القطاع (أداة)

تُسمى المقاييس الداخلية للجهاز بالخطوط الحسابية نسبةً إلى تقسيمها في متتابعة حسابية ، أي أنها مقياس خطي. يُقسّم القطاع في متحف غاليليو من 16 إلى 260. ^{[ 7 ]} إذا سمينا الطول من نقطة الارتكاز${\displaystyle A,}$ثم يتم منح علامتين بقيم محددة${\displaystyle n_{1}}$و${\displaystyle n_{2},}$نسب أطوالها تتناسب مع نسب أعدادها. بالصيغة الحديثة:

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}},}$

يصف غاليليو كيفية استخدام هذه المقاييس لتقسيم خط إلى عدد من الأجزاء المتساوية، وكيفية قياس أي جزء من خط، وكيفية إنتاج نسخة مصغرة من شكل أو خريطة، وكيفية حل قاعدة إقليدس الذهبية (وتسمى أيضًا قاعدة الثلاثة )، وكيفية تحويل قيمة من عملة إلى أخرى، وكيفية حساب القيمة المركبة للاستثمار.

كمثال، تكون طريقة حساب القيمة المركبة للاستثمار كما يلي: إذا كان الاستثمار الأولي هو P0، اضبط الفرجار على المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المحددة عند P0 على الخطوط الحسابية. افتح الجهاز واضبط المسافة العرضية عند النقطة 100-100 على الخطوط الحسابية على المسافة التي تم قياسها للتو إلى P0. إذا كان معدل الفائدة للفترة، على سبيل المثال، 6%، فاضبط الفرجار على المسافة العرضية عند 106-106. ضع الفرجار عند نقطة الارتكاز، وانظر أين يقع الطرف الآخر على الخطوط الحسابية. هذه هي قيمة الاستثمار في نهاية الفترة الأولى. الآن، اضبط المسافة العرضية عند 100-100 مرة أخرى على مسافة الفرجار الحالية وكرر العملية لعدد الفترات المطلوبة.

تُسمى المجموعة التالية من الخطوط بالخطوط الهندسية ، وهي ذات مقياس مرقم من 1 إلى 50، بأطوال تتناسب مع الجذر التربيعي، وتُسمى هندسية لأنها تُستخدم لإيجاد المتوسط ​​الهندسي والتعامل مع مساحات الأشكال المستوية. إذا سمينا الطول من نقطة الارتكاز${\displaystyle G,}$ثم:

${\displaystyle {\frac {G_{1}}{G_{2}}}={\frac {\sqrt {n_{1}}}{\sqrt {n_{2}}}}}$

يصف غاليليو كيفية استخدام هذه الخطوط لتغيير حجم شكل بحيث يكون للشكل الجديد نسبة مساحة معينة إلى الشكل الأصلي، وكيفية قياس نسبة مساحة شكلين متشابهين، وكيفية دمج مجموعة من الأشكال المتشابهة في شكل متشابه آخر بحيث يكون للشكل الناتج المساحة المجمعة للمجموعة، وكيفية إنشاء شكل مشابه تكون مساحته مساوية للفرق في مساحة شكلين متشابهين آخرين، وكيفية إيجاد الجذر التربيعي لعدد، وكيفية ترتيب N جنديًا في شبكة حيث تكون نسبة الصفوف إلى الأعمدة قيمة محددة، وكيفية إيجاد المتوسط ​​الهندسي لعددين.

كمثال، إليك طريقة رسم شكل هندسي مماثل بمساحة إجمالية لمجموعة من الأشكال الهندسية المماثلة: اختر ضلعًا في الشكل الأكبر وقِس طوله باستخدام الفرجار. افتح القطاع واضبط المسافة العرضية على الخطوط الهندسية عند قيمة متوسطة، أي قيمة مناسبة، ولتكن 20. ثم قِس طول الضلع المقابل في كل شكل من الأشكال الأخرى، واقرأ قيمة مقياس الخطوط الهندسية عند النقطة التي تتطابق فيها المسافة العرضية مع هذه الأطوال. اجمع جميع قراءات المقياس، بما في ذلك القيمة 20 التي حددناها في البداية. عند القيمة الإجمالية على الخطوط الهندسية، قِس المسافة العرضية. سيكون هذا هو طول ضلع الشكل الذي بمساحة إجمالية للمجموعة. يمكنك بعد ذلك استخدام المقياس الحسابي لتغيير أطوال جميع الأضلاع الأخرى في الشكل الأكبر لتتوافق معها. هذه الطريقة مناسبة لأي شكل مغلق مصنوع من خطوط مستقيمة.

تختلف طريقة حساب الجذر التربيعي باختلاف حجم العدد تحت الجذر. بالنسبة لعدد "متوسط" (في حدود 5000)، ابدأ بقياس المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المحددة برقم 40 على الخطوط الحسابية، ثم حدد المسافة العرضية للقطاع عند 16-16 على الخطوط الهندسية لتكون مساوية لهذه المسافة. بعد ذلك، خذ العدد واقسمه على 100، مع تقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. على سبيل المثال، يصبح 8679 هو 87. إذا كان هذا العدد أكبر من 50 (أكبر قيمة على مقياس الخطوط الهندسية)، فيجب تصغيره، في هذا المثال ربما قسمته على 3 ليصبح 29. بعد ذلك، قم بقياس المسافة العرضية على الخطوط الهندسية عند 29، وهذه المسافة على الخطوط الحسابية تمثل${\displaystyle {\sqrt {2900}}.}$نظراً لتقليص عددنا ليتناسب مع القطاع، يجب علينا زيادة الطول بمقدار${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$يمكننا اختيار أي قيمة مناسبة، مثلاً 10، مع ضبط المسافة العرضية للقطاع عند 10 بالنسبة لفصل الفرجار، ثم قياس المسافة العرضية عند 30 على الخطوط الهندسية، ثم وضع الفرجار مقابل الخطوط الحسابية للقياس.${\displaystyle {\sqrt {8700}},}$وهو قريب بما فيه الكفاية من${\displaystyle {\sqrt {8679}}}$

تُعدّ طريقة حساب الجذر التربيعي لعدد صغير، أي عدد قريب من 100، أبسط: لا نقسم على 100 في البداية، ولكن نتبع نفس الخطوات الأخرى. في النهاية، نقسم قيمة الجذر التربيعي المُقدّرة على 10. أما بالنسبة للأعداد الكبيرة (حوالي 50,000)، فنرسم قطاعًا دائريًا من النقطة 10-10 على الخطوط الهندسية إلى النقطة 100 على الخطوط الحسابية. نقسم العدد على 1000 ونقرّبه إلى أقرب عدد صحيح. ثم نتبع نفس الخطوات السابقة.

لا يقدم غاليليو أي توجيهات أو تحسينات إضافية. إن معرفة الإجراء المناسب لرقم معين يتطلب بعض التفكير، وفهمًا لانتشار عدم اليقين .

تُسمى الخطوط المجسمة بهذا الاسم لأنها ترتبط بالهندسة المجسمة ، وهي هندسة الأجسام ثلاثية الأبعاد. يبلغ مقياس الرسم 148، والمسافة من نقطة الارتكاز تتناسب مع الجذر التكعيبي. إذا سمينا الطول${\displaystyle S,}$ثم

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{n_{1}}}{\sqrt[{3}]{n_{2}}}}}$

تعمل هذه الخطوط بطريقة مماثلة للخطوط الهندسية، باستثناء أنها تتعامل مع الأحجام بدلاً من المساحات.

يشرح غاليليو كيفية استخدام هذه الخطوط لإيجاد طول الضلع المقابل في مجسم مشابه، حيث يكون للمجسم نسبة حجم معينة إلى المجسم الأصلي، وكيفية تحديد نسبة حجم مجسمين متشابهين بمعرفة أطوال زوج من الأضلاع المتناظرة، وكيفية إيجاد أطوال أضلاع مجسم مشابه له الحجم الكلي لمجموعة من المجسمات المشابهة الأخرى، وكيفية إيجاد الجذر التكعيبي لعدد، وكيفية إيجاد القيمتين المتوسطتين بين عددين.${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle n_{1}=rp}$،${\displaystyle n_{2}=r^{2}p}$و${\displaystyle q=r^{3}p}$لعامل قياس معين${\displaystyle r}$وكيفية إيجاد طول ضلع المكعب الذي له نفس حجم متوازي المستطيلات (صندوق ذو زوايا مربعة).

لتحويل متوازي مستطيلات الأضلاع إلى مكعب، عدد أضلاعه 1.${\displaystyle a}$،${\displaystyle b,}$و${\displaystyle c}$يرقى إلى مستوى الحوسبة${\displaystyle s={\sqrt[{3}]{abc}}.}$تعتمد طريقة غاليليو على استخدام الخطوط الهندسية أولاً لإيجاد المتوسط ​​الهندسي لضلعين من أضلاع الشكل الهندسي.${\displaystyle g={\sqrt {ab}}.}$ثم يقيس المسافة على طول خطوط الحساب إلى النقطة المحددة${\displaystyle g}$باستخدام الفرجار، ثم يضبط القطاع بشكل عرضي على هذه المسافة عند النقطة المحددة${\displaystyle g}$على الخطوط المجسمة، معايرة القطاع بحيث تكون المسافة من المحور إلى النقطة${\displaystyle g}$تمثل الخطوط المجسمة${\displaystyle {\sqrt[{3}]{ab}},}$جانب مكعب بحجم متوازي مستطيلات ذي جوانب${\displaystyle a,}$${\displaystyle b,}$و${\displaystyle 1.}$ثم يقيس المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المحددة${\displaystyle c}$على الخطوط الحسابية، ويرى عند أي قيمة على الخطوط المجسمة تتناسب هذه المسافة بشكل عرضي، وبالتالي يضرب النتيجة السابقة بـ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}},}$مما أدى إلى${\displaystyle {\sqrt[{3}]{abc}}}$حسب الرغبة.

تُشبه طريقة حساب الجذور التكعيبية طريقة حساب الجذور التربيعية، إلا أنها لا تُجدي إلا مع الأعداد التي تبلغ 1000 أو أكثر. بالنسبة للأعداد "المتوسطة"، نُحدد القطاع عرضيًا عند 64-64 على الخطوط المجسمة، بحيث تكون المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المُشار إليها بالرقم 40 على الخطوط الحسابية. ثم نحذف آخر ثلاثة أرقام من العدد، وإذا كان الرقم المحذوف أكبر من 500، نضيف واحدًا إلى الباقي. نقيس المسافة العرضية على الخطوط المجسمة عند قيمة الباقي، ونقارنها بالخطوط الحسابية لإيجاد الجذر التكعيبي. أكبر عدد يُمكن التعامل معه دون إعادة تحجيم هو 148000. أما بالنسبة للأعداد "الكبيرة"، فنُحدد القطاع عرضيًا عند 100-100 على الخطوط المجسمة، بحيث تكون المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة 100 على الخطوط الحسابية، وبدلًا من حذف ثلاثة أرقام، نحذف أربعة. يمكن لهذا البرنامج التعامل مع الأرقام من 10,000 إلى 1,480,000 دون الحاجة إلى إعادة تحجيمها. وللاستخدام العملي، يُنصح باستخدام إجراء الرقم المتوسط ​​لجميع القيم حتى 148,000 التي لا تقع ضمن نطاق 2% تقريبًا من مضاعفات 10,000.

الخطوط المعدنية ، وهي الزوج الخارجي على الوجه الأمامي، مُعَلَّمة بالرموز "ORO" (للذهب ) ، و "PIO" ( للرصاص ) ، و "AR" (للفضة)، و " RA" (للنحاس)، و " FE" ( للحديد ) ، و "ST" (للقصدير)، و " MA " ( للرخام ) ، و" PIE " (للحجر ) . رُتِّبت هذه الرموز تنازليًا حسب الوزن النوعي أو الكثافة، بحيث تتناسب المسافة عكسيًا مع الجذر التكعيبي. بافتراض وجود مادتين بكثافة${\displaystyle \rho _{1}}$و${\displaystyle \rho _{2},}$إذا استدعينا الطول من نقطة الارتكاز${\displaystyle M,}$

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{\rho _{2}}}{\sqrt[{3}]{\rho _{1}}}}}$

نسبة الأطوال على هذا المقياس تتناسب مع نسبة أقطار كرتين لهما نفس الوزن ولكن بمواد مختلفة.

كانت هذه الخطوط ذات أهمية بالغة لرجال المدفعية لحل مشكلة "تحديد العيار"، أي كيفية حساب كمية البارود المناسبة لقذيفة مدفع ذات حجم ومادة معينين، عندما تكون الكمية المناسبة لقذيفة أخرى ذات حجم ومادة مختلفين معروفة. وللقيام بذلك، يتم قياس قطر القذيفة ذات الكمية المعروفة، ثم يُضبط القطاع بشكل عرضي عند علامة مادة هذه القذيفة على الخطوط المعدنية حتى ذلك القطر. المسافة العرضية عند نوع مادة القذيفة الثانية تعطي قطر قذيفة من نفس المادة لها نفس وزن القذيفة الأولى. نحتاج إلى تقليص هذا الطول بشكل مجسم إلى القطر المحدد للقذيفة الثانية للحصول على الكمية الصحيحة، لذلك نضبط المسافة العرضية على الخطوط المجسمة عند 100-100 إلى المسافة العرضية التي قمنا بقياسها للتو من الخطوط المعدنية، ثم نرى أين تتطابق المسافة العرضية على الخطوط المجسمة مع القطر الفعلي للقذيفة الثانية. الكمية المطلوبة هي نسبة قراءة هذا المقياس إلى 100 مقارنة بالقذيفة ذات الكمية المعروفة. يمكنك بعد ذلك استخدام الخطوط الحسابية لتغيير وزن الشحنة بهذه النسبة.

الخطوط متعددة الخطوط ، والمقياس الداخلي على ظهر الجهاز، مُرقمة من 3 إلى 15، والمسافة من المحور تتناسب عكسيًا مع طول ضلع مضلع منتظم.${\displaystyle n}$الأضلاع المحيطة بدائرة معينة، أو تتناسب طرديًا مع نصف قطر الدائرة المحيطة بمضلع منتظم من${\displaystyle n}$أضلاع ذات طول معين. إذا${\displaystyle P}$هو الطول على المقياس متعدد القنوات و${\displaystyle \operatorname {crd} }$يمثل طول الوتر المثلثي لقوس دائري مقاسًا بالدرجات، ثم

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{2}}}}{\operatorname {crd} {\dfrac {360^{\circ }}{n_{1}}}}}.}$

باستخدام الترميز الوظيفي بدلالة دالة الجيب الحديثة ،

${\displaystyle P(n)={\frac {R}{2\sin {\dfrac {\pi }{n}}}}}$

أين${\displaystyle R}$هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالسداسي،${\displaystyle P(6)=R.}$يمكن استخدام هذه الخطوط للمساعدة في إنشاء أي مضلع منتظم بدءًا من المثلث متساوي الأضلاع ذي 3 أضلاع وحتى المضلع الخماسي عشر الأضلاع .

يصف غاليليو كيفية استخدام هذه الخطوط لإيجاد نصف قطر دائرة محيطة بمضلع ذي n ضلعًا بطول معين، أو في الاتجاه المعاكس، كيفية إيجاد طول وتر يقسم محيط الدائرة إلى${\displaystyle n}$الأجزاء. إجراء إيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة هو كما يلي: افتح القطاع واضبط المسافة العرضية عند النقطة 6-6 على الخطوط متعددة الأضلاع إلى طول الضلع المطلوب. المسافة المقاسة عرضيًا عند${\displaystyle n}$يمثل الخط متعدد الأضلاع نصف قطر الدائرة المحيطة.

تُحدد الخطوط الرباعية من 13 إلى 3 كلما ابتعدنا عن نقطة الارتكاز، ويمكن استنتاج المسافة من نقطة الارتكاز على أنها${\displaystyle L(n)=L_{t}{\sqrt {\frac {n}{{\sqrt {3}}\tan {\frac {180}{n}}}}}}$، أين${\displaystyle L_{t}}$هي المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المحددة بالرقم 3. توجد دائرة على المقياس تقع تقريبًا في منتصف المسافة بين 6 و7. يُشتق الاسم من كلمة "رباعي" ( tetragon )، حيث أن الغرض الرئيسي من هذه الخطوط هو إيجاد مربعات المضلعات المنتظمة، أي إيجاد طول ضلع المربع الذي تساوي مساحته مساحة المضلع المنتظم المعطى. ويمكن استخدامها أيضًا لتربيع الدائرة .

مساحة المضلع المنتظم الذي${\displaystyle n}$الجانب هو${\displaystyle A(n)=L^{2}{\frac {n}{4\tan {\frac {180}{n}}}}}$، أين${\displaystyle L}$يمثل طول ضلع المضلع. نصف قطر الدائرة ذات المساحة المتساوية هو${\displaystyle r=L{\frac {n}{4\pi \tan {\frac {180}{n}}}}}$قيمة${\displaystyle n}$النقطة التي يكون فيها نصف قطر الدائرة مساوياً لطول ضلع المضلع، هي${\displaystyle n=6.5437}$بالطبع، لا يوجد مضلع كهذا، لكن هذا يعطينا نقطة مرجعية على الخطوط الرباعية، وهي الدائرة المشار إليها، حيث يسهل قراءة نصف قطر الدائرة الذي يساوي في مساحته مساحة المضلع.${\displaystyle n}$إذا حددنا القطاع عند الجوانب${\displaystyle n}$على الخطوط الرباعية المتعامدة مع طول ضلع المضلع. ثم يتم تربيع الدائرة ببساطة باستخدام${\displaystyle n=4}$لتربيع المضلع، كل ما علينا فعله هو وضع القطاع بشكل عرضي عند${\displaystyle n}$قم بقياس الطول الجانبي، وقم بالقياس العرضي عند${\displaystyle n=4}$. من السهل بنفس القدر إيجاد أطوال الأضلاع المطلوبة لأي مضلعين متساويين في المساحة ولكن بأعداد أضلاع مختلفة.

تحتوي المجموعة الخارجية من الخطوط على الجهة الخلفية على مقياس مزدوج، مقياس خارجي ومقياس داخلي. المقياس الخارجي خطي ويمتد من 18 إلى 0 كلما ابتعدنا عن نقطة الارتكاز، ونقطة الصفر مُشار إليها برمز ⌓، وهو رمز لقطاع دائري . تقع نقطة الصفر هذه على بُعد حوالي 70% من المسافة الخارجية على طول الذراع. يُوصف المقياس الداخلي أيضًا بأنه يمتد من 18 إلى 0، ولكن القطاع في متحف غاليليو مُعلّم فقط من 17. تقع نقطة الصفر على المقياس الداخلي أبعد على الذراع، على مسافة${\textstyle {\sqrt {\pi /2}}L_{a}}$أين${\displaystyle L_{a}}$المسافة من نقطة الارتكاز إلى الصفر على المقياس الخارجي، ويُشار إلى الصفر بمربع صغير. يقع صفر المقياس الخارجي بالقرب من النقطة المُشار إليها بالرقم 6 على المقياس الداخلي. يبدو المقياس الداخلي خطيًا للوهلة الأولى، لكن المسافات بين نقاطه تُحدد في الواقع بصيغة معقدة نوعًا ما، علينا استنتاجها لأن غاليليو لم يصف كيفية إنشاء هذا المقياس. سُميت هذه الخطوط بهذا الاسم لأنها أُضيفت من قِبل غاليليو إلى نسخة سابقة من قطاعه. تُستخدم هذه الخطوط لتربيع القطع الدائرية، أي إيجاد طول ضلع مربع يساوي في مساحته قطعة دائرية ذات طول وتر وارتفاع مُحددين، حيث تكون القطعة نصف دائرة على الأكثر.

تتمثل طريقة تربيع قطعة دائرية فيما يلي: قياس نصف طول الوتر،${\displaystyle c}$عند منتصف الوتر، قم بقياس طول الخط العمودي على الوتر حتى نقطة تقاطعه مع الدائرة، وهو الارتفاع.${\displaystyle h}$ضع القطاع بشكل متقاطع على الخطوط المضافة عند الصفر من المقياس الخارجي بطول نصف الوتر،${\displaystyle c}$أوجد النقطة على المقياس الخارجي،${\displaystyle n}$، حيث تكون المسافة العرضية${\displaystyle h}$؛${\displaystyle h}$يجب أن يكون أقل من أو يساوي${\displaystyle c}$انتقل إلى النقطة المحددة على المقياس الداخلي.${\displaystyle n}$المسافة العرضية بين النقاط nn على المقياس الداخلي هي طول ضلع المربع الذي يساوي في مساحته مساحة القطعة الدائرية.

لفهم كيفية عمل ذلك، نبدأ بملاحظة (كما هو موضح في الشكل في القطعة الدائرية ) أن مساحة القطعة هي الفرق بين مساحة شريحة الفطيرة المحددة عند نقطة تقاطع الوتر مع الدائرة، ومساحة المثلث المتكون من الوتر ونصفَي القطر اللذين يلامسان طرفي الوتر. طول قاعدة المثلث هو${\displaystyle 2c}$وارتفاع المثلث هو${\displaystyle rh}$إذن، مساحة المثلث هي${\displaystyle A_{t}=c(rh)}$باستخدام نظرية فيثوغراس ، يمكننا أن نبين أن${\displaystyle r=(c^{2}+h^{2})/2h}$مساحة شريحة الفطيرة هي نسبة مساحة الدائرة التي تغطيها الزاوية${\displaystyle \theta }$. ل${\displaystyle \theta }$بالراديان ، هذه المنطقة هي${\displaystyle A_{pie}=\theta /2r^{2}=r^{2}\arcsin(c/r)}$، أين${\displaystyle \arcsin }$هي دالة الجيب العكسية . إذا عرّفنا${\displaystyle x=h/c}$، و${\displaystyle z=(1+x^{2})/2x}$إذن، يمكننا كتابة مساحة القطعة المستقيمة على النحو التالي:${\displaystyle A_{seg}=c^{2}(z^{2}\arcsin 1/z-z+x)}$.

المسافة من نقطة الارتكاز إلى النقطة المحددة${\displaystyle n}$على المقياس الخارجي${\displaystyle L_{outer}(n)=L_{a}(1-n/20)}$أين${\displaystyle L_{a}}$هي المسافة من نقطة الارتكاز إلى نقطة الصفر على المقياس الخارجي. عندما نضبط القطاع بشكل عرضي إلى${\displaystyle c}$عند نقطة الصفر، ثم أوجد النقطة على المقياس الخارجي حيث تكون المسافة العرضية${\displaystyle h}$، نقوم بإنشاء زوج من المثلثات المتشابهة التي تشترك في الزاوية التي تشكلها أذرع القطاع عند نقطة الارتكاز، بحيث${\displaystyle h/c=1-n/20}$إذا حددنا مسافة النقطة${\displaystyle n}$من نقطة الارتكاز على المقياس الداخلي إلى${\textstyle L_{inner}(n)=L_{a}{\sqrt {z^{2}\arcsin 1/z-z+x}}}$، مع${\displaystyle x=1-n/20}$، و${\displaystyle z}$كما هو موضح سابقًا، فإن المسافة العرضية المقاسة عند${\displaystyle n}$على المقياس الداخلي سيكون طول ضلع المربع الذي تساوي مساحته مساحة القطعة المستقيمة.