المجسم الثماني

في الهندسة ، ثماني السطوح ( الجمع : ثماني السطوح أو ثماني السطوح ) هو متعدد السطوح بثمانية أوجه. هناك حالة خاصة وهي ثماني السطوح المنتظم ، وهو جسم أفلاطوني يتكون من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع ، أربعة منها تلتقي عند كل رأس. توجد ثماني السطوح المنتظمة في الطبيعة على هيئة هياكل بلورية . كما توجد أيضًا العديد من أنواع ثماني السطوح غير المنتظمة، بما في ذلك الأشكال المحدبة وغير المحدبة.

ثماني السطوح المنتظم هو الحالة ثلاثية الأبعاد للمفهوم الأكثر عمومية لمتعدد السطوح المتقاطع .

ثماني السطوح المنتظم

ثماني السطوح المنتظم ومتعدد السطوح المزدوج الخاص به ، المكعب .

ثماني السطوح المنتظم هو ثماني السطوح الذي هو متعدد السطوح المنتظم . جميع أوجه ثماني السطوح المنتظم عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع بنفس الحجم، وتلتقي أربعة مثلثات بالضبط عند كل رأس. ثماني السطوح المنتظم محدب، مما يعني أنه بالنسبة لأي نقطتين داخله، فإن القطعة المستقيمة التي تربط بينهما تقع بالكامل داخله.

وهو أحد أشكال المثلثات الثمانية المحدبة لأن جميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع . ^[1] وهو متعدد السطوح مركب مصنوع من ربط هرمين مربعين متساويي الأضلاع . ^[2]^[3] ومتعدد السطوح المزدوج هو المكعب ، ولهما نفس مجموعات التماثل ثلاثية الأبعاد ، وهو التماثل الثماني السطوح . ^[3] $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$

كجسم صلب أفلاطوني

المجسم الثماني السطوح المنتظم هو أحد الأشكال الأفلاطونية ، وهي مجموعة من متعددات السطوح التي تكون وجوهها مضلعات منتظمة متطابقة ويلتقي نفس العدد من الوجوه عند كل رأس. ^[4] وقد سميت هذه المجموعة القديمة من متعددات السطوح على اسم أفلاطون الذي ربط في محاورة تيماوس هذه الأشكال بالطبيعة . أحدها، المجسم الثماني السطوح المنتظم، يمثل العنصر الكلاسيكي للريح . ^[5]

بعد أن نسبها أفلاطون إلى الطبيعة، رسم يوهانس كيبلر في كتابه Harmonices Mundi كلًا من الأشكال الأفلاطونية. ^[5] في كتابه Mysterium Cosmographicum ، اقترح كيبلر أيضًا النظام الشمسي باستخدام الأشكال الأفلاطونية الموضوعة في شكل آخر وفصلها بستة مجالات تشبه الكواكب الستة. بدأت الأشكال المرتبة من الأعمق إلى الأبعد: ثماني السطوح المنتظم، وعشريني السطوح المنتظم ، واثني عشر وجهًا منتظمًا ، ورباعي السطوح المنتظم ، والمكعب . [ ^6]

كشكل هرمي مربع

العديد من ثماني السطوح المثيرة للاهتمام هي عبارة عن هرم ثنائي الشكل مربع الشكل . ^[7] الهرم الثنائي المربع هو هرم ثنائي الشكل تم بناؤه عن طريق ربط قاعدتين مربعتين ببعضهما البعض. يغطي الهرمان قاعدتيهما المربعتين، وبالتالي فإن متعدد السطوح الناتج له ثمانية أوجه مثلثة الشكل. ^[1]

يقال أن الهرم المربع ثنائي الشكل مستقيم إذا كان الهرم المربع منتظمًا بشكل متماثل وكان كلا قمتيه على الخط المار عبر مركز القاعدة؛ وإلا فهو مائل. ^[8] يحتوي الهرم ثنائي الشكل الناتج على مجموعة نقاط ثلاثية الأبعاد من مجموعة ثنائية السطوح مكونة من ستة عشر: المظهر متماثل من خلال الدوران حول محور التماثل الذي يمر عبر القمم ومركز القاعدة عموديًا، وله تماثل مرآوي بالنسبة لأي منصف للقاعدة؛ وهو أيضًا متماثل من خلال عكسه عبر المستوى الأفقي. ^[9] لذلك، فإن هذا الهرم ثنائي الشكل متعدٍ للوجه أو متساوي السطوح. ^[10] $D_{4\mathrm {h} }$

إذا كانت حواف الهرم الثنائي المربع متساوية في الطول، فإن هذا الهرم الثنائي المربع هو ثماني السطوح منتظم.

الخصائص المترية والإحداثيات الديكارتية

نموذج ثلاثي الأبعاد لثماني السطوح المنتظم

يمكن تحديد مساحة سطح ثماني السطوح المنتظم عن طريق جمع كل مثلثاته المتساوية الأضلاع الثمانية، في حين أن حجمه هو ضعف حجم الهرم المربع؛ إذا كان طول الحافة ، ^[11] نصف قطر الكرة المحددة (التي تلامس ثماني السطوح عند جميع الرؤوس)، ونصف قطر الكرة المحددة (التي تمس كل وجه من وجوه ثماني السطوح)، ونصف قطر الكرة المتوسطة (التي تلامس منتصف كل حافة)، هي: ^[12] $A$ $V$ $أ$ ${\begin{aligned}A&=2{\sqrt {3}}a^{2}&\approx 3.464a^{2},\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&\approx 0.471a^{3}.\end{aligned}}$ $r_{u}$ $r_{i}$ $r_{m}$ $r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408a,\qquad r_{m}={\frac {1}{2}}a=0.5a.$

الزاوية ثنائية السطوح لثماني السطوح المنتظم بين وجهين مثلثين متجاورين هي 109.47 درجة. ويمكن الحصول على هذه الزاوية من الزاوية ثنائية السطوح للهرم المربع متساوي الأضلاع: الزاوية ثنائية السطوح بين وجهين مثلثين متجاورين هي الزاوية ثنائية السطوح للهرم المربع متساوي الأضلاع بين وجهين مثلثين متجاورين، والزاوية ثنائية السطوح بين وجهين مثلثين متجاورين على الحافة التي يتصل بها هرمان مربعان متساويان الأضلاع هي ضعف الزاوية ثنائية السطوح للهرم المربع متساوي الأضلاع بين وجهه المثلث وقاعدته المربعة. ^[13]

يمكن وضع ثماني السطوح بطول حافة بحيث يكون مركزه عند نقطة الأصل ورؤوسه على محاور الإحداثيات؛ وتكون الإحداثيات الديكارتية للرؤوس هي: في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يكون ثماني السطوح بإحداثيات مركز ونصف قطر هو مجموعة جميع النقاط بحيث . ${\sqrt {2}}$ $(\pm 1,0,0),\qquad (0,\pm 1,0),\qquad (0,0,\pm 1).$ $(أ،ب،ج)$ $r$ $(x,y,z)$ $\left|xa\right|+\left|yb\right|+\left|zc\right|=r.$

الرسم البياني

يمكن تمثيل هيكل ثماني السطوح المنتظم كرسم بياني وفقًا لنظرية شتاينتز ، بشرط أن يكون الرسم البياني مستويًا - حواف الرسم البياني متصلة بكل رأس دون عبور حواف أخرى - ورسم بياني متصل بثلاثة - تظل حوافه متصلة كلما تمت إزالة رأسين أو أكثر من ثلاثة رؤوس للرسم البياني. ^[14]^[15] يسمى رسمه البياني الرسم البياني ثماني السطوح ، وهو رسم بياني أفلاطوني . ^[4]

يمكن اعتبار الرسم البياني ثماني السطوح رسمًا بيانيًا ثلاثي الأجزاء كاملًا ، وهو رسم بياني مقسم إلى ثلاث مجموعات مستقلة تتكون كل منها من رأسين متعاكسين. ^[16] وبشكل عام، فهو رسم بياني توران . $K_{2,2,2}$ $T_{6,3}$

الرسم البياني ثماني السطوح متصل بأربعة رؤوس ، مما يعني أنه يلزم إزالة أربع رؤوس لفصل الرؤوس المتبقية. إنه واحد من أربعة متعددات سطوح بسيطة مغطاة جيدًا متصلة بأربعة رؤوس ، مما يعني أن جميع المجموعات المستقلة القصوى لرؤوسها لها نفس الحجم. متعددات السطوح الثلاثة الأخرى التي تتمتع بهذه الخاصية هي ثنائي الهرم الخماسي ، وثنائي الوتدي ، ومتعدد السطوح غير المنتظم ذو 12 رأسًا و20 وجهًا مثلثيًا. ^[17]

الأرقام ذات الصلة

الجزء الداخلي من مركب رباعي السطوح المزدوج هو ثماني السطوح، وهذا المركب - المسمى ستيلا أوكتانجولا - هو أول ووحيد له . وعلى نحو مماثل، فإن ثماني السطوح المنتظم هو نتيجة قطع من رباعي السطوح المنتظم، أربعة رباعيات سطوح منتظمة بنصف الحجم الخطي (أي تصحيح رباعي السطوح). تقع رؤوس ثماني السطوح في نقاط منتصف حواف رباعي السطوح، وبهذا المعنى فهو يتعلق برباعي السطوح بنفس الطريقة التي يتعلق بها مكعب ثماني السطوح وعشروني عشري السطوح بالمجسمات الأفلاطونية الأخرى.

يمكن أيضًا تقسيم حواف ثماني السطوح بنسبة المتوسط الذهبي لتحديد رؤوس عشريني السطوح المنتظم . يتم ذلك عن طريق وضع متجهات أولاً على طول حواف ثماني السطوح بحيث يكون كل وجه محاطًا بدورة، ثم تقسيم كل حافة على نحو مماثل إلى المتوسط الذهبي على طول اتجاه متجهها. تحدد خمسة ثماني السطوح أي عشريني السطوح معين بهذه الطريقة، وتحدد معًا مركبًا منتظمًا . يُطلق على عشريني السطوح المنتظم الناتج بهذه الطريقة اسم ثماني السطوح المقلوب . ^[18]

يمكن اعتبار ثماني السطوح المنتظم بمثابة المنشور المضاد ، وهو متعدد السطوح يشبه المنشور حيث يتم استبدال الوجوه الجانبية بمثلثات متساوية الأضلاع متناوبة. ويسمى أيضًا المنشور المضاد الثلاثي . ^[19] لذلك، فإنه يتمتع بخاصية شبه المنتظم ، وهو متعدد السطوح حيث يتناوب وجهان مضلعان مختلفان ويلتقيان عند رأس. ^[20]

يمكن أن تتناوب ثماني السطوح ورباعي السطوح لتشكيل فسيفساء موحدة للرأس والحافة والوجه للفضاء . هذا والفسيفساء المنتظمة للمكعبات هي الشكل الوحيد من أشكال أقراص العسل المنتظمة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

رباعي السطوح السداسي المنتظم هو شكل رباعي السطوح متماثل من ثماني السطوح المنتظم، ويشترك في ترتيب الحواف والرؤوس . وله أربعة أوجه مثلثة وثلاثة مربعات مركزية.

ثماني السطوح المنتظم هو عبارة عن كرة ثلاثية في نظام مانهاتن المتري ( $ℓ$ ₁ ) .

مخطط أورثوجرافي مميز

مثل جميع متعددات السطوح المحدبة المنتظمة، يمكن تشريح ثماني السطوح إلى عدد صحيح من الأشكال المستقيمة المنفصلة ، جميعها لها نفس الشكل المميز لمتعدد السطوح. إن الشكل المستقيم المميز لمتعدد السطوح هو خاصية أساسية لأن متعدد السطوح يتولد عن طريق الانعكاسات في أوجه الشكل المستقيم الخاص به. يحدث الشكل المستقيم في شكلين كيراليين هما صورتان مرآويتان لبعضهما البعض. الشكل المستقيم المميز لمتعدد السطوح المنتظم هو رباعي السطوح غير المنتظم .

تقع وجوه رباعي السطوح المميز لثماني السطوح في مستويات تماثل ثماني السطوح . ثماني السطوح فريد من بين الأشكال المجسمة الأفلاطونية في وجود عدد زوجي من الوجوه التي تلتقي عند كل رأس. وبالتالي، فهو العضو الوحيد في تلك المجموعة الذي يمتلك، بين مستويات انعكاسه، بعض الوجوه التي لا تمر عبر أي من وجوهه. يُشار إلى مجموعة تماثل ثماني السطوح بـ B _3. ثماني السطوح ومتعدد السطوح المزدوج الخاص به ، المكعب ، لهما نفس مجموعة التماثل ولكن رباعي السطوح المميز مختلف.

يمكن العثور على رباعي السطوح المميز لثماني السطوح المنتظم من خلال تشريح قياسي ^[21] لثماني السطوح المنتظمالذي يقسمه إلى 48 من هذه المخططات المميزةتحيط بمركز ثماني السطوح. تلتقي ثلاثة أشكال مستقيمة يسارية وثلاثة أشكال مستقيمة يمينية في كل من الوجوه الثمانية لثماني السطوح، وتشكل الأشكال المستقيمة الستة مجتمعة رباعي السطوح ثلاثي المستطيلات : هرم مثلثي مع وجه ثماني السطوح كقاعدة متساوية الأضلاع، وقمته ذات الزوايا المكعبة في مركز ثماني السطوح. ^[22]

خصائص ثماني السطوح المنتظم ^[23]
	حافة	قوس		ثنائي السطوح
𝒍	$2$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$	109°28′	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\تقريبًا 1.155$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$
𝝉 ^[أ]	$1$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\تقريبًا 0.577$	35°15′52″	${\text{𝜿}}$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$

$_{0}R/l$	${\sqrt {2}}\تقريبا 1.414$
$_{1}R/l$	$1$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\تقريبًا 0.816$

${\text{𝜿}}$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{قوس ثانية }}3}{2}}$

إذا كان طول ضلع ثماني السطوح 𝒍 = 2، فإن حواف رباعي السطوح المميز له الستة لها أطوال , , حول وجهه الخارجي للمثلث القائم (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀 و 𝝉 و 𝟁)، ^[a] زائد , , (الحواف التي تمثل الأقطار المميزة لثماني السطوح). مسار الحواف الثلاثة على طول الحواف المتعامدة للمخطط المستقيم هو , , , أولاً من رأس ثماني السطوح إلى مركز حافة ثماني السطوح، ثم يدور 90 درجة إلى مركز وجه ثماني السطوح، ثم يدور 90 درجة إلى مركز ثماني السطوح. يحتوي المخطط المستقيم على أربعة أوجه مثلثية قائمة غير متشابهة. الوجه الخارجي هو مثلث 90-60-30 وهو سدس وجه ثماني السطوح. الوجوه الثلاثة الداخلية لثماني السطوح هي: مثلث 45-90-45 ذو حواف ، ، ، ومثلث قائم ذو حواف ، ، ، ومثلث قائم ذو حواف ، ، . ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {2}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$

الألوان الموحدة والتناظر

هناك 3 ألوان موحدة لثماني السطوح، تم تسميتها وفقًا لألوان الوجوه المثلثية المحيطة بكل رأس: 1212، 1112، 1111.

مجموعة تماثل ثماني السطوح هي O _h ، من الدرجة 48، وهي مجموعة ثماني السطوح ثلاثية الأبعاد. تشمل المجموعات الفرعية لهذه المجموعة D _3d (الدرجة 12)، وهي مجموعة تماثل المنشور المضاد المثلثي ؛ و D _4h (الدرجة 16)، وهي مجموعة تماثل الهرم المربع ثنائي السطوح ؛ وT _d (الدرجة 24)، وهي مجموعة تماثل رباعي السطوح المستقيم. يمكن التأكيد على هذه التناظرات من خلال تلوين الوجوه المختلفة.

اسم	المجسم الثماني	رباعي السطوح المصحح (رباعي السطوح)	منشور مضاد مثلثي	هرم مربع ذو هرمين	فُسْل مُعَيَّنِيّ
الصورة (تلوين الوجه)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
مخطط كوكستر		=
رمز شلايفلي	{3,4}	ر{3،3}	س{2,6} س{2,3}	قدم{2,4} { } + {4}	فتر{2,2} { } + { } + { }
رمز ويتوف	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
التماثل	أوه ، [4،3]، (*432 ₎	ت _د ، [3،3]، (*332)	د _{3 د} , [2 ⁺ ,6] , (2*3) د ₃ , [2,3] ⁺ , (322)	د _4ح ، [2،4]، (*422)	د _2ح ، [2،2]، (*222)
طلب	48	24	12 6	16	8

أنواع أخرى من ثماني السطوح

الجيروبيفاستيجيوم هو متعدد السطوح محدب الوجه منتظم الشكل .

يمكن أن يكون ثماني السطوح أي متعدد السطوح بثمانية أوجه. في مثال سابق، يحتوي ثماني السطوح المنتظم على 6 رؤوس و12 ضلعًا، وهو الحد الأدنى لثماني السطوح؛ وقد يحتوي ثماني السطوح غير المنتظم على ما يصل إلى 12 رأسًا و18 ضلعًا. ^[24] يوجد 257 ثماني السطوح محدبًا متميزًا طوبولوجيًا ، باستثناء الصور المرآوية. وبشكل أكثر تحديدًا، يوجد 2 و11 و42 و74 و76 و38 و14 لثماني السطوح مع 6 إلى 12 رأسًا على التوالي. ^[25]^[26] (يكون متعددا السطوح "متميزين طوبولوجيًا" إذا كان لديهما ترتيبات مختلفة جوهريًا للوجوه والرؤوس، بحيث يكون من المستحيل تشويه أحدهما إلى الآخر ببساطة عن طريق تغيير أطوال الحواف أو الزوايا بين الحواف أو الوجوه.) تحتوي بعض متعددات السطوح على ثمانية وجوه بصرف النظر عن كونها هرمية مربعة في ما يلي:

المنشور السداسي : وجهان متوازيان من السداسيات المنتظمة؛ وتربط ستة مربعات بين أزواج متناظرة من حواف السداسيات.
الهرم السباعي : أحد أوجهه سباعي (عادة ما يكون منتظمًا)، والسبعة أوجه المتبقية مثلثات (عادة ما تكون متساوية الساقين). لا يمكن أن تكون جميع الوجوه المثلثية متساوية الأضلاع.
رباعي السطوح المقطوع : يتم اقتطاع الوجوه الأربعة من رباعي السطوح لتصبح سداسيات منتظمة، وهناك أربعة أوجه مثلثية متساوية الأضلاع أخرى حيث تم اقتطاع كل رأس من رؤوس رباعي السطوح.
شبه منحرف رباعي السطوح : الوجوه الثمانية عبارة عن طائرات ورقية متطابقة .
جيروبيفاستيجيوم : منشوران مثلثيان متماثلان ملتصقان بأحد ضلعيهما المربعين بحيث لا يشترك أي مثلث في حافة مع مثلث آخر (شكل جونسون الصلب 26).
شبه منحرف مثلثي مقطوع ، ويسمى أيضًا مجسم دورر: يتم الحصول عليه عن طريق قطع زاويتين متقابلتين من مكعب أو معين، وله ستة أوجه خماسية ووجهان مثلثان. ^[27]
مثمن الشكل : يتحلل في الفضاء الإقليدي، ولكن يمكن تحقيقه كرويًا.

مجسم ثماني السطوح من الطوب مع متوازي أضلاع مضاد يشكل خط استوائه. يمر محور التناظر عبر مستوى متوازي الأضلاع المضاد.

الأشكال المتعددة السطوح التالية تعادل تركيبيًا ثماني السطوح المنتظم. كل منها له ستة رؤوس، وثمانية أوجه مثلثة، واثني عشر حافة تتوافق واحدًا لواحد مع ميزاته:

المنشورات المضادة المثلثية : وجهان متساويان الأضلاع، يقعان على مستويين متوازيين، ولهما محور تماثل مشترك. المثلثات الستة الأخرى متساوية الساقين. ثماني السطوح المنتظم هو حالة خاصة حيث تكون المثلثات الجانبية الستة متساوية الأضلاع أيضًا.
الأهرامات الرباعية ، حيث يقع واحد على الأقل من الأشكال الرباعية الاستوائية على مستوى. يعتبر ثماني السطوح المنتظم حالة خاصة حيث تكون الأشكال الرباعية الثلاثة مربعات مستوية.
متعدد السطوح شونهاردت ، وهو متعدد السطوح غير محدب لا يمكن تقسيمه إلى رباعي السطوح دون إضافة رؤوس جديدة.
ثماني السطوح من البريكارد ، وهو متعدد السطوح المرن غير المحدب المتقاطع ذاتيًا

ثماني السطوح في العالم المادي

ثماني السطوح في الطبيعة

تكون البلورات الطبيعية للماس أو الشبة أو الفلوريت عادةً ثمانية السطوح، مثل شكل قرص العسل رباعي السطوح-ثماني السطوح الذي يملأ الفراغ .
يتم ترتيب صفائح سبيكة الكاماسيت في نيازك الأوكتاهيدريت بشكل متوازي مع الوجوه الثمانية لثماني السطوح.
تنسق العديد من الأيونات المعدنية ستة ربيطات في تكوين ثماني السطوح أو ثماني السطوح المشوه .
أنماط Widmanstätten من بلورات النيكل والحديد

ثماني السطوح في الفن والثقافة

وخاصة في ألعاب لعب الأدوار ، يُعرف هذا الصلب باسم "d8"، أحد النرد متعدد السطوح الأكثر شيوعًا .
إذا تم استبدال كل حافة من ثماني السطوح بمقاوم واحد أوم ، فإن المقاومة بين الرؤوس المتقابلة تكون1/2أوم ، وذلك بين الرؤوس المتجاورة5/12أوم . ^[28]
يمكن ترتيب ست نوتات موسيقية على رؤوس ثماني السطوح بطريقة تجعل كل حافة تمثل ثنائيًا ساكنًا وكل وجه يمثل ثلاثية ساكنة؛ انظر سداسي السطوح .

جملون رباعي السطوح مثمن الشكل

اخترع باكمينستر فولر في خمسينيات القرن العشرين إطارًا فضائيًا من رباعيات السطوح ونصف ثمانيات السطوح متناوبة مشتقة من قرص العسل رباعي السطوح ثماني السطوح . ويُنظر إليه عمومًا على أنه أقوى هيكل بناء لمقاومة إجهادات الكابولي .

متعددات السطوح ذات الصلة

يمكن توسيع ثماني السطوح المنتظم إلى رباعي السطوح عن طريق إضافة أربعة رباعيات السطوح على أوجه متناوبة. يؤدي إضافة رباعيات السطوح إلى جميع الوجوه الثمانية إلى إنشاء ثماني السطوح النجمي .

رباعي السطوح	ثماني السطوح النجمي

يعتبر ثماني السطوح أحد أفراد عائلة متعددات السطوح المنتظمة المرتبطة بالمكعب.

متعدد السطوح ثماني السطوح المنتظم
التماثل : [4,3]، (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ ,4] (3*2)
{4,3}	ت{4،3}	ر{4,3} ر{3 ^1,1 }	ت{3,4} ت{3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr{4,3} s ₂ {3,4}	تر{4،3}	س{4،3}	ح{4,3} {3,3}	ح ₂ {4,3} ت{3,3}	س{3,4} س{3 ^1,1 }

		=	=	=				= أو	= أو	=

ثنائيات إلى متعددات السطوح المنتظمة
الإصدار 43	الإصدار 3.8 ²	ت(3.4) ²	الإصدار 4.6 ²	الإصدار 3 ⁴	الإصدار 3.4 ³	الإصدار 4.6.8	الإصدار ³ 4.4	الإصدار ^{3 3}	الإصدار 3.6 ²	الإصدار 3 ⁵

وهو أيضًا أحد أبسط الأمثلة على المجسمات فائقة البساطة ، وهي متعددات السطوح التي تتكون من تقاطعات معينة بين مكعب فائق البساطة ومستوٍ فائق البساطة .

يرتبط ثماني السطوح طوبولوجيًا كجزء من تسلسل متعددات السطوح المنتظمة برموز شليفلي {3، n }، ويستمر في المستوى الزائدي .

* n 32 طفرة تماثل البلاط المنتظم: {3، n } ف ت هـ
كروي				إقليدس.	مضغوط للغاية.		باراكو.	قطع زائد غير مضغوط

3.3	3 ³	34	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ^∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ^6اي	3 ^3اي

رباعي السطوح

يمكن أيضًا اعتبار ثماني السطوح المنتظم رباعي السطوح مصححًا - ويمكن تسميته رباعي السطوح . ويمكن إظهار ذلك من خلال نموذج وجه ثنائي اللون. مع هذا التلوين، يتمتع ثماني السطوح بتناظر رباعي السطوح .

قارن تسلسل القطع هذا بين رباعي السطوح ومزدوجه:

عائلة من الأشكال الرباعية السطوح المنتظمة
التماثل : [3,3] ، (*332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	ت{3،3}	ر{3،3}	ت{3،3}	{3,3}	ر{3،3}	تر{3،3}	س{3،3}
ثنائيات إلى متعددات السطوح المنتظمة

الإصدار 3.3.3	الإصدار 3.6.6	الإصدار 3.3.3.3	الإصدار 3.6.6	الإصدار 3.3.3	الإصدار 3.4.3.4	الإصدار 4.6.6	الإصدار 3.3.3.3.3.3

يمكن أيضًا تحقيق الأشكال المذكورة أعلاه كشرائح متعامدة على القطر الطويل لمربع رباعي الزوايا . إذا كان هذا القطر موجهًا رأسيًا بارتفاع 1، فإن الشرائح الخمس الأولى أعلاه تحدث عند ارتفاعات r ، ⁠3/8⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠5/8⁠ ، و s ، حيث r هو أي رقم في النطاق 0 < r ≤ ⁠1/4، و s هو أي رقم في النطاق3/4≤ س < 1 .

يوجد ثماني السطوح كرباعي سطوح في تسلسل من تماثلات متعددات السطوح شبه المنتظمة والبلاطات ذات تكوينات الرؤوس (3. n ) ² ، تتقدم من بلاطات الكرة إلى المستوى الإقليدي وإلى المستوى الزائدي. مع تناظر تدوين أوربفولد * n 32 فإن كل هذه البلاطات هي إنشاءات وايثوف ضمن مجال أساسي من التناظر، مع نقاط المولد في الزاوية القائمة للمجال. ^[29]^[30]

* n 32 تماثلات دائرية لبلاطات شبه منتظمة : (3. n ) ²
بناء	كروي			إقليدي	زائدي
بناء	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
الأشكال شبه المنتظمة
قمة الرأس	(3.3)2	(3.4) ²	(3.5) ²	(3.6) ²	(3.7) ²	(3.8) ²	(3.∞) ²

منشور مضاد ثلاثي الزوايا

باعتباره منشورًا مضادًا ثلاثي السطوح ، فإن ثماني السطوح مرتبط بعائلة التناظر ثنائي السطوح السداسي.

متعددات السطوح الكروية ثنائية السطوح سداسية الشكل منتظمة
التماثل : [6,2] ، (*622)							[6,2] ⁺ ، (622)	[6,2 ⁺ ], (2*3)


{6,2}	ت{6،2}	ر{6,2}	ت{2،6}	{2,6}	ر{6،2}	تر{6,2}	س{6,2}	س{2،6}
الثنائيات إلى الزي الرسمي

V6 ²	الإصدار 12 ²	V6 ²	الإصدار 4.4.6	الإصدار 2 ⁶	الإصدار 4.4.6	الإصدار 4.4.12	الإصدار 3.3.3.6	الإصدار 3.3.3.3

عائلة من المنشورات المضادة المنتظمة ذات n -gonal
ف
ت
هـ
اسم المنشور المضاد	منشور مضاد ثنائي الزوايا	(ثلاثي) منشور مضاد مثلثي	( مربع رباعي الزوايا) منشور مضاد	منشور مضاد خماسي	منشور مضاد سداسي	منشور مضاد سباعي	...	منشور مضاد شبه دائري
صورة متعدد السطوح							...
صورة بلاط كروية							صورة بلاط مستوية
تكوين الرأس.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

متعددات السطوح الأخرى ذات الصلة

يؤدي قطع رأسين متقابلين إلى إنشاء مضلع مربع .

يمكن إنشاء ثماني السطوح كحالة من القطع الناقص الفائق ثلاثي الأبعاد مع تعيين جميع قيم الأسس على 1.

انظر أيضا

ملحوظات

^ يستخدم (Coxeter 1973) الحرف اليوناني 𝝓 (phi) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 𝟀 و𝝓 و𝟁 لمتعدد السطوح المنتظم. ولأن 𝝓 يُستخدم عادةً لتمثيل ثابت النسبة الذهبية ≈ 1.618، والذي يستخدم له Coxeter 𝝉 (tau)، فإننا نعكس اتفاقيات Coxeter، ونستخدم 𝝉 لتمثيل الزاوية المميزة.

مراجع

^ ab Trigg, Charles W. (1978). "An Infinite Class of Deltahedra". مجلة الرياضيات . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647.
^ Timofeenko, AV (2010). "تقاطع متعددات السطوح غير المركبة" (PDF) . مجلة سانت بطرسبرغ للرياضيات . 21 (3): 483-512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
^ أ ب إريكسون، مارتن (2011). الرياضيات الجميلة. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 62. ISBN 978-1-61444-509-8.
^ ab Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Number, Shape, & Symmetry: An Introduction to Number Theory, Geometry, and Group Theory. Taylor & Francis. p. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.
^ ab Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 55. ISBN 978-0-521-55432-9.
^ ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى من كتاب الغلاف الورقي التجاري). مدينة نيويورك: برودواي بوكس . ص 70-71. رقم ISBN 0-7679-0816-3.
^ O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Crystal Structures: Patterns and Symmetry. Dover Publications . ص. 141. ISBN 978-0-486-83654-6.
^ بوليا، ج. (1954). الرياضيات والاستدلال المعقول: الاستقراء والقياس في الرياضيات. مطبعة جامعة برينستون. ص. 138. ISBN 0-691-02509-6.
^ ألكسندر، دانييل سي؛ كويبرلين، جيرالين إم. (2014). الهندسة الأولية لطلاب الجامعات (الطبعة السادسة). سينجيج ليرنينج. ص. 403. رقم ISBN 978-1-285-19569-8.
^ ماكلين، ك. روبن (1990). "الأبراج المحصنة والتنينات والنرد". الجريدة الرياضية . 74 (469): 243-256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.
^ بيرمان، مارتن (1971). "متعددات السطوح المحدبة منتظمة الوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
^ Coxeter (1973) Table I(i)، ص 292-293. انظر الأعمدة الموسومة بـ ، ، و ، تدوين Coxeter لنصف القطر المحيط ونصف القطر الأوسط ونصف القطر الداخلي على التوالي، مع ملاحظة أن Coxeter يستخدم طول الحافة (انظر ص 2). ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ $2\ell$
^ جونسون، نورمان دبليو. (1966). "مجسمات متعددة السطوح محدبة ذات وجوه منتظمة". المجلة الكندية للرياضيات . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603.
^ غرونباوم ، برانكو (2003) ، “13.1 نظرية شتاينتز”، بوليتوبس محدبة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد. 221 (الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات من 235 إلى 244، ISBN 0-387-40409-0
^ زيجلر، غونتر م. (1995). "الفصل الرابع: نظرية شتاينتز لثلاثة متعددات السطوح". محاضرات عن متعددات السطوح . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 152. دار نشر سبرينغر. ص 103-126. رقم ISBN 0-387-94365-X.
^ Negami, S. (2016). "Faithful Embeddings of Planar Graphs on Orientable Closed Surfaces". في Širáň, Jozef؛ Jajcay, Robert (المحررون). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, July 2014. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. المجلد 159. Springer. ص 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.
^ Finbow, Arthur S.; Hartnell, Bert L.; Nowakowski, Richard J.; Plummer, Michael D. (2010). "On well-covered triangulations. III". الرياضيات التطبيقية المنفصلة . 158 (8): 894–912. doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . MR 2602814.
^ كابراف، جاي (1991). الروابط: الجسر الهندسي بين الفن والعلم (الطبعة الثانية). مجلة وورلد ساينتيفيك . ص. 475. رقم ISBN 978-981-281-139-4.
^ أوكيف وهايد (2020)، ص 141.
^ مايكاوا، جون (2022). فن وعلم الأوريجامي الهندسي: ابتكر أشكالًا متعددة السطوح من الورق، وموجات، ولوالب، وكسور، وأكثر من ذلك!. تاتل . ص. 42. ISBN 978-1-4629-2398-4.
^ Coxeter 1973، ص 130، §7.6 مجموعة التناظر لمتعدد السطوح المنتظم العام؛ "التقسيم الفرعي البسيط".
^ Coxeter 1973، ص 70-71، رباعي السطوح المميز؛ الشكل 4.7أ.
^ Coxeter 1973، ص 292-293، الجدول I(i)؛ "ثماني السطوح، 𝛽 ₃ ".
^ "تعداد متعددات السطوح". مؤرشف من الأصل في 10 أكتوبر 2011. تم الاسترجاع 2 مايو 2006 .
^ "عد متعددات السطوح".
^ "متعددات السطوح ذات 8 وجوه و6-8 رؤوس". مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2014. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2016 .
^ Futamura, F .; Frantz, M.; Crannell, A. (2014), "The cross ratio as a shape parameters for Dürer's solid", Journal of Mathematics and the Arts , 8 (3–4): 111–119, arXiv : 1405.6481 , doi :10.1080/17513472.2014.974483, S2CID 120958490
^ كلاين، دوغلاس ج. (2002). "قواعد مجموع المقاومة والمسافة" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يونيو 2007. تم الاسترجاع في 30 سبتمبر 2006 .
^ Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (الطبعة الثالثة). Dover. الفصل الخامس: المنظار المشكال، القسم: 5.7 بناء Wythoff. ISBN 0-486-61480-8.
^ هوسون، دانيال هـ. (سبتمبر 1998)، طفرة التناظر ثنائي الأبعاد

روابط خارجية

"ثماني السطوح" . الموسوعة البريطانية . المجلد 19 (الطبعة الحادية عشرة). 1911.
وايسشتاين، إريك دبليو. "ثماني السطوح". MathWorld .
كليتزينج، ريتشارد. "متعدد السطوح المنتظم المحدب ثلاثي الأبعاد x3o4o – أكتوبر".
شبكة قابلة للطباعة والتعديل لمجسم ثماني السطوح مع عرض تفاعلي ثلاثي الأبعاد
نموذج ورقي لثماني السطوح
KJM MacLean، تحليل هندسي للمجسمات الأفلاطونية الخمسة وغيرها من متعددات السطوح شبه المنتظمة
متعدد السطوح المنتظم
متعددات السطوح في الواقع الافتراضي – موسوعة متعددات السطوح
- تدوين كونواي للمتعددات السطوح – جرب: dP4

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ _ن	ب _ن	أنا ₂ (ص) / د _ن	ع ₆ / ع ₇ / ع ₈ / ف ₄ / ج ₂	ح _ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 _ك2 • 2 _ك1 • ك ₂₁	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[reversed_greek_symbols-24] يستخدم (Coxeter 1973) الحرف اليوناني 𝝓 (phi) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 𝟀 و𝝓 و𝟁 لمتعدد السطوح المنتظم. ولأن 𝝓 يُستخدم عادةً لتمثيل ثابت النسبة الذهبية ≈ 1.618، والذي يستخدم له Coxeter 𝝉 (tau)، فإننا نعكس اتفاقيات Coxeter، ونستخدم 𝝉 لتمثيل الزاوية المميزة.

[trigg-1] Trigg, Charles W. (1978). "An Infinite Class of Deltahedra". مجلة الرياضيات . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR 2689647.

[timofeenko-2010-2] Timofeenko, AV (2010). "تقاطع متعددات السطوح غير المركبة" (PDF) . مجلة سانت بطرسبرغ للرياضيات . 21 (3): 483-512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.

[erickson-3] أ ب إريكسون، مارتن (2011). الرياضيات الجميلة. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 62. ISBN 978-1-61444-509-8.

[hs-4] Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Number, Shape, & Symmetry: An Introduction to Number Theory, Geometry, and Group Theory. Taylor & Francis. p. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.

[cromwell-5] Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 55. ISBN 978-0-521-55432-9.

[livio-6] ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى من كتاب الغلاف الورقي التجاري). مدينة نيويورك: برودواي بوكس . ص 70-71. رقم ISBN 0-7679-0816-3.

[oh-7] O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Crystal Structures: Patterns and Symmetry. Dover Publications . ص. 141. ISBN 978-0-486-83654-6.

[polya-8] بوليا، ج. (1954). الرياضيات والاستدلال المعقول: الاستقراء والقياس في الرياضيات. مطبعة جامعة برينستون. ص. 138. ISBN 0-691-02509-6.

[ak-9] ألكسندر، دانييل سي؛ كويبرلين، جيرالين إم. (2014). الهندسة الأولية لطلاب الجامعات (الطبعة السادسة). سينجيج ليرنينج. ص. 403. رقم ISBN 978-1-285-19569-8.

[mclean-10] ماكلين، ك. روبن (1990). "الأبراج المحصنة والتنينات والنرد". الجريدة الرياضية . 74 (469): 243-256. doi :10.2307/3619822. JSTOR 3619822. S2CID 195047512.

[berman-11] بيرمان، مارتن (1971). "متعددات السطوح المحدبة منتظمة الوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.

[radii-12] Coxeter (1973) Table I(i)، ص 292-293. انظر الأعمدة الموسومة بـ ، ، و ، تدوين Coxeter لنصف القطر المحيط ونصف القطر الأوسط ونصف القطر الداخلي على التوالي، مع ملاحظة أن Coxeter يستخدم طول الحافة (انظر ص 2). ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ $2\ell$

[johnson-13] جونسون، نورمان دبليو. (1966). "مجسمات متعددة السطوح محدبة ذات وجوه منتظمة". المجلة الكندية للرياضيات . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603.

[grunbaum-2003-14] غرونباوم ، برانكو (2003) ، “13.1 نظرية شتاينتز”، بوليتوبس محدبة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد. 221 (الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات من 235 إلى 244، ISBN 0-387-40409-0

[ziegler-15] زيجلر، غونتر م. (1995). "الفصل الرابع: نظرية شتاينتز لثلاثة متعددات السطوح". محاضرات عن متعددات السطوح . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 152. دار نشر سبرينغر. ص 103-126. رقم ISBN 0-387-94365-X.

[negami-16] Negami, S. (2016). "Faithful Embeddings of Planar Graphs on Orientable Closed Surfaces". في Širáň, Jozef؛ Jajcay, Robert (المحررون). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, July 2014. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. المجلد 159. Springer. ص 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.

[fhnp-17] Finbow, Arthur S.; Hartnell, Bert L.; Nowakowski, Richard J.; Plummer, Michael D. (2010). "On well-covered triangulations. III". الرياضيات التطبيقية المنفصلة . 158 (8): 894–912. doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . MR 2602814.

[kappraff-18] كابراف، جاي (1991). الروابط: الجسر الهندسي بين الفن والعلم (الطبعة الثانية). مجلة وورلد ساينتيفيك . ص. 475. رقم ISBN 978-981-281-139-4.

[FOOTNOTEO'KeeffeHyde2020[httpsbooksgooglecombooksid_MjPDwAAQBAJpgPA141_141]-19] أوكيف وهايد (2020)، ص 141.

[maekawa-20] مايكاوا، جون (2022). فن وعلم الأوريجامي الهندسي: ابتكر أشكالًا متعددة السطوح من الورق، وموجات، ولوالب، وكسور، وأكثر من ذلك!. تاتل . ص. 42. ISBN 978-1-4629-2398-4.

[FOOTNOTECoxeter1973130§7.6_The_symmetry_group_of_the_general_regular_polytope-21] Coxeter 1973، ص 130، §7.6 مجموعة التناظر لمتعدد السطوح المنتظم العام؛ "التقسيم الفرعي البسيط".

[FOOTNOTECoxeter197370–71Characteristic_tetrahedra;_Fig._4.7A-22] Coxeter 1973، ص 70-71، رباعي السطوح المميز؛ الشكل 4.7أ.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(i);_"Octahedron,_𝛽<sub>3</sub>"-23] Coxeter 1973، ص 292-293، الجدول I(i)؛ "ثماني السطوح، 𝛽 ₃ ".

[25] "تعداد متعددات السطوح". مؤرشف من الأصل في 10 أكتوبر 2011. تم الاسترجاع 2 مايو 2006 .

[26] "عد متعددات السطوح".

[27] "متعددات السطوح ذات 8 وجوه و6-8 رؤوس". مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2014. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2016 .

[28] Futamura, F .; Frantz, M.; Crannell, A. (2014), "The cross ratio as a shape parameters for Dürer's solid", Journal of Mathematics and the Arts , 8 (3–4): 111–119, arXiv : 1405.6481 , doi :10.1080/17513472.2014.974483, S2CID 120958490

[29] كلاين، دوغلاس ج. (2002). "قواعد مجموع المقاومة والمسافة" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يونيو 2007. تم الاسترجاع في 30 سبتمبر 2006 .

[30] Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (الطبعة الثالثة). Dover. الفصل الخامس: المنظار المشكال، القسم: 5.7 بناء Wythoff. ISBN 0-486-61480-8.

[31] هوسون، دانيال هـ. (سبتمبر 1998)، طفرة التناظر ثنائي الأبعاد

ف ت هـ متعدد السطوح
مُدرجة حسب عدد الوجوه والنوع
1-10 وجوه	أحادي السطوح ثنائي السطوح شكل ثلاثي السطوح رباعي السطوح خماسي السطوح المكعب سباعي السطوح المجسم الثماني رباعي الوجوه عشري الوجوه
11-20 وجهًا	مجسم هندي اثني عشر وجها ثلاثي الوجوه رباعي عشري الوجوه خماسي الوجوه سداسي الوجوه سباعي السطوح ثماني السطوح إنياديكهيدرون عشريني الوجوه
>20 وجهًا	إيكوسيترايدرون (24) ثلاثي الوجوه (30) إيكوسيدوديكاهيدرون (32) سداسي ثماني السطوح (48) سداسي الوجوه (60) التاسوع السطوحي (90) هيكتوترياديوهيدرون (132) أبيروهيدرون (∞)
الأشياء الأساسية	وجه حافة قمة الرأس متعدد السطوح المنتظم (مجموعتان لانهائيتان و 75) متعدد السطوح المنتظم (9) متعدد السطوح شبه المنتظم (16) متعدد السطوح شبه المنتظم (مجموعتان لانهائيتان و50)
متعدد السطوح المحدب	الجسم الأفلاطوني (5) الجسم الأرخميدي (13) كاتالونية صلبة (13) جونسون صلب (92)
متعدد السطوح غير المحدب	متعدد السطوح كيبلر-بوينسو (4) نجم متعدد السطوح (لانهائي) نجم متعدد السطوح موحد الشكل (57)
المنشورية	موشور منشور مضاد قطعة مقطوعة من الخشب قبة إسفين هرم متوازي السطوح

ف ت هـ المواد الصلبة جونسون
الأهرامات والقباب والمستديرات	هرم مربع هرم خماسي قبة مثلثة الشكل قبة مربعة قبة خماسية روتوندا خماسية الشكل
الأهرامات المعدلة	هرم مثلثي مستطيل الشكل هرم مربع مستطيل الشكل هرم خماسي مستطيل الشكل هرم مربع مطول هرم خماسي مستطيل الشكل هرم ثنائي الشكل مثلثي الشكل هرم خماسي الشكل هرم ثنائي الشكل مثلثي الشكل هرم مربع مستطيل الشكل هرم خماسي مستطيل الشكل هرم مربع مطول على شكل جيرو
القباب والزوايا الدائرية المعدلة	قبة مثلثة مستطيلة قبة مربعة مستطيلة قبة خماسية مستطيلة رواق خماسي مستطيل الشكل قبة مثلثة الشكل مستطيلة الشكل قبة مربعة مستطيلة الشكل قبة خماسية مستطيلة الشكل رواق خماسي مستطيل الشكل جيروبيفاستيجيوم مثلث الشكل ذو قبة مستقيمة مربع ذو قبة مستقيمة مربع جيروبيكوبول قبة خماسية مستقيمة قبة خماسية الشكل خماسي الأضلاع متعامد الدوامة الخماسية أورثوبيروتوندا خماسية الأضلاع قبة مستطيلة الشكل مستطيلة الشكل قبة مثلثة مستطيلة الشكل جيروبيكوبول مربع ممدود قبة مستطيلة خماسية الشكل قبة خماسية مستطيلة الشكل خماسي مستطيل الشكل متعامد قبة خماسية مستطيلة الشكل أورثوبيروتوندا خماسية الشكل مستطيلة الشكل جيروبيروتوندا خماسية الشكل ممدودة مثلث الشكل ذو قبة مزدوجة ممدودة مربعة الشكل مستطيلة الشكل ذات قبة مزدوجة قبة خماسية الشكل مستطيلة الشكل قبة خماسية مستطيلة الشكل خماسيات الأضلاع ممتدة الدوران
المنشورات المعززة	منشور مثلثي موسع منشور مثلثي موسع منشور مثلثي موسع منشور خماسي موسع منشور خماسي موسع منشور سداسي موسع منشور سداسي معزز بارابيا منشور سداسي معزز ميتابيا منشور سداسي ثلاثي الأبعاد
الأجسام الأفلاطونية المعدلة	مجسم اثني عشري الوجوه موسع مجسم اثني عشري الوجوه موسع بارابيا مجسم اثني عشري الوجوه متضخم ميتابيا مجسم اثني عشري ثلاثي الوجوه مجسم مضاعف السطوح مجسم ثلاثي الأبعاد ذو عشرين وجهًا مجسم ثلاثي الأبعاد مضاعف
المواد الصلبة الأرخميدية المعدلة	رباعي السطوح المقطوع الموسع مكعب مقطوع موسع مكعب مقطوع مضاعف مجسم اثني عشري مقطوع موسع مجسم اثني عشري مقطوع معزز ببارابيا مجسم اثني عشري مقطوع معزز ميتابيا مجسم اثني عشري مقطوع ثلاثي السطوح مجسم دائري الشكل من نوع معيني عشري الوجوه معيني الشكل متوازي الأضلاع معيني الشكل ذو عشر أوجه متعدد السطوح مجسم ثلاثي السطوح معيني الشكل المعين المصغر ذو العشرة أوجه معيني مضلع متناقص ذو عشر أوجه مجسم متعدد الوجوه مصغر ذو شكل معيني معيني مضلع متناقص ذو عشر أوجه معين متوازي أضلاع متوازي متوازي أضلاع معيني متماثل متماثل متماثل متماثل معيني مضلع ثنائي السطوح مقسم إلى قسمين معيني متعدد الوجوه ثلاثي الأبعاد
مواد صلبة أولية أخرى	عظمة الوتدي منشور مضاد مربع التاج الوتدي الوتدي الموسع سفينوميجاكورونا هيبسفينوميجا كورونا ديسفينوسينغولوم بيلونابيروتندا هيبسفينوروتوندا مثلثية الشكل
(انظر أيضًا قائمة المواد الصلبة لجونسون ، جدول قابل للفرز)

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗