مفارقة الغراب

قبل هيمبل نفسه النتيجة المتناقضة، بحجة أن سبب ظهور النتيجة متناقضة هو أننا نمتلك معلومات مسبقة بدونها فإن ملاحظة طائر غير أسود وغير غراب ستوفر بالفعل دليلاً على أن جميع الغربان سوداء.

يوضح ذلك بمثال التعميم "جميع أملاح الصوديوم تحترق باللون الأصفر"، ويطلب منا أن نفكر في الملاحظة التي تحدث عندما يمسك شخص ما قطعة من الجليد النقي في لهب عديم اللون لا يتحول إلى اللون الأصفر: ^{[ 4 ] : ​​19-20}

تؤكد هذه النتيجة صحة المقولة: "كل ما لا يحترق باللون الأصفر ليس ملح صوديوم"، وبالتالي، وبموجب شرط التكافؤ، تؤكد الصيغة الأصلية. لماذا يبدو هذا متناقضًا؟ يتضح السبب عند مقارنة الحالة السابقة بتجربة أخرى حيث يُعرَّض جسم مجهول التركيب الكيميائي للهب، فلا يتحول لونه إلى الأصفر، ثم يكشف التحليل اللاحق أنه لا يحتوي على ملح صوديوم. لا شك أن هذه النتيجة هي ما كان متوقعًا بناءً على الفرضية... وبالتالي، تُشكل البيانات التي تم الحصول عليها هنا دليلًا مؤكدًا للفرضية.

في حالات التأكيد التي تبدو متناقضة، غالبًا لا نقوم فعليًا بتقييم علاقة الدليل المُعطى (E) وحده بالفرضية (H)... بل نُدخل ضمنيًا مقارنة بين (H) ومجموعة من الأدلة التي تتكون من (E) بالإضافة إلى معلومات إضافية متاحة لدينا؛ في مثالنا، تشمل هذه المعلومات معرفة (1) أن المادة المستخدمة في التجربة هي جليد، و(2) أن الجليد لا يحتوي على ملح الصوديوم. إذا افترضنا هذه المعلومات الإضافية كمعلومة مُعطاة، فمن الطبيعي ألا تُعزز نتيجة التجربة الفرضية قيد الدراسة. ولكن إذا حرصنا على تجنب هذه الإشارة الضمنية إلى المعرفة الإضافية... فإن التناقضات تزول.

من أكثر الحلول المقترحة شيوعًا قبولُ الاستنتاج بأن رؤية تفاحة خضراء تُقدّم دليلًا على أن جميع الغربان سوداء، مع الإقرار بأن مقدار التأكيد المُقدّم ضئيل جدًا، نظرًا للاختلاف الكبير بين عدد الغربان وعدد الأجسام غير السوداء. ووفقًا لهذا الحل، يبدو الاستنتاج متناقضًا، لأننا نُقدّر حدسيًا مقدار الدليل الذي تُقدّمه رؤية تفاحة خضراء بصفر، بينما هو في الواقع ليس صفرًا، ولكنه ضئيل للغاية.

ربما يكون عرض آي جيه جود لهذه الحجة في عام 1960 ^{[ 9 ]} هو الأكثر شهرة، وقد شاعت اختلافات الحجة منذ ذلك الحين، ^{[ 10 ]} على الرغم من أنها عُرضت في عام 1958 ^{[ 11 ]} وظهرت أشكال مبكرة من الحجة في وقت مبكر من عام 1940. ^{[ 12 ]}

تعتمد حجة غود على حساب قوة الدليل المُستمد من ملاحظة غراب أسود أو حذاء أبيض لصالح فرضية أن جميع الغربان في مجموعة من الأشياء سوداء. قوة الدليل هي لوغاريتم عامل بايز ، وهو في هذه الحالة ببساطة العامل الذي تتغير به احتمالات صحة الفرضية عند إجراء الملاحظة. وتتلخص الحجة فيما يلي:

... لنفترض أن هناك${\displaystyle N}$الأشياء التي يمكن رؤيتها في أي لحظة، منها${\displaystyle r}$الغربان و${\displaystyle b}$هم سود، وأن${\displaystyle N}$لكل عنصر احتمال${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$من أن تُرى. دع${\displaystyle H_{i}}$لنفترض أن هناك فرضية مفادها أن${\displaystyle i}$الغربان غير السوداء، ولنفترض أن الفرضيات${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$تكون الاحتمالات متساوية في البداية. ثم، إذا صادف أن رأينا غرابًا أسود، فإن عامل بايز يرجح كفة الغراب الأسود.${\displaystyle H_{0}}$يكون

$${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big \text{average}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$$

أي حوالي 2 إذا كان عدد الغربان الموجودة معروفًا بأنه كبير. لكن العامل إذا رأينا حذاءً أبيض هو فقط

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}\end{array}}}$$

وهذا يتجاوز الوحدة بنحو${\displaystyle r/(2N-2b)}$لو${\displaystyle N-b}$كبير مقارنة بـ${\displaystyle r}$وبالتالي، فإن قوة الدليل الذي يوفره رؤية حذاء أبيض إيجابية، لكنها ضئيلة إذا كان عدد الغربان معروفًا بأنه قليل مقارنة بعدد الأشياء غير السوداء. ^{[ 13 ]}

كان العديد من مؤيدي هذا الحل ومشتقاته من دعاة الاحتمالية البايزية ، ويُطلق عليه الآن اسم الحل البايزي، مع أن تشيهارا ^{[ 14 ]} يلاحظ أنه "لا يوجد ما يُسمى بالحل البايزي المطلق. فهناك العديد من 'الحلول' المختلفة التي طرحها البايزيون باستخدام تقنيات بايزية". ومن بين المناهج الجديرة بالذكر التي تستخدم التقنيات البايزية (والتي يقبل بعضها !PC ويرفض NC بدلاً من ذلك) مناهج إيرمان ^{[ 15 ]} ، وإيلز ^{[ 16 ]} ، وجيبسون ^{[ 17 ]} ، وهوسياسون-ليندنبوم ^{[ 12 ]} ، وهوسون وأورباخ ^{[ 18 ]} ، وماكي ^{[ 19 ]} ، وهينتيكا ^{[ 20 ]} الذي يدّعي أن منهجه "أكثر بايزيةً من ما يُسمى 'الحل البايزي' لنفس المفارقة". تشمل المناهج البايزية التي تستخدم نظرية كارناب للاستدلال الاستقرائي هامبورغ، ^{[ 21 ]} وماهر، ^{[ 8 ]} وفيتلسون وهاوثورن. ^{[ 10 ]} وقد قدم فراناس ^{[ 22 ]} مصطلح "الحل البايزي القياسي" لتجنب الالتباس.

يقبل ماهر ^{[ 8 ]} النتيجة المتناقضة، ويطورها:

يؤكد طائر غير الغراب (مهما كان لونه) أن جميع الغربان سوداء لأن

• (أ) إن المعلومة التي تفيد بأن هذا الشيء ليس غرابًا تزيل احتمال أن يكون هذا الشيء مثالًا مضادًا للتعميم، و
• (ii) يقلل ذلك من احتمالية أن تكون الأشياء غير المرصودة غرابًا، وبالتالي يقلل من احتمالية كونها أمثلة مضادة للتعميم.

للوصول إلى (ii)، يستند إلى نظرية كارناب للاحتمال الاستقرائي ، وهي (من وجهة نظر بايزية) طريقة لتعيين الاحتمالات المسبقة تُطبّق الاستقراء بشكل طبيعي. ووفقًا لنظرية كارناب، فإن الاحتمال اللاحق ،${\displaystyle P(Fa|E)}$، ذلك الشيء،${\displaystyle a}$، سيكون له مسند،${\displaystyle F}$بعد الأدلة${\displaystyle E}$وقد لوحظ ما يلي:

$${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$$

أين${\displaystyle P(Fa)}$الاحتمال الأولي هو${\displaystyle a}$له المسند${\displaystyle F}$؛${\displaystyle n}$هو عدد الأشياء التي تم فحصها (وفقًا للأدلة المتاحة)${\displaystyle E}$);${\displaystyle n_{F}}$هو عدد الأشياء التي تم فحصها والتي تبين أنها تمتلك المسند${\displaystyle F}$، و${\displaystyle \lambda }$هو ثابت يقيس مقاومة التعميم.

لو${\displaystyle \lambda }$يقترب من الصفر،${\displaystyle P(Fa|E)}$سيكون قريبًا جدًا من الواحد بعد ملاحظة واحدة لجسم تبين أنه يمتلك الخاصية${\displaystyle F}$بينما إذا${\displaystyle \lambda }$أكبر بكثير من${\displaystyle n}$،${\displaystyle P(Fa|E)}$سيكون قريبًا جدًا من${\displaystyle P(Fa)}$بغض النظر عن نسبة الأشياء المرصودة التي كانت تحمل المسند${\displaystyle F}$.

باستخدام هذا المنهج الكارنابي، يُحدد ماهر فرضيةً نعلم بديهيًا (وبشكل صحيح) أنها خاطئة، لكننا نخلطها بسهولة بالنتيجة المتناقضة. الفرضية محل النقاش هي أن مراقبة الطيور غير الغربان تُخبرنا عن لون الغربان. في حين أن هذا خاطئ بديهيًا، وهو خاطئ أيضًا وفقًا لنظرية كارناب في الاستقراء، فإن مراقبة الطيور غير الغربان (وفقًا لتلك النظرية نفسها) تجعلنا نُقلل من تقديرنا للعدد الإجمالي للغربان، وبالتالي نُقلل من العدد المُقدَّر للأمثلة المُضادة المُحتملة لقاعدة أن جميع الغربان سوداء.

وبالتالي، من وجهة نظر بايزية-كارنابية، فإن ملاحظة طائر غير غراب لا تخبرنا بأي شيء عن لون الغربان، ولكنها تخبرنا عن مدى انتشار الغربان، وتدعم مقولة "جميع الغربان سوداء" من خلال تقليل تقديرنا لعدد الغربان التي قد لا تكون سوداء.

تركزت معظم المناقشات حول المفارقة بشكل عام، والمنهج البايزي بشكل خاص، على أهمية المعرفة الخلفية. ومن المثير للدهشة أن ماهر ^{[ 8 ]} يُبين أنه بالنسبة لفئة واسعة من التكوينات الممكنة للمعرفة الخلفية، فإن ملاحظة طائر غير أسود وغير غراب تُقدم نفس القدر من التأكيد الذي تُقدمه ملاحظة غراب أسود. وتُعد تكوينات المعرفة الخلفية التي يتناولها ماهر هي تلك التي تُقدمها قضية نموذجية ، أي قضية تتكون من اقتران قضايا ذرية، تُنسب كل منها محمولًا واحدًا إلى فرد واحد، دون أن تتضمن أي قضيتين ذريتين الفرد نفسه. وبالتالي، يُمكن اعتبار قضية من الشكل "أ غراب أسود، وب حذاء أبيض" قضية نموذجية باعتبار "غراب أسود" و"حذاء أبيض" محمولين.

يبدو أن برهان ماهر يتعارض مع نتيجة الحجة البايزية، التي مفادها أن ملاحظة طائر غير أسود وغير غراب تُقدّم دليلاً أقل بكثير من ملاحظة غراب أسود. والسبب هو أن المعرفة الأساسية التي يستخدمها غود وغيره لا يمكن التعبير عنها في صورة قضية عينة - على وجه الخصوص، تفترض متغيرات المنهج البايزي القياسي غالبًا (كما فعل غود في الحجة المذكورة أعلاه) أن الأعداد الإجمالية للغربان، والأشياء غير السوداء، و/أو العدد الإجمالي للأشياء، هي كميات معلومة. يعلق ماهر قائلاً: "السبب في اعتقادنا بوجود أشياء غير سوداء أكثر من الغربان هو أن هذا ما كان صحيحًا بالنسبة للأشياء التي لاحظناها حتى الآن. يمكن تمثيل هذا النوع من الأدلة بقضية عينة. ولكن... بالنظر إلى أي قضية عينة كدليل أساسي، فإن وجود طائر غير أسود وغير غراب يؤكد الفرضية (أ) بنفس قوة تأكيد الغراب الأسود... وبالتالي، يشير تحليلي إلى أن هذا الرد على المفارقة [أي الرد البايزي القياسي] لا يمكن أن يكون صحيحًا."

قام فيتلسون وهاوثورن ^{[ 10 ]} بدراسة الظروف التي يكون فيها رصد طائر غير أسود وغير غراب دليلاً أقل من رصد غراب أسود. وقد أظهرا أنه إذا${\displaystyle a}$هو عنصر تم اختياره عشوائياً،${\displaystyle Ba}$هي الفرضية القائلة بأن الجسم أسود، و${\displaystyle Ra}$إذا كانت الفرضية أن الشيء هو غراب، فإن الشرط هو:

$${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$$

يكفي أن تكون ملاحظة طائر غير أسود وغير غراب دليلاً أقل من ملاحظة غراب أسود. هنا، يشير الخط فوق القضية إلى النفي المنطقي لتلك القضية.

لا يوضح لنا هذا الشرط حجم الفرق في الأدلة المقدمة، لكن حسابًا لاحقًا في نفس الورقة البحثية يُظهر أن وزن الأدلة التي يقدمها غراب أسود يتجاوز وزن الأدلة التي يقدمها طائر غير أسود وغير غراب بنحو${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$وهذا يساوي مقدار المعلومات الإضافية (بالبتات، إذا كان أساس اللوغاريتم هو 2) التي يتم توفيرها عندما يتم اكتشاف أن غرابًا مجهول اللون أسود، مع الأخذ في الاعتبار الفرضية القائلة بأن ليس كل الغربان سوداء.

يوضح فيتلسون وهاوثورن ^{[ 10 ] ما يلي:}

في الظروف العادية،${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$قد تكون القيمة حوالي 0.9 أو 0.95؛ لذا${\displaystyle 1/p}$تبلغ النسبة حوالي 1.11 أو 1.05. لذا، قد يبدو أن ظهور غراب أسود واحد لا يُعطي دعمًا أكبر بكثير من ظهور غراب غير أسود. مع ذلك، في ظل ظروف معقولة، يمكن إثبات أن سلسلة من${\displaystyle n}$ينتج عن مقارنة عدد من الحالات (أي عدد n من الغربان السوداء، مقارنة بعدد n من الغربان غير السوداء) نسبة احتمالات من رتبة${\displaystyle (1/p)^{n}}$، وهو ما يتفاقم بشكل كبير بالنسبة للشركات الكبيرة${\displaystyle n}$.

يشير المؤلفون إلى أن تحليلهم يتوافق تمامًا مع الافتراض القائل بأن الغراب غير الأسود لا يقدم سوى قدر ضئيل للغاية من الأدلة على الرغم من أنهم لا يحاولون إثبات ذلك؛ فهم ببساطة يحسبون الفرق بين مقدار الأدلة التي يقدمها الغراب الأسود ومقدار الأدلة التي يقدمها الغراب غير الأسود.

يقدم غود ^{[ 23 ]} مثالاً على المعرفة الأساسية التي تقلل من احتمالية أن تكون جميع الغربان سوداء عند ملاحظة غراب أسود :

لنفترض أننا نعلم أننا في أحد عالمين، وأن الفرضية (ح) المطروحة هي أن جميع الغربان في عالمنا سوداء. نعلم مسبقًا أنه في أحد العالمين يوجد مئة غراب أسود، ولا يوجد أي غراب غير أسود، ومليون طائر آخر؛ وفي العالم الآخر يوجد ألف غراب أسود، وغراب أبيض واحد، ومليون طائر آخر. يتم اختيار طائر عشوائيًا باحتمالية متساوية من بين جميع الطيور في عالمنا. فيتبين أنه غراب أسود. هذا دليل قوي... على أننا في العالم الثاني، حيث ليست كل الغربان سوداء.

يخلص غود إلى أن الحذاء الأبيض مجرد " تضليل ": ففي بعض الأحيان، حتى الغراب الأسود قد يُشكل دليلاً ضد فرضية أن جميع الغربان سوداء، لذا فإن حقيقة أن رؤية حذاء أبيض قد تدعم هذه الفرضية ليست مفاجئة ولا تستحق الاهتمام. ويرى غود أن معيار نيكود خاطئ، وبالتالي فإن النتيجة المتناقضة لا تترتب عليه.

رفض هيمبل هذا كحل للمفارقة، وأصر على أن القضية "ج غراب وأسود" يجب أن تُدرس "بمعزل عن أي معلومات أخرى"، وأشار إلى أنه "تم التأكيد في القسم 5.2 (ب) من مقالتي في مجلة Mind ... على أن ظهور المفارقة في حالات مثل حالة الحذاء الأبيض ينتج جزئيًا عن عدم مراعاة هذه القاعدة." ^{[ 24 ]}

والسؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان ينبغي فهم المفارقة في سياق عدم وجود أي معلومات أساسية على الإطلاق (كما يقترح هيمبل)، أو في سياق المعلومات الأساسية التي نمتلكها بالفعل فيما يتعلق بالغربان والأجسام السوداء، أو فيما يتعلق بجميع التكوينات الممكنة للمعلومات الأساسية.

أظهر غود أن معيار نيكود خاطئ في بعض حالات المعرفة الأساسية (شريطة أن نعتبر "الدعم الاستقرائي" مرادفًا لـ "زيادة الاحتمالية" - انظر أدناه). وبقي احتمال أن يكون معيار نيكود صحيحًا في حالتنا المعرفية الفعلية، والتي تختلف اختلافًا كبيرًا عن مثال غود، وبالتالي قد نصل إلى النتيجة المتناقضة. في المقابل، يصر همبل على أن معرفتنا الأساسية نفسها هي العامل المضلل، وأنه ينبغي علينا النظر في الاستقراء في ضوء حالة الجهل التام.

في قراره المقترح، استغل ماهر ضمنيًا حقيقة أن مقولة "كل الغربان سوداء" محتملة جدًا عندما يكون من المحتمل جدًا عدم وجود غربان. وقد استخدم غود هذه الحقيقة سابقًا للرد على إصرار همبل على أن معيار نيكود يجب فهمه على أنه صحيح في غياب المعلومات الأساسية: ^{[ 25 ]}

تخيل طفلاً حديث الولادة يتمتع بذكاء لا حدود له ،  ولديه دوائر عصبية مدمجة تمكنه من التعامل مع المنطق الصوري، وقواعد اللغة الإنجليزية، والاحتمالات الذاتية. قد يجادل الآن، بعد تعريف الغراب بالتفصيل، بأنه من غير المرجح وجود أي غربان، وبالتالي فمن المرجح للغاية أن تكون جميع الغربان سوداء، أي أن${\displaystyle H}$هذا صحيح. ويتابع قائلاً: "من ناحية أخرى، إذا وُجدت الغربان، فمن المحتمل أن تكون بألوان متنوعة. لذلك، لو اكتشفتُ وجود غراب أسود، فسأعتبر..."${\displaystyle H}$أن يكون احتمال حدوث ذلك أقل مما كان عليه في البداية.

بحسب غود، هذا أقرب ما يمكن توقعه بشكل معقول لحالة الجهل التام، ويبدو أن شرط نيكود لا يزال خاطئًا. وقد عزز ماهر حجة غود باستخدام نظرية كارناب في الاستقراء لصياغة فكرة أنه إذا وُجد غراب واحد، فمن المرجح وجود العديد منها. ^{[ 26 ]}

تتناول حجة ماهر كونًا يتكون من جسمين فقط، أحدهما نادرًا ما يكون غرابًا (احتمال واحد من ألف)، ومن غير المرجح أن يكون أسود (احتمال واحد من عشرة). وباستخدام صيغة كارناب للاستقراء، وجد أن احتمال أن تكون جميع الغربان سوداء يتناقص من 0.9985 إلى 0.8995 عند اكتشاف أن أحد الجسمين غراب أسود.

يخلص ماهر إلى أن الاستنتاج المتناقض ليس صحيحًا فحسب، بل إن معيار نيكود خاطئ في غياب المعرفة الأساسية (باستثناء المعرفة بأن عدد الأشياء في الكون هو اثنان وأن الغربان أقل احتمالًا من الأشياء السوداء).

جادل كواين ^{[ 27 ]} بأن حل المفارقة يكمن في إدراك أن بعض المحمولات ، التي سماها الأنواع الطبيعية ، تتمتع بمكانة مميزة فيما يتعلق بالاستقراء. ويمكن توضيح ذلك بمثال نيلسون غودمان عن المحمول grue . يكون الشيء grue إذا كان أزرق قبل (مثلاً) عام 2026 وأخضر بعده. من الواضح أننا نتوقع أن تبقى الأشياء التي كانت زرقاء قبل عام 2026 زرقاء بعده، لكننا لا نتوقع أن تبقى الأشياء التي وُجد أنها grue قبل عام 2026 زرقاء بعد عام 2026 ، لأنها ستكون خضراء بعد عام 2026. تفسير كواين هو أن "أزرق" نوع طبيعي؛ محمول مميز يمكننا استخدامه للاستقراء، بينما "grue" ليس نوعًا طبيعيًا، واستخدام الاستقراء معه يؤدي إلى خطأ.

يشير هذا إلى حلٍّ للمفارقة – معيار نيكود صحيحٌ بالنسبة للأنواع الطبيعية، مثل "الأزرق" و"الأسود"، ولكنه خاطئٌ بالنسبة للمسندات المصطنعة، مثل "الرمادي المائل للزرقة" أو "غير الغراب". تنشأ المفارقة، وفقًا لهذا الحل، لأننا نفسر ضمنيًا معيار نيكود على أنه ينطبق على جميع المسندات، بينما هو في الواقع ينطبق فقط على الأنواع الطبيعية.

اتبع هينتيكا نهجًا آخر يُفضّل صفاتٍ مُحددة على غيرها. ^{[ 20 ]} كان دافع هينتيكا هو إيجاد منهج بايزي لحل المفارقة دون الاعتماد على معرفة الترددات النسبية للغربان والأشياء السوداء. ويؤكد أن الحجج المتعلقة بالترددات النسبية لا يُمكنها دائمًا تفسير عدم أهمية الأدلة المُتمثلة في مُلاحظات الأشياء من النوع (أ) لأغراض التعرّف على الأشياء من النوع (ليس أ).

يمكن توضيح حجته بإعادة صياغة المفارقة باستخدام صفات أخرى غير "الغراب" و"الأسود". على سبيل المثال، "جميع الرجال طوال القامة" تُعادل "جميع قصار القامة نساء"، وبالتالي فإن ملاحظة أن شخصًا تم اختياره عشوائيًا امرأة قصيرة القامة يُفترض أن يُقدّم دليلًا على أن جميع الرجال طوال القامة. على الرغم من افتقارنا للمعرفة الأساسية التي تُشير إلى أن عدد الرجال أقل بكثير من عدد قصار القامة، إلا أننا ما زلنا نميل إلى رفض هذه النتيجة. مثال هينتيكا هو كالتالي: "يبدو أن تعميمًا مثل "لا توجد أجسام مادية قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية" لا يتأثر إطلاقًا بالأسئلة المتعلقة بالكيانات غير المادية، بغض النظر عما يعتقده المرء بشأن الترددات النسبية للكيانات المادية وغير المادية في مجال حديثه." ^{[ 20 ]}

يتمثل حله في إدخال ترتيب في مجموعة المسندات. فعندما يُزوَّد النظام المنطقي بهذا الترتيب، يصبح من الممكن حصر نطاق تعميم مثل "كل الغربان سوداء" بحيث ينطبق على الغربان فقط وليس على الأشياء غير السوداء، لأن الترتيب يُعطي الأولوية للغربان على الأشياء غير السوداء. وكما يقول:

إذا كان من المبرر افتراض أن نطاق التعميم "كل الغربان سوداء" يمكن حصره في الغربان، فهذا يعني أن لدينا معلومات خارجية يمكننا الاعتماد عليها فيما يتعلق بالوضع الواقعي. وتكمن المفارقة في أن هذه المعلومات، التي تؤثر على نظرتنا التلقائية للوضع، لا تُدمج في المعالجات المعتادة للوضع الاستقرائي. ^{[ 20 ]}

اتخذ شيفر وجودمان ^{[ 28 ]} نهجًا للمفارقة يتضمن وجهة نظر كارل بوبر القائلة بأن الفرضيات العلمية لا يتم تأكيدها أبدًا، بل يتم دحضها فقط.

يبدأ هذا المنهج بالإشارة إلى أن رؤية غراب أسود لا تثبت أن "جميع الغربان سوداء"، بل تُفنّد الفرضية المعاكسة، "لا يوجد غراب أسود". أما رؤية طائر غير أسود، فهو يتوافق مع كلٍّ من "جميع الغربان سوداء" و"لا يوجد غراب أسود". وكما يقول المؤلفون:

... إنّ القول بأنّ جميع الغربان سوداء لا يُثبت فقط بوجود غراب أسود، بل يُعزز هذا الدليل، لأنّ الغراب الأسود يُفنّد القول المخالف القائل بأنّ جميع الغربان ليست سوداء، أي يُثبت نفيه. بعبارة أخرى، يُثبت الغراب الأسود فرضية أنّ جميع الغربان سوداء، وليس العكس: فهو بذلك يُؤكد بشكل انتقائي أنّ جميع الغربان سوداء .

التأكيد الانتقائي ينتهك شرط التكافؤ لأن الغراب الأسود يؤكد بشكل انتقائي "كل الغربان سوداء" ولكنه لا يؤكد "كل الأشياء غير السوداء ليست غربانًا".

تُركز نظرية نيمان-بيرسون التقليدية لاختبار الفرضيات على كيفية اتخاذ قرار قبول الفرضية أو رفضها ، بدلاً من تحديد احتمالية صحة الفرضية. من هذا المنظور، لا تُقبل فرضية "جميع الغربان سوداء" تدريجياً ، حيث تزداد احتمالية صحتها مع ازدياد عدد الملاحظات، بل تُقبل دفعة واحدة نتيجةً لتقييم البيانات التي جُمعت مسبقاً. وكما قال نيمان وبيرسون:

دون أن نأمل في معرفة ما إذا كانت كل فرضية على حدة صحيحة أم خاطئة، يمكننا البحث عن قواعد تحكم سلوكنا فيما يتعلق بها، وباتباعها نضمن أننا، على المدى الطويل من الخبرة، لن نكون مخطئين كثيراً. ^{[ 32 ]}

وفقًا لهذا النهج، ليس من الضروري تحديد قيمة لاحتمالية صحة الفرضية ، مع ضرورة مراعاة احتمالية البيانات في ضوء الفرضية، أو في ضوء فرضية منافسة، عند اتخاذ قرار القبول أو الرفض. ويحمل قبول الفرضية أو رفضها في طياته خطر الخطأ .

يختلف هذا عن المنهج البايزي، الذي يتطلب تحديد احتمال مسبق للفرضية، ثم مراجعته في ضوء البيانات المرصودة للوصول إلى الاحتمال النهائي للفرضية. ضمن الإطار البايزي، لا يوجد خطر للخطأ، إذ لا تُقبل الفرضيات أو تُرفض، بل تُحدد لها احتمالات.

تم إجراء تحليل للمفارقة من وجهة النظر التقليدية، ويؤدي ذلك، من بين أمور أخرى، إلى رفض شرط التكافؤ:

يبدو جلياً أنه لا يمكن قبول فرضية أن جميع قيم P هي Q ورفض عكسها في الوقت نفسه، أي أن جميع القيم غير Q هي ليست P. ومع ذلك، من السهل ملاحظة أنه وفقاً لنظرية نيمان-بيرسون للاختبار، فإن اختبار "جميع قيم P هي Q" ليس بالضرورة اختباراً لـ "جميع القيم غير Q هي ليست P" أو العكس. يتطلب اختبار "جميع قيم P هي Q" الرجوع إلى فرضية إحصائية بديلة من الشكل التالي:${\displaystyle r}$من بين جميع قيم P، توجد قيمة Q،${\displaystyle 0<r<1}$بينما يتطلب اختبار "جميع القيم غير Q هي قيم غير P" الرجوع إلى بديل إحصائي من الشكل${\displaystyle r}$جميع الأحرف غير Q هي أحرف غير P،${\displaystyle 0<r<1}$لكن هاتين المجموعتين من البدائل الممكنة مختلفتان... وبالتالي يمكن إجراء اختبار لـ${\displaystyle H}$دون إجراء اختبار للعكس الإيجابي. ^{[ 33 ]}

تستلزم القضايا التالية بعضها بعضًا: "كل شيء إما أسود أو ليس غرابًا"، و"كل غراب أسود"، و"كل شيء غير أسود ليس غرابًا". لذا، فهي متكافئة منطقيًا بحكم التعريف. مع ذلك، تختلف هذه القضايا الثلاث في نطاقها: فالقضية الأولى تتحدث عن "كل شيء"، بينما تتحدث الثانية عن "كل غراب".

القضية الأولى هي الوحيدة التي يكون نطاق قياسها غير مقيد ("جميع الأشياء")، لذا فهي الوحيدة التي يمكن التعبير عنها بمنطق الرتبة الأولى . وهي مكافئة منطقيًا لما يلي:

$${\displaystyle \forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$$

وكذلك لـ

$${\displaystyle \forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}}$$

أين${\displaystyle \rightarrow }$يشير إلى الشرط المادي ، الذي ينص على أنه "إذا${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$" يمكن فهمها على أنها تعني "${\displaystyle B}$أو${\displaystyle {\overline {A}}}$".

وقد جادل العديد من المؤلفين بأن الدلالة المادية لا تعكس معنى "إذا" بشكل كامل${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$(انظر مفارقات الاستلزام المادي ). " لكل شيء،${\displaystyle x}$،${\displaystyle x}$إن عبارة "إما أسود أو ليس غرابًا" صحيحة عندما لا توجد غربان. ولهذا السبب، تُعتبر عبارة "جميع الغربان سوداء" صحيحة عندما لا توجد غربان. علاوة على ذلك، استندت الحجج التي استخدمها غود وماهر لانتقاد معيار نيكود (انظر §  طفل غود ، أعلاه) إلى هذه الحقيقة - وهي أن عبارة "جميع الغربان سوداء" محتملة جدًا عندما يكون من المحتمل جدًا عدم وجود غربان.

القول بأن جميع الغربان سوداء في غياب أي غراب هو قولٌ فارغ، لا معنى له. أما القول بأن "جميع الغربان بيضاء" فهو صحيحٌ أيضاً، إن كان لهذا القول أي أساس من الصحة أو المصداقية.

سعت بعض المقاربات لتفسير المفارقة إلى إيجاد طرق أخرى لتفسير "إذا".${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$" و"الكل"${\displaystyle A}$نكون${\displaystyle B}$" وهذا من شأنه أن يقضي على التكافؤ المتصور بين "كل الغربان سوداء" و "كل الأشياء غير السوداء ليست غربانًا".

يتمثل أحد هذه الأساليب في إدخال منطق متعدد القيم ينص على أنه "إذا${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$" له قيمة حقيقية "${\displaystyle I}$، بمعنى "غير محدد" أو "غير مناسب" عندما${\displaystyle A}$هذا غير صحيح. ^{[ 34 ]} في مثل هذا النظام، لا يُسمح بالتناقض تلقائيًا: "إذا${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$" لا يعادل "إذا"${\displaystyle {\overline {B}}}$ثم${\displaystyle {\overline {A}}}$وبالتالي ، فإن عبارة "كل الغربان سوداء" لا تعادل عبارة "كل الأشياء غير السوداء ليست غربانًا".

في هذا النظام، عند حدوث التضاد، يتغير نمط الشرط من النمط الإخباري ("إذا سُخّنت قطعة الزبدة هذه إلى 32  درجة مئوية، فإنها تكون قد ذابت") إلى النمط الافتراضي ("لو سُخّنت قطعة الزبدة هذه إلى 32  درجة مئوية، لكانت قد ذابت"). ووفقًا لهذه الحجة، فإن هذا يُزيل التكافؤ المزعوم اللازم للاستنتاج بأن الأبقار الصفراء يمكن أن تُخبرنا عن الغربان.

في الاستخدام النحوي الصحيح، لا ينبغي صياغة الحجة المضادة بالكامل بصيغة الخبر. وهكذا:

انطلاقاً من حقيقة أن عود الثقاب هذا سيشتعل إذا تم خدشه، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا لم يشتعل، فإنه لم يتم خدشه.

هذا محرج. ينبغي أن نقول:

انطلاقاً من حقيقة أن عود الثقاب هذا سيشتعل إذا تم خدشه، فإنه يستنتج أنه لو لم يشتعل لما كان قد تم خدشه  .

قد يتساءل المرء عن تأثير هذا التفسير لقانون التناقض على مفارقة هيمبل في التأكيد. "إذا${\displaystyle a}$إذن هو غراب${\displaystyle a}$"أسود" يعادل "إذا"${\displaystyle a}$لم يكونوا سودًا حينها${\displaystyle a}$لن يكون غرابًا". لذلك، فإن أي شيء يؤكد هذا الأخير، يجب أن يؤكد الأول أيضًا، وفقًا لشرط التكافؤ. صحيح، لكن الأبقار الصفراء لا تزال غير قادرة على إثبات أن "جميع الغربان سوداء"، لأنه في العلم، يتم التأكيد عن طريق التنبؤ، والتنبؤات تُصاغ بشكل صحيح بصيغة الخبر. من غير المنطقي السؤال عما يؤكد فرضية افتراضية. ^{[ 34 ]}

لاحظ العديد من المعلقين أن المقولتين "كل الغربان سوداء" و"كل الأشياء غير السوداء ليست غربانًا" تشيران إلى إجراءات مختلفة لاختبار الفرضيات. على سبيل المثال، يكتب غود: ^{[ 9 ]}

كفرضيتين، تُعتبر العبارتان متكافئتين منطقيًا. لكن لهما تأثير نفسي مختلف على الباحث. فإذا طُلب منه اختبار ما إذا كانت جميع الغربان سوداء، فسيبحث عن غراب ثم يقرر ما إذا كان أسود. أما إذا طُلب منه اختبار ما إذا كانت جميع الأشياء غير السوداء ليست غربانًا، فقد يبحث عن شيء غير أسود ثم يقرر ما إذا كان غرابًا.

في الآونة الأخيرة، طُرحت فكرة أن عبارتي "جميع الغربان سوداء" و"جميع الأشياء غير السوداء ليست غربانًا" قد تُحدثان تأثيرات مختلفة عند قبولهما . ^{[ 35 ]} تتناول هذه الحجة حالات يكون فيها العدد الإجمالي أو نسبة انتشار الغربان والأشياء السوداء غير معروف، ولكنه مُقدّر. فعند قبول فرضية "جميع الغربان سوداء"، وفقًا لهذه الحجة، يزداد العدد المُقدّر للأشياء السوداء، بينما يبقى العدد المُقدّر للغربان ثابتًا.

يمكن توضيح ذلك بالنظر إلى حالة شخصين لديهما معلومات متطابقة بشأن الغربان والأجسام السوداء، ولديهما تقديرات متطابقة لأعداد الغربان والأجسام السوداء. ولتوضيح ذلك عمليًا، لنفترض أن هناك 100 جسم إجمالًا، ووفقًا للمعلومات المتاحة للشخصين المعنيين، فإن احتمال أن يكون كل جسم ليس غرابًا هو نفسه احتمال أن يكون غرابًا، واحتمال أن يكون أسود هو نفسه احتمال أن يكون غير أسود.

$${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$$

والمقترحات${\displaystyle Ra,\ Rb}$مستقلة بالنسبة لأشياء مختلفة${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$وهكذا دواليك. ثم يُقدّر عدد الغربان بـ 50؛ ويُقدّر عدد الأشياء السوداء بـ 50؛ ويُقدّر عدد الغربان السوداء بـ 25، ويُقدّر عدد الغربان غير السوداء (أمثلة مضادة للفرضيات) بـ 25.

يقوم أحد الأشخاص بإجراء اختبار إحصائي (مثل اختبار نيمان-بيرسون أو مقارنة الوزن التراكمي للأدلة بعتبة معينة) لفرضية أن "جميع الغربان سوداء"، بينما يختبر الآخر فرضية أن "جميع الأشياء غير السوداء ليست غربانًا". ولتبسيط الأمر، لنفترض أن الأدلة المستخدمة في الاختبار لا علاقة لها بمجموعة الأشياء المئة التي نتناولها هنا. إذا قبل الشخص الأول فرضية أن "جميع الغربان سوداء"، فإنه وفقًا لهذه الحجة، يُعتقد الآن أن حوالي 50 شيئًا كانت ألوانها موضع شك سابقًا (الغربان) سوداء، بينما لا يُنظر إلى الأشياء المتبقية (غير الغربان) على أنها سوداء. وبالتالي، ينبغي عليه تقدير عدد الغربان السوداء بـ 50، وعدد الأشياء السوداء غير الغربان بـ 25، وعدد الأشياء غير السوداء غير الغربان بـ 25. ومن خلال تحديد هذه التغييرات، تقصر هذه الحجة نطاق فرضية "جميع الغربان سوداء" على الغربان فقط.

من جهة أخرى، إذا قبل الشخص الثاني فرضية أن "جميع الأشياء غير السوداء ليست غرابًا"، فسيعتبر أن الأشياء غير السوداء الخمسين التي لم يكن متأكدًا مما إذا كان كل منها غرابًا، ليست غرابًا. في الوقت نفسه، لن يُنظر إلى الأشياء الخمسين المتبقية (الأشياء السوداء) على أنها غراب. وبالتالي، سيُقدّر عدد الغربان السوداء بـ 25، وعدد الأشياء السوداء التي ليست غرابًا بـ 25، وعدد الأشياء غير السوداء التي ليست غرابًا بـ 50. وفقًا لهذه الحجة، بما أن الشخصين يختلفان في تقديراتهما بعد قبولهما الفرضيتين المختلفتين، فإن قبول "جميع الغربان سوداء" لا يُعادل قبول "جميع الأشياء غير السوداء ليست غرابًا"؛ فقبول الأولى يعني تقدير عدد أكبر من الأشياء على أنها سوداء، بينما قبول الثانية يعني تقدير عدد أكبر من الأشياء على أنها ليست غرابًا. وبناءً على ذلك، فإن الحجة تقول إن الأولى تتطلب كدليل غراباً أسود اللون، بينما تتطلب الثانية أشياء غير سوداء اللون لا تكون غراباً. ^{[ 35 ]}

جادل عدد من المؤلفين بأن القضايا التي تأخذ شكل "الكل"${\displaystyle A}$نكون${\displaystyle B}$"افترض مسبقًا وجود أشياء هي${\displaystyle A}$[ ^{36 ]} تم تطبيق هذا التحليل على مفارقة الغراب ^{: [ 37 ]}

...${\displaystyle H_{1}}$"كل الغربان سوداء" و${\displaystyle H_{2}}$إن عبارة "كل الأشياء غير السوداء ليست غرابًا" ليست متطابقة تمامًا ... نظرًا لاختلاف افتراضاتها الوجودية. علاوة على ذلك، على الرغم من${\displaystyle H_{1}}$و${\displaystyle H_{2}}$على الرغم من وصفهما لنفس الانتظام - وهو عدم وجود غربان غير سوداء - إلا أنهما يختلفان في الشكل المنطقي. فلكل من الفرضيتين معانٍ مختلفة، وتتضمنان إجراءات مختلفة لاختبار الانتظام الذي تصفانه.

يمكن للمنطق المعدل أن يأخذ في الاعتبار الافتراضات الوجودية باستخدام عامل الافتراض المسبق، '*'. على سبيل المثال،

$${\displaystyle \forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx}$$

يمكن أن يشير إلى "جميع الغربان سوداء" مع الإشارة إلى أن الغربان هي التي يفترض وجودها في هذا المثال وليست الأشياء غير السوداء.

... يميز الشكل المنطقي لكل فرضية بينها من حيث نوع الأدلة الداعمة الموصى بها: ترتبط حالات الاستبدال المحتملة لكل فرضية بأنواع مختلفة من الكائنات. ويتم التعبير عن حقيقة أن الفرضيتين تتضمنان أنواعًا مختلفة من إجراءات الاختبار في اللغة الرسمية عن طريق إضافة البادئة '*' إلى مسند مختلف. وبالتالي، تعمل البادئة الافتراضية كبادئة صلة أيضًا. وهي تُضاف إلى المسند '${\displaystyle x}$هو غراب في${\displaystyle H_{1}}$لأن الأشياء ذات الصلة بإجراء الاختبار المضمن في عبارة "كل الغربان سوداء" لا تشمل سوى الغربان؛ فهي مسبوقة بالمسند '${\displaystyle x}$غير أسود، في${\displaystyle H_{2}}$لأن الأشياء ذات الصلة بإجراء الاختبار المُضمّن في عبارة "كل الأشياء غير السوداء ليست غرابًا" لا تشمل إلا الأشياء غير السوداء. ... باستخدام مصطلحات فريجه : عندما تكون افتراضاتهما صحيحة، فإن الفرضيتين لهما نفس المرجع (قيمة الصدق)، ولكن بمعانٍ مختلفة ؛ أي أنهما تعبران عن طريقتين مختلفتين لتحديد قيمة الصدق تلك. ^{[ 37 ]}