Small cubicuboctahedron

Small cubicuboctahedron
Type	Uniform star polyhedron
Elements	F = 20, E = 48V = 24 (χ = −4)
Faces by sides	8{3}+6{4}+6{8}
Coxeter diagram
Wythoff symbol	3/2 4 | 4 3 4/3 | 4
Symmetry group	Oh, [4,3], *432
Index references	U13, C38, W69
Dual polyhedron	Small hexacronic icositetrahedron
Vertex figure	4.8.3/2.8
Bowers acronym	Socco

In geometry, the small cubicuboctahedron is a uniform star polyhedron, indexed as U₁₃. It has 20 faces (8 triangles, 6 squares, and 6 octagons), 48 edges, and 24 vertices.^[1] Its vertex figure is a crossed quadrilateral.

The small cubicuboctahedron is a faceting of the rhombicuboctahedron. Its square faces and its octagonal faces are parallel to those of a cube, while its triangular faces are parallel to those of an octahedron: hence the name cubicuboctahedron. The small suffix serves to distinguish it from the great cubicuboctahedron, which also has faces in the aforementioned directions.^[2]

It shares its vertex arrangement with the stellated truncated hexahedron. It additionally shares its edge arrangement with the rhombicuboctahedron (having the triangular faces and 6 square faces in common), and with the small rhombihexahedron (having the octagonal faces in common).

Rhombicuboctahedron

Small cubicuboctahedron

Small rhombihexahedron

Stellated truncated hexahedron

كما تشير خاصية أويلر، فإن المكعب الثماني الصغير هو متعدد السطوح حلقي من النوع 3 (طوبولوجيًا، هو سطح من النوع 3)، وبالتالي يمكن تفسيره على أنه غمر (متعدد السطوح) لسطح متعدد السطوح من النوع 3، في مكمل رؤوسه الـ 24، في الفضاء ثلاثي الأبعاد. (جوار أي رأس هو مخروط طوبولوجيًا على شكل الرقم 8، وهو ما لا يمكن أن يحدث في الغمر. تجدر الإشارة إلى أن مرجع ريختر يتجاهل هذه الحقيقة). يُعرّف متعدد السطوح الأساسي (مع تجاهل التقاطعات الذاتية) تبليطًا منتظمًا لهذا السطح، وبالتالي فإن المكعب الثماني الصغير هو متعدد سطوح منتظم. بلغة متعددات السطوح المجردة ، يُعد المكعب الثماني الصغير تجسيدًا دقيقًا لهذا متعدد السطوح الحلقي المجرد، مما يعني أنه متعدد سطوح غير منحل وأن لهما نفس مجموعة التناظر. في الواقع، يتم تحقيق كل تماثل ذاتي للسطح المجرد من النوع 3 مع هذا التبليط عن طريق تماثل قياس الفضاء الإقليدي.

تسمح الأسطح ذات الرتبة الأعلى (الرتبة 2 أو أعلى) بمقياس انحناء ثابت سالب (بحسب نظرية التوحيد )، والغطاء الشامل لسطح ريمان الناتج هو المستوى الزائدي . يُظهر التبليط المقابل للمستوى الزائدي شكل الرأس 3.8.4.8 (مثلث، مثمن، مربع، مثمن). إذا أُعطي السطح مقياس الانحناء المناسب = -1، فإن خريطة التغطية تكون متساوية القياس محليًا ، وبالتالي يكون شكل الرأس المجرد هو نفسه. يمكن الإشارة إلى هذا التبليط برمز Wythoff 3 4 | 4، وهو موضح على اليمين.

بدلاً من ذلك وبشكل أكثر دقة، من خلال تقسيم كل وجه مربع إلى مثلثين وكل وجه ثماني الأضلاع إلى 6 مثلثات، يمكن تفسير المكعب المكعب الثماني الصغير على أنه تلوين غير منتظم للتبليط المنتظم توافقيًا (ليس فقط موحدًا ) لسطح الجنس 3 بواسطة 56 مثلثًا متساوي الأضلاع، يلتقي عند 24 رأسًا، كل منها بدرجة 7. ^{[ 3 ]} هذا التبليط المنتظم مهم لأنه تبليط لرباعي كلاين ، سطح الجنس 3 ذو المقياس الأكثر تناظرًا (التشاكلات الذاتية لهذا التبليط تساوي التماثلات للسطح)، ومجموعة التشاكل الذاتي الحافظة للاتجاه لهذا السطح متماثلة مع المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,7)، أو بشكل مكافئ GL(3,2) (مجموعة الرتبة 168 لجميع التماثلات الحافظة للاتجاه). لاحظ أن المكعب المكعب الثماني الصغير ليس تجسيدًا لهذا متعدد السطوح المجرد، لأنه يحتوي فقط على 24 تناظرًا يحافظ على الاتجاه (لا يتم تحقيق كل تماثل مجرد بواسطة تماثل إقليدي) - لا تحافظ تماثلات المكعب المكعب الثماني الصغير على التبليط المثلثي فحسب، بل تحافظ أيضًا على التلوين، وبالتالي فهي مجموعة فرعية مناسبة من مجموعة التماثل الكاملة.

التبليط المقابل للمستوى الزائدي (التغطية الشاملة) هو التبليط المثلثي من الرتبة 7. يمكن زيادة زمرة التشاكل الذاتي لرباعي كلاين (بتناظر لا يتحقق بتناظر متعدد السطوح، وهو "تبديل نقطتي نهاية الحواف التي تنصف المربعات والأوجه الثمانية") للحصول على ^زمرة ماثيو M _24. ^{[ 4} ]

• مركب من خمسة مجسمات مكعبة ثمانية الأوجه صغيرة
• قائمة المجسمات المنتظمة

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " مكعب ثماني الأوجه صغير " (" متعدد السطوح منتظم ") في عالم الرياضيات .