صنف أفين

في الهندسة الجبرية ، يعتبر التنوع الأفيني أو التنوع الجبري الأفيني نوعًا معينًا من التنوع الجبري الذي يمكن وصفه بأنه مجموعة فرعية من الفضاء الأفيني .

بصورة أكثر رسمية، فإن المجموعة الجبرية الأفينية هي مجموعة الأصفار المشتركة على حقل مغلق جبريًا k لعائلة من كثيرات الحدود في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$التنوع الأفيني هو مجموعة جبرية أفينية لا تمثل اتحاد مجموعتين جبريتين أصغر؛ جبريًا، يعني هذا أن جذر المثالي الناتج عن كثيرات الحدود المحددة هو عدد أولي . تُسمى التنوعات الأفينية أحادية البعد منحنيات جبرية أفينية، بينما تُسمى التنوعات الأفينية ثنائية البعد أسطحًا جبرية أفينية .

تستخدم بعض النصوص مصطلح التنوع لأي مجموعة جبرية، والتنوع غير القابل للاختزال لأي مجموعة جبرية يكون مثاليها المحدد أوليًا (التنوع الأفيني بالمعنى المذكور أعلاه).

في بعض السياقات (انظر، على سبيل المثال، نظرية هيلبرت للأصفار )، من المفيد التمييز بين الحقل k الذي تُدرس فيه المعاملات، والحقل المغلق جبريًا K (الذي يحتوي على k ) الذي تُدرس فيه الأصفار المشتركة (أي أن نقاط المجموعة الجبرية الأفينية تنتمي إلى K n ). في هذه الحالة، يُقال إن التنوع مُعرَّف على k ، وتُسمى نقاط التنوع التي تنتمي إلى k  n نقاطًا عقلانية من النوع k أو نقاطًا عقلانية على k . في الحالة الشائعة حيث k هو حقل الأعداد الحقيقية ، تُسمى النقطة العقلانية من النوع k نقطة حقيقية . [ 1 ] عندما لا يُحدد الحقل k ، فإن النقطة العقلانية هي نقطة عقلانية على الأعداد العقلانية . على سبيل المثال، تنص نظرية فيرما الأخيرة على أن التنوع الجبري الأفيني (وهو منحنى) المُعرَّف بالمعادلة x n  + y n - 1 = 0      لا يحتوي على أي نقاط عقلانية لأي عدد صحيح n أكبر من اثنين.

المجموعة الجبرية الأفينية هي مجموعة الحلول في حقل مغلق جبريًا k لنظام من المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات في k . بتعبير أدق، إذا${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$هي كثيرات حدود ذات معاملات في k ، وهي تُعرّف مجموعة جبرية أفينية

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

التنوع الأفيني (الجبري) هو مجموعة جبرية أفينية لا تمثل اتحاد مجموعتين جزئيتين جبريتين أفينيتين فعليتين. ويُقال غالبًا أن هذه المجموعة الجبرية الأفينية غير قابلة للاختزال .

إذا كانت X مجموعة جبرية أفينية، و${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$إذا كان X هو المثالي لجميع كثيرات الحدود التي تساوي صفرًا على X ، فإن حلقة القسمة${\displaystyle A(X)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\mathrm {I} (X)}$يُطلق عليه اسمحلقة إحداثيات X.المثالي${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$بما أن X جذري، فإن حلقة الإحداثيات هي حلقة مختزلة ، وإذا كان X منوعًا تآلفيًا (غير قابل للاختزال)، فإن${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$بما أن العدد أولي، فإن حلقة الإحداثيات هي مجال تكاملي . عناصر حلقة الإحداثيات${\displaystyle A(X)}$يمكن اعتبارها دوالًا متعددة الحدود على X ، وتُسمى أيضًا بالدوال المنتظمة أو الدوال متعددة الحدود على المتنوع. وهي تُشكل حلقة الدوال المنتظمة على المتنوع، أو ببساطة حلقة المتنوع ؛ وبمصطلحات أكثر دقة (انظر §  حزمة البنية )، فهي فضاء المقاطع العامة لحزمة البنية لـ X.

إن بُعد التنوع هو عدد صحيح مرتبط بكل تنوع، وحتى بكل مجموعة جبرية، وتعتمد أهميته على العدد الكبير من تعريفاته المكافئة (انظر بُعد التنوع الجبري ).

• مكمل السطح الفائق في تنوع أفيني X (أي X \ { f = 0 } لبعض كثيرات الحدود f ) هو سطح أفيني. تُستنتج معادلاته التعريفية بتشبيع المثالي التعريفي لـ X بواسطة f . وبالتالي، فإن حلقة الإحداثيات هي التموضع.${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$على سبيل المثال، بالنسبة لـ X = k ⁿ و f ∈ k [ x ₁ ,..., x _n ] ، فإن k ⁿ \ { f = 0 } متماثل مع السطح الفائق V (1 − x _{n +1} f ) في k ^{n +1} . ^{[ 2 ]}
• بخاصة، ${\displaystyle k-0}$(الخط الأفيني بعد إزالة نقطة الأصل) هو خط أفيني، متماثل مع المنحنى${\displaystyle V(1-xy)}$في${\displaystyle k^{2}}$(انظر المجموعة الجبرية §  أمثلة ).
• على الجانب الآخر،${\displaystyle k^{2}-0}$(المستوى الأفيني بعد إزالة نقطة الأصل) ليس منوعًا أفينيًا (قارن هذا بنظرية هارتوغز للتمديد في التحليل العقدي ). انظر طيف الحلقة §  أمثلة غير أفينية .
• الأصناف الفرعية ذات البعد المشترك واحد في الفضاء الأفيني${\displaystyle k^{n}}$هي بالضبط الأسطح الفائقة، أي الأصناف المحددة بواسطة متعدد حدود واحد.
• إن تطبيع المتنوع الأفيني غير القابل للاختزال هو أفيني؛ وحلقة إحداثيات التطبيع هي الإغلاق التكاملي لحلقة إحداثيات المتنوع. (وبالمثل، فإن تطبيع المتنوع الإسقاطي هو متنوع إسقاطي).

لنوع متناغم${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$على حقل مغلق جبريًا K ، وحقل جزئي k من K ، فإن النقطة k- العقلانية في V هي نقطة${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$أي نقطة من V إحداثياتها عناصر من k . غالبًا ما يُرمز إلى مجموعة النقاط k- العقلانية من صنف أفيني V بـ${\displaystyle V(k).}$في كثير من الأحيان، إذا كان الحقل الأساسي هو الأعداد المركبة C ، فإن النقاط التي تكون R- عقلانية (حيث R هي الأعداد الحقيقية ) تسمى النقاط الحقيقية للتنوع، وغالبًا ما تسمى النقاط Q- العقلانية ( Q هي الأعداد النسبية ) ببساطة النقاط العقلانية .

على سبيل المثال، النقطة (1، 0) هي نقطة عقلانية من النوع Q ونقطة عقلانية من النوع R من التنوع${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$لأنها تقع في V وجميع إحداثياتها أعداد صحيحة. النقطة ( √2 / 2 , √2 /2) هي نقطة حقيقية في V ليست نسبية بالنسبة لـ Q ، و ${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$هي نقطة من V ليست R- عقلانية. يُطلق على هذا التنوع اسم دائرة ، لأن مجموعة نقاطه R- العقلانية هي دائرة الوحدة . ولها عدد لا نهائي من النقاط Q- العقلانية التي هي النقاط

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

حيث t عدد نسبي.

الدائرة${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$يُعدّ هذا مثالاً على منحنى جبري من الدرجة الثانية لا يملك نقطة عقلانية من النوع Q. ويمكن استنتاج ذلك من حقيقة أن مجموع مربعين ، بتردد 4 ، لا يمكن أن يساوي 3 .

يمكن إثبات أن المنحنى الجبري من الدرجة الثانية الذي يحتوي على نقطة عقلانية Q له عدد لا نهائي من النقاط العقلانية Q الأخرى ؛ كل نقطة من هذه النقاط هي نقطة التقاطع الثانية للمنحنى وخط ذو ميل عقلاني يمر عبر النقطة العقلانية.

التنوع المعقد${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$لا يحتوي على نقاط عقلانية من النوع R ، ولكنه يحتوي على العديد من النقاط المركبة.

إذا كانت V منوعًا خطيًا في C² معرفًا على الأعداد المركبة C ^، فيمكن رسم النقاط العقلانية R لـ V على ورقة أو باستخدام برنامج رسم بياني. يوضح الشكل على اليمين النقاط العقلانية R لـ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

ليكن V منوعًا خطيًا معرفًا بواسطة كثيرات الحدود${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$و${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$أن تكون نقطة من V.

مصفوفة جاكوبي J _V ( a ) لـ V عند a هي مصفوفة المشتقات الجزئية

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

تكون النقطة a منتظمة إذا كانت رتبة J _V ( a ) تساوي البعد المشترك لـ V ، وشاذة خلاف ذلك.

إذا كان a منتظمًا، فإن الفضاء المماسي لـ V عند a هو الفضاء الجزئي الأفيني لـ${\displaystyle k^{n}}$محددة بواسطة المعادلات الخطية ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

إذا كانت النقطة شاذة، فإن الفضاء الجزئي الأفيني المحدد بهذه المعادلات يُسمى أيضًا بالفضاء المماسي عند بعض المؤلفين، بينما يقول آخرون إنه لا يوجد فضاء مماسي عند النقطة الشاذة. ^{[ 4 ]} ويُقدم تعريف أكثر جوهرية لا يستخدم الإحداثيات في فضاء زاريسكي المماسي .

تشكل المجموعات الجبرية الأفينية لـ k ⁿ المجموعات المغلقة لطوبولوجيا على k n ^، تسمى طوبولوجيا زاريسكي . وينتج هذا من حقيقة أن${\displaystyle V(0)=k^{n},}$${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$و${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$(في الواقع، التقاطع القابل للعد للمجموعات الجبرية الأفينية هو مجموعة جبرية أفينية).

يمكن أيضًا وصف طوبولوجيا زاريسكي عن طريق المجموعات المفتوحة الأساسية ، حيث تكون مجموعات زاريسكي المفتوحة عبارة عن اتحادات قابلة للعد لمجموعات من الشكل${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$ل${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$هذه المجموعات المفتوحة الأساسية هي مكملات المجموعات المغلقة في k ⁿ${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$مواضع الصفر لكثير حدود واحد. إذا كان k نوثريًا (على سبيل المثال، إذا كان k حقلًا أو مجالًا مثاليًا رئيسيًا )، فإن كل مثالي في k يكون مولدًا نهائيًا، وبالتالي فإن كل مجموعة مفتوحة هي اتحاد نهائي لمجموعات مفتوحة أساسية.

إذا كانت V عبارة عن تنوع فرعي أفيني من k ⁿ فإن طوبولوجيا زاريسكي على V هي ببساطة طوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من طوبولوجيا زاريسكي على k ⁿ .

يرتبط البناء الهندسي لمتنوعة أفينية ارتباطًا وثيقًا بالبناء الجبري لحلقة إحداثياتها. ليكن I و J مثاليين في k [ V ]، وهي حلقة إحداثيات لمتنوعة أفينية V. ولتكن I( V ) مجموعة جميع كثيرات الحدود في${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$التي تختفي عند V ، ودع${\displaystyle {\sqrt {I}}}$يرمز إلى جذر المثالي I ، وهو مجموعة كثيرات الحدود f التي تنتمي فيها قوة معينة من f إلى I. والسبب في اشتراط أن يكون الحقل الأساسي مغلقًا جبريًا هو أن الأصناف الأفينية تحقق تلقائيًا نظرية هيلبرت للعناصر الصفرية : لأي مثالي J في${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$حيث k حقل مغلق جبريًا،${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}.}$

تُقابل المُثُل الجذرية (المُثُل التي تُمثل جذرها الخاص) لـ k [ V ] المجموعات الجزئية الجبرية لـ V. في الواقع، بالنسبة للمُثُل الجذرية I و J ،${\displaystyle I\subseteq J}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I).}$وبالتالي، فإن V( I ) = V( J ) إذا وفقط إذا كان I = J. علاوة على ذلك، فإن الدالة التي تأخذ مجموعة جبرية أفينية W وتعيد I( W )، وهي مجموعة جميع الدوال التي تتلاشى أيضًا عند جميع نقاط W ، هي معكوس الدالة التي تُسند مجموعة جبرية إلى مثالي جذري، وفقًا لنظرية نولستيلنساتز. ومن ثم، فإن التناظر بين المجموعات الجبرية الأفينية والمثاليات الجذرية هو تناظر تقابلي. حلقة الإحداثيات لمجموعة جبرية أفينية مُختزلة ( خالية من العناصر العديمة القوة)، حيث يكون المثالي I في حلقة R جذريًا إذا وفقط إذا كانت حلقة القسمة R/I مُختزلة.

تُقابل المُثُل الأولية لحلقة الإحداثيات مُتنوعات فرعية أفينية. يُمكن كتابة مجموعة جبرية أفينية V( I ) كاتحاد مجموعتين جبريتين أخريين إذا وفقط إذا كان I = JK للمُثُل الحقيقية J و K التي لا تساوي I (في هذه الحالة${\displaystyle \mathrm {V} (I)=\mathrm {V} (J)\cup \mathrm {V} (K)}$يتحقق هذا الشرط فقط إذا لم يكن I عددًا أوليًا. تُعرف المتنوعات الفرعية الأفينية تحديدًا بأنها تلك التي تكون حلقة إحداثياتها مجالًا تكامليًا. وذلك لأن المثالي يكون أوليًا إذا وفقط إذا كان خارج قسمة الحلقة على المثالي مجالًا تكامليًا.

تُقابل المُثُل العليا لـ k [ V ] نقاطًا من V. إذا كان I و J مُثُلًا جذرية، فإن${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle I\subseteq J.}$بما أن المُثُل القصوى جذرية، فإنها تُقابل المجموعات الجبرية الدنيا (تلك التي لا تحتوي على مجموعات جبرية جزئية فعلية)، وهي نقاط في V. إذا كانت V منوعًا أفينيًا بحلقة إحداثيات${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$تتضح هذه المراسلات من خلال الخريطة${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$أين${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$يرمز إلى الصورة في جبر القسمة R لكثير الحدود${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$تكون المجموعة الجبرية نقطة إذا وفقط إذا كانت حلقة الإحداثيات للمجموعة حقلاً، كما أن خارج قسمة حلقة على مثالي أقصى هو حقل.

يلخص الجدول التالي هذه المطابقة، بالنسبة للمجموعات الجبرية الفرعية من التنوع الأفيني والمثاليات لحلقة الإحداثيات المقابلة:

يمكن تعريف حاصل ضرب المتنوعات الأفينية باستخدام التشاكل A n  × A m = A n + m ،    ثم تضمين حاصل الضرب في هذا الفضاء الأفيني الجديد. ليكن لـ A n و A m  حلقتان إحداثيتان k [ x 1 , ..., x n ]  و k [ y 1 , ..., y m  ]  على التوالي، بحيث يكون لحاصل ضربهما A n + m حلقة إحداثية k [ x 1  , ..., x  n , y 1 , ..., y m ]    . ليكن V  = V ( f  1  , ..., f N )    مجموعة جزئية جبرية من A  n ، و W  = V ( g  1 , ..., g M )    مجموعة جزئية جبرية من A m . عندئذٍ، كل f  i  متعددة حدود في k [ x 1 , ..., x n ]  ، وكل g  j  في k [ y 1 , ..., y m ]  . يُعرَّف حاصل ضرب V و W بأنه المجموعة الجبرية V × W = V ( f 1 , ... , f N , g 1 , ... , g M ) في A n + m . ويكون حاصل الضرب غير قابل للاختزال إذا كان كل V و W غير قابل للاختزال. [ 5 ]        

إنّ طوبولوجيا زاريسكي على الفضاء A n  × A  m   ليست حاصل الضرب الطوبولوجي لطوبولوجيات زاريسكي على الفضاءين. في الواقع، تُولَّد طوبولوجيا الضرب من خلال حاصل ضرب المجموعتين المفتوحتين الأساسيتين U f  = A n  − V ( f )      و T g  = A m  − V ( g ).      وبالتالي، فإنّ كثيرات الحدود التي تنتمي إلى k [ x 1  , ..., x n , y 1 , ..., y m ]    ، والتي لا يمكن الحصول عليها كحاصل ضرب كثير حدود في k [ x 1 , ..., x n ]  مع كثير حدود في k [ y 1 , ..., y m ]  ، ستُعرِّف مجموعات جبرية مغلقة في طوبولوجيا زاريسكي على A n  × A  m  ،   ولكنها ليست مغلقة في طوبولوجيا الضرب.

التشاكل، أو التطبيق المنتظم، للأصناف الأفينية هو دالة بين الأصناف الأفينية تكون متعددة الحدود في كل إحداثية: بتعبير أدق، بالنسبة للأصناف الأفينية V ⊆ k ⁿ و W ⊆ k ^m ، فإن التشاكل من V إلى W هو تطبيق φ : V → W على الصورة φ ( a ₁ , ..., an ₎ = ( f ₁ ( a ₁ , ..., _an ) , ..., f _m ( a ₁ , ..., an ₎ )، حيث f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] لكل i = 1, ..., m . هذه هي التشاكلات في فئة الأصناف الأفينية. 

توجد علاقة تناظر أحادي بين تشاكلات الأصناف الأفينية على حقل مغلق جبريًا k ، وتشاكلات حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k في الاتجاه المعاكس. ولهذا السبب، بالإضافة إلى وجود علاقة تناظر أحادي بين الأصناف الأفينية على k وحلقات إحداثياتها، فإن فئة الأصناف الأفينية على k هي فئة ثنائية لفئة حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k . وفئة حلقات الإحداثيات للأصناف الأفينية على k هي تحديدًا فئة الجبر الخالي من العناصر الصفرية والمولد نهائيًا على k .

بتعبير أدق، لكل تشاكل φ : V → W من الأصناف الأفينية، يوجد تشاكل φ ^# : k [ W ] → k [ V ] بين حلقات الإحداثيات (في الاتجاه المعاكس)، ولكل تشاكل من هذا القبيل، يوجد تشاكل للأصناف المرتبطة بحلقات الإحداثيات. يمكن إثبات ذلك صراحةً: ليكن V ⊆ kn ^و W ⊆ km ^صنفين أفينيين بحلقات إحداثيات k [ V ] = k [ X1 _, ... , Xn ]/ I و k [ _W ] = k [ Y1 _, ..., Ym _] / J على التوالي. وليكن φ : V → W تشاكلاً. في الواقع، _يمكن تحليل التماثل بين حلقات كثيرات الحدود θ : k [ Y1 _, ..., Ym ]/ J → k [ X1 _, ..., Xn _] / I بشكل فريد من خلال الحلقة k [ X1 _, ..., Xn ]، ويتم تحديد التماثل ψ : _k [ Y1 _, ..., Ym _] / J → k [ X1 , ..., Xn ] بشكل فريد بواسطة صور _{Y1 ,} ..., _{Ym .} وبالتالي، يتوافق كل تماثل φ ^# : k [ W ] → k [ V ] بشكل فريد مع اختيار صورة لكل Yi _. ثم، بالنظر إلى أي تشاكل φ = ( f1 _, ... , fm ₎ من V إلى W ، يمكن إنشاء تماثل φ ^# : k [ W ] → k [       V ] الذي يرسل Y _i إلى${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$أين${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$هي فئة التكافؤ لـ f _i في k [ V ].

وبالمثل، لكل تشاكل في حلقات الإحداثيات، يمكن إنشاء تشاكل في الأصناف الأفينية في الاتجاه المعاكس. وكما ورد في الفقرة السابقة، فإن التشاكل φ ^# : k [ W ] → k [ V ] يُرسل Y _i إلى متعدد الحدود ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$في k [ V ] . هذا يتوافق مع تشاكل الأصناف φ : V → W المعرف بواسطة φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). 

إن الصنف الأفيني، المجهز بحزمة هيكلية موصوفة أدناه، هو مساحة محاطة بحلقات محلية .

بالنظر إلى تنوع أفيني X مع حلقة إحداثيات A ، فإن حزمة الجبر k${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يتم تعريفها عن طريق وضع${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$لتكن حلقة الدوال المنتظمة على U.

ليكن D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0} لكل f في A. تشكل هذه العناصر أساسًا لطوبولوجيا X ، وبالتالي${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يتم تحديدها من خلال قيمها على المجموعات المفتوحة D ( f ). (انظر أيضًا: حزمة الوحدات النمطية#الحزمة المرتبطة بوحدة نمطية .)

الحقيقة الأساسية، التي تعتمد بشكل جوهري على نظرية هيلبرت nullstellensatz ، هي التالية:

البرهان: ^{[ 6 ]} إن الاحتواء ⊃ واضح. وللحصول على العكس، ليكن g في الطرف الأيسر و${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$وهو مثالي. إذا كان x ينتمي إلى D ( f )، فبما أن g منتظمة بالقرب من x ، فإنه يوجد جوار أفيني مفتوح D ( h ) لـ x بحيث${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$أي أن h ^mg ينتمي إلى A وبالتالي فإن x لا ينتمي إلى V ( J ). بعبارة أخرى،${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$وبالتالي فإن نظرية هيلبرت الصفرية تعني أن f تقع في جذر J ؛ أي،${\displaystyle f^{n}g\in A}$.${\displaystyle \square }$

يزعم هذا الادعاء، أولاً وقبل كل شيء، أن X هو فضاء "محاط بحلقات محلية" لأن

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$ثانيًا، يشير الادعاء إلى أن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$هي حزمة؛ في الواقع، تقول إذا كانت الدالة منتظمة (نقطيًا) على D ( f )، فيجب أن تكون في حلقة الإحداثيات لـ D ( f )؛ أي أن "الانتظام" يمكن تجميعه معًا.

لذلك،${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$هي مساحة محاطة بحلقة محلية.

تُقدّم نظرية سير توصيفًا كوهومولوجيًا للتنوع الأفيني؛ إذ تنص على أن التنوع الجبري يكون أفينيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$لأي${\displaystyle i>0}$وأي حزمة شبه متماسكة F على X. (انظر نظرية كارتان B. ) وهذا يجعل الدراسة التماثلية لمجموعة متنوعة أفينية غير موجودة، في تناقض حاد مع الحالة الإسقاطية التي تكون فيها مجموعات التماثل لحزم الخطوط ذات أهمية مركزية.

يُطلق على التنوع الأفيني G على حقل مغلق جبريًا k اسم مجموعة جبرية أفينية إذا كان يحتوي على:

• عملية الضرب μ : G × G → G      ، وهي عملية تشاكل منتظمة تتبع بديهية التجميع - أي، بحيث يكون μ ( μ ( f , g ), h ) = μ ( f , μ ( g , h ))       لجميع النقاط f و g و h في G ؛
• عنصر محايد e بحيث يكون μ ( e , g ) = μ ( g , e ) = g       لكل g في G ؛
• شكل معكوس ، اقتران منتظم ι : G → G    بحيث μ ( ι ( g ) , g ) = μ ( g , ι ( g )) = e       لكل g في G .

تُحدد هذه العناصر مجتمعةً بنيةً زمريةً على المتنوع. غالبًا ما تُكتب التشكلات المذكورة أعلاه باستخدام ترميز الزمر العادي: يمكن كتابة μ ( f , g ) على الصورة  f  + g  أو f ⋅ g أو fg ؛ ويمكن كتابة المعكوس ι ( g ) على الصورة −g أو g − ^1. باستخدام الترميز الضربي، يمكن إعادة كتابة قوانين التجميع والهوية والمعكوس على النحو التالي: f ( gh )  =  ( fg ) h ، و ge  = eg = g    ، و gg ^{− 1}  = g ^{− 1} g = e    .

أبرز مثال على الزمر الجبرية الأفينية هو GL _n ( k )، وهي الزمرة الخطية العامة من الدرجة n . هذه الزمرة هي زمرة التحويلات الخطية للفضاء المتجهي k ⁿ ؛ إذا تم تحديد أساس للفضاء k ⁿ ، فإنها تُكافئ زمرة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n ذات المدخلات في k . يمكن إثبات أن أي زمرة جبرية أفينية متماثلة مع زمرة جزئية من GL _n ( k ) . لهذا السبب، تُسمى الزمر الجبرية الأفينية غالبًا بالزمر الجبرية الخطية .

تلعب المجموعات الجبرية الأفينية دورًا مهمًا في تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، حيث أن مجموعات نوع لي هي جميع مجموعات النقاط العقلانية F _q لمجموعة جبرية أفينية، حيث F _q حقل منتهٍ .

• إذا اشترط مؤلف ما أن يكون الحقل الأساسي لمتنوعة أفينية مغلقًا جبريًا (كما هو الحال في هذه المقالة)، فإن المجموعات الجبرية الأفينية غير القابلة للاختزال فوق الحقول غير المغلقة جبريًا تُعد تعميمًا للمتنوعات الأفينية. ويشمل هذا التعميم على وجه الخصوص المتنوعات الأفينية فوق الأعداد الحقيقية .
• تُسمى المجموعة الفرعية المفتوحة من صنف أفيني صنفًا شبه أفيني ، لذا فإن كل صنف أفيني هو صنف شبه أفيني. وأي صنف شبه أفيني هو بدوره صنف شبه إسقاطي .
• تؤدي المتنوعات الأفينية دور المخططات المحلية للمتنوعات الجبرية ؛ أي أن المتنوعات الجبرية العامة، مثل المتنوعات الإسقاطية، تُستخلص من خلال لصق المتنوعات الأفينية. كما أن البنى الخطية الملحقة بالمتنوعات هي (بشكل بديهي) متنوعات أفينية؛ على سبيل المثال، الفضاءات المماسية، وألياف حزم المتجهات الجبرية .
• يُتيح البناء المُقدّم في قسم "  حزمة البنية" تعميمًا يُستخدم في نظرية المخططات ، وهي المنهج الحديث للهندسة الجبرية. يُعدّ التنوع الأفيني (حتى تكافؤ الفئات ) حالة خاصة من المخطط الأفيني ، وهو فضاء ذو ​​حلقة محلية متماثل مع طيف حلقة تبديلية. لكل تنوع أفيني مخطط أفيني مرتبط به: إذا كان V(I) تنوعًا أفينيًا في k ⁿ بحلقة إحداثيات R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I ، فإن المخطط المُقابل لـ V(I) هو Spec( R )، وهي مجموعة المُثُل الأولية لـ R. يحتوي المخطط الأفيني على "نقاط كلاسيكية"، تُقابل نقاط التنوع (وبالتالي المُثُل القصوى لحلقة إحداثيات التنوع)، بالإضافة إلى نقطة لكل تنوع فرعي مغلق من التنوع (تُقابل هذه النقاط المُثُل الأولية غير القصوى لحلقة الإحداثيات). يُنشئ هذا مفهومًا أكثر تحديدًا لـ " النقطة العامة " في التنوع الأفيني، وذلك بتخصيص نقطة مفتوحة لكل تنوع فرعي مغلق، وتكون هذه النقطة كثيفة في ذلك التنوع الفرعي. وبشكل أعم، يُعتبر المخطط الأفيني تنوعًا أفينيًا إذا كان مُختزلًا ، وغير قابل للاختزال ، ومن النوع المحدود على حقل مغلق جبريًا k .

• التمثيلات على حلقات الإحداثيات

كُتبت المقالة الأصلية كترجمة بشرية جزئية للمقالة الفرنسية المقابلة.

• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• فولتون، ويليام (1969). المنحنيات الجبرية (ملف PDF) . أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-510103.
• ميلن، جيمس س. (2017). "الهندسة الجبرية" (ملف PDF) . www.jmilne.org . تاريخ الاسترجاع: 16 يوليو 2021 .
• ميلن، جيمس س. محاضرات عن علم التجانس في Étale
• مامفورد، ديفيد (1999). الكتاب الأحمر للأنواع والمخططات: يتضمن محاضرات ميشيغان (1974) حول المنحنيات ومصفوفات جاكوبي الخاصة بها . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1358 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/b62130 . ISBN 354063293X.
• ريد، مايلز (1988). الهندسة الجبرية للمرحلة الجامعية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-35662-8.