مشكلة ذباب الشونفليز

بالنظر إلى منحنى مضلع مغلق بسيط في المستوى، تنص نظرية جوردان-شونفليس الخطية القطعية على وجود تماثل خطي قطعي للمستوى، ذي دعم مضغوط، ينقل المضلع إلى مثلث ويأخذ الجزء الداخلي والخارجي لأحدهما إلى الجزء الداخلي والخارجي للآخر. ^{[ 3 ]}

يمكن تقسيم باطن المضلع إلى مثلثات صغيرة، بحيث تشكل حواف المضلع حواف بعض هذه المثلثات. ويمكن تكوين التشاكلات الخطية القطعية من تشاكلات خاصة ناتجة عن إزالة معين من المستوى، ثم تطبيق تحويل خطي قطعي عليه، مع تثبيت حواف المعين، وتحريك أحد أقطاره على شكل حرف V. وتؤدي تركيبات التشاكلات من هذا النوع إلى تشاكلات خطية قطعية ذات دعم مضغوط؛ فهي تثبت الجزء الخارجي من المضلع، وتؤثر بطريقة خطية على تقسيم باطنه إلى مثلثات. ويُبين استدلال استقرائي بسيط أنه من الممكن دائمًا إزالة مثلث حر - أي مثلث يكون تقاطعه مع حدود المضلع مجموعة متصلة مكونة من حافة واحدة أو حافتين - مما ينتج عنه مضلع جوردان مغلق بسيط. وتوفر التشاكلات الخاصة المذكورة أعلاه، أو معكوساتها، تشاكلات خطية قطعية تنقل باطن المضلع الأكبر إلى المضلع بعد إزالة المثلث الحر منه. بتكرار هذه العملية، يتبين وجود تماثل خطي جزئي ذي دعم مضغوط ينقل المضلع الأصلي إلى مثلث. ^{[ 4 ]}

ولأن التشاكل المتماثل يتم الحصول عليه من خلال تركيب عدد محدود من التشاكلات المتماثلة لمستوى الدعم المضغوط، فإنه يترتب على ذلك أن التشاكل المتماثل الخطي القطعي في نص نظرية جوردان-شونفليس الخطية القطعية له دعم مضغوط.

كنتيجة لذلك، يترتب على ذلك أن أي تماثل شكلي بين منحنيات مضلعية مغلقة بسيطة يمتد إلى تماثل شكلي بين داخلها. ^{[ 5 ]} لكل مضلع، يوجد تماثل شكلي من مثلث معين إلى إغلاق داخله. تُنتج التماثلات الشكلية الثلاثة تماثلًا شكليًا واحدًا لحدود المثلث. باستخدام حيلة ألكسندر، يمكن امتداد هذا التماثل الشكلي إلى تماثل شكلي لإغلاق داخل المثلث. بعكس هذه العملية، يُنتج هذا التماثل الشكلي تماثلًا شكليًا بين إغلاقات داخل المنحنيات المضلعية.

يمكن إثبات نظرية جوردان-شونفليس للمنحنيات المتصلة باستخدام نظرية كاراثيودوري حول التحويل المطابق . تنص هذه النظرية على أن تحويل ريمان بين باطن منحنى جوردان البسيط وقرص الوحدة المفتوح يمتد بشكل متصل إلى تماثل شكلي بين إغلاقيهما، مما يحول منحنى جوردان تماثليًا على دائرة الوحدة. ^{[ 6 ]} لإثبات النظرية، يمكن تطبيق نظرية كاراثيودوري على المنطقتين على كرة ريمان المحددتين بمنحنى جوردان. سينتج عن ذلك تماثلات شكلية بين إغلاقيهما والأقراص المغلقة | z | ≤ 1 و | z | ≥ 1. تختلف التماثلات الشكلية من منحنى جوردان إلى الدائرة بتماثل شكلي للدائرة يمكن تمديده إلى قرص الوحدة (أو مكمله) باستخدام خدعة ألكسندر . سيؤدي التركيب مع هذا التشاكل المتماثل إلى زوج من التشاكلات المتماثلة التي تتطابق على منحنى جوردان، وبالتالي تحدد تشاكلًا متماثلًا لكرة ريمان يحمل منحنى جوردان على دائرة الوحدة.

يمكن استنتاج الحالة المتصلة من الحالة المضلعة بتقريب المنحنى المتصل بمضلع. ^{[ 7 ]} تُستنتج نظرية منحنى جوردان أولًا بهذه الطريقة. يُعطى منحنى جوردان بدالة متصلة على دائرة الوحدة. وهي والدالة العكسية من صورتها إلى دائرة الوحدة متصلتان بانتظام . لذا، بتقسيم الدائرة إلى فترات صغيرة كافية، توجد نقاط على المنحنى بحيث تقع القطع المستقيمة الواصلة بين النقاط المتجاورة بالقرب من المنحنى، ولنقل بمقدار ε. تشكل هذه القطع المستقيمة معًا منحنى مضلعًا. إذا كان للمنحنى تقاطعات ذاتية، فلا بد أن تُشكل هذه التقاطعات حلقات مضلعة. يؤدي حذف هذه الحلقات إلى منحنى مضلع بدون تقاطعات ذاتية، ولكنه لا يزال قريبًا من المنحنى؛ قد لا تقع بعض رؤوسه على المنحنى، ولكنها جميعًا تقع ضمن جوار المنحنى. يقسم المنحنى المضلع المستوى إلى منطقتين، منطقة محدودة U ومنطقة غير محدودة V. يمثل كل من U و V ∪ ∞ صورتين متصلتين للقرص المغلق ذي الوحدة. ولأن المنحنى الأصلي يقع ضمن نطاق صغير حول المنحنى المضلع، فإن اتحاد صورتي قرصين مفتوحين متحديي المركز أصغر قليلاً لا يشمل المنحنى الأصلي إطلاقاً، كما أن اتحادهما يستبعد نطاقاً صغيراً حول المنحنى. إحدى هاتين الصورتين هي مجموعة مفتوحة محدودة تتكون من نقاط يكون حولها المنحنى ملتفاً برقم واحد؛ والأخرى هي مجموعة مفتوحة غير محدودة تتكون من نقاط يكون حولها المنحنى ملتفاً برقم صفر. بتكرار هذه العملية لسلسلة من قيم ε التي تقترب من الصفر، نحصل على اتحاد لمجموعتين مفتوحتين متصلتين بمسارات، محدودتين، تتكونان من نقاط يكون حولها المنحنى ملتفاً برقم واحد، واتحاد لمجموعتين مفتوحتين متصلتين بمسارات، غير محدودتين، تتكونان من نقاط يكون حولها المنحنى ملتفاً برقم صفر. وبحسب هذا البناء، فإن هاتين المجموعتين المفتوحتين المتصلتين بمسارات منفصلتين تُكملان متمم المنحنى في المستوى. ^{[ 8 ]}

بناءً على نظرية منحنى جوردان، يمكن إثبات نظرية جوردان-شونفليس على النحو التالي. ^{[ 9 ]}

• تتمثل الخطوة الأولى في إثبات إمكانية الوصول إلى مجموعة كثيفة من النقاط على المنحنى من داخله، أي أنها تقع في نهاية قطعة مستقيمة تقع بالكامل داخل المنحنى. في الواقع، تكون أي نقطة على المنحنى قريبة جدًا من نقطة ما في داخله، ويوجد قرص مغلق صغير حول تلك النقطة يتقاطع مع المنحنى فقط عند حدوده؛ وتكون نقاط الحدود هذه قريبة من النقطة الأصلية على المنحنى، وبالتالي يمكن الوصول إليها بحكم التعريف.
• الخطوة الثانية هي إثبات أنه عند وجود عدد محدود من النقاط المتاحة _Aᵢ على المنحنى، والمتصلة بقطع مستقيمة _AᵢBᵢ داخله ، توجد منحنيات مضلعة منفصلة داخله، رؤوسها على كل قطعة مستقيمة بحيث تكون المسافة بينها وبين المنحنى الأصلي صغيرة كيفما شئنا. يتطلب هذا تقسيم _{المستوى} إلى مربعات صغيرة منتظمة، بحيث إذا التقت مربعتان، فإنهما تشتركان في ضلع أو جزء من ضلع: من الأمثلة على ذلك التبليط السداسي القياسي؛ أو التبليط القياسي باستخدام مستطيلات أو مربعات ذات روابط مشتركة أو روابط تمدد. يكفي إنشاء مسار مضلع بحيث تكون المسافة بينه وبين منحنى جوردان صغيرة كيفما شئنا. نوجه التبليط بحيث لا يكون أي ضلع من أضلاع المربع موازيًا لأي نقطة AᵢBᵢ . _{يمكن اختيار حجم المربعات صغيرًا كيفما شئنا} . نأخذ اتحاد جميع المربعات المغلقة التي تحتوي على نقطة واحدة على الأقل من منحنى جوردان. يتكون حد هذا الاتحاد من منحنيات مضلعة منفصلة. إذا كان حجم البلاطات صغيرًا بما يكفي، فإن نقاط النهاية B _i ستقع داخل منحنى حدودي واحد فقط من منحنيات المضلعات. المسافة بينها وبين منحنى جوردان أقل من ضعف قطر البلاطات، لذا فهي صغيرة جدًا.
• الخطوة الثالثة هي إثبات إمكانية تمديد أي تماثل شكلي f بين المنحنى ومثلث مُعطى إلى تماثل شكلي بين إغلاقاتهما الداخلية. في الواقع، خذ متتالية ε₁ _{, ε₂, ε₃, ... تتناقص إلى الصفر. اختر عددًا محدودًا من النقاط Aᵢ على} منحنى _جوردان Γ _بحيث تكون المسافة بين كل نقطة وأخرى أقل من ε₁ _. أنشئ الخطوة الثانية باستخدام بلاطات قطرها أقل من ε₁ _{، ولتكن} Cᵢ هي النقاط على المنحنى المضلع Γ₁ _{التي تتقاطع} مع AᵢBᵢ . _خذ النقاط f ( Aᵢ ₎ على المثلث. ثبّت نقطة أصل في المثلث Δ، وغيّر حجم المثلث للحصول على مثلث أصغر Δ₁ _على مسافة أقل من ε₁ _من المثلث الأصلي. ولتكن Dᵢ _هي النقاط عند تقاطع نصف القطر المار بالنقطة f ( Aᵢ ₎ مع المثلث الأصغر. يوجد تماثل خطي جزئي F1 للمنحنى المضلع على المثلث الأصغر الذي يحمل C _i إلى D _i . وبحسب نظرية جوردان-شونفليس، يمتد هذا التماثل إلى تماثل _F1 بين إغلاق باطنهما. الآن، نفّذ العملية نفسها لـ ε _{2 مع} مجموعة جديدة من النقاط على منحنى جوردان. سينتج عن ذلك مسار مضلع ثانٍ Γ ₂ بين Γ ₁ و Γ. وبالمثل، يوجد مثلث ثانٍ Δ ₂ بين Δ ₁ و Δ. تقسم القطع المستقيمة للنقاط المتاحة على Γ المنطقة المضلعة بين Γ ₂ و Γ ₁ إلى اتحاد مناطق مضلعة؛ وبالمثل، تقسم أنصاف أقطار النقاط المقابلة على Δ المنطقة بين Δ ₂ و Δ ₁ إلى اتحاد مناطق مضلعة. يمكن تعميم التشاكل F1 ليشمل التشاكلات بين المضلعات المختلفة، التي تتفق على الحواف المشتركة (الفترات المغلقة على القطع المستقيمة أو أنصاف الأقطار). وبحسب نظرية جوردان-شونفليس للمضلعات، يمتد كل من هذه التشاكلات إلى داخل المضلع. وتُنتج هذه التشاكلات مجتمعةً تشاكلاً _F2 لإغلاق داخل المضلع Γ2 _على إغلاق داخل المضلع _Δ2 ؛ _حيث يُعمم F2 _{التشاكل} F1 _{.بالاستمرار على هذا النحو ،} نحصل على منحنيات مضلعية Γₙ _{ومثلثات} Δₙ _مع تماثل Fₙ بين إغلاقات داخلها؛ حيث يمتد Fₙ _من Fₙ₋₁ . تتسع المناطق داخل Γₙ _لتشمل المنطقة داخل Γ، وتتسع المثلثات Δₙ _{لتشمل Δ} . تتصل التماثلات Fₙ معًا لتشكل تماثلًا F من داخل Γ إلى داخل Δ. وبحسب الإنشاء، فإن له نهاية _f على منحنيات الحدود Γ وΔ. ومن ثم، فإن _F هو التماثل المطلوب.
• تتمثل الخطوة الرابعة في إثبات إمكانية امتداد أي تماثل شكلي بين منحنيات جوردان إلى تماثل شكلي بين إغلاقات باطنها. وبناءً على نتيجة الخطوة الثالثة، يكفي إثبات أن أي تماثل شكلي لحدود مثلث يمتد إلى تماثل شكلي لإغلاق باطنه. هذه نتيجة لحيلة ألكسندر. (تُثبت حيلة ألكسندر أيضًا تماثلًا شكليًا بين المثلث المصمت والقرص المغلق: التماثل الشكلي هو ببساطة الامتداد الشعاعي الطبيعي لإسقاط المثلث على دائرته المحيطة بالنسبة لمركزها).
• الخطوة الأخيرة هي إثبات أنه عند وجود منحنيين من نوع جوردان، يوجد تماثل تماثلي في مستوى الدعم المدمج ينقل أحدهما إلى الآخر. في الواقع، يقع كل منحنى جوردان داخل نفس الدائرة الكبيرة، وفي داخل كل دائرة كبيرة توجد أنصاف أقطار تصل بين نقطتين متقابلتين قطريًا من المنحنى. يقسم كل تكوين المستوى إلى خارج الدائرة الكبيرة، وداخل منحنى جوردان، والمنطقة بينهما إلى منطقتين محدودتين بمنحنيات جوردان (مكونة من نصفَي قطر، ونصف دائرة، وأحد نصفَي منحنى جوردان). نأخذ التماثل التماثلي للدائرة الكبيرة؛ والتماثلات التماثلية الخطية القطعية بين زوجي أنصاف الأقطار؛ والتماثل التماثلي بين زوجي نصفَي منحنيات جوردان المُعطى بإعادة تمثيل خطية. تتحد التماثلات التماثلية الأربعة على أقواس الحدود لتُعطي تماثلًا تماثليًا للمستوى مُعطى بالتماثل التماثلي للدائرة الكبيرة ونقل أحد منحنيات جوردان إلى الآخر.

تعتمد البراهين في حالة المنحنى الأملس على إيجاد تماثل تفاضلي بين باطن/خارج المنحنى وقرص الوحدة المغلق (أو مكمله في المستوى الممتد). يمكن حل هذه المسألة، على سبيل المثال، باستخدام نظرية ريمان للتطبيقات الملساء ، والتي تتوفر لها عدة طرق مباشرة، مثل مسألة ديريشليه على المنحنى أو نوى بيرغمان . ^{[ 10 ]} (تكون هذه التماثلات التفاضلية تامة الشكل على باطن وخارج المنحنى؛ ويمكن إنشاء تماثلات تفاضلية أكثر عمومية بسهولة أكبر باستخدام حقول المتجهات والتدفقات). وباعتبار المنحنى الأملس واقعًا داخل المستوى الممتد أو الكرة ثنائية الأبعاد، فإن هذه الطرق التحليلية تُنتج تطبيقات ملساء حتى الحد الفاصل بين إغلاق باطن/خارج المنحنى الأملس وإغلاق دائرة الوحدة. ويختلف تعريفا المنحنى الأملس ودائرة الوحدة بتماثل تفاضلي لدائرة الوحدة. من ناحية أخرى، يمكن تمديد التشاكل التفاضلي f لدائرة الوحدة إلى تشاكل تفاضلي F لقرص الوحدة بواسطة تمديد ألكسندر :

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

حيث ψ دالة سلسة قيمها في الفترة [0,1]، وتساوي صفرًا بالقرب من 0 وواحدًا بالقرب من 1، و f ( e i θ ) = e ig (θ) ، حيث g (θ + 2π) = g (θ) + 2π . يُتيح تركيب أحد التشاكلات التفاضلية مع امتداد ألكسندر دمج التشاكلين معًا للحصول على تشاكل طوبولوجي للكرة ثنائية الأبعاد، والذي يقتصر على تشاكل تفاضلي على القرص المغلق ذي الوحدة وإغلاقات مكمله، والذي يحمله إلى داخل وخارج المنحنى الأملس الأصلي. وبحسب نظرية التماثل في الطوبولوجيا التفاضلية [ 11 ]، يمكن تعديل التشاكل الطوبولوجي ليصبح تشاكلًا تفاضليًا على الكرة ثنائية الأبعاد بأكملها دون تغييره على دائرة الوحدة. يوفر هذا التشاكل التفاضلي الحل السلس لمسألة شونفليس.

يمكن استنتاج نظرية جوردان-شونفليس باستخدام الطوبولوجيا التفاضلية . في الواقع، هي نتيجة مباشرة لتصنيف المشعبات ثنائية الأبعاد الملساء الموجهة ذات الحدود، وصولاً إلى التماثل التفاضلي، كما هو موضح في هيرش (1994) . يقسم المنحنى الأملس الكرة ثنائية الأبعاد إلى جزأين. وبحسب التصنيف، فإن كل جزء متماثل تفاضليًا مع قرص الوحدة، ومع الأخذ في الاعتبار نظرية التماثل، فإنهما متصلان معًا بتماثل تفاضلي للحدود. وباستخدام حيلة ألكسندر، يمتد هذا التماثل التفاضلي إلى القرص نفسه. وبالتالي، يوجد تماثل تفاضلي للكرة ثنائية الأبعاد يحمل المنحنى الأملس إلى دائرة الوحدة.

من جهة أخرى، يمكن أيضًا إنشاء التشاكل التفاضلي مباشرةً باستخدام نظرية جوردان-شونفليس للمضلعات وطرق أولية من الطوبولوجيا التفاضلية، وتحديدًا التدفقات المعرفة بواسطة حقول متجهة. ^{[ 12 ]} عندما يكون منحنى جوردان أملسًا (مُعَلمًا بطول القوس)، فإن متجهات الوحدة العمودية تُعطي حقلًا متجهيًا غير صفري X₀ في جوار أنبوبي U₀ للمنحنى. لنأخذ منحنى مضلعًا في باطن المنحنى بالقرب من حدوده وعموديًا عليه (عند الرؤوس _{، يجب أن} يكون الحقل المتجهي ضمن الزاوية المُشكلة من الحواف). وفقًا لنظرية جوردان-شونفليس الخطية القطعية، يوجد تشاكل تماثلي خطي قطعي، أفيني، على تثليث مناسب لباطن المضلع، بأخذ المضلع على مثلث. لنأخذ نقطة داخلية P في أحد المثلثات الصغيرة للتثليث. تُقابل هذه النقطة نقطة Q في مثلث الصورة. يوجد حقل متجه شعاعي على المثلث الموضح، مُكوَّن من خطوط مستقيمة تشير نحو النقطة _{Q. يُنتج هذا سلسلة من الخطوط في المثلثات الصغيرة المُكوِّنة للمضلع. يُعرِّف كل خط حقل متجه Xᵢ على جوار Uᵢ} لإغلاق المثلث . يكون كل حقل متجه متعامدًا على الأضلاع، بشرط اختيار Q في "وضع عام" بحيث لا يقع _على استقامة واحدة مع أي من الأضلاع المحدودة في التثليث. عند إجراء الإزاحة إذا لزم الأمر، يُمكن افتراض أن النقطتين P و Q تقعان عند نقطة الأصل 0. على المثلث الذي يحتوي على P، يُمكن اعتبار حقل المتجه هو حقل المتجه الشعاعي القياسي. وبالمثل، يُمكن تطبيق الإجراء نفسه على السطح الخارجي للمنحنى الأملس، بعد تطبيق تحويل موبيوس لرسمه في الجزء المحدود من المستوى، ومن ∞ إلى 0. في هذه الحالة، تكون مؤشرات جوارات Uᵢ للمثلثات سالبة. خذ حقول المتجهات _{Xᵢ بإشارة سالبة ،} مُشيرةً بعيدًا عن النقطة عند اللانهاية. تشكل كل من U₀ و Uᵢ _، حيث i ≠ _{0 ،} غطاءً مفتوحًا للكرة ثنائية الأبعاد. خذ تجزئة سلسة للوحدة ψᵢ تابعة للغطاء Uᵢ _، وضع

${\displaystyle \displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}}$

يمثل X حقلًا متجهيًا أملسًا على الكرة ثنائية الأبعاد، ويتلاشى فقط عند 0 و∞. مؤشره يساوي 1 عند 0 و-1 عند ∞. بالقرب من 0، يتساوى الحقل المتجهي مع الحقل المتجهي القطري المتجه نحو 0. إذا كان αt _هو التدفق الأملس المعرف بواسطة X ، فإن النقطة 0 هي نقطة جاذبة ، و∞ هي نقطة دافعة. عندما يؤول t إلى +∞، يرسل التدفق النقاط إلى 0؛ بينما عندما يؤول t إلى -∞، تُرسل النقاط إلى ∞. استبدال X بـ f ⋅ X ، حيث f دالة موجبة ملساء، يُغير معلمات منحنيات التكامل لـ X ، ولكنه لا يُغير منحنيات التكامل نفسها. لاختيار مناسب لـ f يساوي 1 خارج حلقة صغيرة بالقرب من 0، ستصل جميع منحنيات التكامل التي تبدأ من نقاط المنحنى الأملس إلى الدائرة الأصغر التي تُحيط بالحلقة في نفس الوقت s . وبالتالي، ينقل التحويل التفاضلي α _s المنحنى الأملس إلى هذه الدائرة الصغيرة. ثم ينقل تحويل القياس، الذي يثبت 0 و∞، الدائرة الصغيرة إلى دائرة الوحدة. بتركيب هذه التحويلات التفاضلية، نحصل على تحويل تفاضلي ينقل المنحنى الأملس إلى دائرة الوحدة.