات. النسبة R هي

${\displaystyle R={\bar {\mu }}_{y}/{\bar {\mu }}_{x}}$

تقدير النسبة لقيمة المتغير y ( θ _y ) هو

${\displaystyle \theta _{y}=R\theta _{x}}$

حيث θ _x هي القيمة المقابلة للمتغير x . ومن المعروف أن θ _y موزعة توزيعًا طبيعيًا تقاربيًا. ^{[ 1 ]}

يتم تقدير نسبة العينة ( r ) من العينة

${\displaystyle r={\frac {\bar {y}}{\bar {x}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}}$

يمكن إثبات تحيز النسبة باستخدام متباينة جنسن كما يلي (بافتراض الاستقلال بين${\displaystyle {\bar {x}}}$و${\displaystyle {\bar {y}}}$):

${\displaystyle E\left({\frac {\bar {y}}{\bar {x}}}\right)=E\left({\bar {y}}{\frac {1}{\bar {x}}}\right)=E({\bar {y}})E\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)\geq E({\bar {y}}){\frac {1}{E({\bar {x}})}}={\frac {E({\bar {y}})}{E({\bar {x}})}}={\frac {E(y)}{E(x)}}={\frac {m_{y}}{m_{x}}}}$

أين${\displaystyle m_{x}}$هو متوسط ​​المتغير${\displaystyle x}$و${\displaystyle m_{y}}$هو متوسط ​​المتغير${\displaystyle y}$.

في ظل أسلوب المعاينة العشوائية البسيطة، يكون الانحياز من رتبة O ( n ^-1 ). ويُحدد معامل التباين (نسبة الانحراف المعياري إلى المتوسط ) الحد الأعلى للانحياز النسبي للتقدير. ^{[ 2 ]} في ظل أسلوب المعاينة العشوائية البسيطة، يكون الانحياز النسبي من رتبة O ( n ^-1/2 ).

يُعد تقدير النسبة باستخدام طريقة جاكنايف أقل تحيزًا من التقدير البسيط. مقدر النسبة باستخدام طريقة جاكنايف هو

${\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=nr-{\frac {n-1}{n}}\sum _{i\neq j=1}^{n}r_{i}}$

حيث n هو حجم العينة ويتم تقدير r _i مع حذف زوج واحد من المتغيرات في كل مرة. ^{[ 10 ]}

ثمة طريقة بديلة تتمثل في تقسيم العينة إلى g مجموعة، كل منها بحجم p ، حيث n = pg . ^{[ 11 ]} لنفترض أن _rᵢ هو تقدير ^{المجموعة} i . عندئذٍ يكون المُقدِّر

${\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=gr-{\frac {g-1}{g}}\sum _{i=1}^{g}r_{i}=g\left(r-{\bar {r}}\right)+{\bar {r}}}$

أين${\displaystyle {\bar {r}}}$هو متوسط ​​النسب r _g للمجموعات g ، وله انحياز على الأكثر O ( n ⁻² ).

ومن بين التقديرات الأخرى القائمة على تقسيم العينة إلى مجموعات g ما يلي: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\frac {g}{g+1}}r-{\frac {1}{g(g-1)}}\sum _{i=1}^{g}r_{i}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\bar {r}}+{\frac {n}{n-1}}{\frac {m_{y}-{\bar {r}}m_{x}}{m_{x}}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\bar {r_{g}}}+{\frac {g(m_{y}-{\bar {r_{g}}}m_{x})}{m_{x}}}}$

أين${\displaystyle {\bar {r}}}$هو متوسط ​​نسب r _g للمجموعات g و

${\displaystyle {\bar {r_{g}}}=\sum {\frac {r_{i}'}{g}}}$

حيث r _i ^' هي قيمة نسبة العينة مع حذف ^{المجموعة} i .

القيمة الإجمالية المقدرة للمتغير y ( τ _y ) هي

${\displaystyle \tau _{y}=r\tau _{x}}$

حيث ( τ _x ) هو مجموع المتغير x .

يبلغ تباين نسبة العينة تقريبًا:

${\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{s_{x}^{2}+m_{x}^{2}}}\left[(s_{y}^{2}-s_{x^{2}[y^{2}/x^{2}]})-(s_{x[y/x]})^{2}+2m_{y}s_{x[y/x]}-{\frac {s_{x}^{2}}{m_{x}^{2}}}(m_{y}-s_{x[y/x]}^{2})\right]}$

حيث أن s _x ² و s _y ² هما تباينات المتغيرين x و y على التوالي، و m _x و m _y هما متوسطات المتغيرين x و y على التوالي، و s _xy هو التغاير بين x و y .

على الرغم من أن مقدر التباين التقريبي للنسبة الموضحة أدناه متحيز، إلا أنه إذا كان حجم العينة كبيرًا، فإن التحيز في هذا المقدر يكون ضئيلاً.

${\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}{\frac {N-n}{N}}{\frac {1}{m_{x}^{2}}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-rx_{i})^{2}}{n-1}}}$

حيث N هو حجم السكان، و n هو حجم العينة، و m _x هو متوسط ​​المتغير x .

هناك مُقدِّر آخر للتباين يعتمد على توسيع تايلور وهو

${\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}(1-{\frac {n-1}{N-1}}){\frac {r^{2}s_{x}^{2}+s_{y}^{2}-2rs_{xy}}{m_{x}^{2}}}}$

حيث n هو حجم العينة و N هو حجم المجتمع و s _xy هو التباين المشترك لـ x و y .

التقدير الدقيق إلى O( n ⁻² ) هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}\left[{\frac {s_{y}^{2}}{m_{x}^{2}}}+{\frac {m_{y}^{2}s_{x}^{2}}{m_{x}^{4}}}-{\frac {2m_{y}s_{xy}}{m_{x}^{3}}}\right]}$

إذا كان التوزيع الاحتمالي هو توزيع بواسون، فإن المقدر الدقيق إلى O( n ⁻³ ) هو ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (r)=r^{2}\left[{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m_{x}}}+{\frac {1}{m_{y}}}-{\frac {2s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {6}{m_{x}^{2}}}+{\frac {3}{m_{x}m_{y}}}+s_{xy}\left[{\frac {4}{m_{y}^{2}}}-{\frac {8}{m_{x}m_{y}}}-{\frac {16}{m_{x}^{2}m_{y}}}+{\frac {5s_{xy}}{m_{x}^{2}m_{y}^{2}}}\right]+{\frac {4s_{x^{2}y}}{m_{x}^{2}m_{y}}}-{\frac {2s_{xy^{2}}}{m_{x}m_{y}^{2}}}\right)\right]}$

مقدر جاكنايف للتباين هو

${\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {(n-1)}{n}}\sum _{i=1}^{n}(r_{i}-r_{J})^{2}}$

حيث يمثل r _i النسبة مع حذف ^الزوج i من المتغيرات، و r _J هو تقدير جاكنايف للنسبة. ^{[ 10 ]}

يعتمد كل من التواء وتفرطح النسبة على توزيعات المتغيرين x و y . وقد تم تقدير هذه المعلمات للمتغيرات x و y ذات التوزيع الطبيعي، ولكن لم يتم اشتقاق أي صيغ لها بالنسبة للتوزيعات الأخرى. وقد وُجد أن متغيرات النسبة، بشكل عام، تميل إلى اليمين، وتكون ذات تفرطح عالٍ ، ويزداد انحرافها عن التوزيع الطبيعي مع زيادة قيمة معامل التباين للمقام .

بالنسبة للمتغيرات x و y الموزعة توزيعًا طبيعيًا، فإن انحراف النسبة يكون تقريبًا ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \gamma =\left({\frac {m_{y}\omega }{\sqrt {nm_{x}m_{y}\omega ^{2}+m_{x}^{2}m_{y}}}}\right)\left(6+{\frac {1}{nm_{x}}}\left[44+{\frac {1}{1+\omega ^{2}m_{y}/m_{x}}}\right]\right)}$

أين

${\displaystyle \omega =1-m_{x}\operatorname {cov} (x,y)}$

تتمثل إحدى الطرق البديلة لتقليل أو إزالة التحيز في مُقدِّر النسبة في تغيير طريقة أخذ العينات. يختلف تباين النسبة باستخدام هذه الطرق عن التقديرات المُعطاة سابقًا. تجدر الإشارة إلى أنه في حين أن العديد من التطبيقات، مثل تلك التي نوقشت في لور ^{[ 13 ]} ، مُصممة لتقتصر على الأعداد الصحيحة الموجبة فقط، مثل أحجام مجموعات العينات، فإن طريقة ميدزونو-سين تعمل مع أي سلسلة من الأعداد الموجبة، سواء كانت صحيحة أم لا. ليس من الواضح ما يعنيه نجاح طريقة لاهيري نظرًا لأنها تُعطي نتيجة متحيزة.

If a linear relationship between the x and y variates exists and the regression equation passes through the origin then the estimated variance of the regression equation is always less than that of the ratio estimator. The precise relationship between the variances depends on the linearity of the relationship between the x and y variates: when the relationship is other than linear the ratio estimate may have a lower variance than that estimated by regression.

Although the ratio estimator may be of use in a number of settings it is of particular use in two cases:

• when the variates x and y are highly correlated through the origin.
• In survey methodology when estimating a weighted average in which the denominator indicates the sum of weights that reflect the total population size, but the total population size is unknown.

The first known use of the ratio estimator was by John Graunt in England who in 1662 was the first to estimate the ratio y/x where y represented the total population and x the known total number of registered births in the same areas during the preceding year.

Later Messance (~1765) and Moheau (1778) published very carefully prepared estimates for France based on enumeration of population in certain districts and on the count of births, deaths and marriages as reported for the whole country. The districts from which the ratio of inhabitants to birth was determined only constituted a sample.

في عام ١٨٠٢، رغب لابلاس في تقدير عدد سكان فرنسا. لم يكن قد أُجري تعداد سكاني ، ولم تكن لدى لابلاس الموارد اللازمة لحصر كل فرد. لذا، قام بأخذ عينة من ٣٠ أبرشية بلغ إجمالي عدد سكانها ٢,٠٣٧,٦١٥ نسمة. واعتُبرت سجلات التعميد في الأبرشيات تقديرات موثوقة لعدد المواليد الأحياء، فاستخدم إجمالي عدد المواليد على مدى ثلاث سنوات. بلغ تقدير العينة ٧١,٨٦٦,٣٣٣ معمودية سنويًا خلال هذه الفترة، أي بمعدل معمودية واحدة مسجلة لكل ٢٨,٣٥ شخصًا. كان إجمالي عدد سجلات التعميد في فرنسا متاحًا له أيضًا، فافترض أن نسبة المواليد الأحياء إلى عدد السكان ثابتة. ثم استخدم هذه النسبة من عينته لتقدير عدد سكان فرنسا.

قال كارل بيرسون في عام 1897 إن تقديرات النسبة متحيزة وحذر من استخدامها. ^{[ 22 ]}

• الوسم وإعادة الالتقاط ، وهي طريقة أخرى لتقدير عدد السكان باستخدام نسبة.
• توزيع النسب