مولد الأرقام العشوائية الزائفة

مولد الأرقام شبه العشوائية ( PRNG )، المعروف أيضًا باسم مولد البتات العشوائية الحتمي ( DRBG )، ^{[ 1 ]} هو خوارزمية لتوليد سلسلة من الأرقام تقارب خصائصها خصائص سلاسل الأرقام العشوائية . لا تُعد السلسلة المولدة بواسطة مولد الأرقام شبه العشوائية عشوائية تمامًا ، لأنها محددة بالكامل بقيمة أو حالة ابتدائية، تُسمى عادةً بذرة مولد الأرقام شبه العشوائية (والتي قد تستند إلى قيم عشوائية حقيقية). على الرغم من إمكانية توليد سلاسل أقرب إلى العشوائية الحقيقية باستخدام مولدات الأرقام العشوائية المادية ، إلا أن مولدات الأرقام شبه العشوائية تُعد مهمة عمليًا لسرعتها في توليد الأرقام وقابليتها للتكرار. ^{[ 2 ]}

تُعدّ مولدات الأرقام العشوائية الزائفة أساسية في تطبيقات مثل المحاكاة (مثل طريقة مونت كارلو )، والألعاب الإلكترونية (مثل التوليد الإجرائي )، والتشفير . تتطلب تطبيقات التشفير عدم إمكانية التنبؤ بالمخرجات من المخرجات السابقة، ولذا يلزم استخدام خوارزميات أكثر تعقيدًا لا ترث خطية مولدات الأرقام العشوائية الزائفة الأبسط.

تُعدّ الخصائص الإحصائية المناسبة شرطًا أساسيًا لمخرجات مولد الأرقام العشوائية الزائفة (PRNG). ويتطلب الأمر تحليلًا رياضيًا دقيقًا لضمان موثوقية معقولة في أن مولد الأرقام العشوائية الزائفة يُنتج أرقامًا قريبة بما يكفي من العشوائية لتناسب الاستخدام المقصود. وقد حذّر جون فون نيومان من إمكانية إساءة فهم مولد الأرقام العشوائية الزائفة باعتباره مولدًا عشوائيًا حقيقيًا، مازحًا: "إن أي شخص يفكر في الطرق الحسابية لإنتاج أرقام عشوائية، فهو بالطبع في حالة إثم". ^{[ 3 ]}

عمليًا، تُظهر مخرجات العديد من مولدات الأرقام العشوائية الشائعة عيوبًا تجعلها تفشل في اختبارات الكشف عن الأنماط الإحصائية. وتشمل هذه العيوب ما يلي:

• فترات أقصر من المتوقع لبعض حالات البذور (يمكن تسمية حالات البذور هذه بـ "الضعيفة" في هذا السياق)؛
• عدم انتظام التوزيع لكميات كبيرة من الأرقام المولدة؛
• ارتباط القيم المتتالية؛
• توزيع أبعاد ضعيف لتسلسل المخرجات؛
• تختلف المسافات بين أماكن حدوث قيم معينة عن تلك الموجودة في توزيع التسلسل العشوائي.

تتراوح عيوب مولدات الأرقام العشوائية الزائفة المعيبة بين غير الملحوظة (وغير المعروفة) والواضحة جدًا. ومن الأمثلة على ذلك خوارزمية RANDU للأرقام العشوائية التي استُخدمت لعقود على الحواسيب المركزية . كانت هذه الخوارزمية معيبة بشكل خطير، لكن قصورها ظل خفيًا لفترة طويلة جدًا.

في العديد من المجالات، كانت الأبحاث التي أُجريت قبل القرن الحادي والعشرين، والتي اعتمدت على الاختيار العشوائي أو محاكاة مونت كارلو ، أو غيرها من الطرق التي اعتمدت على مولدات الأرقام العشوائية الزائفة، أقل موثوقية بكثير من المستوى الأمثل نتيجة استخدام مولدات أرقام عشوائية زائفة رديئة الجودة. ^{[ 4 ]} وحتى اليوم، لا يزال الحذر مطلوبًا في بعض الأحيان، كما يتضح من التحذير التالي في الموسوعة الدولية للعلوم الإحصائية (2010). ^{[ 5 ]}

قائمة مولدات الأرقام العشوائية الشائعة التي يُنصح بتجنبها أطول بكثير من قائمة المولدات الجيدة. لا تثق ثقة عمياء بموردي البرامج. تحقق من مولد الأرقام العشوائية الافتراضي لبرنامجك المفضل، وكن مستعدًا لاستبداله عند الحاجة. هذه التوصية الأخيرة تكررت مرارًا وتكرارًا على مدى الأربعين عامًا الماضية، ولعلّ من المثير للدهشة أنها لا تزال بنفس أهميتها اليوم كما كانت قبل أربعين عامًا.

كمثال توضيحي، لنأخذ لغة البرمجة جافا واسعة الانتشار . حتى عام 2020، كانت جافا لا تزال تعتمد على مولد توافقي خطي (LCG) لإنشاء مولد الأرقام العشوائية الزائفة (PRNG)، ^{[ 6 ] [ 7 ]} وهو مولد ذو جودة منخفضة (انظر أدناه). تم تحسين دعم جافا لهذا المولد مع إصدار جافا 17 .

أحد مولدات الأرقام العشوائية الزائفة المعروفة التي تتجنب المشاكل الكبيرة وتظل تعمل بسرعة كبيرة هو Mersenne Twister (الذي تمت مناقشته أدناه)، والذي تم نشره في عام 1998. تم تطوير مولدات أرقام عشوائية زائفة أخرى ذات جودة أعلى، سواء من حيث الأداء الحسابي أو الإحصائي، قبل هذا التاريخ وبعده؛ ويمكن تحديدها في قائمة مولدات الأرقام العشوائية الزائفة .

في النصف الثاني من القرن العشرين، كانت الفئة القياسية من الخوارزميات المستخدمة في مولدات الأرقام العشوائية الزائفة تتألف من مولدات التوافق الخطي . كان من المعروف أن جودة هذه المولدات غير كافية، ولكن لم تكن هناك طرق أفضل متاحة.  وصف بريس وآخرون (2007) النتيجة على النحو التالي: "لو اختفت جميع الأوراق العلمية التي تُشكك نتائجها بسبب [مولدات التوافق الخطي وما شابهها] من رفوف المكتبات، لكانت هناك فجوة على كل رف بحجم قبضة يدك تقريبًا." ^{[ 8 ]}

كان أحد أهم التطورات في بناء مولدات الأرقام العشوائية الزائفة هو إدخال تقنيات تعتمد على التكرارات الخطية على حقل العنصرين؛ وترتبط هذه المولدات بمسجلات الإزاحة ذات التغذية الراجعة الخطية .

لقد ساهم اختراع مولد ميرسين تويستر عام 1997 ، ^{[ 9 ]} على وجه الخصوص، في تجنب العديد من المشاكل التي كانت تعاني منها المولدات السابقة. يبلغ عدد دورات مولد ميرسين تويستر ²¹⁹⁹³⁷   -  1 تكرارًا (≈  4.3 × 10⁻⁶) ^.6001 )، ثبت أنه موزع بالتساوي في (حتى) 623 بُعدًا (للقيم 32 بت)، وفي وقت تقديمه كان يعمل بشكل أسرع من المولدات الأخرى المعقولة إحصائيًا.

في عام 2003، قدّم جورج مارساجليا عائلة مولدات xorshift ، ^{[ 10 ]} والتي تعتمد بدورها على التكرار الخطي. تتميز هذه المولدات بسرعة فائقة، وعند دمجها مع عملية غير خطية، فإنها تجتاز اختبارات إحصائية قوية. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

في عام 2006، تم تطوير عائلة مولدات WELL . ^{[ 14 ]} تُحسّن مولدات WELL من جودة مولد Mersenne Twister في بعض النواحي، والذي يتميز بمساحة حالة كبيرة جدًا واستعادة بطيئة للغاية من مساحات الحالة التي تحتوي على عدد كبير من الأصفار.

مولد الأرقام العشوائية القائم على العداد (CBRNG، والمعروف أيضًا باسم مولد الأرقام العشوائية الزائفة القائم على العداد، أو CBPRNG) هو نوع من مولدات الأرقام العشوائية الزائفة التي تستخدم عدادًا صحيحًا فقط كحالة داخلية لها:

$${\displaystyle {\text{ output }}=f(n,{\text{ key}})}$$

تُستخدم هذه التقنيات عمومًا لتوليد أرقام شبه عشوائية للحسابات المتوازية واسعة النطاق، مثل تلك التي تُجرى على مجموعات من وحدات معالجة الرسومات أو وحدات المعالجة المركزية. ^{[ 15 ]} ولها مزايا معينة:

• الحالة الوحيدة المطلوبة هي قيمة العداد والمفتاح. بالنسبة لعداد ومفتاح محددين، يكون الناتج دائمًا هو نفسه. هذه الخاصية تجعل مولدات الأرقام العشوائية المعتمدة على الثوابت قابلة للتكرار.
• بما أن كل رقم عشوائي يُحسب بشكل مستقل عن أي مخرجات سابقة، فإنه يمكن توليدها بالتوازي. على سبيل المثال، في تطبيق متوازي للغاية ، يمكن تخصيص نطاق من قيم العداد لكل خيط أو نواة وحدة معالجة رسومية، وحساب الأرقام العشوائية دون الحاجة إلى تزامن أو حالة مشتركة.
• بما أن المولد لا يتطلب المرور بكل حالة وسيطة، فإنه يستطيع "القفز" إلى أي نقطة في التسلسل في زمن ثابت. وهذا مفيد بشكل خاص في تطبيقات مثل محاكاة مونت كارلو حيث تكون هناك حاجة إلى تدفقات مستقلة.

ومن الأمثلة على ذلك: ^{[ 15 ]}

• فيلوكس: يستخدم المزج القائم على الضرب لدمج العداد والمفتاح.
• ثري فراي: يعتمد على نسخة مخففة القوة من تشفير كتلة ثري فيش .

يُطلق على مولد الأرقام العشوائية الزائفة ( PRNG) المناسب للتطبيقات التشفيرية اسم مولد الأرقام العشوائية الزائفة الآمن تشفيرياً (CSPRNG). ويشترط في مولد الأرقام العشوائية الآمن تشفيرياً ألا يتمتع المهاجم الذي لا يعرف البذرة إلا بميزة ضئيلة للغاية في تمييز تسلسل مخرجات المولد عن أي تسلسل عشوائي. بعبارة أخرى، بينما يُشترط في مولد الأرقام العشوائية الزائفة (PRNG) اجتياز اختبارات إحصائية معينة فقط، يجب على مولد الأرقام العشوائية الآمن تشفيرياً اجتياز جميع الاختبارات الإحصائية التي تقتصر على وقت متعدد الحدود بالنسبة لحجم البذرة. ورغم أن إثبات هذه الخاصية يتجاوز أحدث ما توصلت إليه نظرية التعقيد الحسابي ، إلا أنه يمكن تقديم دليل قوي من خلال اختزال مسألة يُفترض أنها صعبة ، مثل تحليل الأعداد الصحيحة إلى مولد الأرقام العشوائية الآمن تشفيرياً . ^{[ 16 ]} وبشكل عام، قد يتطلب الأمر سنوات من المراجعة قبل اعتماد خوارزمية ما كمولد أرقام عشوائية آمن تشفيرياً.

تتضمن بعض فئات مولدات الأرقام العشوائية المشفرة ما يلي:

• تشفيرات التدفق
• خوارزميات التشفير الكتلية التي تعمل في وضع العداد ^{[ 17 ]} أو وضع التغذية الراجعة للإخراج
• مولدات الأرقام العشوائية الزائفة المصممة خصيصًا لتكون آمنة تشفيرًا، مثل وظيفة CryptGenRandom في واجهة برمجة تطبيقات التشفير من مايكروسوفت ، وخوارزمية Yarrow (المدمجة في نظامي التشغيل Mac OS X و FreeBSD )، و Fortuna
• مولدات الأرقام العشوائية المركبة التي تحاول دمج عدة خوارزميات أولية لمولدات الأرقام العشوائية بهدف إزالة أي عنصر غير عشوائي قابل للكشف
• التصاميم الخاصة القائمة على افتراضات الصعوبة الرياضية: تشمل الأمثلة مولد ميكالي-شنور ، ^{[ 18 ]} ودالة ناور-رينغولد شبه العشوائية وخوارزمية بلوم بلوم شوب ، والتي توفر برهانًا أمنيًا قويًا (هذه الخوارزميات بطيئة نوعًا ما مقارنة بالتركيبات التقليدية، وغير عملية للعديد من التطبيقات).
• مولدات الأرقام العشوائية العامة: على الرغم من أنه قد ثبت أنه يمكن إنشاء مولد أرقام عشوائية آمن (تشفيريًا) بشكل عام من أي دالة أحادية الاتجاه ، ^{[ 19 ]} فإن هذا البناء العام بطيء للغاية من الناحية العملية، لذا فهو ذو أهمية نظرية بشكل أساسي.

لقد تبين أنه من المحتمل أن تكون وكالة الأمن القومي قد أدخلت بابًا خلفيًا غير متماثل في مولد الأرقام العشوائية الزائفة المعتمد من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا Dual_EC_DRBG . ^{[ 20 ]}

تُنتج معظم خوارزميات مولدات الأرقام الزائفة (PRNG) تسلسلات موزعة توزيعًا منتظمًا وفقًا لعدة اختبارات. يبقى السؤال مطروحًا، وهو سؤال محوري في نظرية التشفير وتطبيقاته ، حول إمكانية التمييز بين مُخرجات مولد أرقام زائفة عالي الجودة وتسلسل عشوائي حقيقي. في هذا السياق، يعلم المُميّز إما أنه تم استخدام خوارزمية مولد الأرقام الزائفة المعروفة (ولكن ليس الحالة التي تم تهيئتها بها) أو تم استخدام خوارزمية عشوائية حقيقية، وعليه التمييز بينهما. ^{[ 21 ]} يعتمد أمان معظم خوارزميات وبروتوكولات التشفير التي تستخدم مولدات الأرقام الزائفة على افتراض أنه من غير العملي التمييز بين استخدام مولد أرقام زائفة مناسب واستخدام تسلسل عشوائي حقيقي. أبسط الأمثلة على هذا الترابط هي تشفيرات التدفق ، التي تعمل (في أغلب الأحيان) عن طريق دمج النص الأصلي للرسالة مع مُخرجات مولد الأرقام الزائفة باستخدام عملية " أو الحصرية"، مما ينتج عنه نص مشفر . يُعد تصميم مولدات أرقام زائفة مناسبة تشفيريًا أمرًا بالغ الصعوبة لأنها يجب أن تستوفي معايير إضافية. يُعد حجم دورته عاملاً مهماً في مدى ملاءمة مولد الأرقام العشوائية الزائفة من الناحية التشفيرية، ولكنه ليس العامل الوحيد.

وضع المكتب الاتحادي الألماني لأمن المعلومات ( بالألمانية : Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik ، BSI) أربعة معايير لجودة مولدات الأرقام العشوائية الحتمية. ^{[ 22 ]} وهي مُلخصة هنا:

• K1 – يجب أن يكون هناك احتمال كبير أن تكون سلاسل الأرقام العشوائية المولدة مختلفة عن بعضها البعض.
• K2 – لا يمكن تمييز سلسلة الأرقام عن الأرقام "العشوائية الحقيقية" وفقًا لاختبارات إحصائية محددة. تشمل هذه الاختبارات اختبار أحادي البت (تساوي عدد الآحاد والأصفار في السلسلة)، واختبار البوكر (حالة خاصة من اختبار مربع كاي )، واختبار التتابعات (يحسب تكرار التتابعات بأطوال مختلفة)، واختبار التتابعات الطويلة (يتحقق من وجود أي تتابع بطول 34 أو أكثر في 20000 بت من السلسلة) - وكلاهما من BSI ^{[ 22 ]} و NIST ^{[ 23 ]} ، بالإضافة إلى اختبار الارتباط الذاتي . باختصار، تختبر هذه المتطلبات مدى جودة سلسلة البتات: احتواءها على أصفار وآحاد بتكرار متساوٍ؛ بعد سلسلة من n من الأصفار (أو الآحاد)، يكون البت التالي واحدًا (أو صفرًا) باحتمالية النصف؛ ولا تحتوي أي سلسلة فرعية مختارة على أي معلومات حول العنصر (العناصر) التالي في السلسلة.
• K3 – ينبغي أن يكون من المستحيل على المهاجم (لجميع الأغراض العملية) حساب أو تخمين أي قيم سابقة أو مستقبلية في التسلسل، أو أي حالة داخلية للمولد، من أي تسلسل فرعي معين.
• K4 – ينبغي أن يكون من المستحيل عمليًا على المهاجم حساب أو تخمين أي أرقام سابقة في التسلسل أو أي حالات مولد داخلية سابقة من الحالة الداخلية للمولد.

بالنسبة للتطبيقات التشفيرية، لا تُقبل إلا المولدات التي تفي بمعايير K3 أو K4.

منح:

• ${\displaystyle P}$– توزيع احتمالي على${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}\right)}$(أين${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$(هي جبر سيجما لجميع المجموعات الفرعية بوريل للخط الحقيقي)
• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$– مجموعة غير فارغة من مجموعات بوريل${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathfrak {B}}}$مثال${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\left\{\left(-\infty ,t\right]:t\in \mathbb {R} \right\}}$. لو${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$إذا لم يتم تحديد ذلك، فقد يكون إما${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$أو${\displaystyle \left\{\left(-\infty ,t\right]:t\in \mathbb {R} \right\}}$، وذلك حسب السياق.
• ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$– مجموعة غير فارغة (ليست بالضرورة مجموعة بوريل). غالبًا${\displaystyle A}$هي مجموعة بين${\displaystyle P}$دعامة وداخلها ؛ على سبيل المثال ، إذا${\displaystyle P}$التوزيع المنتظم على الفترة${\displaystyle \left(0,1\right]}$،${\displaystyle A}$قد يكون${\displaystyle \left(0,1\right]}$. لو${\displaystyle A}$إذا لم يتم تحديدها، يُفترض أنها مجموعة ما موجودة في نطاق الدعم لـ${\displaystyle P}$ويحتوي على ما بداخله، وذلك حسب السياق.

نستدعي دالة${\displaystyle f:\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {R} }$(أين${\displaystyle \mathbb {N} _{1}=\left\{1,2,3,\dots \right\}}$(هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة) مولد أرقام شبه عشوائي لـ${\displaystyle P}$منح${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$أخذ القيم في${\displaystyle A}$إذا وفقط إذا :

• ${\displaystyle f\left(\mathbb {N} _{1}\right)\subseteq A}$
• $\displaystyle \forall E\in {\mathfrak {F}}\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} _{1}\quad \forall n\geq N,\quad \left|{\frac {\#\left\{i\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}:f(i)\in E\right\}}{n}}-P(E)\right|<\varepsilon }$

(${\displaystyle \#S}$يشير إلى عدد العناصر في المجموعة المنتهية${\displaystyle S}$.)

يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle f}$هو مولد أرقام شبه عشوائية للتوزيع المنتظم على${\displaystyle \left(0,1\right)}$وإذا${\displaystyle F}$هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع احتمالي معين${\displaystyle P}$، ثم${\displaystyle F^{*}\circ f}$هو مولد أرقام شبه عشوائي لـ${\displaystyle P}$، أين${\displaystyle F^{*}:\left(0,1\right)\rightarrow \mathbb {R} }$هي النسبة المئوية لـ${\displaystyle P}$، أي${\displaystyle F^{*}(x):=\inf \left\{t\in \mathbb {R} :x\leq F(t)\right\}}$بشكل بديهي، يمكن محاكاة أي توزيع عشوائي من خلال محاكاة التوزيع المنتظم القياسي.

يُعرف مولد الأرقام العشوائية الزائفة (PRNG) المبكر القائم على الحاسوب، والذي اقترحه جون فون نيومان عام 1946، باسم طريقة المربع الأوسط . وتتلخص خوارزميته فيما يلي: خذ أي عدد، ثم ربعه، واحذف الأرقام الوسطى من العدد الناتج باعتباره "العدد العشوائي"، ثم استخدم هذا العدد كبذرة للتكرار التالي. على سبيل المثال، ينتج عن تربيع العدد "1111" العدد "1234321"، والذي يمكن كتابته على النحو التالي "01234321"، حيث أن العدد المكون من 8 أرقام هو مربع عدد مكون من 4 أرقام. وهذا يعطينا العدد "2343" كـ"عدد عشوائي". بتكرار هذه العملية نحصل على "4896" كنتيجة تالية، وهكذا. استخدم فون نيومان أعدادًا مكونة من 10 أرقام، لكن العملية كانت نفسها.

تكمن إحدى مشكلات طريقة "المربع الأوسط" في أن جميع المتتاليات تتكرر في النهاية، بعضها بسرعة كبيرة، مثل "0000". كان فون نيومان على دراية بهذا، لكنه وجد أن هذا النهج كافٍ لأغراضه، وكان قلقًا من أن "التصحيحات" الرياضية ستخفي الأخطاء ببساطة بدلاً من إزالتها.

اعتبر فون نيومان مولدات الأرقام العشوائية المادية غير مناسبة، لأنه إذا لم تسجل المخرجات، فلن يكون من الممكن اختبارها لاحقًا بحثًا عن الأخطاء. أما إذا سجلت مخرجاتها، فستستنفد ذاكرة الحاسوب المحدودة المتاحة آنذاك، وبالتالي قدرة الحاسوب على قراءة الأرقام وكتابتها. وإذا كُتبت الأرقام على بطاقات، فسيستغرق الأمر وقتًا أطول بكثير لكتابتها وقراءتها. في حاسوب إينياك الذي كان يستخدمه، ولّدت طريقة "المربع الأوسط" الأرقام بمعدل أسرع بمئة مرة تقريبًا من قراءة الأرقام من البطاقات المثقبة .

تم استبدال طريقة المربع الأوسط منذ ذلك الحين بمولدات أكثر تعقيدًا.

ومن الابتكارات الحديثة دمج المربع الأوسط مع متتالية ويل . وتنتج هذه الطريقة مخرجات عالية الجودة على مدى فترة طويلة (انظر طريقة المربع الأوسط ).

يمكن توليد الأرقام المختارة من توزيع احتمالي غير منتظم باستخدام مولد أرقام عشوائية زائفة ذي توزيع منتظم ودالة تربط بين التوزيعين.

أولاً، يحتاج المرء إلى دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle F(b)}$من التوزيع المستهدف${\displaystyle f(b)}$:

${\displaystyle F(b)=\int _{-\infty }^{b}f(b')\,db'}$

لاحظ أن${\displaystyle 0=F(-\infty )\leq F(b)\leq F(\infty )=1}$باستخدام عدد عشوائي c من توزيع منتظم كدالة كثافة احتمالية "للمرور"، نحصل على

${\displaystyle F(b)=c}$

لهذا السبب.

${\displaystyle b=F^{-1}(c)}$

هو رقم يتم اختياره عشوائياً من التوزيع${\displaystyle f(b)}$يعتمد هذا على أخذ العينات بالتحويل العكسي .

على سبيل المثال، معكوس التوزيع التراكمي الغاوسي${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$باستخدام مولد أرقام عشوائية زائفة مثالي موحد بنطاق (0، 1) كمدخل${\displaystyle x}$سينتج عن ذلك سلسلة من القيم (الموجبة فقط) ذات توزيع غاوسي؛ ومع ذلك

• عند استخدام تمثيلات الأرقام العملية ، يجب اقتطاع "ذيول" التوزيع اللانهائية إلى قيم محدودة.
• إعادة حساب متكررة لـ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$ينبغي تقليلها بوسائل مثل خوارزمية الزقورة لتوليد أسرع.

تنطبق اعتبارات مماثلة على توليد توزيعات غير منتظمة أخرى مثل توزيع رايلي وتوزيع بواسون .

• باركر إي، كيلسي جيه ، توصية لتوليد الأرقام العشوائية باستخدام مولدات البتات العشوائية الحتمية ، NIST SP800-90A، يناير 2012
• برنت آر بي ، "بعض مولدات الأرقام العشوائية طويلة المدى باستخدام عمليات الإزاحة و XOR"، مجلة ANZIAM ، 2007؛ 48: C188–C202
• Gentle JE (2003), Random Number Generation and Monte Carlo Methods , Springer.
• هورمان دبليو، ليدولد جيه، ديرفلينجر جي (2004، 2011)، توليد المتغيرات العشوائية غير المنتظمة التلقائي ، سبرينغر-فيرلاغ.
• كنوت، د. إي. فن برمجة الحاسوب ، المجلد الثاني: الخوارزميات شبه العددية ، الطبعة الثالثة. أديسون-ويسلي، 1997. رقم ISBN 0-201-89684-2الفصل الثالث. [تغطية شاملة للاختبارات الإحصائية لعدم العشوائية.]
• لوبي م.، العشوائية الزائفة وتطبيقات التشفير ، مطبعة جامعة برينستون، 1996. ISBN 9780691025469
• فون نيومان ج.، "تقنيات مختلفة تستخدم فيما يتعلق بالأرقام العشوائية"، في AS Householder، GE Forsythe، وHH Germond، المحررين، طريقة مونت كارلو ، سلسلة الرياضيات التطبيقية للمكتب الوطني للمعايير، 12 (واشنطن العاصمة: مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي، 1951): 36-38.
• بيترسون، إيفارز (1997). أدغال العشوائية  : رحلة رياضية . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-16449-6.
• Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007), Numerical Recipes ( Cambridge University Press ).
• Viega J. ، " توليد الأرقام العشوائية العملية في البرمجيات "، في وقائع المؤتمر السنوي التاسع عشر لتطبيقات أمن الحاسوب، ديسمبر 2003.

• TestU01 : مجموعة اختبار أرقام عشوائية مجانية ومتطورة ( GPL ) مكتوبة بلغة C++ .
• DieHarder : مجموعة اختبارات أرقام عشوائية مجانية ( GPL ) بلغة C.
• " توليد الأرقام العشوائية " (في الأنظمة المدمجة ) بقلم إريك أونر (2004)
• " تحليل مولد الأرقام العشوائية لنظام لينكس " بقلم تسفي غوترمان، وبيني بينكاس، وتزاتشي رينمان (2006)
• " أفضل المولدات العشوائية الزائفة " بقلم باريكشيت جوبالان، وراغو ميكا، وعمر رينجولد ، ولوكا تريفيسان ، وسليل فادهان ( أبحاث Microsoft ، 2012)
• دالة rand() تعتبر ضارة على يوتيوب بقلم ستيفان لافافيج (مايكروسوفت، 2013)
• Wsphynx هو مولد أرقام عشوائية بسيط عبر الإنترنت. يتم توليد الأرقام العشوائية بواسطة خوارزميات مولدات الأرقام العشوائية الزائفة (PRNGs) المكتوبة بلغة جافا سكريبت.