حقل المصدر

في الفيزياء النظرية ، يُعدّ المصدر مفهومًا مجردًا، طوّره جوليان شوينجر ، انطلاقًا من التأثيرات الفيزيائية للجسيمات المحيطة المشاركة في إنشاء أو تدمير جسيم آخر . ^{[ 1 ]} لذا، يمكن اعتبار المصادر أصلًا للخصائص الفيزيائية التي يحملها الجسيم المُنشأ أو المُدمّر، وبالتالي يمكن استخدام هذا المفهوم لدراسة جميع العمليات الكمومية، بما في ذلك الخصائص الموضعية في الزمكان وأشكال الطاقة، أي الكتلة والزخم، لهذه الظواهر. يُحدد سعة احتمالية الجسيم المُنشأ أو المُدمّر بتأثير المصدر على منطقة موضعية في الزمكان ، بحيث يكتسب الجسيم المتأثر خصائصه الفيزيائية اعتمادًا على الطبيعة الموترية ^{[ 2 ]} والدورانية ^{[ 3 ]} للمصدر. ومن الأمثلة التي أشار إليها جوليان شوينجر إنشاء...${\displaystyle \eta ^{*}}$الميزون بسبب ارتباطات الكتلة بين خمسة${\displaystyle \pi }$الميزونات. ^{[ 4 ]}

يمكن استخدام الفكرة نفسها لتعريف حقول المصدر . رياضياً، حقل المصدر هو حقل خلفية${\displaystyle J}$مرتبط بالمجال الأصلي${\displaystyle \phi }$مثل $${\displaystyle S_{\text{source}}=J\phi .}$$ يظهر هذا المصطلح في صيغة التكامل المساري لريتشارد فاينمان ، وهو المسؤول عن التفاعلات النظرية. في تفاعل التصادم، قد يكون المصدر جسيمات أخرى مشاركة في التصادم. ^{[ 5 ]} لذلك، يظهر المصدر في سعة الفراغ، مؤثرًا من كلا الجانبين على دالة الارتباط لغرين في النظرية. ^{[ 1 ]}

تنبثق نظرية شوينجر للمصدر من مبدأ الفعل الكمي لشوينجر، ويمكن ربطها بصياغة التكامل المساري باعتبارها تغيراً بالنسبة للمصدر في حد ذاته.${\displaystyle \delta J}$يتوافق مع الحقل${\displaystyle \phi }$، أي ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(-i\!\int \!d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right).}$$

كذلك، يؤثر المصدر بشكل فعال ^{[ 7 ]} في منطقة من الزمكان. وكما هو موضح في الأمثلة أدناه، يظهر حقل المصدر على الجانب الأيمن من معادلات الحركة (عادةً معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية ) لـ${\displaystyle \phi }$عندما يكون الحقل${\displaystyle \phi }$يمثل الجهد الكهرومغناطيسي أو موتر القياس ، بينما يمثل مجال المصدر التيار الكهربائي أو موتر الإجهاد والطاقة ، على التوالي. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

فيما يتعلق بالتطبيقات الإحصائية وغير النسبية، يلعب نموذج شوينجر للمصدر دورًا حاسمًا في فهم العديد من الأنظمة غير المتوازنة. ^{[ 10 ] [ 11 ]} وتكتسب نظرية المصدر أهمية نظرية لأنها لا تحتاج إلى تنظيمات التباعد أو إعادة التطبيع. ^{[ 5 ]}

في صيغة فاينمان للتكامل المساري مع التطبيع${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]}$، دالة التقسيم ^{[ 12 ]} معطاة بواسطة

$${\displaystyle Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[-i\left(\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)\right].}$$

يمكن توسيع الحد الحالي في الأس $${\displaystyle {\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~\exp \left(-i\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)={\mathcal {N}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\int d^{4}x_{1}\cdots \int d^{4}x_{n}J(x_{1})\cdots J(x_{1})\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }$$

لتوليد دوال غرين ( المرتبطات )$${\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{n})={\left(-i\right)}^{n}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{n})}}\right|_{J=0},}$$ حيث الحقول داخل دالة التوقع${\displaystyle \langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\rangle }$توجد في صور هايزنبرغ الخاصة بها . من ناحية أخرى، يمكن تعريف دوال الارتباط للحدود ذات الرتبة الأعلى، على سبيل المثال، لـ${\textstyle {\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$المصطلح، ثابت الاقتران مثل${\displaystyle m}$يتم ترقيته إلى مصدر يعتمد على الزمكان${\displaystyle \mu (x)}$بحيث $${\displaystyle i{\frac {1}{\mathcal {N}}}\left.{\frac {\delta }{\delta \mu ^{2}}}Z[J,\mu ]\right|_{m^{2}=\mu ^{2}}=\left\langle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{2}\right\rangle .}$$

يتم تطبيق منهجية التباين الكمي لتحقيق ذلك${\displaystyle J}$هو مصدر قيادة خارجي لـ${\displaystyle \phi }$من منظور نظرية الاحتمالات ،${\displaystyle Z[J]}$يمكن اعتبارها القيمة المتوقعة للدالة${\displaystyle e^{J\phi }}$وهذا يحفز اعتبار هاميلتوني المذبذب التوافقي القسري نموذجًا مبسطًا .

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}\left(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}{\hat {a}}\right)}$$أين${\displaystyle E^{2}=m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}$.

في الواقع، التيار حقيقي، هذا هو${\displaystyle J=J^{*}}$[ ^{13 ] ودالة} لاغرانج هي${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}$من الآن فصاعدًا، سنتخلى عن القبعة والنجمة. تذكر أن حالات التكميم المتعارف عليها${\displaystyle \phi \sim (a^{\dagger }+a)}$في ضوء العلاقة بين دالة التوزيع ومعاملات الارتباط الخاصة بها، فإن تغير سعة الفراغ يعطي

$${\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i\left\langle 0,x'_{0}\right|\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\left(a^{\dagger }+a\right)}{\left|0,x''_{0}\right\rangle }_{J},}$$أين${\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}$.

بما أن التكامل موجود في المجال الزمني ، يمكن تحويله باستخدام تحويل فورييه ، جنبًا إلى جنب مع عوامل الإنشاء/الإفناء، بحيث تصبح السعة في النهاية ^{[ 6 ].}

$${\displaystyle {\left\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f)\right)}.}$$

من السهل ملاحظة وجود نقطة تفرد عند${\displaystyle f=E}$ثم يمكننا استغلال${\displaystyle i\varepsilon }$-الوصفة الطبية وتغيير القطب${\displaystyle f-E+i\varepsilon }$بحيث يكون لـ${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$تم الكشف عن وظيفة غرين

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left\langle 0|0\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx_{0}\,dx'_{0}\,J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0})\right)}\\[1ex]&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if\left(x_{0}-x'_{0}\right)}}{f-E+i\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

النتيجة الأخيرة هي نظرية شوينجر للمصادر للحقول العددية المتفاعلة، ويمكن تعميمها على أي منطقة من مناطق الزمكان. ^{[ 7 ]} تتبع الأمثلة المذكورة أدناه المقياس${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$.

تشرح نظرية الاضطراب السببي كيفية عمل المصادر الضعيفة. بالنسبة لمصدر ضعيف ينبعث منه جسيمات ذات دوران مغزلي صفري.${\displaystyle J_{e}}$من خلال التأثير على حالة الفراغ بسعة احتمالية${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}$جسيم واحد ذو زخم${\displaystyle p}$والسعة${\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}$يتم إنشاؤها داخل منطقة معينة من الزمكان${\displaystyle x'}$ثم، مصدر ضعيف آخر${\displaystyle J_{a}}$يمتص هذا الجسيم الوحيد داخل منطقة أخرى من الزمكان${\displaystyle x}$بحيث تصبح السعة${\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}$^{[ 5 ]} وبالتالي ، تُعطى سعة الفراغ الكاملة بواسطة

$${\displaystyle {\left\langle 0|0\right\rangle }_{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx\,dx'\,J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}$$

أين${\displaystyle \Delta (x-x')}$هو مُوَصِّل (مُوَازِل) المصادر. يُعَرِّف الحد الثاني من السعة الأخيرة دالة التجزئة لنظرية الحقل القياسي الحر . وبالنسبة لبعض نظريات التفاعل، فإن لاغرانجيان الحقل القياسي${\displaystyle \phi }$مقترن بتيار كهربائي${\displaystyle J}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}$$

إذا أضاف المرء${\displaystyle -i\varepsilon }$ثم تحويل فورييه إلى حد الكتلة${\displaystyle J}$و${\displaystyle \phi }$بالنسبة لفضاء الزخم، تصبح سعة الفراغ

$${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}J(-p)\right]\right)},}$$

أين$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}.}$$من السهل ملاحظة أن${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)}$يمكن تحويل الحد الموجود في السعة أعلاه باستخدام تحويل فورييه إلى${\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)\left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)\,J(x)}$أي معادلة الحركة${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}=J}$. كتغير في الفعل الحر، تغير في المصطلح${\textstyle {\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$ينتج عن ذلك معادلة الحركة، ويمكن إعادة تعريف دالة غرين على أنها معكوس المؤثر${\textstyle G(x_{1},x_{2})\equiv {\left(\Box +m^{2}\right)}^{-1}}$بحيث${\displaystyle \left(\Box _{x_{1}}+m^{2}\right)G(x_{1},x_{2})=\delta (x_{1}-x_{2})}$إذا وفقط إذا${\textstyle \left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}\right)G(p)=1}$وهو تطبيق مباشر للدور العام للمشتق الوظيفي${\displaystyle {\frac {\delta J(x_{2})}{\delta J(x_{1})}}=\delta (x_{1}-x_{2})}$وبالتالي، تُستخلص الدالة المولدة من دالة التقسيم كما يلي. ^{[ 8 ]} تسمح لنا النتيجة الأخيرة بقراءة دالة التقسيم على النحو التالي:${\textstyle Z[J]=Z[0]\exp \left({\tfrac {i}{2}}\left\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\right\rangle \right)}$، أين$${\displaystyle Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\,\exp \left(-i\int dt\left[{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\tfrac {1}{2}}\left(m^{2}-i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}^{2}\right]\right),}$$و${\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$هل سعة الفراغ مستمدة من المصدر؟${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}$وبالتالي، يتم تعريف المولد عن طريق تغيير دالة التقسيم على النحو التالي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left.{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}\right\vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\left[Z[J]\left(\int d^{4}y'\,\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}y\,J(y)\Delta (y-x')\right)\right]}_{J=0}\\[1.5ex]&={\left.{\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x')\right\vert }_{J=0}\\[1.5ex]&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}$$

وهذا يحفز مناقشة تقريب المجال المتوسط ​​أدناه.

استنادًا إلى نظرية المصادر لشوينجر، وضع ستيفن واينبرغ أسس نظرية المجال الفعال، التي تحظى بتقدير واسع بين الفيزيائيين. وعلى الرغم من " حادثة الأحذية "، فقد نسب واينبرغ الفضل إلى شوينجر في تحفيز هذا الإطار النظري. ^{[ 15 ]}

يمكن إيجاد جميع دوال غرين رسميًا عبر متسلسلة تايلور لمجموع التقسيم باعتباره دالةً لحقول المصدر. تُستخدم هذه الطريقة عادةً في صياغة التكامل المساري لنظرية الحقل الكمومي . فيما يلي توضيح للطريقة العامة التي تُستخدم بها حقول المصدر هذه للحصول على دوال الانتشار في كلٍ من الأنظمة الكمومية، والميكانيكا الإحصائية، وغيرها. عند إعادة تعريف دالة التقسيم بدلالة السعة المُدارة بواسطة ويك،${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}$تصبح دالة التقسيم${\displaystyle Z[J]=e^{iW[J]}}$يمكن للمرء أن يقدم${\displaystyle F[J]=iW[J]}$، والتي تتصرف كطاقة هلمهولتز الحرة في نظريات المجال الحراري ، ^{[ 16 ]} لامتصاص العدد المركب ، وبالتالي${\displaystyle \ln Z[J]=F[J]}$الوظيفة${\displaystyle F[J]}$يُطلق عليه أيضًا اسم الفعل الكمومي المُختزل . ^{[ 17 ]} وبمساعدة تحويل ليجندر ، يُمكننا ابتكار دالة طاقة فعّالة "جديدة" ، ^{[ 18 ]} أو فعل فعّال ، كما

$${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}x\,J(x){\bar {\phi }}(x),}$$مع التحويلات ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,&&{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,\\[1.2ex]&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,&&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.\end{aligned}}}$$

يُسمح باستبدال التكامل في تعريف الفعل الفعال بمجموع على${\displaystyle \phi }$، أي،${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}$[ ^{20 ]} تشبه المعادلة الأخيرة العلاقة الديناميكية ^{الحرارية}${\displaystyle F=E-TS}$بين طاقة هلمهولتز الحرة والإنتروبيا. بات من الواضح الآن أن نظريات المجال الحراري والإحصائي تنبع أساسًا من التكاملات الوظيفية والمشتقات الوظيفية . بالعودة إلى تحويلات ليجندر،

ال${\displaystyle \langle \phi \rangle }$يُطلق عليه اسم المجال المتوسط، وذلك لأن${\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i[\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int dx^{4}J(x,t)\phi (x,t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}}$، بينما${\displaystyle {\bar {\phi }}}$هو حقل كلاسيكي خلفي . ^{[ 17 ]} حقل${\displaystyle \phi }$يتم تحليلها إلى جزء كلاسيكي${\displaystyle {\bar {\phi }}}$وجزء التقلب${\displaystyle \eta }$، أي،${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }$لذا يمكن إعادة إدخال سعة الفراغ على النحو التالي:

$${\displaystyle e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

وأي وظيفة${\displaystyle {\mathcal {F}}[\phi ]}$يُعرَّف بأنه

$${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]\exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

أين${\displaystyle S[\phi ]}$يمثل هذا فعل لاغرانجيان الحر. ويُعدّ التكاملان الأخيران ركيزتين أساسيتين لأي نظرية حقل فعّالة. ^{[ 20 ]} هذا البناء ضروري لدراسة التشتت ( صيغة اختزال LSZ )، وكسر التناظر التلقائي ، ^{[ 19 ] [ 21 ]} ومتطابقات وارد ، ونماذج سيجما غير الخطية ، والنظريات الفعّالة منخفضة الطاقة . ^{[ 16 ]} بالإضافة إلى ذلك، يُمهّد هذا الإطار النظري الطريق لسلسلة من الأفكار، نشرها بشكل رئيسي برايس ديويت، الذي كان طالب دكتوراه لدى شوينجر، حول تطوير نظرية فعّالة كمية قياسية للجاذبية الكمية . ^{[ 22 ]}

العودة إلى وظائف الإجراءات الخضراء. منذ${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]}$هو تحول ليجندر لـ${\displaystyle F[J]}$، و${\displaystyle F[J]}$يُعرّف مُرتبط النقاط المتصلة N${\displaystyle G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}$ثم يتم الحصول على معامل الارتباط المقابل من${\displaystyle F[J]}$، والمعروفة باسم دالة الرأس ، تُعطى بواسطة${\displaystyle G_{\Gamma [J]}^{N,~c}=\left.{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}\right|_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}$وبالتالي، في الرسوم البيانية غير القابلة للاختزال ذات الجسيم الواحد (والتي تُختصر عادةً إلى 1PI )، فإن النقطة المتصلة ذات النقطتين${\displaystyle F}$يُعرَّف معامل الارتباط بأنه معكوس معامل الارتباط ذي النقطتين${\displaystyle \Gamma }$معامل الارتباط، أي الارتباط المخفّض المعتاد هو${\displaystyle G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}$والارتباط الفعال هو${\displaystyle G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}$. ل${\displaystyle J_{i}=J(x_{i})}$أكثر العلاقات عمومية بين النقاط N المتصلة${\displaystyle F[J]}$و${\displaystyle Z[J]}$يتم الحصول عليها من صيغة Faà di Bruno

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{N}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}$$

و

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{N}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}$$