التكامل العددي (الرياضيات)

فهم علماء الرياضيات اليونانيون تحديد مساحة شكل ما على أنه عملية إنشاء مربع هندسي له نفس المساحة ( التربيع )، ومن هنا جاء اسم "التربيع الهندسي" لهذه العملية. لم يكن علماء الهندسة اليونانيون دائمًا ناجحين (انظر تربيع الدائرة )، لكنهم أجروا عمليات تربيع لبعض الأشكال التي لم تكن أضلاعها مجرد قطع مستقيمة، مثل هلال أبقراط والقطع المكافئ . ووفقًا لتقليد يوناني معين، كان لا بد من إجراء هذه العمليات باستخدام الفرجار والمسطرة فقط ، مع أن ليس كل علماء الرياضيات اليونانيين التزموا بهذا المبدأ.

لإنشاء مربع لمستطيل ذي ضلعين a و b، من الضروري إنشاء مربع ذي ضلع${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$( المتوسط ​​الهندسي لـ a و b ). ولتحقيق هذا الغرض، يمكن استخدام ما يلي: إذا رُسمت دائرة قطرها مكون من وصل قطعتين مستقيمتين طولهما a و b ، فإن ارتفاع القطعة المستقيمة ( BH في الرسم) المرسومة عموديًا على القطر، من نقطة اتصالهما إلى نقطة تقاطعها مع الدائرة، يساوي المتوسط ​​الهندسي لـ a و b . ويحل بناء هندسي مماثل مسائل تربيع متوازي الأضلاع والمثلث.

تُعدّ مسائل التربيع للأشكال المنحنية أكثر صعوبة. وقد ثبت في القرن التاسع عشر استحالة تربيع الدائرة باستخدام الفرجار والمسطرة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ومع ذلك، يُمكن إجراء التربيع لبعض الأشكال. وقد مثّلت عمليات تربيع سطح الكرة وقطعة القطع المكافئ التي اكتشفها أرخميدس ذروة الإنجاز في التحليل في العصور القديمة.

• مساحة سطح الكرة تساوي أربعة أضعاف مساحة الدائرة التي تشكلها دائرة عظمى لهذه الكرة.
• مساحة قطعة من القطع المكافئ التي يحددها خط مستقيم يقطعها تساوي 4/3 مساحة المثلث المرسوم داخل هذه القطعة (وتحديداً، مساحة المثلث الذي رؤوسه هي نقطتا تقاطع القطع المكافئ مع الخط القاطع وتقاطعه مع خط مماس له نفس الميل).

ولإثبات هذه النتائج، استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد المنسوبة إلى إيودوكسوس . ^{[ 3 ]}

في أوروبا في العصور الوسطى، كان مصطلح "التربيع" يعني حساب المساحة بأي طريقة. وكانت طريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة هي الأكثر شيوعًا ؛ إذ كانت أقل دقة من الإنشاءات الهندسية الإغريقية، لكنها كانت أبسط وأكثر فعالية. وبمساعدتها، وجد غاليليو غاليلي وجيل دي روبرفال مساحة القوس الدائري ، ودرس غريغوار دي سان فنسان المساحة تحت القطع الزائد ( في كتابه " أوبوس جيومتريكوم" ، 1647)، ^{[ 3 ] : 491} ، ولاحظ ألفونس أنطونيو دي ساراسا ، تلميذ دي سان فنسان ومعلقه، علاقة هذه المساحة باللوغاريتمات . ^{[ 3 ] : 492 [ 4 ]}

قام جون واليس بتطوير هذه الطريقة جبريًا؛ فقد كتب في كتابه "الحساب اللانهائي " (1656) بعض المتسلسلات التي تُكافئ ما يُعرف الآن بالتكامل المحدد ، وقام بحساب قيمها. أحرز إسحاق بارو وجيمس غريغوري مزيدًا من التقدم: فقد وضعا تكاملات تربيعية لبعض المنحنيات واللوالب الجبرية . كما نجح كريستيان هيغنز في حساب تكامل تربيعي لمساحة سطح بعض المجسمات الدورانية .

قدّمت طريقة التكامل العددي للقطع الزائد، التي وضعها غريغوار دي سان فنسان وأ . أ. دي ساراسا، دالة جديدة ذات أهمية بالغة، وهي اللوغاريتم الطبيعي . ومع اختراع حساب التكامل، ظهرت طريقة شاملة لحساب المساحة. ونتيجةً لذلك، أصبح مصطلح " التكامل العددي " شائع الاستخدام، بينما يُستخدم مصطلح " إيجاد المساحة" بشكل أكثر شيوعًا للإشارة إلى ما يُعرف تقنيًا بحساب التكامل المحدد أحادي المتغير .