محرك التفاعل

بالنسبة لجميع محركات التفاعل التي تحمل وقودًا داخليًا (مثل محركات الصواريخ ومحركات الدفع الكهربائية )، يجب أن تُستهلك بعض الطاقة في تسريع كتلة التفاعل. يهدر كل محرك بعض الطاقة، ولكن حتى بافتراض كفاءة بنسبة 100%، يحتاج المحرك إلى طاقة تُقدّر بـ

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}MV_{e}^{2}}$

(حيث M هي كتلة الوقود المستهلك و${\displaystyle V_{e}}$(سرعة العادم)، وهي ببساطة الطاقة اللازمة لتسريع العادم.

بمقارنة معادلة الصاروخ (التي توضح مقدار الطاقة التي تصل إلى المركبة النهائية) والمعادلة المذكورة أعلاه (التي توضح إجمالي الطاقة المطلوبة) يتضح أنه حتى مع كفاءة المحرك بنسبة 100٪ ، فمن المؤكد أن الطاقة التي يتم توفيرها لا تصل إلى المركبة - بل إن بعضها، بل في الغالب معظمها، ينتهي به الأمر كطاقة حركية للعادم.

إذا كانت الدفعة النوعية (${\displaystyle I_{sp}}$) ثابت، بالنسبة لمهمة دلتا-في، هناك قيمة محددة${\displaystyle I_{sp}}$يقلل ذلك من إجمالي الطاقة التي يستهلكها الصاروخ. ويؤدي هذا إلى سرعة عادم تبلغ حوالي ثلثي دلتا-في للمهمة (انظر الطاقة المحسوبة من معادلة الصاروخ ). أما المحركات ذات الدفع النوعي العالي والثابت، مثل محركات الدفع الأيوني، فلديها سرعات عادم قد تكون أعلى بكثير من هذه السرعة المثالية، وبالتالي تصبح محدودة بمصدر الطاقة وتعطي قوة دفع منخفضة للغاية. عندما يكون أداء المركبة محدودًا بالطاقة، كما هو الحال عند استخدام الطاقة الشمسية أو الطاقة النووية، ففي حالة وجود محرك كبير${\displaystyle v_{e}}$يتناسب التسارع الأقصى عكسيًا مع السرعة. وبالتالي، فإن الوقت اللازم للوصول إلى قيمة دلتا-في المطلوبة يتناسب مع السرعة.${\displaystyle v_{e}}$وبالتالي، لا ينبغي أن يكون الأخير كبيرًا جدًا.

من جهة أخرى، إذا أمكن تغيير سرعة العادم بحيث تكون في كل لحظة مساوية ومعاكسة لسرعة المركبة، فسيتم تحقيق الحد الأدنى المطلق لاستهلاك الطاقة. عندئذٍ، يتوقف العادم في الفضاء ^{[ ملاحظة 1 ]} ولا يمتلك طاقة حركية؛ وتكون كفاءة الدفع 100%، حيث تُنقل جميع الطاقة إلى المركبة (من حيث المبدأ، ستكون كفاءة هذا المحرك 100%، ولكن عمليًا ستكون هناك خسائر حرارية من داخل نظام الدفع وحرارة متبقية في العادم). مع ذلك، في معظم الحالات، يستهلك هذا كمية غير عملية من الوقود، ولكنه يبقى اعتبارًا نظريًا مفيدًا.

تستطيع بعض المحركات (مثل محرك VASIMR أو محرك البلازما عديم الأقطاب ) تغيير سرعة العادم بشكل ملحوظ. وهذا يُسهم في تقليل استهلاك الوقود وتحسين التسارع في مراحل مختلفة من الرحلة. مع ذلك، يبقى الأداء الأمثل من حيث الطاقة والتسارع هو ما يتحقق عندما تكون سرعة العادم قريبة من سرعة المركبة. عادةً ما تكون سرعات العادم في محركات الأيونات والبلازما المقترحة أعلى بكثير من السرعة المثالية (في حالة محرك VASIMR، تبلغ أدنى سرعة مُعلنة حوالي 15  كم/ث، مقارنةً بتغير السرعة (دلتا-في) اللازم للرحلة من مدار أرضي مرتفع إلى المريخ، والذي يبلغ حوالي 4  كم/ث ).

في مهمة فضائية، مثلاً عند الإطلاق من كوكب أو الهبوط عليه، يجب التغلب على تأثيرات الجاذبية الأرضية ومقاومة الغلاف الجوي باستخدام الوقود. ومن الشائع دمج تأثيرات هذه العوامل وغيرها لحساب قيمة دلتا-في الفعّالة للمهمة . فعلى سبيل المثال، تتطلب مهمة إطلاق إلى مدار أرضي منخفض  قيمة دلتا-في تتراوح بين 9.3 و10 كم/ث. وعادةً ما تُحسب هذه القيم حسابياً باستخدام الحاسوب.

تفقد جميع محركات التفاعل بعض الطاقة، ومعظمها على شكل حرارة.

تختلف كفاءة محركات التفاعل المختلفة ونسبة فقد الطاقة فيها. فعلى سبيل المثال، قد تصل كفاءة محركات الصواريخ في تسارع الوقود إلى 60-70%. أما الباقي فيُفقد على شكل حرارة وإشعاع حراري ، وخاصةً في العادم.

تكون محركات التفاعل أكثر كفاءة في استهلاك الطاقة عندما تُطلق كتلة التفاعل الخاصة بها أثناء سير المركبة بسرعة عالية.

وذلك لأن الطاقة الميكانيكية المفيدة المتولدة هي ببساطة القوة مضروبة في المسافة، وعندما تتولد قوة دفع أثناء تحرك المركبة، فإن:

${\displaystyle E=F\times d\;}$

حيث F هي القوة و d هي المسافة المقطوعة.

وبقسمة الناتج على مدة الحركة نحصل على:

${\displaystyle {\frac {E}{t}}=P={\frac {F\times d}{t}}=F\times v}$

لذلك:

${\displaystyle P=F\times v\;}$

حيث P هي القدرة المفيدة و v هي السرعة.

لذا، ينبغي أن تكون قيمة v أعلى ما يمكن، ولا يقوم المحرك الثابت بأي عمل مفيد. ^{[ ملاحظة 2 ]}

إن استنفاد كامل الوقود القابل للاستخدام في مركبة فضائية عبر محركاتها في خط مستقيم في الفضاء الحر سيؤدي إلى تغيير صافٍ في سرعة المركبة؛ ويُطلق على هذا الرقم اسم دلتا-في (${\displaystyle \Delta v}$).

إذا كانت سرعة العادم ثابتة، فإن الإجمالي${\displaystyle \Delta v}$يمكن حساب وزن المركبة باستخدام معادلة الصاروخ، حيث M هي كتلة الوقود، و P هي كتلة الحمولة (بما في ذلك هيكل الصاروخ)، و${\displaystyle v_{e}}$هي سرعة عادم الصاروخ . تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة تسيولكوفسكي للصواريخ .

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln \left({\frac {M+P}{P}}\right).}$

لأسباب تاريخية، كما نوقش أعلاه،${\displaystyle v_{e}}$تُكتب أحيانًا على النحو التالي:

${\displaystyle v_{e}=I_{\text{sp}}g_{0}}$

أين${\displaystyle I_{\text{sp}}}$هي الدفعة النوعية للصاروخ، وتقاس بالثواني، و${\displaystyle g_{0}}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية عند مستوى سطح البحر.

في مهمة تتطلب تغييرًا كبيرًا في السرعة (دلتا-في)، يجب أن تشكل كتلة رد الفعل الجزء الأكبر من كتلة المركبة الفضائية. ولأن الصاروخ يجب أن يحمل كامل كتلة رد الفعل، فإن معظم كتلة رد الفعل المستهلكة في البداية تُستخدم لتسريع كتلة رد الفعل بدلًا من الحمولة. إذا كانت حمولة الصاروخ P ، فإن المركبة الفضائية تحتاج إلى تغيير سرعتها بمقدار${\displaystyle \Delta v}$وإذا كانت سرعة عادم محرك الصاروخ هي v _e ، فيمكن حساب كتلة التفاعل M المطلوبة باستخدام معادلة الصاروخ وصيغة${\displaystyle I_{\text{sp}}}$:

${\displaystyle M=P\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{e}}}-1\right).}$

ل${\displaystyle \Delta v}$إذا كانت قيمة v_e أصغر بكثير من v_{_e} ، فإن هذه المعادلة خطية تقريبًا ، ولا يلزم سوى كتلة تفاعل قليلة.${\displaystyle \Delta v}$إذا كانت السرعة مماثلة لـ v _e ، فعندئذٍ يلزم وجود ضعف كمية الوقود تقريبًا مقارنةً بالحمولة والهيكل مجتمعين (بما في ذلك المحركات وخزانات الوقود وما إلى ذلك). بعد ذلك، يكون النمو أُسّيًا؛ فالسرعات الأعلى بكثير من سرعة العادم تتطلب نسبًا عالية جدًا من كتلة الوقود إلى كتلة الحمولة والهيكل.

في مهمة فضائية، مثلاً عند الإطلاق من كوكب أو الهبوط عليه، يجب التغلب على تأثيرات الجاذبية الأرضية ومقاومة الغلاف الجوي باستخدام الوقود. ومن الشائع دمج تأثيرات هذه العوامل وغيرها لحساب قيمة دلتا-في الفعّالة للمهمة . فعلى سبيل المثال، تتطلب مهمة إطلاق إلى مدار أرضي منخفض  قيمة دلتا-في تتراوح بين 9.3 و10 كم/ث. وعادةً ما تُحسب هذه القيم حسابياً باستخدام الحاسوب.

بعض التأثيرات مثل تأثير أوبيرث لا يمكن الاستفادة منها بشكل كبير إلا بواسطة محركات الدفع العالي مثل الصواريخ؛ أي المحركات التي يمكنها إنتاج قوة جاذبية عالية (الدفع لكل وحدة كتلة، يساوي دلتا-في لكل وحدة زمنية).

في الحالة المثالية${\displaystyle m_{1}}$حمولة مفيدة و${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$كتلة التفاعل (وهذا يتوافق مع الخزانات الفارغة التي ليس لها كتلة، وما إلى ذلك). يمكن حساب الطاقة المطلوبة ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1})v_{\text{e}}^{2}}$

يتوافق هذا مع الطاقة الحركية التي تمتلكها كتلة التفاعل المنبعثة عند سرعة تساوي سرعة العادم. إذا كان لا بد من تسريع كتلة التفاعل من سرعة صفرية إلى سرعة العادم، فإن كل الطاقة المُنتجة ستذهب إلى كتلة التفاعل ولن يتبقى شيء لاكتساب طاقة حركية بواسطة الصاروخ والحمولة. مع ذلك، إذا كان الصاروخ يتحرك بالفعل ويتسارع (أي أن كتلة التفاعل تُنبعث في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة الصاروخ)، فإن الطاقة الحركية المضافة إلى كتلة التفاعل ستكون أقل. لتوضيح ذلك، إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle v_{e}}$إذا كانت سرعة الصاروخ 10  كم/ث وسرعته 3  كم/ث، فإن سرعة كتلة التفاعل المستهلكة تتغير من 3  كم/ث للأمام إلى 7  كم/ث للخلف. وبالتالي، على الرغم من أن الطاقة المطلوبة هي 50 ميجا جول لكل كيلوغرام من كتلة التفاعل، إلا أن 20 ميجا جول فقط تُستخدم لزيادة سرعة كتلة التفاعل. أما الـ 30 ميجا جول المتبقية فهي زيادة في الطاقة الحركية للصاروخ والحمولة.

على العموم:

${\displaystyle d\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)=vdv=vv_{\text{e}}{\frac {dm}{m}}={\frac {1}{2}}\left[v_{\text{e}}^{2}-\left(v-v_{\text{e}}\right)^{2}+v^{2}\right]{\frac {dm}{m}}}$

وبالتالي، فإن الطاقة المكتسبة النوعية للصاروخ في أي فترة زمنية قصيرة هي الطاقة المكتسبة للصاروخ، بما في ذلك الوقود المتبقي، مقسومة على كتلته، حيث تساوي الطاقة المكتسبة الطاقة الناتجة عن الوقود مطروحًا منها الطاقة المكتسبة من كتلة التفاعل. كلما زادت سرعة الصاروخ، قلت الطاقة المكتسبة من كتلة التفاعل؛ وإذا كانت سرعة الصاروخ أكبر من نصف سرعة العادم، فإن كتلة التفاعل تفقد بعض الطاقة عند خروجها، مما يُفيد الطاقة المكتسبة للصاروخ؛ وكلما زادت سرعة الصاروخ، زاد فقد الطاقة من كتلة التفاعل.

لدينا

${\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)}$

أين${\displaystyle \epsilon }$هي الطاقة النوعية للصاروخ (طاقة الوضع بالإضافة إلى الطاقة الحركية) و${\displaystyle \Delta v}$هو متغير منفصل، وليس مجرد التغيير في${\displaystyle v}$في حالة استخدام الصاروخ للتباطؤ؛ أي طرد كتلة رد الفعل في اتجاه السرعة،${\displaystyle v}$ينبغي اعتبارها سلبية.

الصيغة مخصصة للحالة المثالية مرة أخرى، بدون فقدان الطاقة على شكل حرارة، وما إلى ذلك. وهذا الأخير يتسبب في انخفاض قوة الدفع، لذا فهو عيب حتى عندما يكون الهدف هو فقدان الطاقة (التباطؤ).

إذا تم إنتاج الطاقة بواسطة الكتلة نفسها، كما هو الحال في الصاروخ الكيميائي، فإن قيمة الوقود يجب أن تكون${\displaystyle \scriptstyle {v_{\text{e}}^{2}/2}}$حيث يجب مراعاة كتلة المؤكسد أيضاً عند حساب قيمة الوقود. القيمة النموذجية هي${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 4.5  كم/ث، ما يعادل قيمة وقود تبلغ 10.1  ميجا جول/كجم. القيمة الفعلية للوقود أعلى من ذلك، ولكن جزءًا كبيرًا من الطاقة يُفقد على شكل حرارة مهدرة في العادم لم تتمكن الفوهة من استخلاصها.

الطاقة المطلوبة${\displaystyle E}$يكون

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m_{1}\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{\text{e}}}}-1\right)v_{\text{e}}^{2}}$

الاستنتاجات:

• ل${\displaystyle \Delta v\ll v_{e}}$لدينا${\displaystyle E\approx {\frac {1}{2}}m_{1}v_{\text{e}}\Delta v}$
• بالنسبة لـ${\displaystyle \Delta v}$، الحد الأدنى من الطاقة مطلوب إذا${\displaystyle v_{\text{e}}=0.6275\Delta v}$، مما يتطلب طاقة من

${\displaystyle E=0.772m_{1}(\Delta v)^{2}}$.

في حالة التسارع في اتجاه ثابت، وبدءًا من سرعة صفرية، وفي غياب أي قوى أخرى، فإن هذه الطاقة تزيد بنسبة 54.4% عن الطاقة الحركية النهائية للحمولة. في هذه الحالة المثلى، تكون الكتلة الابتدائية 4.92 ضعف الكتلة النهائية.

تنطبق هذه النتائج على سرعة عادم ثابتة.

بسبب تأثير أوبرث، وانطلاقًا من سرعة غير صفرية، قد تكون طاقة الوضع المطلوبة من الوقود أقل من الزيادة في طاقة المركبة والحمولة. يحدث هذا عندما تكون سرعة كتلة التفاعل أقل بعد انطلاقها مما كانت عليه قبل الانطلاق، حيث تستطيع الصواريخ تحرير جزء من الطاقة الحركية الابتدائية للوقود أو كلها.

كذلك، بالنسبة لهدف معين مثل الانتقال من مدار إلى آخر، فإن المطلوب${\displaystyle \Delta v}$قد يعتمد ذلك بشكل كبير على معدل إنتاج المحرك${\displaystyle \Delta v}$بل وقد تصبح المناورات مستحيلة إذا كان هذا المعدل منخفضًا للغاية. على سبيل المثال، يتطلب الإطلاق إلى مدار أرضي منخفض (LEO) عادةً${\displaystyle \Delta v}$تبلغ سرعته حوالي 9.5  كم/ث (وذلك في الغالب من أجل السرعة المطلوبة)، ولكن إذا كان بإمكان المحرك إنتاج${\displaystyle \Delta v}$وبمعدل يزيد قليلاً عن g ، سيكون إطلاقاً بطيئاً يتطلب حجماً هائلاً.${\displaystyle \Delta v}$(تخيل التحليق دون إحراز أي تقدم في السرعة أو الارتفاع، سيكلف ذلك الكثير)${\displaystyle \Delta v}$(بمعدل 9.8  م/ث في الثانية). إذا كان المعدل المحتمل هو فقط${\displaystyle g}$أو أقل من ذلك، لا يمكن تنفيذ المناورة على الإطلاق باستخدام هذا المحرك.

تُمنح القوة بواسطة

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}mav_{\text{e}}={\frac {1}{2}}Fv_{\text{e}}}$

أين${\displaystyle F}$هو الدافع و${\displaystyle a}$التسارع الناتج عنه. وبالتالي، فإن قوة الدفع الممكنة نظريًا لكل وحدة قدرة تساوي 2 مقسومة على الدفع النوعي بوحدة متر/ثانية. كفاءة الدفع هي قوة الدفع الفعلية كنسبة مئوية من هذه القيمة.

على سبيل المثال، إذا تم استخدام الطاقة الشمسية ، فإن هذا يقيد${\displaystyle a}$؛ في حالة وجود حجم كبير${\displaystyle v_{\text{e}}}$التسارع المحتمل يتناسب عكسيًا معه، وبالتالي فإن الوقت اللازم للوصول إلى دلتا-في المطلوبة يتناسب مع${\displaystyle v_{\text{e}}}$بكفاءة 100%:

• ل${\displaystyle \Delta v\ll v_{\text{e}}}$لدينا${\displaystyle t\approx {\frac {mv_{\text{e}}\Delta v}{2P}}}$

أمثلة:

• القدرة: 1000  واط؛ الكتلة: 100  كجم؛${\displaystyle \Delta v}$= 5  كم/ث،${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 16  كم/ث، يستغرق الأمر 1.5 شهر.
• القدرة: 1000  واط؛ الكتلة: 100  كجم؛${\displaystyle \Delta v}$= 5  كم/ث،${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 50  كم/ث، يستغرق الأمر 5 أشهر.

هكذا${\displaystyle v_{\text{e}}}$يجب ألا يكون كبيراً جداً.

نسبة القدرة إلى الدفع هي ببساطة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {P}{F}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\dot {m}}v^{2}}}{{\dot {m}}v}}={\frac {1}{2}}v}$

وبالتالي، بالنسبة لأي قدرة مركبة P، فإن قوة الدفع التي يمكن توفيرها هي:

${\displaystyle F={\frac {P}{{\frac {1}{2}}v}}={\frac {2P}{v}}}$

لنفترض أنه سيتم إرسال مسبار فضائي يزن 10000  كيلوغرام إلى المريخ. المطلوب${\displaystyle \Delta v}$تبلغ السرعة من مدار أرضي منخفض حوالي 3000  متر/ثانية، باستخدام مدار هوهمان الانتقالي . ولنفترض جدلاً أن المحركات التالية هي الخيارات المتاحة للاستخدام:

لاحظ أن المحركات الأكثر كفاءة في استهلاك الوقود تستهلك كمية أقل بكثير من الوقود؛ فكتلتها تكاد تكون معدومة (مقارنة بكتلة الحمولة والمحرك نفسه) في بعض المحركات. مع ذلك، تتطلب هذه المحركات كمية كبيرة من الطاقة. لإطلاق صاروخ أرضي، تحتاج المحركات إلى نسبة دفع إلى وزن تزيد عن واحد. ولتحقيق ذلك باستخدام محركات الأيونات أو المحركات الكهربائية النظرية، يجب تزويد المحرك بطاقة تتراوح بين واحد إلى عدة جيجاوات، أي ما يعادل محطة توليد كهرباء رئيسية في مدينة كبرى . ويتضح من الجدول أن هذا الأمر غير عملي بتاتًا مع مصادر الطاقة الحالية.

تشمل الأساليب البديلة بعض أشكال الدفع بالليزر ، حيث لا توفر كتلة التفاعل الطاقة اللازمة لتسريعها، بل تُستمد الطاقة من ليزر خارجي أو نظام دفع آخر يعمل بشعاع الليزر . وقد حلقت نماذج مصغرة لبعض هذه المفاهيم، على الرغم من أن المشكلات الهندسية معقدة، وأنظمة الطاقة الأرضية لا تزال غير محلولة.

بدلاً من ذلك، قد يُستخدم مولد أصغر حجماً وأقل قوة، مما يستغرق وقتاً أطول بكثير لتوليد الطاقة اللازمة. هذه الطاقة المنخفضة كافية فقط لتسريع كمية ضئيلة من الوقود في الثانية، ولن تكون كافية للإطلاق من الأرض. مع ذلك، على مدى فترات طويلة في المدار حيث ينعدم الاحتكاك، سيتم الوصول إلى السرعة المطلوبة في النهاية. على سبيل المثال، استغرق صاروخ SMART-1 أكثر من عام للوصول إلى القمر، بينما يستغرق الأمر بضعة أيام فقط باستخدام صاروخ كيميائي. ولأن محرك الأيونات يحتاج إلى وقود أقل بكثير، فإن الكتلة الإجمالية المُطلقة عادةً ما تكون أقل، مما يؤدي عادةً إلى انخفاض التكلفة الإجمالية، لكن الرحلة تستغرق وقتاً أطول.

لذلك، غالبًا ما تتضمن عملية تخطيط المهمة تعديل واختيار نظام الدفع لتقليل التكلفة الإجمالية للمشروع، ويمكن أن تتضمن المفاضلة بين تكاليف الإطلاق ومدة المهمة مقابل نسبة الحمولة .