نقطة مفردة منتظمة

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، في نظرية المعادلات التفاضلية العادية في المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }، نقاطج{\displaystyle \mathbb {C} }تُصنَّف النقاط إلى نقاط عادية ، حيث تكون معاملات المعادلة دوالًا تحليلية ، ونقاط شاذة ، حيث يكون لأحد المعاملات شذوذ . ومن بين النقاط الشاذة، يُفرَّق بين نقطة شاذة منتظمة ، حيث يكون نمو الحلول محدودًا (في أي قطاع صغير) بدالة جبرية ، ونقطة شاذة غير منتظمة ، حيث تتطلب مجموعة الحلول الكاملة دوالًا ذات معدلات نمو أعلى. يظهر هذا التمييز، على سبيل المثال، بين معادلة فرط هندسية ، بثلاث نقاط شاذة منتظمة، ومعادلة بيسل التي تُعدّ حالة حدية ، ولكن تختلف خصائصها التحليلية اختلافًا جوهريًا.

التعريفات الرسمية

وبشكل أدق، لنفترض معادلة تفاضلية خطية عادية من الرتبة nو(ن)(z)+∑أنا=0ن-1صأنا(z)و(أنا)(z)=0{\displaystyle f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0} مع دوال ميرومورفية من النوع p i ( z ) .

ينبغي دراسة المعادلة على كرة ريمان لتضمين النقطة عند اللانهاية كنقطة شاذة محتملة. ويمكن تطبيق تحويل موبيوس لنقل اللانهاية إلى الجزء المحدود من المستوى المركب إذا لزم الأمر، انظر المثال الخاص بمعادلة بيسل التفاضلية أدناه.

بعد ذلك، يمكن تطبيق طريقة فروبينيوس القائمة على المعادلة الدليلية لإيجاد حلول ممكنة على شكل متسلسلة قوى مضروبة في قوى عقدية ( z - a ) r بالقرب من أي نقطة a معطاة في المستوى العقدي، حيث لا يشترط أن يكون r عددًا صحيحًا؛ وبالتالي، قد توجد هذه الدالة فقط بفضل قطع فرعي يمتد من a ، أو على سطح ريمان لقرص مثقوب حول a . لا يمثل هذا أي صعوبة بالنسبة لنقطة عادية ( لازاروس فوكس 1866). عندما تكون a نقطة شاذة منتظمة ، وهو ما يعني بحكم التعريف أن صن-أنا(z){\displaystyle p_{ni}(z)}إذا كان للمعادلة قطب من الرتبة على الأكثر i عند النقطة a ، فيمكن أيضًا جعل طريقة فروبينيوس تعمل وتوفر n حلولًا مستقلة بالقرب من a .

وإلا فإن النقطة أ تُعتبر نقطة شاذة غير منتظمة . في هذه الحالة، يكون لمجموعة المونودرومي التي تربط الحلول بالاستمرار التحليلي دور أقل أهمية بشكل عام، وتصبح دراسة الحلول أصعب، باستثناء ما يتعلق بتوسعاتها التقاربية. يُقاس عدم انتظام النقطة الشاذة غير المنتظمة برتبة بوانكاريه . [ 1 ]

إن شرط الانتظام هو نوع من شرط مضلع نيوتن ، بمعنى أن الأقطاب المسموح بها تقع في منطقة، عند رسمها مقابل i ، محددة بخط بزاوية 45 درجة بالنسبة للمحاور.

تُسمى المعادلة التفاضلية العادية التي تكون نقاطها الشاذة الوحيدة، بما في ذلك النقطة عند اللانهاية، نقاطًا شاذة منتظمة، معادلة فوكسية .معادلة تفاضلية عادية.

أمثلة على المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

في هذه الحالة، تُختزل المعادلة أعلاه إلى: و"(x)+ص1(x)و′(x)+ص0(x)و(x)=0.{\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}

يمكن التمييز بين الحالات التالية:

  • النقطة a هي نقطة عادية عندما تكون الدالتان p 1 ( x ) و p 0 ( x ) تحليليتين عند x = a .
  • تعتبر النقطة a نقطة مفردة منتظمة إذا كان لـ p 1 ( x ) قطب حتى الرتبة 1 عند x = a وكان لـ p 0 قطب من الرتبة حتى 2 عند x = a .
  • وإلا فإن النقطة أ هي نقطة شاذة غير منتظمة .

يمكننا التحقق مما إذا كانت هناك نقطة شاذة غير منتظمة عند اللانهاية باستخدام الاستبدالw=1/x{\displaystyle w=1/x}والعلاقات: دودx=-w2دودw{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}}د2ودx2=w4د2ودw2+2w3دودw{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}

وبالتالي يمكننا تحويل المعادلة إلى معادلة بدلالة w ، والتحقق مما يحدث عند w = 0. إذاص1(x){\displaystyle p_{1}(x)}وص2(x){\displaystyle p_{2}(x)}إذا كانت الدوال خارج قسمة كثيرات حدود، فستكون هناك نقطة شاذة غير منتظمة عند x اللانهائية ما لم تكن كثيرة الحدود في مقامص1(x){\displaystyle p_{1}(x)}هي من درجة تزيد بواحدة على الأقل عن درجة بسطها ومقامهاص2(x){\displaystyle p_{2}(x)}يكون من درجة تزيد بمقدار اثنين على الأقل عن درجة بسطه.

فيما يلي عدة أمثلة من المعادلات التفاضلية العادية من الفيزياء الرياضية التي لها نقاط شاذة وحلول معروفة.

معادلة بيسل التفاضلية

هذه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية. وهي موجودة في حل معادلة لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية : x2د2ودx2+xدودx+(x2-α2)و=0{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0} لأي عدد حقيقي أو مركب α ( رتبة دالة بيسل ). الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وأهمية هي عندما يكون α عددًا صحيحًا n .

بقسمة هذه المعادلة على x² نحصل على : د2ودx2+1xدودx+(1-α2x2)و=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}

في هذه الحالة ، يكون للمعادلة p₁ ( x ) = 1/ x قطب من الرتبة الأولى عند x = 0. وعندما α ≠ 0 ، يكون للمعادلة p₀ ( x ) = (1 − α² / x² ) قطب من الرتبة الثانية عند x = 0. وبالتالي ، فإن لهذه المعادلة نقطة تفرد منتظمة عند 0.

لمعرفة ما يحدث عندما x → ∞، يجب استخدام تحويل موبيوس ، على سبيل المثالx=1/w{\displaystyle x=1/w}بعد إجراء العمليات الجبرية: د2ودw2+1wدودw+[1w4-α2w2]و=0{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}

الآن فيw=0{\displaystyle w=0}،ص1(w)=1w{\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}} له قطب من الدرجة الأولى، لكن ص0(w)=1w4-α2w2{\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}} - {\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}} يحتوي على قطب من الرتبة الرابعة. وبالتالي، فإن هذه المعادلة لها نقطة تفرد غير منتظمة عندw=0{\displaystyle w=0}المقابل لـ x عند ∞.

معادلة ليجندر التفاضلية

هذه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية. وهي موجودة في حل معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية : ددx[(1-x2)ددxو]+ℓ(ℓ+1)و=0.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}

فتح القوس المربع يعطي: (1-x2)د2ودx2-2xدودx+ℓ(ℓ+1)و=0.{\displaystyle \left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.}

والقسمة على (1 − x 2 ) : د2ودx2-2x1-x2دودx+ℓ(ℓ+1)1-x2و=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.}

تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على نقاط مفردة منتظمة عند ±1 و ∞.

معادلة هيرميت التفاضلية

يُصادف المرء هذه المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية عند حل معادلة شرودنغر أحادية البعد غير المعتمدة على الزمنهـψ=-ℏ22مد2ψدx2+V(x)ψ{\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi } بالنسبة للمذبذب التوافقي . في هذه الحالة، تكون طاقة الوضع V ( x ) هي: V(x)=12مω2x2.{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}

وهذا يؤدي إلى المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية التالية: د2ودx2-2xدودx+λو=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}

تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على نقطة تفرد غير منتظمة عند ∞. حلولها هي كثيرات حدود هيرميت .

معادلة فرط هندسية

يمكن تعريف المعادلة على النحو التالي: z(1-z)د2ودz2+[ج-(أ+ب+1)z]دودz-أبو=0.{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}

بقسمة كلا الطرفين على z (1 − z ) نحصل على: د2ودz2+ج-(أ+ب+1)zz(1-z)دودz-أبz(1-z)و=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}

تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على نقاط شاذة منتظمة عند 0 و 1 و ∞. أحد الحلول هو الدالة فوق الهندسية .

مراجع

  1. ↑ أرسكوت، إف إم (1995). "معادلة هيون". في رونفو، أ. (محرر). المعادلات التفاضلية لهيون . مطبعة جامعة أكسفورد. ص  74. ISBN 0198596952.