خريطة شبه خطية

في الجبر الخطي ، وخاصةً في الهندسة الإسقاطية ، يُعرَّف التطبيق شبه الخطي بين الفضاءين المتجهيين V و W على حقل K بأنه دالة خطية "حتى التواء"، ومن ثمّ شبه خطية، حيث يُقصد بـ "التواء" " التشاكل الذاتي للحقل K ". وبالتحديد، هي دالة T  : V → W التي:

• خاصية الجمع بالنسبة لجمع المتجهات:${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• يوجد تشاكل حقلي θ لـ K بحيث${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$إذا كان مثل هذا التشاكل موجودًا وكانت T غير صفرية، فإنه فريد، وتسمى T شبه خطية θ .

عندما يكون المجال والمجال المقابل هما نفس الفضاء (أي T  : V → V )، يمكن تسميته تحويلاً شبه خطي . تشكل التحويلات شبه الخطية القابلة للعكس لفضاء متجهي معين V (لجميع اختيارات التماثل الذاتي للحقل) زمرة، تسمى الزمرة شبه الخطية العامة ويرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$بالقياس على المجموعة الخطية العامة وتوسيعها . الحالة الخاصة حيث يكون الحقل هو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$والتشاكل الذاتي هو اقتران معقد ، وتسمى الخريطة شبه الخطية خريطة مضادة للخطية .

تُستخدم رموز مشابهة (مع استبدال الأحرف اللاتينية بأحرف يونانية) للدلالة على النظائر شبه الخطية للتحويلات الخطية الأكثر تقييدًا؛ أي الضرب شبه المباشر لمجموعة خطية مع مجموعة غالوا لتشاكلات الحقول. على سبيل المثال، يُستخدم الرمز PΣU للدلالة على النظائر شبه الخطية للمجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية PSU. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه لم يُلاحظ إلا مؤخرًا أن هذه المجموعات شبه الخطية المعممة غير مُعرَّفة تعريفًا دقيقًا، كما هو موضح في ( براي، هولت ، وروني-دوغال 2009 ) - إذ قد يكون للمجموعتين الكلاسيكيتين المتماثلتين G و H (مجموعات فرعية من SL) امتدادات شبه خطية غير متماثلة. على مستوى الضرب شبه المباشر، يتوافق هذا مع تأثيرات مختلفة لمجموعة غالوا على مجموعة مجردة معينة، وهو ضرب شبه مباشر يعتمد على مجموعتين وتأثير. إذا كان الامتداد غير وحيد، فسيكون هناك امتدادان شبه خطيان فقط. على سبيل المثال، تحتوي المجموعات التبسيطية على امتداد شبه خطي فريد، بينما تحتوي SU( n , q ) على امتدادين إذا كان n زوجيًا و q فرديًا، وكذلك بالنسبة لـ PSU.

تكون الدالة f  : V → W للفضاءات المتجهة V و W على الحقلين K و L على التوالي شبه خطية من النوع σ ، أو ببساطة شبه خطية ، إذا وُجد تشاكل حقل σ  : K → L بحيث يكون لكل x و y في V و λ في K، يتحقق ما يلي:

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

يُتيح لنا تضمينٌ مُعطى σ لحقل K في L تعريف K كحقل جزئي من L ، مما يجعل التطبيق شبه الخطي σ تطبيقًا خطيًا K في ظل هذا التعريف. مع ذلك، فإن التطبيق شبه الخطي τ لتضمين مختلف τ ≠ σ لن يكون خطيًا K بالنسبة للتعريف الأصلي σ ، إلا إذا كانت f تساوي صفرًا تمامًا.

بشكل أعم، يكون التطبيق ψ  : M → N بين وحدة نمطية يمنى R- M ووحدة نمطية يسارية S- N شبه خطي σ إذا وُجد تماثل عكسي حلقي σ : R → S بحيث يكون لكل x و y في M و λ في R، يتحقق ما يلي: 

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

ينطبق مصطلح شبه الخطي على أي توليفة من الوحدات اليسرى واليمنى مع تعديل مناسب للتعبيرات المذكورة أعلاه، حيث يكون σ تشاكلاً حسب الحاجة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يُشار إلى الزوج ( ψ ، σ ) باسم ازدواجية الشكل . ^{[ 3 ]}

• يترك${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$على أساس معياري${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$حدد الخريطة${\displaystyle f\colon V\to V}$بواسطة

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

f شبه خطية (بالنسبة إلى التماثل الذاتي لحقل الاقتران المركب) ولكنها ليست خطية.

• يترك${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$– حقل غالوا للنظام${\displaystyle q=p^{i}}$، p الخاصية. ليكن${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$من المعروف في كتاب "حلم الطالب الجديد" أن هذا تشاكل حقلي. لكل تطبيق خطي${\displaystyle f\colon V\to W}$بين الفضاءات المتجهة V و W على K يمكننا أن نؤسس${\displaystyle \theta }$خريطة شبه خطية

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

في الواقع، يمكن تحويل أي دالة خطية إلى دالة شبه خطية بهذه الطريقة. وهذا جزء من ملاحظة عامة جُمعت في النتيجة التالية.

• يترك${\displaystyle R}$ليكن حلقة غير تبديلية،${\displaystyle M}$يسارًا${\displaystyle R}$-وحدة، و${\displaystyle \alpha }$عنصر قابل للعكس من${\displaystyle R}$حدد الخريطة${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$، لذا${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$، و${\displaystyle \sigma }$هو تماثل ذاتي داخلي لـ${\displaystyle R}$وبالتالي، فإن التماثل${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$لا يشترط أن تكون خريطة خطية، ولكنها كذلك${\displaystyle \sigma }$شبه خطي. ^{[ 6 ]}

بالنظر إلى فضاء متجهي V ، فإن مجموعة جميع التحويلات شبه الخطية القابلة للعكس V → V (على جميع التشاكلات الذاتية للحقول) هي المجموعة ΓL( V ).

بالنظر إلى فضاء متجهي V على K ، فإن ΓL( V ) يتحلل إلى حاصل الضرب شبه المباشر

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

حيث Aut( K ) هي التشاكلات الذاتية لـ K. وبالمثل، يمكن تعريف التحويلات شبه الخطية للمجموعات الخطية الأخرى على أنها الضرب شبه المباشر مع مجموعة التشاكلات الذاتية، أو بشكل أكثر جوهرية على أنها مجموعة الخرائط شبه الخطية لفضاء متجهي تحافظ على بعض الخصائص.

نحدد Aut( K ) بمجموعة فرعية من ΓL( V ) عن طريق تثبيت أساس B لـ V وتحديد الخرائط شبه الخطية:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

لأي${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$سنرمز إلى هذه المجموعة الفرعية بـ Aut( K ) _B . كما نلاحظ أن هذه المكملات لـ GL( V ) في ΓL( V ) تتأثر بانتظام بواسطة GL( V ) لأنها تتوافق مع تغيير الأساس .

• خريطة مضادة للخطية
• فضاء المتجهات المترافقة المعقدة

• أسماس، إي إف؛ كي، جيه دي (1994)، التصاميم ورموزها ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص  93، رقم ISBN 0-521-45839-0
• بورباكي، نيكولا (1989) [1970]. الجبر الأول الفصول 1-3 [ الجبر: الفصول 1 إلى 3 ] (PDF) . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 . 
• براي، جون ن.؛ هولت، ديريك ف.؛ روني-دوغال، كولفا م. (2009)، "بعض المجموعات الكلاسيكية غير مُعرَّفة جيدًا"، مجلة نظرية المجموعات ، 12 (2): 171-180 ، doi : 10.1515/jgt.2008.069 ، ISSN 1433-5883 ، MR 2502211  
• فوري، كلود آلان؛ فروليشر، ألفريد (2000)، الهندسة الإسقاطية الحديثة ، دار نشر كلوير الأكاديمية ، رقم ISBN 0-7923-6525-9
• غرونبيرغ، ك. و.؛ وير، أ. ج. (1977)، الهندسة الخطية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  49 (  الطبعة الأولى)، سبرينغر-فيرلاغ نيويورك
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 

تتضمن هذه المقالة مواد من التحويل شبه الخطي على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .