المعين المكعب ثماني السطوح

المعين المكعب ثماني السطوح
يكتب	متعدد السطوح المنتظم أرخميدس
وجوه	8 مثلثات متساوية الأضلاع 18 مربع
الحواف	48
رؤوس	24
تكوين الرأس	${\displaystyle 24(3\cdot 4^{3})}$
رمز شلايفلي	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$
مجموعة التماثل	تماثل ثماني السطوح تماثل بيريتوهدرا${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$
زاوية ثنائية السطوح ( درجات )	مربع إلى مربع: 135 درجة مربع إلى مثلث: 144.7 درجة
متعدد السطوح المزدوج	مثلث الشكل متوازي الأضلاع
شكل الرأس
شبكة

في الهندسة، يعتبر المعين ثماني السطوح مجسمًا أرخميديًا له 26 وجهًا، ويتكون من 8 مثلثات متساوية الأضلاع و18 مربعًا. وقد أطلق عليه يوهانس كيبلر هذا الاسم في كتابه Harmonices Mundi عام 1618 ، وهو اختصار لمعين مكعب ثماني السطوح المقطوع ، وكان معين مكعب ثماني السطوح هو اسمه لمعين اثني عشري السطوح . ^[1]

المعين المكعب ثماني السطوح هو مجسم أرخميدس ، ومزدوجه هو مجسم كاتالوني ، وهو المجسم الإثني عشري السطوح الدالي . والمربع المطول الجيروسكوبي هو مجسم متعدد السطوح يشبه المعين المكعب ثماني السطوح، ولكنه ليس مجسم أرخميدس لأنه ليس متعديًا للرؤوس . ويوجد المعين المكعب ثماني السطوح في ثقافات متنوعة في الهندسة المعمارية والألعاب والفنون وأماكن أخرى.

يمكن إنشاء المعين ثماني السطوح من مكعب عن طريق رسم مكعب أصغر في منتصف كل وجه، بالتوازي مع حواف المكعب. بعد إزالة حواف المكعب، يمكن ربط المربعات عن طريق إضافة المزيد من المربعات المجاورة لها، ويمكن ملء الزوايا بالمثلثات متساوية الأضلاع . طريقة أخرى لإنشاء المعين ثماني السطوح هي عن طريق ربط قبتين مربعتين منتظمتين في قواعد منشور ثماني الأضلاع منتظم . ^[2]

قد يُعرف المعين المكعب ثماني السطوح أيضًا باسم ثماني السطوح الموسع أو المكعب الموسع . وذلك لأن المعين المكعب ثماني السطوح يمكن بناؤه أيضًا عن طريق فصل ودفع وجوه المكعب أو ثماني السطوح المنتظم بعيدًا عن مركز ثقلهما (بالأزرق أو الأحمر، على التوالي، في الرسوم المتحركة)، وملء الفراغات بينهما بالمربعات والمثلثات متساوية الأضلاع. تُعرف عملية البناء هذه بالتوسع . [ ^3] باستخدام كل هذه الطرق المذكورة أعلاه، يحتوي المعين المكعب ثماني السطوح على 8 مثلثات متساوية الأضلاع و16 مربعًا كوجوه. ^[4] وبالمثل، يمكن أيضًا بناء المعين المكعب ثماني السطوح عن طريق قطع جميع حواف ورؤوس المكعب أو ثماني السطوح المنتظم، وهي العملية المعروفة باسم التصحيح . ^[5]

الإحداثيات الديكارتية لمكعب ثماني السطوح المعين بطول ضلع 2 هي تبديلات . ^[6]${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right),\pm 1,\pm 1\right)}$

يمكن تحديد مساحة سطح المعين ثماني السطوح بإضافة مساحة جميع الوجوه: 8 مثلثات متساوية الأضلاع و18 مربعًا. يمكن تحديد حجم المعين ثماني السطوح بتقسيمه إلى قبتين مربعتين ومنشور ثماني الأضلاع. بما أن طول الحافة ، فإن مساحة سطحه وحجمه هما: ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle أ}$ $${\displaystyle A&=\left(18+2\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 21.464a^{2},\\V&=\frac {12+10\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&\approx 8.714a^{3}.\end{aligned}}}$$

يُعطى الكسر الأمثل للتعبئة في مجسم ثماني السطوح المعينية بواسطة لاحظ دي جراف وفان رويج وديكسترا (2011) أن هذه القيمة المثلى تم الحصول عليها في شبكة برافيس . ^[8] نظرًا لأن مجسم ثماني السطوح المعينية محصور في مجسم اثني عشري السطوح المعين الذي تكون الكرة المحفورة فيه مطابقة للكرة المحفورة فيه، فإن قيمة الكسر الأمثل للتعبئة هي نتيجة تكميلية لتخمين كبلر : يمكن تحقيق ذلك عن طريق وضع مجسم ثماني السطوح المعينية في كل خلية من خلايا قرص العسل الاثني عشري السطوح المعينية ، ولا يمكن تجاوزها، لأنه بخلاف ذلك يمكن تجاوز كثافة التعبئة المثلى للكرات عن طريق وضع كرة في كل مجسم ثماني السطوح المعينية للتعبئة الافتراضية التي تتجاوزها. ^{[ بحاجة لمصدر ]}$${\displaystyle \eta ={\frac {4}{3}}\left(4{\sqrt {2}}-5\right).}$$

يمكن تحديد الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح المعين عن طريق إضافة الزاوية ثنائية السطوح لقبة مربعة ومنشور مثمن: ^[9]

• الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح بين مربعين متجاورين في كل من الأعلى والأسفل هي زاوية قبة مربعة 135 درجة. الزاوية ثنائية السطوح لمنشور مثمن بين مربعين متجاورين هي الزاوية الداخلية لثماني منتظم 135 درجة. الزاوية ثنائية السطوح بين مربعين متجاورين على الحافة حيث تكون القبة المربعة متصلة بمنشور مثمن هي مجموع الزاوية ثنائية السطوح لقبة مربعة مربعة إلى ثماني وزاوية ثنائية السطوح لمنشور مثمن مربع إلى ثماني 45 درجة + 90 درجة = 135 درجة. وبالتالي، فإن الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح معيني لكل مربعين متجاورين هي 135 درجة.
• الزاوية ثنائية السطوح لمربع ثماني السطوح المعينية الشكل إلى مثلث هي زاوية قبة مربعة بين هذين المربعين 144.7 درجة. الزاوية ثنائية السطوح بين المربع والمثلث، على الحافة حيث تكون القبة المربعة متصلة بمنشور ثماني الأضلاع هي مجموع الزاوية ثنائية السطوح لمربع مثلث إلى ثماني الأضلاع والزاوية ثنائية السطوح لمربع ثماني الأضلاع المنشوري إلى ثماني الأضلاع 54.7 درجة + 90 درجة = 144.7 درجة. وبالتالي، فإن الزاوية ثنائية السطوح لمربع ثماني السطوح المعينية الشكل لكل مربع إلى مثلث هي 144.7 درجة.

يتمتع المعين ثماني السطوح بخاصية روبرت ، مما يعني أن هناك متعدد السطوح بنفس الحجم أو أكبر يمكنه المرور عبر ثقبه. ^[10]

يتمتع المعين المكعب الثماني السطوح بنفس تماثل المكعب والثماني السطوح المنتظم، وهو التماثل الثماني السطوح . ^[11] ومع ذلك، فإن المعين المكعب الثماني السطوح لديه أيضًا مجموعة ثانية من التشوهات ذات ستة وجوه مستطيلة وستة عشر وجهًا شبه منحرف، والتي لا تحتوي على تماثل ثماني السطوح بل تماثل بيريتوهيدر ، وبالتالي فهي ثابتة تحت نفس الدورات مثل رباعي السطوح ولكن مع انعكاسات مختلفة. ^[12] إنه متماثل مركزيًا ، مما يعني أن تماثله قابل للتبادل من خلال ظهور مركز الانعكاس . كما أنه غير كيرالي ؛ أي أنه يتطابق مع صورته المرآة. ^[13]${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$

المعين المكعب الثماني السطوح هو مجسم أرخميدس ، مما يعني أنه متعدد السطوح متماثل للغاية وشبه منتظم، ويلتقي وجهان أو أكثر من الوجوه المتعددة الأضلاع المنتظمة المختلفة في رأس واحد. ^[14] الوجوه المتعددة الأضلاع التي تلتقي عند كل رأس هي مثلث متساوي الأضلاع وثلاثة مربعات، ويُشار إلى شكل الرأس باسم . ثنائيه هو مجسم إيكوزيترايدرون دالي ، وهو مجسم كاتالوني ، يشترك في نفس التناظر مع المعين المكعب الثماني السطوح. ^[15]${\displaystyle 3\cdot 4^{3}}$

المربع المطول الجيروسكوب هو الشكل الوحيد الذي يشبه المعين ثماني السطوح. والفرق هو أن المربع المطول الجيروسكوب يتم بناؤه عن طريق لف إحدى قبابه. كان يُنظر إليه ذات يوم على أنه الشكل الأرخميدي الرابع عشر، حتى تم اكتشاف أنه ليس متعديًا للرؤوس ، مما أدى إلى تصنيفه على أنه شكل جونسون بدلاً من ذلك. ^[16]

يمكن وصف هيكل المعين المكعب الثماني السطوح بأنه رسم بياني متعدد السطوح ، أي رسم بياني مستوٍ ومتصل بثلاث رؤوس . بعبارة أخرى، لا تتقاطع حواف الرسم البياني أثناء رسمه، وإزالة أي رأسين منه يترك رسمًا بيانيًا فرعيًا متصلًا .

يحتوي الرسم البياني المعيني ثماني السطوح على 24 رأسًا و48 ضلعًا. وهو من النوع الرباعي ، أي أن كل رأس من رؤوسه متصل بأربعة رؤوس أخرى. يُصنف هذا الرسم البياني على أنه رسم بياني أرخميدس ، لأنه يشبه الرسم البياني للجسم الأرخميدس. ^[17]

يظهر المعين ثماني السطوح في الهندسة المعمارية، ومن الأمثلة على هذا المبنى المكتبة الوطنية الواقعة في مينسك . ^[18] يعد منزل ويلسون مثالاً آخر على مبنى المعين ثماني السطوح، على الرغم من أن وحدته كانت مصورة على شكل مكعب مقطوع حيث تم قطع جميع الحواف. تم بناؤه أثناء الحرب العالمية الثانية وعملية الاختراق في الستينيات. ^[19]

قد يوجد المعين ثماني السطوح أيضًا في الألعاب. على سبيل المثال، الخطوط التي يمكن تدوير مكعب روبيك على طولها، والتي يتم إسقاطها على كرة، تشبه حواف المعين ثماني السطوح، ومتطابقة طوبولوجيًا . تم إنتاج متغيرات تستخدم آلية مكعب روبيك، والتي تشبه إلى حد كبير المعين ثماني السطوح. أثناء جنون مكعب روبيك في الثمانينيات، كان على الأقل اثنان من الألغاز الملتوية المباعة على شكل معين ثماني السطوح (كانت الآلية مشابهة لآلية مكعب روبيك) ^{[20] [21]} يمكن العثور على مثال آخر في النرد من قلعة كورف ، حيث تحتوي كل وجوه مربعة على علامات أزواج من الحروف والنقاط . [ ^22]

قد يظهر المعين ثماني السطوح أيضًا في الفن. ومن الأمثلة على ذلك صورة لوكا باسيولي لعام 1495 ، والتي تُنسب تقليديًا إلى جاكوبو دي بارباري ، والتي تتضمن معينًا زجاجيًا ثماني السطوح مملوءًا بالماء إلى النصف، والذي ربما رسمه ليوناردو دافنشي . ^[23] كانت أول نسخة مطبوعة من المعين ثماني السطوح من تأليف ليوناردو وظهرت في كتاب ديفينا باربوري لباسيولي ( 1509).

• معين مثمن الشكل مقطوع
• النجمة المورافية

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "المعين الثماني السطوح" ("الشكل الصلب الأرخميدي") في MathWorld .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "الرسم البياني المعيني الصغير ثماني السطوح". MathWorld .
• كليتزينج، ريتشارد. "متعدد السطوح المنتظم المحدب ثلاثي الأبعاد x3o4x - sirco".
• متعدد السطوح المنتظم
• متعددات السطوح في الواقع الافتراضي موسوعة متعددات السطوح
• شبكة قابلة للطباعة والتعديل لمكعب ثماني السطوح مع عرض تفاعلي ثلاثي الأبعاد
• نجمة Rhombicuboctahedron من تأليف ساندور كاباي، مشروع مظاهرات ولفرام .
• المعين المكعب الثماني السطوح: شرائط ورقية للتضفير