خريطة تغطية التسلسل

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 109 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا ، تُعرَّف خريطة تغطية المتتاليات بأنها أي خريطة من فئة الخرائط بين الفضاءات الطوبولوجية التي تربط تعريفاتها، بطريقة أو بأخرى، المتتاليات في المجال المقابل بالمتتاليات في المجال . ومن الأمثلة على ذلك خرائط القسمة المتتالية ، وخرائط تغطية المتتاليات ، وخرائط تغطية المتتاليات من الرتبة الأولى ، وخرائط تغطية المتتاليات من الرتبة الثانية . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ترتبط هذه الفئات من الخرائط ارتباطًا وثيقًا بالفضاءات المتتالية . إذا كان للمجال و/أو المجال المقابل خصائص طوبولوجية إضافية معينة (غالبًا ما يكون كون الفضاءات هاوسدورف وقابلة للعد الأول كافيًا)، فإن هذه التعريفات تصبح مكافئة لفئات أخرى معروفة من الخرائط، مثل الخرائط المفتوحة أو خرائط القسمة ، على سبيل المثال. في هذه الحالات، قد توفر توصيفات هذه الخصائص من حيث المتتابعات المتقاربة فوائد مماثلة لتلك التي توفرها، على سبيل المثال، توصيفة الاستمرارية من حيث الاستمرارية المتسلسلة أو توصيفة التراص من حيث التراص المتسلسل (كلما كانت هذه التوصيفات صحيحة).

التعريفات

التصفيات

مجموعة فرعيةS{\displaystyle S}ل(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يقال إنها تفتح بالتتابع في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان كلما حدث تسلسل فيX{\displaystyle X}يتقارب (في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}) إلى نقطة ما تنتمي إلىS،{\displaystyle S,}إذن، فإن هذا التسلسل سيكون بالضرورة في النهايةS{\displaystyle S}(أي أن عدد النقاط التي لا تنتمي إلى المتتالية هو على الأكثر عدد محدود)S{\displaystyle S}). المجموعةSeqOpen⁡(X،τ){\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}من بين جميع المجموعات الفرعية المفتوحة بالتتابع من(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يشكل بنية طوبولوجية علىX{\displaystyle X}هذا أدق منX{\displaystyle X}الطوبولوجيا المعطاةτ.{\displaystyle \tau .} بحسب التعريف،(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يُطلق عليه اسم فضاء تسلسلي إذاτ=SeqOpen⁡(X،τ).{\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).} بالنظر إلى متتاليةx∙{\displaystyle x_{\bullet }}فيX{\displaystyle X}ونقطةx∈X،{\displaystyle x\in X,}x∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا وفقط إذاx∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}في(X،SeqOpen⁡(X،τ)).{\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}علاوة على ذلك،SeqOpen⁡(X،τ){\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}أفضل بنية طوبولوجية علىX{\displaystyle X}والتي من أجلها هذا التوصيف لتقارب التسلسل في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يحجز.

خريطةو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}يُطلق عليها اسم متصلة تسلسليًا إذاو:(X،SeqOpen⁡(X،τ))→(Y،SeqOpen⁡(Y،σ)){\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}تكون متصلة ، وهذا يحدث إذا وفقط إذا كان لكل متتاليةx∙=(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيX{\displaystyle X}وكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}لوx∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}ثم بالضرورةو(x∙)→و(x){\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}في(Y،σ).{\displaystyle (Y,\sigma ).} كل خريطة متصلة تكون متصلة تسلسليًا، على الرغم من أن العكس قد لا يكون صحيحًا بشكل عام. في الواقع، الفضاء(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يُعتبر الفضاء متسلسلاً إذا وفقط إذا كان يتمتع بالخاصية العامة التالية للفضاءات المتسلسلة :

لكل فضاء طوبولوجي(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}وكل خريطةو:X→Y،{\displaystyle f:X\to Y,}الخريطةو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة بالتتابع.

الإغلاق المتسلسل في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}من مجموعة جزئيةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}هي المجموعةscl(X،τ)⁡S{\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}يتألف من جميعx∈X{\displaystyle x\in X}والتي يوجد لها متتالية فيS{\displaystyle S}ذلك يتقارب إلىx{\displaystyle x}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).} مجموعة فرعيةS⊆X{\displaystyle S\subseteq X}يُطلق عليها اسم "مغلقة بالتتابع" في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}لوS=scl(X،τ)⁡S،{\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا كان كلما حدث تسلسل فيS{\displaystyle S}يتقارب في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إلى حد ماx∈X{\displaystyle x\in X}ثم بالضرورةx∈S.{\displaystyle x\in S.} المساحة(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يُطلق عليه اسم فضاء فريشيه-أوريسون إذاsclX⁡S = clX⁡S{\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}لكل مجموعة جزئيةS⊆X،{\displaystyle S\subseteq X,}وهذا يحدث إذا وفقط إذا كان كل فضاء جزئي من(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}هو فضاء تسلسلي. كل فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى هو فضاء فريشيه-أوريسون، وبالتالي فهو أيضًا فضاء تسلسلي. جميع الفضاءات شبه المترية ، والفضاءات المترية ، والفضاءات القابلة للعد من الدرجة الثانية هي فضاءات قابلة للعد من الدرجة الأولى.

تغطية التسلسل

تسلسل​x∙=(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}في مجموعةX{\displaystyle X}هي بطبيعتها دالةx∙:شمال→X{\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}قيمتها عندأنا∈شمال{\displaystyle i\in \mathbb {N} }يُرمز إليه بـxأنا{\displaystyle x_{i}}(على الرغم من أن الترميز المعتاد المستخدم مع الدوال، مثل الأقواس)x∙(أنا){\displaystyle x_{\bullet }(i)}أو تركيبةو∘x∙،{\displaystyle f\circ x_{\bullet },}قد تُستخدم في بعض الحالات لتحسين سهولة القراءة). عبارات مثل "التسلسلx∙{\displaystyle x_{\bullet }}هو حقني " أو " الصورة (أي المدى)أنا⁡x∙{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}من تسلسلx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يمكن بالتالي تطبيق مصطلح "لانهائي" بالإضافة إلى المصطلحات والرموز الأخرى المُعرَّفة للدوال على المتتاليات. المتتاليةs∙{\displaystyle s_{\bullet }}يقال إنها سلسلة فرعية من سلسلة أخرىx∙{\displaystyle x_{\bullet }}إذا وُجدت خريطة متزايدة تمامًال∙:شمال→شمال{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }(ربما يُشار إليه بـل∙=(لك)ك=1∞{\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}بدلاً من ذلك) بحيثsك=xلك{\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}لكلك∈شمال،{\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}حيث يمكن التعبير عن هذا الشرط بدلالة تركيب الدوال∘{\displaystyle \circ }مثل:s∙=x∙∘ل∙.{\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.} وكالعادة، إذاxل∙=(xلك)ك=1∞{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}يُعلن أنه (على سبيل المثال، بحكم التعريف) سلسلة فرعية منx∙{\displaystyle x_{\bullet }}عندئذٍ ينبغي افتراض ذلك فوراًل∙:شمال→شمال{\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }متزايدة تمامًا.x∙⊆S{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}وأنا⁡x∙⊆S{\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}يعني ذلك أن التسلسلx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتم تحديد قيمتها في المجموعةS.{\displaystyle S.}

الوظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسمتغطية التسلسل إذا كان لكل تسلسل متقاربy∙{\displaystyle y_{\bullet }}فيY،{\displaystyle Y,} يوجد تسلسلx∙⊆X{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}بحيثy∙=و∘x∙.{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.} يُطلق عليه اسمتغطية تسلسلية واحدة إذا كان لكلy∈Y{\displaystyle y\in Y}يوجد بعضx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}بحيث يكون كل تسلسلy∙⊆Y{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}ذلك يتقارب إلىy{\displaystyle y}في(Y،σ)،{\displaystyle (Y,\sigma ),}يوجد تسلسلx∙⊆X{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}بحيثy∙=و∘x∙{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}وx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب إلىx{\displaystyle x}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).} إنهتغطية التسلسل الثنائي إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو أمر شامل، وينطبق أيضاً على كلy∈Y{\displaystyle y\in Y}وكلx∈و-1(y)،{\displaystyle x\in f^{-1}(y),}كل تسلسلy∙⊆Y{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}ويتقارب إلىy{\displaystyle y}في(Y،σ)،{\displaystyle (Y,\sigma ),}يوجد تسلسلx∙⊆X{\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}بحيثy∙=و∘x∙{\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}وx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب إلىx{\displaystyle x}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).} خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}غطاء مضغوط إذا كان لكل علبة مضغوطةك⊆Y{\displaystyle K\subseteq Y}توجد مجموعة جزئية مضغوطةج⊆X{\displaystyle C\subseteq X}بحيثو(ج)=ك.{\displaystyle f(C)=K.}

عمليات القسمة المتسلسلة

قياسًا على تعريف الاستمرارية التسلسلية، الخريطةو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}يُطلق عليه اسمخريطة القسمة المتسلسلة إذا

و:(X،SeqOpen⁡(X،τ))→(Y،SeqOpen⁡(Y،σ)){\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}

هي دالة خارج القسمة ، [ 5 ] والتي تحدث إذا وفقط إذا كان لأي مجموعة جزئيةS⊆Y،{\displaystyle S\subseteq Y,}S{\displaystyle S}مفتوح بالتتابع(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}إذا وفقط إذا كان هذا صحيحًا بالنسبة لـو-1(S){\displaystyle f^{-1}(S)}في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).} تم تقديم خرائط القسمة المتسلسلة في Boone & Siwiec عام 1976، حيث عرّفوها على النحو المذكور أعلاه. [ 5 ]

كل دالة خارج قسمة متتابعة هي بالضرورة شاملة ومتصلة متتابعة، على الرغم من أنها قد لا تكون متصلة.و:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}هو تطبيق شامل متصل متسلسل مجاله(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان فضاءً متسلسلاً ،و:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}تكون دالة قسمة إذا وفقط إذا(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}هو فضاء متسلسل وو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}هي خريطة قسمة متسلسلة.

اتصل بمساحة(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}بالتتابع هاوسدورف إذا(Y،SeqOpen⁡(Y،σ)){\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}هو فضاء هاوسدورف . [ 6 ] وبالمثل، يمكن تعريف "نسخة متسلسلة" من كل بديهية فصل أخرى من حيث ما إذا كان الفضاء(Y،SeqOpen⁡(Y،σ)){\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}يمتلكها. كل فضاء هاوسدورف هو بالضرورة فضاء هاوسدورف تسلسلي. الفضاء التسلسلي هو هاوسدورف إذا وفقط إذا كان هاوسدورف تسلسلي.

لوو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}بافتراض أن الدالة هي دالة شاملة متصلة متتابعة، فإن(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}إذا كانت متسلسلة هاوسدورف، فإن ما يلي متكافئ:

  1. و:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}هو ناتج قسمة متسلسل.
  2. حينماy∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}هي متتالية متقاربة فيY{\displaystyle Y}إذن توجد متتالية متقاربةx∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}فيX{\displaystyle X}بحيثو(x)=y{\displaystyle f(x)=y}وو∘x∙{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}هو تسلسل فرعي منy∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}
  3. حينماy∙{\displaystyle y_{\bullet }}هي متتالية متقاربة فيY{\displaystyle Y}إذن توجد متتالية متقاربةx∙{\displaystyle x_{\bullet }}فيX{\displaystyle X}بحيثو∘x∙{\displaystyle f\circ x_{\bullet }}هو تسلسل فرعي منy∙.{\displaystyle y_{\bullet }.}
    • يختلف هذا البيان عن البيان (2) أعلاه فقط في عدم وجود متطلبات مفروضة على حدود المتتاليات (وهو ما يصبح فرقًا مهمًا فقط عندماY{\displaystyle Y}(ليست متسلسلة هاوسدورف).
    • لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو إسقاط شامل متصل على فضاء متراص تسلسليًاY{\displaystyle Y}إذن، يبقى هذا الشرط قائماً حتى لوY{\displaystyle Y}ليس متسلسلاً هاوسدورف.

إذا كان الافتراض هوY{\displaystyle Y}إذا أُزيلت دالة هاوسدورف المتسلسلة، فإن العبارة (2) ستظل تستلزم العبارتين الأخريين، لكن التوصيف المذكور أعلاه لن يكون مضمونًا بعد ذلك (مع ذلك، إذا كان مطلوبًا أن تكون النقاط في المجال المقابل مغلقة تسلسليًا، فإن أي دالة خارج قسمة متسلسلة ستفي بالضرورة بالشرط (3)). ويبقى هذا صحيحًا حتى لو تم تطبيق شرط الاستمرارية التسلسلية علىو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تم تعزيز هذا التعريف ليشمل شرط الاستمرارية (العادية). وبدلاً من استخدام التعريف الأصلي، يُعرّف بعض المؤلفين "الخريطة المتسلسلة الخارجة" بأنها دالة شاملة متصلة تحقق الشرط (2) أو الشرط (3). إذا كان المجال المقابل متسلسلاً هاوسدورف، فإن هذه التعريفات تختلف عن التعريف الأصلي فقط في شرط الاستمرارية (بدلاً من مجرد اشتراط الاستمرارية المتسلسلة).

الخريطةو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}يُطلق عليه اسممتتابعة سابقة إذا كان لكل متتالية متقاربةy∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}في(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}بحيثy∙{\displaystyle y_{\bullet }}لا يساوي في النهايةy،{\displaystyle y,}المجموعة⋃yأنا≠yأنا∈شمال،و-1(yأنا){\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}لا يتم إغلاقها بالتتابع في(X،τ)،{\displaystyle (X,\tau ),}[ 5 ] حيث يمكن وصف هذه المجموعة أيضًا على النحو التالي:

⋃yأنا≠yأنا∈شمال،و-1(yأنا) = و-1((أنا⁡y∙)∖{y}) = و-1(أنا⁡y∙)∖و-1(y){\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}

وبعبارة أخرى،و:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}تكون متتابعة سابقة إذا وفقط إذا كان لكل متتالية متقاربةy∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}في(Y،σ){\displaystyle (Y,\sigma )}بحيثy∙⊆Y∖{y}،{\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}المجموعةو-1(أنا⁡y∙){\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}لا يتم إغلاقها بالتتابع في(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}

خريطة شاملةو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}تكون الدالة بين فضاءات هاوسدورف خارجة عن القسمة بالتتابع إذا وفقط إذا كانت متصلة بالتتابع ودالة ما قبل التتابع. [ 5 ]

الخصائص

لوو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}إذا كان Ω دالة شاملة متصلة بين فضاءين من فضاءات هاوسدورف القابلة للعد من الدرجة الأولى، فإن العبارات التالية صحيحة: [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 3 ] [ 4 ]

  • و{\displaystyle f}تكون مفتوحة تقريبًا إذا وفقط إذا كانت تغطية من تسلسل واحد.
    • الخريطة شبه المفتوحة هي خريطة شاملةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}مع الخاصية التي لكلy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}يوجد بعضx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}بحيثx{\displaystyle x}نقطة انفتاح لـو،{\displaystyle f,}وهذا يعني بحكم التعريف أنه لكل حي مفتوحيو{\displaystyle U}لx،{\displaystyle x,}و(يو){\displaystyle f(U)}هو حي منو(x){\displaystyle f(x)}فيY.{\displaystyle Y.}
  • و{\displaystyle f}تكون الخريطة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت تغطية من تسلسلين.
  • لوو{\displaystyle f}هل هي خريطة تغطية مضغوطة ؟و{\displaystyle f}هي خريطة قسمة.
  • ما يلي متكافئ:
    1. و{\displaystyle f}هي خريطة قسمة.
    2. و{\displaystyle f}هي خريطة قسمة متسلسلة.
    3. و{\displaystyle f}هو تغطية تسلسلية.
    4. و{\displaystyle f}هي خريطة شبه مفتوحة.
      • خريطةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يُطلق عليه اسم شبه مفتوح إذا كان لكلy∈Y{\displaystyle y\in Y}وكل حي مفتوحيو{\displaystyle U}لو-1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}(بمعنى مجموعة فرعية مفتوحة)يو{\displaystyle U}بحيثو-1(y)⊆يو{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U})y{\displaystyle y}ينتمي بالضرورة إلى الداخل (مأخوذ فيY{\displaystyle Y}) لو(يو).{\displaystyle f(U).}

    وإذا كان كلاهما بالإضافة إلى ذلكX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت المسافات المترية قابلة للفصل، فيمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

    1. و{\displaystyle f}هي خريطة قسمة وراثية .

ملكيات

فيما يلي شرط كافٍ لكي يكون التطبيق الشامل المتصل مفتوحًا بالتتابع، والذي يؤدي، مع افتراضات إضافية، إلى توصيف التطبيقات المفتوحة . افترض أنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو إسقاط مستمر من فضاء منتظمX{\displaystyle X}في مساحة هاوسدورفY.{\displaystyle Y.}إذا كان القيدو|يو:يو→و(يو){\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}هو خارج قسمة متسلسل لكل مجموعة جزئية مفتوحةيو{\displaystyle U}لX{\displaystyle X}ثمو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}الخرائط تفتح مجموعات فرعية منX{\displaystyle X}لفتح مجموعات فرعية منY.{\displaystyle Y.} وبالتالي، إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت أيضًا مساحات متسلسلة ،و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون الخريطة مفتوحة إذا وفقط إذاو|يو:يو→و(يو){\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}هو خارج قسمة متسلسل (أو ما يعادله، خارج القسمة ) لكل مجموعة جزئية مفتوحةيو{\displaystyle U}لX.{\displaystyle X.}

بالنظر إلى عنصرy∈Y{\displaystyle y\in Y}في المجال المقابل لدالة متصلة (ليست بالضرورة شاملة)و:X→Y،{\displaystyle f:X\to Y,}يُقدّم ما يلي شرطًا كافيًا لـy{\displaystyle y}الانتماء إلىو{\displaystyle f}صورة:y∈أنا⁡و:=و(X).{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}عائلة​ب{\displaystyle {\mathcal {B}}}مجموعات جزئية من فضاء طوبولوجي(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يقال إنها محدودة محليًا عند نقطة ماx∈X{\displaystyle x\in X}إذا كان هناك بعض الجوار المفتوحيو{\displaystyle U}لx{\displaystyle x}بحيث تكون المجموعة{ب∈ب : يو∩ب≠∅}{\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}هي محدودة. افترض أنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي دالة متصلة بين فضاءين من فضاءات هاوسدورف القابلة للعد من الدرجة الأولى، ولتكنy∈Y.{\displaystyle y\in Y.} إذا وُجدت متتاليةy∙=(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيY{\displaystyle Y}بحيث (1)y∙→y{\displaystyle y_{\bullet }\to y}و(2) يوجد بعضx∈X{\displaystyle x\in X}بحيث{و-1(yأنا) : أنا∈شمال}{\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}ليست محدودة محليًا عندx،{\displaystyle x,}ثمy∈أنا⁡و=و(X).{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).} والعكس صحيح إذا لم تكن هناك نقطة عندهاو{\displaystyle f}ثابت محليًا ؛ أي إذا لم توجد أي مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة منX{\displaystyle X}على أيو{\displaystyle f}يقتصر على خريطة ثابتة.

شروط كافية

يفترضو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو تطبيق مفتوح مستمر من فضاء قابل للعد الأولX{\displaystyle X}في مساحة هاوسدورفY،{\displaystyle Y,}يتركد⊆Y{\displaystyle D\subseteq Y}ليكن أي مجموعة جزئية غير فارغة، وليكنy∈clY⁡د{\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}أينclY⁡د{\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}يشير إلى إغلاقد{\displaystyle D}فيY.{\displaystyle Y.} ثم بالنظر إلى أيx،z∈و-1(y){\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}وأي تسلسلx∙{\displaystyle x_{\bullet }}فيو-1(د){\displaystyle f^{-1}(D)}ذلك يتقارب إلىx،{\displaystyle x,}يوجد تسلسلz∙{\displaystyle z_{\bullet }}فيو-1(د){\displaystyle f^{-1}(D)}ذلك يتقارب إلىz{\displaystyle z}بالإضافة إلى سلسلة فرعية(xلك)ك=1∞{\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}لx∙{\displaystyle x_{\bullet }}بحيثو(zك)=و(xلك){\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}للجميعك∈شمال.{\displaystyle k\in \mathbb {N} .} باختصار، ينص هذا على أنه بالنظر إلى متتالية متقاربةx∙⊆و-1(د){\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}بحيثx∙→x{\displaystyle x_{\bullet }\to x}ثم لأي شيء آخرz∈و-1(و(x)){\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}ينتمي إلى نفس الألياف مثلx،{\displaystyle x,}من الممكن دائمًا إيجاد متتالية فرعيةxل∙=(xلك)ك=1∞{\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}بحيثو∘xل∙=(و(xلك))ك=1∞{\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}يمكن "رفعها" بواسطةو{\displaystyle f}إلى متتالية تتقارب إلىz.{\displaystyle z.}

يوضح ما يلي أنه في ظل شروط معينة، يكفي أن تكون ألياف الخريطة مجموعة قابلة للعد لضمان وجود نقطة انفتاح .و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي تغطية متسلسلة من فضاء تسلسلي هاوسدورفX{\displaystyle X}إلى مساحة هاوسدورف الأولى القابلة للعدY{\displaystyle Y}وإذاy∈Y{\displaystyle y\in Y}بحيث يكون الليفو-1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}إذا كانت مجموعة قابلة للعد، فإنه يوجد بعضx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}بحيثx{\displaystyle x}نقطة انفتاح لـو:X→Y.{\displaystyle f:X\to Y.} وبالتالي، إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي دالة قسمة بين فضاءين من فضاءات هاوسدورف القابلة للعد من الدرجة الأولى، وإذا كان كل ليف منو{\displaystyle f}إذا كان قابلاً للعد، فإنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة مفتوحة تقريبًا، وبالتالي فهي أيضًا تغطية تسلسلية أحادية.

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

مراجع