الفضاء التسلسلي

في علم الطوبولوجيا والفروع الرياضية ذات الصلة ، يُعرف الفضاء التسلسلي بأنه فضاء طوبولوجي يمكن وصف طوبولوجيته وصفًا كاملًا من خلال متتالياته المتقاربة/المتباعدة. ويمكن اعتبارها فضاءات تحقق بديهية ضعيفة جدًا للعد ، وجميع الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى (وخاصة الفضاءات المترية ) هي فضاءات تسلسلية.

في الفضاء الأنيبيولوجي${\displaystyle (X,\tau ),}$إذا كانت متتالية متقاربة موجودة في مجموعة مغلقة${\displaystyle C,}$إذن، يجب أن تكون نهاية تلك المتتالية موجودة في${\displaystyle C}$كذلك. تُعرف المجموعات التي تتمتع بهذه الخاصية باسم المجموعات المغلقة تسلسليًا . الفضاءات التسلسلية هي تحديدًا تلك الفضاءات الطوبولوجية التي تكون فيها المجموعات المغلقة تسلسليًا مغلقة بالفعل. (يمكن أيضًا إعادة صياغة هذه التعريفات من حيث المجموعات المفتوحة تسلسليًا؛ انظر أدناه). بعبارة أخرى، يمكن وصف أي طوبولوجيا من حيث الشبكات (المعروفة أيضًا باسم متتاليات مور-سميث)، ولكن قد تكون هذه المتتاليات "طويلة جدًا" (مفهرسة بترتيب كبير جدًا) بحيث لا يمكن ضغطها في متتالية. الفضاءات التسلسلية هي تلك الفضاءات الطوبولوجية التي تكفي فيها الشبكات ذات الطول القابل للعد (أي المتتاليات) لوصف الطوبولوجيا.

يمكن تحسين أي بنية طوبولوجية (أي جعلها أدق) إلى بنية طوبولوجية متسلسلة، تسمى الانعكاس المتسلسلة لـ${\displaystyle X.}$

المفاهيم ذات الصلة بفضاءات فريشيه-أوريسون ، والفضاءات التسلسلية من النوع T ، و${\displaystyle N}$- يتم تعريف الفضاءات المتسلسلة أيضًا من حيث كيفية تفاعل طوبولوجيا الفضاء مع التسلسلات، ولكن لها خصائص مختلفة بشكل طفيف.

المساحات المتسلسلة و${\displaystyle N}$تم تقديم الفضاءات المتسلسلة بواسطة إس بي فرانكلين . ^{[ 1 ]}

على الرغم من أن الفضاءات التي تستوفي هذه الخصائص قد دُرست ضمنيًا لعدة سنوات، إلا أن أول تعريف رسمي لها يعود إلى إس. بي. فرانكلين عام ١٩٦٥. أراد فرانكلين تحديد "فئات الفضاءات الطوبولوجية التي يمكن تحديدها بالكامل بمعرفة متتالياتها المتقاربة"، وبدأ بدراسة الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى ، والتي كان معروفًا بالفعل أن المتتاليات كافية لها. ثم توصل فرانكلين إلى التعريف الحديث من خلال استخلاص الخصائص الضرورية للفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى.

يترك${\displaystyle X}$كن مجموعة ودع${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$أن تكون سلسلة في${\displaystyle X}$أي عائلة من عناصر${\displaystyle X}$، مُفهرسة بالأعداد الطبيعية . في هذه المقالة،${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$يعني ذلك أن كل عنصر في التسلسل${\displaystyle x_{\bullet }}$هو عنصر من${\displaystyle S,}$وإذا${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت خريطة،${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$لأي فهرس${\displaystyle i,}$ذيل${\displaystyle x_{\bullet }}$ابتداءً من${\displaystyle i}$التسلسل$${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$تسلسل${\displaystyle x_{\bullet }}$في نهاية المطاف${\displaystyle S}$إذا كان هناك ذيل من${\displaystyle x_{\bullet }}$يرضي${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

يترك${\displaystyle \tau }$كن طوبولوجيا على${\displaystyle X}$و${\displaystyle x_{\bullet }}$تسلسل فيه. التسلسل${\displaystyle x_{\bullet }}$يتقارب إلى نقطة${\displaystyle x\in X,}$مكتوب${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$(عندما يسمح السياق بذلك،${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$), إذا كان ذلك لكل حي${\displaystyle U\in \tau }$ل${\displaystyle x,}$مؤخراً${\displaystyle x_{\bullet }}$هو في${\displaystyle U.}$${\displaystyle x}$وتسمى هذه النقطة حينها نقطة حدية لـ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

وظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون العلاقة بين الفضاءات الطوبولوجية متصلة تسلسليًا إذا${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$يشير إلى${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

يترك${\displaystyle (X,\tau )}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا وليكن${\displaystyle S\subseteq X}$ليكن مجموعة جزئية. الإغلاق الطوبولوجي (أو الداخل الطوبولوجي ) لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle (X,\tau )}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(على التوالي)${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$).

الإغلاق المتسلسل لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle (X,\tau )}$هي المجموعة$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{يوجد تسلسل }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ بحيث }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$والذي يُعرّف خريطة، وهي عامل الإغلاق التسلسلي ، على مجموعة القوى لـ${\displaystyle X.}$إذا لزم الأمر للتوضيح، يمكن كتابة هذه المجموعة أيضًا${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$أو${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$دائماً ما يكون الأمر كذلك${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$لكن العكس قد يفشل.

التصميم الداخلي المتسلسل لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle (X,\tau )}$هي المجموعة$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is finally in }}S\}}$$(يتم الإشارة إلى الفضاء الطوبولوجي مرة أخرى باستخدام رمز سفلي إذا لزم الأمر).

يُحقق الإغلاق التسلسلي والداخلي العديد من الخصائص الجيدة للإغلاق الطوبولوجي والداخلي: لجميع المجموعات الجزئية${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$و${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$؛

  دليل

  يصلح${\displaystyle x\in \operatorname {sint} (X\setminus S).}$لو${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S),}$ثم يوجد${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$مع${\displaystyle s_{\bullet }\to x.}$لكن بحسب تعريف التسلسل الداخلي، في نهاية المطاف${\displaystyle s_{\bullet }}$هو في${\displaystyle X\setminus S,}$متناقض${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$ على العكس من ذلك، لنفترض${\displaystyle x\notin \operatorname {sint} (X\setminus S)}$ثم توجد متتالية${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq X}$مع${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$هذا ليس في نهاية المطاف${\displaystyle X\setminus S.}$بالانتقال إلى التسلسل الفرعي للعناصر غير الموجودة في${\displaystyle X\setminus S,}$يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$لكن بعد ذلك${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S).}$ ▮

• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$و${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$؛
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$؛
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$؛ و
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

أي أن الإغلاق التسلسلي هو عامل إغلاق مسبق . على عكس الإغلاق الطوبولوجي، فإن الإغلاق التسلسلي ليس متطابقًا : قد يكون الاحتواء الأخير صارمًا. وبالتالي، فإن الإغلاق التسلسلي ليس عامل إغلاق ( كوراتوفسكي ) .

كما ذُكر أعلاه، فإن الإغلاق التسلسلي ليس بالضرورة إغلاقًا متماثلًا، وبالتالي فهو ليس عامل إغلاق لطوبولوجيا. يمكن الحصول على إغلاق تسلسلي متماثل عبر التكرار المتجاوز : بالنسبة لترتيب لاحق${\displaystyle \alpha +1,}$حدد (كالمعتاد)$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$وبالنسبة للترتيب الحدي${\displaystyle \alpha ,}$يُعرِّف$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$تُنتج هذه العملية متتالية متزايدة من المجموعات مُفهرسة ترتيبيًا؛ وكما اتضح، فإن هذه المتتالية تستقر دائمًا حسب الفهرس.${\displaystyle \omega _{1}}$( أول عدد ترتيبي غير معدود ). وعلى العكس من ذلك، فإن الترتيب التسلسلي لـ${\displaystyle X}$هو الترتيب الأدنى الذي عنده، لأي اختيار من${\displaystyle S,}$سيستقر التسلسل المذكور أعلاه. ^{[ 2 ]}

الإغلاق التسلسلي المتسامي لـ${\displaystyle S}$هل تم ضبط الطرفية بالتسلسل المذكور أعلاه؟${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$المشغل${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$هو عامل إغلاق، وبالتالي فهو عامل إغلاق . وعلى وجه الخصوص، يُعرّف طوبولوجيا، وهي الانعكاس المشترك التسلسلي. في الانعكاس المشترك التسلسلي، تكون كل مجموعة مغلقة تسلسليًا مغلقة (وكل مجموعة مفتوحة تسلسليًا مفتوحة). ^{[ 3 ]}

الفضاء التسلسلي T هو فضاء طوبولوجي ذو رتبة تسلسلية 1، وهو ما يعادل أيًا من الشروط التالية: ^{[ 1 ]}

• الإغلاق التسلسلي (أو الداخلي) لكل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$يتم إغلاقها بالتتابع (أو فتحها).
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$أو${\displaystyle \operatorname {sint} }$هي متماثلة.
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$أو${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• أي جوار متسلسل من${\displaystyle x\in X}$يمكن تقليصها إلى مجموعة مفتوحة متسلسلة تحتوي على${\displaystyle x}$; رسميًا، تعتبر الأحياء المفتوحة بالتتابع أساسًا للأحياء المتتابعة.
• لأي${\displaystyle x\in X}$وأي حي متسلسل${\displaystyle N}$ل${\displaystyle x,}$يوجد جوار متسلسل${\displaystyle M}$ل${\displaystyle x}$بحيث يكون لكل${\displaystyle m\in M,}$المجموعة${\displaystyle N}$هي جوار متسلسل لـ${\displaystyle m.}$

إن كون الفضاء متسلسلًا من النوع T لا يُقارن بكونه فضاءً متسلسلًا؛ فهناك فضاءات متسلسلة ليست متسلسلة من النوع T والعكس صحيح. ومع ذلك، فإن الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle N}$-متسلسلة (أو متسلسلة الجوار ) إذا كانت متسلسلة ومتسلسلة من النوع T. شرط مكافئ هو أن كل جوار متسلسل يحتوي على جوار مفتوح (كلاسيكي). ^{[ 1 ]}

كل فضاء قابل للعد الأول (وبالتالي كل فضاء قابل للقياس ) هو${\displaystyle N}$-متسلسلة. توجد فضاءات متجهة طوبولوجية متسلسلة ولكنها ليست كذلك.${\displaystyle N}$-متسلسل (وبالتالي ليس متسلسلًا من النوع T ). ^{[ 1 ]}

كل مركب CW متسلسل، حيث يمكن اعتباره خارج قسمة فضاء متري.

إن الطيف الأولي لحلقة نوثرية تبديلية ذات طوبولوجيا زاريسكي هو متسلسل. ^{[ 7 ]}

اسلك الطريق الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$وحدد المجموعة​${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة إلى نقطة. وباعتبارها خارج قسمة فضاء متري، فإن النتيجة متسلسلة، لكنها ليست قابلة للعد أولاً.

كل فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى هو فضاء فريشيه-أوريسون، وكل فضاء فريشيه-أوريسون هو فضاء متسلسل. وبالتالي، فإن كل فضاء قابل للقياس أو شبه قابل للقياس - وعلى وجه الخصوص، كل فضاء قابل للعد من الدرجة الثانية ، أو فضاء متري ، أو فضاء منفصل - هو فضاء متسلسل.  

يترك${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لتكن مجموعة من الخرائط من فضاءات فريشيه-أوريسون إلى${\displaystyle X.}$ثم الطوبولوجيا النهائية التي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يحفز على${\displaystyle X}$هو متسلسل.

تكون فضاءات المتجهات الطوبولوجية لهاوسدورف متسلسلة إذا وفقط إذا لم توجد طوبولوجيا أدق منها تمامًا بنفس المتتاليات المتقاربة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

كل مساحة متسلسلة لها تماسك قابل للعد ويتم توليدها بشكل مضغوط .

لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كان تطبيقًا مفتوحًا متصلًا بين فضاءين متتابعين من نوع هاوسدورف، فإن المجموعة${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$مجموعة النقاط ذات الصورة العكسية الوحيدة مغلقة. (وبحسب خاصية الاستمرارية، فإن صورتها العكسية مغلقة أيضًا في${\displaystyle X,}$مجموعة جميع النقاط التي${\displaystyle f}$(حقني.)

لو${\displaystyle f:X\to Y}$هي دالة شاملة (ليست بالضرورة متصلة) على فضاء تسلسلي هاوسدورف${\displaystyle Y}$و${\displaystyle {\mathcal {B}}}$أسس الطوبولوجيا على${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle f:X\to Y}$تكون الخريطة مفتوحة إذا وفقط إذا، لكل${\displaystyle x\in X,}$حي سكني عادي${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ل${\displaystyle x,}$والتسلسل${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$في${\displaystyle Y,}$هناك تسلسل فرعي من${\displaystyle y_{\bullet }}$هذا في النهاية ${\displaystyle f(B).}$

تُغلق الفئة الفرعية الكاملة Seq لجميع الفضاءات المتسلسلة تحت العمليات التالية في فئة Top للفضاءات الطوبولوجية :

لا يتم إغلاق فئة Seq في ظل العمليات التالية في Top :

بما أنها مغلقة تحت عمليات الجمع والقسمة الطوبولوجية، فإن الفضاءات المتسلسلة تشكل فئة فرعية انعكاسية من فئة الفضاءات الطوبولوجية . في الواقع، هي الغلاف الانعكاسي للفضاءات القابلة للقياس (أي أصغر فئة من الفضاءات الطوبولوجية المغلقة تحت عمليات الجمع والقسمة والتي تحتوي على الفضاءات القابلة للقياس).

تُعدّ الفئة الفرعية Seq فئةً مغلقةً ديكارتيةً بالنسبة إلى ناتج ضربها الخاص (وليس ناتج ضرب Top ). وتتمتع الكائنات الأسية بطوبولوجيا مفتوحة (متتالية متقاربة).

أثبت كل من بي آي بوث وإيه تيلوتسون أن Seq هي أصغر فئة فرعية مغلقة ديكارتية من Top تحتوي على الفضاءات الطوبولوجية الأساسية لجميع الفضاءات المترية ، ومجمعات CW ، والمتشعبات التفاضلية ، وأنها مغلقة تحت النهايات المشتركة، والقسمة، وغيرها من "الهويات المعقولة" التي وصفها نورمان ستينرود بأنها "ملائمة". ^{[ 18 ]}

كل فضاء تسلسلي يتم توليده بشكل مضغوط ، والمنتجات المحدودة في Seq تتطابق مع تلك الخاصة بالفضاءات المولدة بشكل مضغوط، لأن المنتجات في فئة الفضاءات المولدة بشكل مضغوط تحافظ على قسمة الفضاءات المترية.

• بديهية العد
• خاصية الرسم البياني المغلق - خاصية الدوال في علم الطوبولوجيا 
• الفضاء القابل للعد الأول - الفضاء الطوبولوجي حيث يكون لكل نقطة أساس جوار قابل للعد 
• فضاء فريشيه-أوريسون – نوع من الفضاءات الطوبولوجية 
• خريطة تغطية التسلسل

• Arkhangel'skii، AV and Pontryagin، LS ، الطوبولوجيا العامة I ، Springer-Verlag، New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
• أرخانجيلسكي، أ. ف. (1966). "الخرائط والفضاءات" (ملف PDF) . المسوحات الرياضية الروسية . 21 (4): 115-162 . رمز Bibcode : 1966RuMaS..21..115A . doi : 10.1070/RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN 0036-0279 . S2CID 250900871. تاريخ الاسترجاع: 10 فبراير 2021 .  
• أكيز، هورمت فوليا؛ كوتشاك، لقمان (2019). "الفضاءات المتسلسلة هاوسدورف والفضاءات المتسلسلة هاوسدورف الكاملة" . مجلة الاتصالات، كلية العلوم، جامعة أنقرة، سلسلة أ1: الرياضيات والإحصاء . 68 (2): 1724-1732 . doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN 1303-5991 . 
• بون، جيمس (1973). "ملاحظة حول الفضاءات المتوسطة المدمجة والفضاءات المتوسطة المدمجة بالتتابع" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 44 (1): 69-74 . doi : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN 0030-8730 . 
• بوث، بيتر؛ تيلوتسون، ج. (1980). "الفئات المغلقة أحادية الشكل، والفئات المغلقة ديكارتية، والفئات الملائمة للفضاءات الطوبولوجية" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 88 (1): 35-53 . doi : 10.2140/pjm.1980.88.35 . ISSN 0030-8730 . تاريخ الاسترجاع: 10 فبراير 2021 . 
• إنجلكينج، ر.، الطوبولوجيا العامة ، هيلدرمان، برلين (1989). طبعة منقحة ومكتملة.
• فوجيد، ل. (1985). "وصف الصور المغلقة للفضاءات المترية" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 95 (3): 487-490 . doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN 0002-9939 . 
• فرانكلين، س. (1965). "المساحات التي تكفي فيها التسلسلات" (PDF) . أساسيات الرياضيات . 57 (1): 107-115 . دوى : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN 0016-2736 . 
• فرانكلين، س. (1967). “المساحات التي تكفي فيها التسلسلات II” (PDF) . أساسيات الرياضيات . 61 (1): 51-56 . دوى : 10.4064/fm-61-1-51-56 . ISSN 0016-2736 . تم الاسترجاع في 10 فبراير 2021 . 
• غورهام، أنتوني، " التقارب المتسلسل في الفضاءات الطوبولوجية "، (2016)
• غرونهاج، غاري؛ مايكل، إرنست؛ تاناكا، يوشيو (1984). "الفضاءات المحددة بواسطة الأغطية القابلة للعد النقطي" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 113 (2): 303-332 . doi : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN 0030-8730 . 
• مايكل، إي. أ. (1972). "بحث عن خارج القسمة الخماسي". الطوبولوجيا العامة وتطبيقاتها . 2 (2): 91-138 . doi : 10.1016/0016-660X(72)90040-2 . ISSN 0016-660X . 
• شو لين. تشوان، ليو؛ مؤمن، داي (1997). “صور على مسافات مترية قابلة للفصل محليًا”. اكتا ماثيماتيكا سينيكا . 13 (1): 1– 8. دوى : 10.1007/BF02560519 . ردمك 1439-8516 . S2CID 122383748 .  
• ستينرود، ن. إي. (1967). "فئة ملائمة من الفضاءات الطوبولوجية" . مجلة ميشيغان الرياضية . 14 (2): 133-152 . doi : 10.1307/mmj/1028999711 . تاريخ الاسترجاع: 10 فبراير 2021 .
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .