الجذر التربيعي المتوسط

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات القيم (يُختصر بـ RMS أو rms أو rms ) لمجموعة من القيم هو الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات تلك المجموعة . [ 1 ] بفرض مجموعةxأنا{\displaystyle x_{i}}، ويُشار إلى جذر متوسط ​​مربعاته إما بـxRمS{\displaystyle x_{\mathrm {RMS} }}أوRمSx{\displaystyle \mathrm {RMS} _{x}}يُعرف الجذر التربيعي المتوسط ​​أيضًا باسم المتوسط ​​التربيعي (يرمز له بـم2{\displaystyle M_{2}}[ 2 ] [ 3 ] حالة خاصة من المتوسط ​​المعمم . يُرمز إلى الجذر التربيعي المتوسط ​​لدالة متصلة بـوRمS{\displaystyle f_{\mathrm {RMS} }}ويمكن تعريفها بدلالة تكامل مربع الدالة. في نظرية التقدير ، يقيس الانحراف التربيعي المتوسط ​​للجذر للمُقدِّر مدى ابتعاده عن البيانات.

تعريف

قيمة RMS لمجموعة من القيم (أو شكل موجة زمنية مستمرة ) هي الجذر التربيعي للمتوسط ​​الحسابي لمربعات القيم، أو مربع الدالة التي تحدد شكل الموجة المستمرة.

في حالة مجموعة من n قيمة{x1،x2،...،xن}{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}، نظام إدارة المخاطر هو

xنظام إدارة الموارد=1ن(x12+x22+⋯+xن2).{\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.}

الصيغة المقابلة للدالة المتصلة (أو شكل الموجة) f ( t ) المعرفة على الفترةتي1≤ت≤تي2{\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}يكون

ونظام إدارة الموارد=1تي2-تي1∫تي1تي2[و(ت)]2دت،{\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},}

وقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​لدالة ما على مدار الزمن الكلي هي

ونظام إدارة الموارد=ليمتي→∞12تي∫-تيتي[و(ت)]2دت.{\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.}

القيمة الفعّالة (RMS) لدالة دورية على مدار الزمن تساوي القيمة الفعّالة لدورة واحدة من تلك الدالة. ويمكن تقريب القيمة الفعّالة لدالة أو إشارة متصلة بأخذ القيمة الفعّالة لعينة تتكون من قياسات متساوية التباعد. إضافةً إلى ذلك، يمكن تحديد القيمة الفعّالة لأشكال موجية مختلفة دون استخدام حساب التفاضل والتكامل ، كما أوضح كارترايت. [ 4 ]

في حالة إحصائية RMS لعملية عشوائية ، يتم استخدام القيمة المتوقعة بدلاً من المتوسط.

في أشكال الموجات الشائعة

موجات جيبية ، ومربعة ، ومثلثة ، ومنشارية . في كل منها، يكون الخط المركزي عند الصفر، والقمة الموجبة عندy=أ1{\displaystyle y=A_{1}}وتقع الذروة السالبة عندy=-أ1{\displaystyle y=-A_{1}}
موجة نبضية مستطيلة ذات دورة تشغيل D، وهي النسبة بين مدة النبضة (τ{\displaystyle \tau }) والفترة (T)؛ موضح هنا مع a = 1.
رسم بياني لجهد الموجة الجيبية مقابل الزمن (بالدرجات)، يوضح جهد RMS، والجهد الذروي (PK)، والجهد من الذروة إلى الذروة (PP).

إذا كانت الموجة جيبية نقية ، فإن العلاقة بين السعات (من الذروة إلى الذروة، والذروة) وقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) تكون ثابتة ومعروفة، كما هو الحال في أي موجة دورية مستمرة . مع ذلك، لا ينطبق هذا على الموجات العشوائية، التي قد لا تكون دورية أو مستمرة. بالنسبة للموجة الجيبية ذات المتوسط ​​الصفري، تكون العلاقة بين قيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​وسعة الذروة إلى الذروة كما يلي:

من الذروة إلى الذروة=22×نظام إدارة الموارد≈2.8×نظام إدارة الموارد.{\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}

بالنسبة للأشكال الموجية الأخرى، لا تكون العلاقات مماثلة لتلك الخاصة بالموجات الجيبية. على سبيل المثال، بالنسبة للموجة المثلثية أو الموجة المنشارية:

من الذروة إلى الذروة=23×نظام إدارة الموارد≈3.5×نظام إدارة الموارد.{\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}
شكل الموجةالمتغيرات والمعاملاتنظام إدارة الموارد
العاصمة واشنطنy=أ0{\displaystyle y=A_{0}\,}أ0{\displaystyle A_{0}\,}
موجة جيبيةy=أ1الخطيئة⁡(2πوت){\displaystyle y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,}أ12{\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}
الموجة المربعةy={أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<0.5-أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)>0.5{\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}}أ1{\displaystyle A_{1}\,}
موجة مربعة مُزاحة بالتيار المستمرy=أ0+{أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<0.5-أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)>0.5{\displaystyle y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}}أ02+أ12{\displaystyle {\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,}
موجة جيبية معدلة (من بعض محولات التيار الكهربائي)y={0التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<0.25أ10.25<التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<0.500.5<التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<0.75-أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)>0.75{\displaystyle y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}}أ12{\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}
الموجة المثلثيةy=|2أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)-أ1|{\displaystyle y=\left|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right|}أ13{\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}
موجة سن المنشارy=2أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)-أ1{\displaystyle y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,}أ13{\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}
موجة نبضيةy={أ1التكسير الهيدروليكي⁡(وت)<د0التكسير الهيدروليكي⁡(وت)>د{\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}}أ1د{\displaystyle A_{1}{\sqrt {D}}}
موجة جيبية طورًا بطورy=أ1الخطيئة⁡(ت)-أ1الخطيئة⁡(ت-2π3){\displaystyle y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}أ132{\displaystyle A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}}
أين:
  • يمثل y الإزاحة،
  • لقد حان الوقت،
  • f هو التردد،
  • A i هي السعة (القيمة القصوى)،
  • يمثل D دورة التشغيل أو نسبة الفترة الزمنية (1/ f ) التي يتم قضاؤها في حالة التشغيل العالي،
  • frac( r ) هو الجزء الكسري من r .

في تركيبات الموجات

تكون قيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) للأشكال الموجية الناتجة عن جمع أشكال موجية بسيطة معروفة هي جذر مجموع مربعات قيم الجذر التربيعي المتوسط ​​للمكونات، إذا كانت الأشكال الموجية المكونة متعامدة (أي إذا كان متوسط ​​حاصل ضرب شكل موجي بسيط في آخر يساوي صفرًا لجميع الأزواج باستثناء ضرب شكل موجي في نفسه). [ 5 ]

نظام إدارة المواردالمجموع=نظام إدارة الموارد12+نظام إدارة الموارد22+⋯+نظام إدارة المواردن2{\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}

بدلاً من ذلك، بالنسبة للأشكال الموجية المرتبطة ارتباطًا إيجابيًا تمامًا، أو "متوافقة في الطور" مع بعضها البعض، فإن قيم RMS الخاصة بها تتجمع بشكل مباشر.

الاستخدامات

في الهندسة الكهربائية

حاضِر

القيمة الفعالة للتيار الكهربائي المتردد تساوي قيمة التيار المستمر الثابت الذي يبدد نفس القدرة في حمل مقاوم . [ 1 ]

الجهد االكهربى

الحالة الخاصة لـ RMS لمجموعات الموجات هي: [ 6 ]

نظام إدارة المواردAC+DC=Vالعاصمة واشنطن2+نظام إدارة المواردمكيف هواء2{\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}

أينVالعاصمة واشنطن{\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}}يشير إلى مكون التيار المستمر (أو المتوسط) للإشارة، ونظام إدارة المواردمكيف هواء{\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}هو مكون التيار المتردد للإشارة.

متوسط ​​الطاقة الكهربائية

يحتاج مهندسو الكهرباء غالبًا إلى معرفة القدرة ( P ) المستهلكة في مقاومة كهربائية ( R) . يسهل إجراء الحساب عند مرور تيار ثابت ( I ) عبر المقاومة. بالنسبة لحمل مقداره R أوم، تُعطى القدرة بالعلاقة التالية:

P=أنا2R.{\displaystyle P=I^{2}R.}

مع ذلك، إذا كان التيار دالة متغيرة مع الزمن، I ( t )، فيجب توسيع هذه الصيغة لتعكس حقيقة أن التيار (وبالتالي القدرة اللحظية) يتغير مع الزمن. أما إذا كانت الدالة دورية (مثل التيار المتردد المنزلي)، فمن المفيد مناقشة متوسط ​​القدرة المبددة مع الزمن، والذي يُحسب بأخذ متوسط ​​تبديد القدرة.

Pالمتوسط=(أنا(ت)2R)المتوسطأين (⋯)المتوسط يشير إلى المتوسط ​​الزمني لدالة=(أنا(ت)2)المتوسطR(مثل R (لا يتغير بمرور الوقت، ويمكن استبعاده كعامل مساعد)=أنانظام إدارة الموارد2Rبحسب تعريف الجذر التربيعي المتوسط{\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{where }}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}

لذا فإن قيمة RMS، I RMS ، للدالة I ( t ) هي التيار الثابت الذي ينتج عنه نفس تبديد الطاقة مثل متوسط ​​تبديد الطاقة للتيار I ( t ).

يمكن أيضًا إيجاد متوسط ​​القدرة باستخدام نفس الطريقة المستخدمة في حالة الجهد المتغير مع الزمن ، V ( t )، بقيمة RMS تساوي V RMS .

Pالمتوسط=Vنظام إدارة الموارد2R.{\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}

يمكن استخدام هذه المعادلة لأي شكل موجي دوري ، مثل الموجة الجيبية أو الموجة المنشارية ، مما يسمح لنا بحساب متوسط ​​الطاقة التي يتم توصيلها إلى حمل محدد.

بأخذ الجذر التربيعي لكلتا المعادلتين وضربهما معًا، نجد أن الأس يساوي:

Pالمتوسط=Vنظام إدارة المواردأنانظام إدارة الموارد.{\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}

يعتمد كلا الاشتقاقين على تناسب الجهد والتيار (أي أن الحمل، R ، مقاومي بحت). أما الأحمال التفاعلية (أي الأحمال القادرة ليس فقط على تبديد الطاقة بل أيضاً على تخزينها) فتُناقش ضمن موضوع طاقة التيار المتردد .

في الحالة الشائعة للتيار المتردد عندما يكون I ( t ) تيارًا جيبيًا ، كما هو الحال تقريبًا مع التيار الكهربائي الرئيسي، يسهل حساب قيمة RMS من معادلة الحالة المستمرة المذكورة أعلاه. إذا عُرّف Ip بأنه ذروة التيار، فإن :

أنانظام إدارة الموارد=1تي2-تي1∫تي1تي2[أناصالخطيئة⁡(ωت)]2دت،{\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}

حيث t هو الزمن و ω هو التردد الزاوي ( ω  =  2 π / T ، حيث T هو دورة الموجة).

بما أن I p ثابت موجب وكان من المفترض تربيعه داخل التكامل:

أنانظام إدارة الموارد=أناص1تي2-تي1∫تي1تي2الخطيئة2⁡(ωت)دت.{\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}

استخدام متطابقة مثلثية للتخلص من تربيع الدالة المثلثية:

أنانظام إدارة الموارد=أناص1تي2-تي1∫تي1تي21-كوس⁡(2ωت)2دت=أناص1تي2-تي1[ت2-الخطيئة⁡(2ωت)4ω]تي1تي2{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}

ولكن بما أن الفترة الزمنية هي عدد صحيح من الدورات الكاملة (حسب تعريف RMS)، فإن حدود الجيب ستلغي بعضها بعضًا، ويتبقى:

أنانظام إدارة الموارد=أناص1تي2-تي1[ت2]تي1تي2=أناص1تي2-تي1تي2-تي12=أناص2.{\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}

ويؤدي تحليل مماثل إلى معادلة مماثلة للجهد الجيبي:

Vنظام إدارة الموارد=Vص2،{\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}

حيث يمثل I P ذروة التيار ويمثل V P ذروة الجهد.

نظرًا لأهميتها في حسابات الطاقة، تُذكر الفولتية المُدرجة لمنافذ الطاقة (على سبيل المثال، 120  فولت في الولايات المتحدة، أو 230  فولت في أوروبا) عادةً بقيم RMS، وليس بقيم الذروة. يمكن حساب قيم الذروة من قيم RMS باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، والتي تعني أن V <sub>P</sub>  = V<sub> RMS </sub> × √2 ، بافتراض أن المصدر عبارة عن موجة جيبية نقية. وبالتالي، فإن قيمة الذروة لفولتية الشبكة في الولايات المتحدة تبلغ حوالي 120 × √2 ، أو حوالي 170 فولت. أما فرق الجهد بين الذروتين، وهو ضعف هذه القيمة، فيبلغ حوالي 340 فولت. وتشير حسابات مماثلة إلى أن ذروة فولتية الشبكة في أوروبا تبلغ حوالي 325 فولت، وفرق الجهد بين الذروتين حوالي 650 فولت.     

عادةً ما تُحسب القيم الفعّالة، مثل التيار الكهربائي، خلال دورة واحدة. مع ذلك، يتطلب حساب فقد الطاقة في النقل، في بعض الحالات، حساب القيمة الفعّالة للتيار على مدى فترة أطول. وينطبق المبدأ نفسه، فعلى سبيل المثال، يُمثل تيار مقداره 10 أمبيرات، يُستخدم لمدة 12 ساعة يوميًا (24 ساعة)، تيارًا متوسطًا قدره 5 أمبيرات، ولكنه يُمثل قيمة فعّالة قدرها 7.07 أمبيرات على المدى الطويل.

يُستخدم مصطلح "القدرة الفعّالة" أحيانًا بشكل خاطئ (كما هو الحال في صناعة الصوت) كمرادف للقدرة المتوسطة أو القدرة المتوسطة (وهي تتناسب طرديًا مع مربع الجهد الفعّال أو التيار الفعّال في حمل مقاوم). للاطلاع على مناقشة حول قياسات القدرة الصوتية وعيوبها، انظر: القدرة الصوتية .

سرعة

في فيزياء جزيئات الغاز ، تُعرَّف سرعة الجذر التربيعي المتوسط ​​بأنها الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربع السرعة. تُحسب سرعة الجذر التربيعي المتوسط ​​لغاز مثالي باستخدام المعادلة التالية:

vنظام إدارة الموارد=3Rتيم{\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}}

حيث يُمثل R ثابت الغازات ، وقيمته 8.314  جول/(مول·كلفن)، وT درجة حرارة الغاز بالكلفن ، و M الكتلة المولية للغاز بالكيلوغرام لكل مول. في الفيزياء، تُعرَّف السرعة بأنها المقدار القياسي للسرعة المتجهة. بالنسبة لغاز ساكن، قد تصل السرعة المتوسطة لجزيئاته إلى آلاف الكيلومترات في الساعة، على الرغم من أن السرعة المتجهة لجزيئاته تساوي صفرًا.

خطأ

عند مقارنة مجموعتين من البيانات - إحداهما من التنبؤ النظري والأخرى من القياس الفعلي لمتغير فيزيائي ما، على سبيل المثال - يمكن استخدام الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) للفروق الثنائية بين المجموعتين كمقياس لمدى بُعد الخطأ عن الصفر في المتوسط. ويمكن أن يكون متوسط ​​القيم المطلقة للفروق الثنائية مقياسًا مفيدًا لتباين هذه الفروق. مع ذلك، يُفضّل عادةً استخدام الجذر التربيعي المتوسط ​​للفروق، ربما بسبب الاصطلاح الرياضي وتوافقه مع الصيغ الأخرى.

هندسة الصوت

يُستخدم متوسط ​​الجذر التربيعي (RMS) في هندسة الصوت لقياس مستوى الصوت، وخاصةً في معالجة الصوت . ويُقاس مستوى الصوت أيضًا بذروة الصوت، سواءً في الأنظمة التناظرية كقيمة V pp للإشارة ، أو في الأنظمة الرقمية كقيمة الذروة السالبة (-dB) قبل مستوى التشويش، وذلك وفقًا لتنسيق التشفير. في هذا السياق، يُستخدم متوسط ​​الجذر التربيعي للإشارة غالبًا كإشارة مقارنة للضغط ، مما يُنتج تأثيرًا "تنعيميًا" في عملية الضغط من خلال الاستجابة البطيئة للتغيرات الحادة، مثل تلك الموجودة في الطبول. [ 7 ] كما يُستخدم متوسط ​​الجذر التربيعي كمقياس رئيسي في عملية الماسترينغ للمقارنة مع وحدات المتوسط ​​الزمني الأخرى، مثل وحدات LUF . [ 8 ]

في مجال التردد

يمكن حساب الجذر التربيعي المتوسط ​​في مجال التردد باستخدام نظرية بارسيفال . بالنسبة لإشارة مُعَيَّنةx[ن]=x(ت=نتي){\displaystyle x[n]=x(t=nT)}، أينتي{\displaystyle T}هي فترة أخذ العينات،

∑ن=1شمالx2[ن]=1شمال∑م=1شمال|X[م]|2،{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}

أينX[م]=DFT⁡{x[ن]}{\displaystyle X[m]=\operatorname {DFT} \{x[n]\}}و N هو حجم العينة، أي عدد الملاحظات في العينة ومعاملات DFT.

في هذه الحالة، تكون قيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​المحسوبة في المجال الزمني هي نفسها في مجال التردد:

نظام إدارة الموارد{x[ن]}=1شمال∑نx2[ن]=1شمال2∑م|X[م]|2=∑م|X[م]شمال|2.{\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}

العلاقة بالإحصاءات الأخرى

برهان هندسي بدون كلمات أن max ( a , b ) > الجذر التربيعي المتوسط ​​( RMS ) أو المتوسط ​​التربيعي ( QM ) > المتوسط ​​الحسابي ( AM ) > المتوسط ​​الهندسي ( GM ) > المتوسط ​​التوافقي ( HM ) > min ( a , b ) لعددين موجبين مختلفين a و b [ ملاحظة 1 ]

الانحراف المعياريσx=(x-x¯)rms{\displaystyle \sigma _{x}=(x-{\overline {x}})_{\text{rms}}}من مجموعة سكانية أو شكل موجيx{\displaystyle x}هو الانحراف المعياري RMS لـx{\displaystyle x}من وسطها الحسابيx¯{\displaystyle {\bar {x}}}وهي مرتبطة بقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​لـx{\displaystyle x}بواسطة [ 9 ]

σx2=(x-x¯)2¯=xrms2-x¯2{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}=x_{\text{rms}}^{2}-{\overline {x}}^{2}}.

من هذا يتضح أن قيمة RMS تكون دائمًا أكبر من أو تساوي المتوسط، حيث أن RMS يشمل الانحراف التربيعي (الخطأ) أيضًا.

كثيرًا ما يستخدم علماء الفيزياء مصطلح الجذر التربيعي المتوسط ​​كمرادف للانحراف المعياري عندما يُفترض أن متوسط ​​الإشارة المدخلة يساوي صفرًا، أي أنه يشير إلى الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربع انحراف الإشارة عن خط أساس أو منحنى مُحدد. [ 10 ] [ 11 ] يُفيد هذا مهندسي الكهرباء في حساب القيمة الفعّالة للإشارة عند استخدام التيار المتردد فقط. وبما أن الانحراف المعياري هو القيمة الفعّالة لتغير الإشارة حول المتوسط، وليس حول الصفر، يتم حذف مُركبة التيار المستمر (أي أن القيمة الفعّالة للإشارة تساوي الانحراف المعياري إذا كان متوسط ​​الإشارة يساوي صفرًا).

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إذاكان NM = a و PM = b ، فإن AM = AM للضلعين a و b ، ونصف القطر r = AQ = AG.باستخدام نظرية فيثاغورس ، QM² = AQ² + AM² ، ومنه QM = √ ( AQ² + AM² ) = QM . باستخدام نظرية فيثاغورس، AM² = AG² + GM² ، ومنه GM = √ ( AM² - AG² ) = GM .باستخدام تشابه المثلثات ، HM / GM = GM / AM ، ومنه HM = GM² / AM = HM .

مراجع

  1. 1 2 "قيمة الجذر التربيعي المتوسط". قاموس الفيزياء (الطبعة السادسة) . مطبعة جامعة أكسفورد. 2009. ISBN 9780199233991.
  2. ↑ تومسون، سيلفانوس ب. (1965). حساب التفاضل والتكامل ببساطة . ماكميلان للتعليم العالي الدولي. ص 185. ISBN  9781349004874تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يوليو 2020 .
  3. ↑ جونز، آلان ر. (2018). الاحتمالات والإحصاء وأمور أخرى مخيفة . روتليدج. ص 48. ISBN  9781351661386تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يوليو 2020 .
  4. ↑ كارترايت، كينيث ف. (خريف 2007). "تحديد الجهد الفعال أو جهد الجذر التربيعي المتوسط ​​لأشكال الموجات المختلفة بدون حساب التفاضل والتكامل" (ملف PDF) . واجهة التكنولوجيا . 8 (1): 20 صفحة.
  5. ↑ ناستاس، أدريان س. "كيفية استخلاص القيمة الفعالة للموجات النبضية والمربعة" . MasteringElectronicsDesign.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2015 .
  6. ↑ "تحسين قياسات RMS للتيار المتردد باستخدام جهاز القياس الرقمي المتعدد" (ملف PDF) . Keysight . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 15 يناير 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يناير 2019 .
  7. ↑ دروس، أليكس - ميكسينج (23-09-2019). "ضغط الذروة مقابل ضغط RMS: الفرق بين ضغط الذروة وضغط RMS" . mixinglessons.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 07-04-2025 .
  8. ↑ لوثار، مارغريت (12 يونيو 2024). "تعريف مستويات RMS: كيفية الحصول على مستويات صوتية متسقة في عملية الماسترينغ" . izotope.com . تم الاطلاع عليه في 7 أبريل 2025 .
  9. ↑ كريس سي. بيسيل؛ ديفيد أ. تشابمان (1992). نقل الإشارات الرقمية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 64. ISBN   978-0-521-42557-5.
  10. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الجذر التربيعي المتوسط" . عالم الرياضيات .
  11. ↑ "ROOT, TH1:GetRMS" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 30-06-2017 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-07-2013 .