فضاء القسمة (الطوبولوجيا)

في علم الطوبولوجيا والمجالات الرياضية ذات الصلة ، يُعرَّف فضاء القسمة لفضاء طوبولوجي تحت علاقة تكافؤ معينة بأنه فضاء طوبولوجي جديد يُنشأ بتزويد مجموعة القسمة للفضاء الطوبولوجي الأصلي بطوبولوجيا القسمة ، أي بأفضل طوبولوجيا تجعل دالة الإسقاط المتعارف عليها (الدالة التي تربط النقاط بفئات تكافؤها ) متصلة . بعبارة أخرى، تكون مجموعة جزئية من فضاء القسمة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت صورتها العكسية تحت دالة الإسقاط المتعارف عليها مفتوحة في الفضاء الطوبولوجي الأصلي.

بشكل بديهي، تُحدد نقاط كل فئة تكافؤ أو "تُلصق معًا" لتشكيل فضاء طوبولوجي جديد. على سبيل المثال، تحديد نقاط الكرة التي تنتمي إلى القطر نفسه ينتج عنه المستوى الإسقاطي كفضاء خارج القسمة.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا ، وليكن${\displaystyle \sim }$لتكن علاقة تكافؤ على${\displaystyle X.}$مجموعة القسمة${\displaystyle Y=X/{\sim }}$هي مجموعة فئات التكافؤ لعناصر${\displaystyle X.}$فئة التكافؤ لـ${\displaystyle x\in X}$يُشار إليه بـ${\displaystyle [x].}$

بناء${\displaystyle Y}$يُعرّف إسقاطًا معياريًا شاملًا${\displaystyle q:X\to Y,x\mapsto [x].}$ كما هو موضح أدناه،${\displaystyle q}$هي عملية إسقاط خارج القسمة، تُعرف عادةً باسم خريطة القسمة القانونية، أو خريطة الإسقاط القانونية، المرتبطة بـ${\displaystyle X/{\sim }.}$

الفضاء خارج القسمة تحت${\displaystyle \sim }$هي المجموعة${\displaystyle Y}$مجهزة بطوبولوجيا القسمة ، التي تكون مجموعاتها المفتوحة هي تلك المجموعات الفرعية${\textstyle U\subseteq Y}$صورته السابقة${\displaystyle q^{-1}(U)}$مفتوح . بعبارة أخرى ،${\displaystyle U}$مفتوح في طوبولوجيا القسمة على${\displaystyle X/{\sim }}$إذا وفقط إذا${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$مفتوح في${\displaystyle X.}$ وبالمثل، مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq Y}$يُغلق إذا وفقط إذا${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$مغلق في${\displaystyle X.}$

تُعرَّف طوبولوجيا القسمة بأنها الطوبولوجيا النهائية على مجموعة القسمة، بالنسبة للخريطة.${\displaystyle x\mapsto [x].}$

خريطة${\displaystyle f:X\to Y}$تُعتبر دالة خارج القسمة (وتُسمى أحيانًا دالة تعريف ^{[ 1 ]} ) إذا كانت شاملة و${\displaystyle Y}$وهو مزود بالطوبولوجيا النهائية الناتجة عن${\displaystyle f.}$ يسمح الشرط الأخير بصياغتين أكثر بساطة: مجموعة جزئية${\displaystyle V\subseteq Y}$يكون مفتوحًا (مغلقًا) إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}(V)}$مفتوحة (أو مغلقة). كل دالة خارج القسمة متصلة، ولكن ليس كل دالة متصلة دالة خارج قسمة.

مجموعات مشبعة

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم مشبع (بالنسبة إلى${\displaystyle f}$) إذا كان على شكل${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$لبعض المجموعات${\displaystyle T,}$وهذا صحيح إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ المهمة${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$يُنشئ علاقة تناظر أحادي (معكوسها هو${\displaystyle S\mapsto f(S)}$) بين المجموعات الفرعية${\displaystyle T}$ل${\displaystyle Y=f(X)}$ومجموعات فرعية مشبعة من${\displaystyle X.}$ باستخدام هذه المصطلحات، يصبح التداخل${\displaystyle f:X\to Y}$تكون دالة خارج القسمة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية مشبعة${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$مفتوح في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(S)}$مفتوح في${\displaystyle Y.}$ على وجه الخصوص، المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle X}$لا تؤثر العوامل غير المشبعة على ما إذا كانت الوظيفة${\displaystyle f}$هي دالة خارج القسمة (أو في الواقع، دالة متصلة: دالة)${\displaystyle f:X\to Y}$تكون متصلة إذا وفقط إذا، لكل مشبع${\textstyle S\subseteq X}$بحيث${\displaystyle f(S)}$مفتوح في${\textstyle f(X)}$، المجموعة${\displaystyle S}$مفتوح في${\textstyle X}$).

في الواقع، إذا${\displaystyle \tau }$هي طوبولوجيا على${\displaystyle X}$و${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت أي خريطة، فإن المجموعة${\displaystyle \tau _{f}}$من بين الجميع${\displaystyle U\in \tau }$وهي مجموعات فرعية مشبعة من${\displaystyle X}$يشكل بنية طوبولوجية على${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle Y}$إذن، هو أيضاً فضاء طوبولوجي${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$تكون دالة خارج القسمة (أو متصلة ) إذا وفقط إذا كان الأمر نفسه صحيحًا بالنسبة لـ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

فضاء القسمة لتوصيف الألياف

بالنظر إلى علاقة التكافؤ${\displaystyle \,\sim \,}$على${\displaystyle X,}$تشير إلى فئة التكافؤ لنقطة${\displaystyle x\in X}$بواسطة${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$ودع${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$تشير إلى مجموعة فئات التكافؤ. الخريطة${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$التي تُرسل النقاط إلى فئات التكافؤ الخاصة بها (أي أنها مُعرَّفة بواسطة${\displaystyle q(x):=[x]}$لكل${\displaystyle x\in X}$يُطلق عليها اسم الخريطة القانونية . وهي خريطة شاملة، ولكل${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle a\,\sim \,b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle q(a)=q(b);}$بالتالي،${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$وعلى وجه الخصوص، يُظهر هذا أن مجموعة فئة التكافؤ${\displaystyle X/{\sim }}$هي بالضبط مجموعة ألياف الخريطة الكنسية${\displaystyle q.}$ لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً طوبولوجيًا، فإن ذلك يعطي${\displaystyle X/{\sim }}$طوبولوجيا القسمة الناتجة عن${\displaystyle q}$سيحوله إلى فضاء خارج القسمة ويجعل${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$إلى خريطة خارج القسمة. حتى التشاكل الموضعي ، يمثل هذا البناء جميع فضاءات القسمة؛ وسيتم الآن شرح المعنى الدقيق لذلك.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$ليكن تطبيقًا شاملاً بين فضاءات طوبولوجية (لم يُفترض بعد أنه متصل أو تطبيق خارج القسمة) وأعلن لجميع${\displaystyle a,b\in X}$الذي - التي${\displaystyle a\,\sim \,b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(a)=f(b).}$ثم${\displaystyle \,\sim \,}$هي علاقة تكافؤ على${\displaystyle X}$بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$مما يعني أن${\displaystyle f([x])}$(محدد بواسطة${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$) هي مجموعة أحادية ؛ نرمز إلى العنصر الوحيد فيها${\displaystyle f([x])}$بواسطة${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$(وبالتالي بحكم التعريف،${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$). المهمة${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$يُعرّف التناظر${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$بين ألياف${\displaystyle f}$ونقاط في${\displaystyle Y.}$ حدد الخريطة${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$كما سبق (بواسطة${\displaystyle q(x):=[x]}$) وأعطِ${\displaystyle X/{\sim }}$طوبولوجيا القسمة الناتجة عن${\displaystyle q}$(مما يجعل${\displaystyle q}$خريطة القسمة). وترتبط هذه الخرائط بما يلي:$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$ انطلاقاً من هذا، ومن حقيقة أن${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$بما أن الدالة هي دالة قسمة، فإن ذلك يترتب عليه أن${\displaystyle f:X\to Y}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان هذا صحيحًا لـ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$بالإضافة إلى،${\displaystyle f:X\to Y}$تكون دالة قسمة إذا وفقط إذا${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$هو تماثل شكلي (أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle {\hat {f}}}$(ومعكوسها متصل).

• اللصق . يتحدث علماء الطوبولوجيا عن لصق النقاط معًا. إذا${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي، يربط النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle X}$يعني ذلك النظر في فضاء القسمة الناتج عن علاقة التكافؤ${\displaystyle a\sim b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a=b}$أو${\displaystyle a=x,b=y}$(أو${\displaystyle a=y,b=x}$).
• ضع في اعتبارك المربع الواحد${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$وعلاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$يتم توليدها من خلال اشتراط أن تكون جميع نقاط الحدود متكافئة، وبالتالي تحديد جميع نقاط الحدود لفئة تكافؤ واحدة. ثم${\displaystyle I^{2}/\sim }$متماثل الشكل مع الكرة${\displaystyle S^{2}.}$

• فضاء الاقتران . وبشكل أعم، لنفترض${\displaystyle X}$هو مساحة و${\displaystyle A}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle X.}$يمكن للمرء تحديد جميع النقاط في${\displaystyle A}$إلى فئة تكافؤ واحدة وترك النقاط خارجها${\displaystyle A}$مكافئة فقط لنفسها. يُرمز إلى فضاء القسمة الناتج بـ${\displaystyle X/A.}$تكون الكرة ثنائية الأبعاد متماثلة شكليًا مع قرص مغلق يتم تحديد حدوده بنقطة واحدة:${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية ذات الطوبولوجيا العادية، واكتب${\displaystyle x\sim y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x-y}$إذا كان عددًا صحيحًا ، فإن فضاء القسمة${\displaystyle X/{\sim }}$متماثلة شكليًا مع دائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}}$عن طريق التشاكل الذي يرسل فئة التكافؤ لـ${\displaystyle x}$ل${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• تعميم المثال السابق هو التالي: لنفترض مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$يؤثر باستمرار على مساحة${\displaystyle X.}$يمكن للمرء أن يشكل علاقة تكافؤ على${\displaystyle X}$بالقول إن النقاط متكافئة إذا وفقط إذا كانت تقع في نفس المدار . يُطلق على فضاء القسمة في ظل هذه العلاقة اسم فضاء المدار ، ويُرمز له بـ${\displaystyle X/G.}$في المثال السابق${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$أعمال بشأن${\displaystyle \mathbb {R} }$عن طريق الترجمة. فضاء المدار${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$متماثل الشكل مع${\displaystyle S^{1}.}$
  • ملاحظة : الترميز${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$الأمر غامض إلى حد ما. إذا${\displaystyle \mathbb {Z} }$من المفهوم أنها مجموعة تعمل على${\displaystyle \mathbb {R} }$عن طريق الجمع، فإن الناتج هو الدائرة. ومع ذلك، إذا${\displaystyle \mathbb {Z} }$يُعتبر فضاءً فرعياً طوبولوجياً من${\displaystyle \mathbb {R} }$(التي يتم تحديدها كنقطة واحدة) ثم يكون الناتج${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$(الذي يمكن تحديده مع المجموعة)${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$) عبارة عن باقة لا نهائية قابلة للعد من الدوائر المتصلة عند نقطة واحدة${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• يوضح المثال التالي أنه ليس صحيحًا بشكل عام أنه إذا${\displaystyle q:X\to Y}$إذا كانت دالة قسمة، فإن كل متتالية متقاربة (على التوالي، كل شبكة متقاربة ) في${\displaystyle Y}$يوجد مصعد (بواسطة${\displaystyle q}$) إلى متتالية متقاربة (أو شبكة متقاربة ) في${\displaystyle X.}$يترك${\displaystyle X=[0,1]}$و${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$يترك${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$ودع${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$كن خريطة القسمة${\displaystyle q(x):=[x],}$لهذا السبب.${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$و${\displaystyle q(x)=\{x\}}$لكل${\displaystyle x\in (0,1).}$الخريطة${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$محدد بواسطة${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$محدد جيدًا (لأن${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$) وتماثل تماثلي . ليكن${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ودع${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$أي متتابعات (أو بشكل أعم، أي شبكات) ذات قيم في${\displaystyle (0,1)}$بحيث${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$في${\displaystyle X=[0,1].}$ثم التسلسل$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$يتقارب إلى${\displaystyle [0]=[1]}$في${\displaystyle X/{\sim }}$لكن لا يوجد أي رفع متقارب لهذه المتتالية بواسطة خريطة القسمة${\displaystyle q}$(أي أنه لا يوجد تسلسل)${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$في${\displaystyle X}$أن كلاهما يتقارب إلى شيء ما${\displaystyle x\in X}$ويرضي${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$لكل${\displaystyle i\in I}$يمكن تعميم هذا المثال المضاد على الشبكات عن طريق السماح${\displaystyle (A,\leq )}$ليكن أي مجموعة موجهة ، و${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$في شبكة من خلال الإعلان عن أنه لأي${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$يتحقق ذلك إذا وفقط إذا كان كلا (1)${\displaystyle a\leq b,}$و(2) إذا${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$ثم${\displaystyle A}$الشبكة المفهرسة - المعرفة بـ${\displaystyle y_{(a,m)}}$متساوي${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$ويساوي${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$لا يوجد مصعد (بواسطة)${\displaystyle q}$) إلى تقارب${\displaystyle A}$الشبكة المفهرسة في${\displaystyle X=[0,1].}$

خرائط القسمة${\displaystyle q:X\to Y}$تتميز هذه الدوال الشاملة بالخاصية التالية: إذا${\displaystyle Z}$أي فضاء طوبولوجي و${\displaystyle f:Y\to Z}$أي دالة، إذن${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا${\displaystyle f\circ q}$متصل.

فضاء القسمة${\displaystyle X/{\sim }}$بالإضافة إلى خريطة القسمة${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$تتميز بالخاصية العامة التالية : إذا${\displaystyle g:X\to Z}$هي دالة متصلة بحيث${\displaystyle a\sim b}$يشير إلى${\displaystyle g(a)=g(b)}$للجميع${\displaystyle a,b\in X,}$إذن توجد خريطة متصلة فريدة${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$بحيث${\displaystyle g=f\circ q.}$بمعنى آخر، فإن المخطط التالي قابل للتبديل:

يقول أحدهم ذلك${\displaystyle g}$ينحدر إلى خارج القسمة للتعبير عن هذا، أي أنه يحلل عبر فضاء القسمة. الدوال المتصلة المعرفة على${\displaystyle X/{\sim }}$وبالتالي، فإن هذه الخرائط هي تحديداً تلك الخرائط التي تنشأ من الخرائط المتصلة المعرفة على${\displaystyle X}$التي تحترم علاقة التكافؤ (بمعنى أنها ترسل عناصر متكافئة إلى نفس الصورة). يُستخدم هذا المعيار بكثرة عند دراسة فضاءات القسمة.

بالنظر إلى دالة شاملة متصلة${\displaystyle q:X\to Y}$من المفيد وجود معايير يمكن من خلالها تحديد ما إذا كان${\displaystyle q}$هي دالة قسمة. ومن المعايير الكافية أن${\displaystyle q}$أن تكون مفتوحة أو مغلقة . لاحظ أن هذه الشروط كافية فقط ، وليست ضرورية . من السهل إنشاء أمثلة على دوال القسمة التي ليست مفتوحة ولا مغلقة. بالنسبة للمجموعات الطوبولوجية، تكون دالة القسمة مفتوحة.

الطوبولوجيا

• مساحة التغطية – نوع من الخرائط المتصلة في علم الطوبولوجيا 
• الاتحاد المنفصل (في علم الطوبولوجيا) – مصطلح رياضي 
• الطوبولوجيا النهائية - أفضل طوبولوجيا تجعل بعض الدوال متصلة 
• المخروط التخطيطي (الطوبولوجيا) - البناء الطوبولوجي على خريطة بين الفضاءات 
• فضاء المنتج – الطوبولوجيا على المنتجات الديكارتية للفضاءات الطوبولوجية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الفضاء الفرعي (الطوبولوجيا) – الطوبولوجيا الموروثة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الفضاء الطوبولوجي – فضاء رياضي بمفهوم التقارب 

الجبر

• فئة خارج القسمة - نوع من أنواع كائنات خارج القسمة في الرياضيات 
• مجموعة القسمة – مجموعة يتم الحصول عليها من خلال تجميع العناصر المتشابهة لمجموعة أكبر 
• فضاء القسمة (الجبر الخطي) – فضاء متجهي يتكون من مجموعات فرعية أفينية 
• المخروط التعييني (الجبر التماثلي) – أداة في الجبر التماثلي 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد.  4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• براون، رونالد (2006)، الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية ، بوكسيرج، رقم ISBN 1-4196-2722-8
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• إنجلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• توم ديك، تامو (2008). الطوبولوجيا الجبرية . زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية. ISBN 978-3-03719-048-7.
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .