إعادة أخذ العينات باستخدام تقنية Jackknife

في الإحصاء ، تعتبر تقنية السكين المقطوعة (التحقق المتبادل باستخدام السكين المقطوع) إحدى تقنيات التحقق المتبادل ، وبالتالي فهي شكل من أشكال إعادة العينة . وهي مفيدة بشكل خاص لتقدير التحيز والتباين . تسبق تقنية السكين المقطوعة طرق إعادة العينة الشائعة الأخرى مثل إعادة التعيين . في حالة وجود عينة بحجم ، يمكن إنشاء مقدر السكين المقطوعة من خلال تجميع تقديرات المعلمات من كل عينة فرعية بحجم تم الحصول عليها عن طريق حذف ملاحظة واحدة. ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

تم تطوير تقنية السكين الجاكنايف بواسطة موريس كوينويل (1924-1973) منذ عام 1949 وتم تحسينها في عام 1956. قام جون توكي بتوسيع هذه التقنية في عام 1958 واقترح اسم "السكين الجاكنايف" لأنه، مثل السكين الجاكنايف المادي (سكين قابل للطي مدمج)، فهو أداة خشنة وجاهزة يمكنها الارتجال لحل مجموعة متنوعة من المشكلات على الرغم من أنه قد يتم حل مشكلات معينة بكفاءة أكبر باستخدام أداة مصممة لهذا الغرض. ^[2]

السكين الجاكنايف هو تقريب خطي للتمهيد . [ ^2]

يتم العثور على مقدر السكين الجاك للمعلمة عن طريق ترك كل ملاحظة بشكل منهجي من مجموعة البيانات وحساب تقدير المعلمة على الملاحظات المتبقية ثم تجميع هذه الحسابات.

على سبيل المثال، إذا كانت المعلمة التي يجب تقديرها هي متوسط ​​عدد السكان للمتغير العشوائي ، فبالنسبة لمجموعة معينة من ملاحظات iid ، يكون المقدر الطبيعي هو متوسط ​​العينة: ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i\in [n]}x_{i},}$

حيث استخدم المجموع الأخير طريقة أخرى للإشارة إلى أن الفهرس يمتد فوق المجموعة . ${\displaystyle i}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$

ثم نواصل على النحو التالي: بالنسبة لكل منها نحسب متوسط ​​العينة الفرعية للسكين الجاكنايف التي تتكون من جميع نقاط البيانات باستثناء النقطة -، وهذا ما يسمى بتكرار السكين الجاكنايف رقم -: ${\displaystyle i\in[n]}$${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\in [n],j\neq i}x_{j},\quad \quad i=1,\dots ,n.}$

قد يكون من المفيد أن نفكر في أن هذه النسخ المتماثلة من نوع جاك نايف تعطينا تقريبًا لتوزيع متوسط ​​العينة وكلما كان أكبر كان هذا التقريب أفضل. ثم أخيرًا للحصول على مقدر جاك نايف، نأخذ متوسط ​​هذه النسخ المتماثلة من نوع جاك نايف: ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\bar {x}}_{(1)},\ldots ,{\bar {x}}_{(n)}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{(i)}.}$

قد يتساءل المرء عن التحيز والتباين لـ . من تعريف كمتوسط ​​تكرارات السكين الجاكنايف، يمكن للمرء أن يحاول الحساب صراحةً، والتحيز هو حساب تافه ولكن تباين هو أكثر تعقيدًا لأن تكرارات السكين الجاكنايف ليست مستقلة. ${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {جاك} }}$${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {جاك} }}$${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {جاك} }}$

بالنسبة للحالة الخاصة للمتوسط، يمكننا أن نظهر صراحة أن تقدير السكين يساوي التقدير المعتاد:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{(i)}={\bar {x}}.}$

وهذا يؤسس للهوية . ثم عند أخذ التوقعات نحصل على ، وبالتالي فهي غير متحيزة، وعند أخذ التباين نحصل على . ومع ذلك، لا تنطبق هذه الخصائص عمومًا على المعلمات الأخرى غير المتوسط. ${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}}$${\displaystyle E[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=E[{\bar {x}}]=E[x]}$${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {جاك} }}$${\displaystyle V[{\bar {x}}_{\mathrm {jack} }]=V[{\bar {x}}]=V[x]/n}$

هذا المثال البسيط لحالة تقدير المتوسط ​​هو مجرد توضيح لبناء مقدر السكين الجاكنايف، في حين تظهر التفاصيل الحقيقية (والفائدة) لحالة تقدير المعلمات الأخرى، مثل اللحظات الأعلى من المتوسط ​​أو الوظائف الأخرى للتوزيع.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {جاك} }}$يمكن استخدامها لبناء تقدير تجريبي للتحيز ، أي مع بعض العوامل المناسبة ، على الرغم من أننا في هذه الحالة نعلم أن هذا البناء لا يضيف أي معرفة ذات معنى، ولكنه يعطي التقدير الصحيح للتحيز (وهو صفر). ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\widehat {\operatorname {التحيز} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }=c({\bar {x}}_{\mathrm {jack} }-{\bar {x}})}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {jack} }={\bar {x}}}$

يمكن حساب تقدير السكين الجاكنايف لتباين من تباين تكرارات السكين الجاكنايف : ^{[3] [4]}${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}}$

${\displaystyle {\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }={\frac {n-1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{(i)}-{\bar {x}}_{\mathrm {jack} })^{2}={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}.}$

تحدد المساواة اليسرى المقدر والمساواة اليمنى هي هوية يمكن التحقق منها بشكل مباشر. ثم بأخذ التوقعات نحصل على ، لذا فإن هذا مقدر غير متحيز لتباين . ${\displaystyle {\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }}$${\displaystyle E[{\widehat {\operatorname {var} }}({\bar {x}})_{\mathrm {jack} }]=V[x]/n=V[{\bar {x}}]}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

يمكن استخدام تقنية السكين الجاك لتقدير (وتصحيح) تحيز المقدر المحسوب على العينة بأكملها.

افترض أن المعلمة المستهدفة موضع الاهتمام، والتي يُفترض أنها دالة ما لتوزيع . بناءً على مجموعة محدودة من الملاحظات ، والتي يُفترض أنها تتكون من نسخ iid من ، يتم إنشاء المقدر :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

القيمة تعتمد على العينة، لذلك سوف تتغير هذه القيمة من عينة عشوائية إلى أخرى. ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

حسب التعريف، فإن التحيز هو كما يلي: ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\text{التحيز}}({\hat {\theta }})=E[{\hat {\theta }}]-\theta .}$

قد يرغب المرء في حساب عدة قيم من عدة عينات، ومتوسطها، لحساب تقريب تجريبي لـ ، ولكن هذا مستحيل عندما لا توجد "عينات أخرى" عندما تم استخدام مجموعة الملاحظات المتاحة بالكامل لحساب . في هذا النوع من المواقف، قد تكون تقنية إعادة أخذ العينات بالسكين مفيدة. ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle E[{\hat {\theta }}]}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

نحن نقوم ببناء نسخ السكين الجاكنايف:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{(1)}=f_{n-1}(x_{2},x_{3}\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{(2)}=f_{n-1}(x_{1},x_{3},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{(n)}=f_{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}$

حيث يكون كل تكرار عبارة عن تقدير "ترك واحد خارجًا" استنادًا إلى العينة الفرعية للسكين المكونة من جميع نقاط البيانات باستثناء واحدة:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{(i)}=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n})\quad \quad i=1,\dots ,n.}$

ثم نحدد متوسطهم:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{(i)}}$

تقدير السكين الجاكنايف للتحيز يعطى بواسطة: ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\widehat {\text{bias}}}({\hat {\theta }})_{\mathrm {jack} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }-{\hat {\theta }})}$

وتقدير السكين الجاكنيف المصحح للتحيز الناتج عن ذلك يعطى بواسطة: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{jack}}^{*}={\hat {\theta }}-{\widehat {\text{bias}}}({\hat {\theta }})_{\mathrm {jack} }=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {jack} }.}$

يؤدي هذا إلى إزالة التحيز في الحالة الخاصة التي يكون فيها التحيز ويقلله إلى حالات أخرى. ^[2]${\displaystyle O(n^{-1})}$${\displaystyle O(n^{-2})}$

يمكن أيضًا استخدام تقنية السكين الجاك لتقدير تباين المقدر المحسوب على العينة بأكملها.

• برجر، واي جي (2007). "مقدر تباين السكين الجاك للعينات الطبقية أحادية المرحلة ذات الاحتمالات غير المتساوية". بيومتريكا . 94 (4): 953-964. doi :10.1093/biomet/asm072.
• برجر، واي جي؛ راو، جي إن كيه (2006). "السكين المعدل للحساب تحت أخذ عينات احتمالية غير متساوية بدون استبدال". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 68 (3): 531-547. doi : 10.1111/j.1467-9868.2006.00555.x .
• برجر، واي جي؛ سكينر، سي جيه (2005). "مقدر تباين السكين الجاكن لعينات الاحتمال غير المتساوية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 67 (1): 79-89. doi :10.1111/j.1467-9868.2005.00489.x.
• جيانج، جيه؛ لاهيري، بي؛ وان، إس إم. (2002). "نظرية موحدة للسكين الجاكنايف للتنبؤ الأفضل تجريبيًا باستخدام تقدير M". حوليات الإحصاء . 30 (6): 1782-810. doi : 10.1214/aos/1043351257 .
• جونز، إتش إل (1974). "تقدير جاكنايف لوظائف متوسطات الطبقات". بيومتريكا . 61 (2): 343-348. doi :10.2307/2334363. JSTOR  2334363.
• كيش، ل.؛ فرانكل، إم آر (1974). "الاستدلال من العينات المعقدة". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 36 (1): 1-37.
• كريوسكي، د.؛ راو، جيه إن كيه (1981). "الاستدلال من العينات الطبقية: خصائص الخطية، وطريقة جاكنايف، وطرق التكرار المتوازن". حوليات الإحصاء . 9 (5): 1010-1019. doi : 10.1214/aos/1176345580 .
• كينوي، MH (1956). “ملاحظات حول التحيز في التقدير”. القياسات الحيوية . 43 (3-4): 353-360. دوى :10.1093/بيوميت/43.3-4.353.
• راو، جيه إن كيه؛ شاو، جيه. (1992). "تقدير تباين السكين باستخدام بيانات المسح تحت حساب السطح الساخن". بيومتريكا . 79 (4): 811-822. doi :10.1093/biomet/79.4.811.
• راو، جي إن كيه؛ وو، سي إف جيه؛ يو، كيه. (1992). "بعض الأعمال الحديثة حول أساليب إعادة أخذ العينات للمسوح المعقدة". منهجية المسح . 18 (2): 209-217.
• شاو، جيه. وتو، دي. (1995). السكين الجاكنايف والبوتستراب. دار نشر سبرينغر.
• توكي، جيه دبليو (1958). "التحيز والثقة في العينات غير الكبيرة تمامًا (الملخص)". حوليات الإحصاء الرياضي . 29 (2): 614.
• وو، سي إف جيه (1986). "جاكنايف، بوتستراب وطرق إعادة العينة الأخرى في تحليل الانحدار". حوليات الإحصاء . 14 (4): 1261-1295. doi : 10.1214/aos/1176350142 .

• كاميرون، أدريان؛ تريفيدي، برافين ك. (2005). القياسات الاقتصادية الجزئية: الأساليب والتطبيقات . كامبريدج نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 9780521848053.
• إفرون، برادلي ؛ شتاين، تشارلز (مايو 1981). "تقدير التباين باستخدام طريقة جاك نايف". حوليات الإحصاء . 9 (3): 586-596. doi : 10.1214/aos/1176345462 . JSTOR  2240822.
• إفرون، برادلي (1982). السكين، والتمهيد، وخطط إعادة أخذ العينات الأخرى . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. رقم ISBN 9781611970319.
• كوينويل، موريس هـ. (سبتمبر 1949). "مشاكل في أخذ العينات المستوية". حوليات الإحصاء الرياضي . 20 (3): 355-375. doi : 10.1214/aoms/1177729989 . JSTOR  2236533.
• كوينوي، موريس هـ. (1956). “ملاحظات حول التحيز في التقدير”. القياسات الحيوية . 43 (3-4): 353-360. دوى :10.1093/بيوميت/43.3-4.353. جستور  2332914.
• توكي، جون دبليو. (1958). "التحيز والثقة في العينات غير الكبيرة تمامًا (الملخص)". حوليات الإحصاء الرياضي . 29 (2): 614. doi : 10.1214/aoms/1177706647 .