جاذبية هائلة

في الفيزياء النظرية ، تُعدّ الجاذبية الكتلية نظريةً للجاذبية تُعدّل النسبية العامة بمنح الجرافيتون كتلةً غير صفرية . في النظرية الكلاسيكية، يعني هذا أن موجات الجاذبية تخضع لمعادلة الموجة الكتلية، وبالتالي تنتقل بسرعات أقل من سرعة الضوء .

للجاذبية الكتلية تاريخ طويل ومتشعب، يعود إلى ثلاثينيات القرن العشرين عندما وضع فولفغانغ باولي وماركوس فيرز نظريةً لحقل ذي عزم مغزلي هائل ( spin-2) ينتشر على خلفية زمكانية مسطحة . وفي سبعينيات القرن العشرين، تبيّن لاحقًا أن نظريات الجرافيتون الكتلي تعاني من عيوب خطيرة، منها نمط وهمي وانقطاع مع النسبية العامة في حالة اقتراب كتلة الجرافيتون من الصفر. وبينما وُجدت حلول لهذه المشاكل لبعض الوقت في ثلاثة أبعاد زمكانية، ^{[ 1 ] [ 2 ]} لم تُحل في أربعة أبعاد أو أكثر إلا مع عمل كلوديا دي رام ، وغريغوري غابادادزه ، وأندرو تولي (نموذج dRGT) في عام 2010.

إحدى أوائل نظريات الجاذبية الضخمة طُوِّرت عام ١٩٦٥ على يد أوجيفيتسكي وبولوبارينوف (OP). ^{[ ٣ ]} على الرغم من أن نموذج OP يتطابق مع نماذج الجاذبية الضخمة الخالية من الأشباح التي أُعيد اكتشافها في نظرية الجاذبية الضخمة الديناميكية (dRGT)، إلا أن نموذج OP ظلّ غير معروف تقريبًا بين الفيزيائيين المعاصرين الذين يعملون على الجاذبية الضخمة، ربما لأن الاستراتيجية المُتَّبعة في ذلك النموذج كانت مختلفة تمامًا عما هو مُعتمد حاليًا. ^{[ ٤ ]} يمكن الحصول على الجاذبية الثنائية الضخمة لنموذج OP ^{[ ٥ ]} عن طريق ربط حقل الجرافيتون الثنائي بدوران موتر الطاقة-الزخم الخاص به. ^{[ 6 ] [ 7 ]} بما أن شدة المجال المتناظر المختلط للجاذبية الثنائية تُقارن بموتر الانحناء الخارجي المتناظر كليًا لنظرية غاليليون، فإنه يُمكن الحصول على لاغرانجيان النموذج الثنائي في أربعة أبعاد من خلال تكرار فاديف-ليفرير ، وهو مشابه لتكرار نظرية غاليليون حتى الحدود التي تحتوي على كثيرات حدود أثر شدة المجال. ^{[ 8 ] [ 9 ]} ويتجلى هذا أيضًا في الصيغة الثنائية لنظرية غاليليون. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

إن تعديل النسبية العامة على مسافات شاسعة في ظل الجاذبية الكتلية يوفر تفسيراً محتملاً للتوسع المتسارع للكون دون الحاجة إلى طاقة مظلمة . ويمكن للجاذبية الكتلية وامتداداتها، مثل الجاذبية ثنائية القياس ، ^{[ 12 ]} أن تُنتج حلولاً كونية تُظهر بالفعل تسارعاً في المراحل المتأخرة من النمو، بما يتوافق مع الملاحظات. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

حددت ملاحظات الموجات الثقالية طول موجة كومبتون للجرافيتون ليكون λ _g >1.6 × 10^ ¹⁶ م  ، وهو ما يمكن تفسيره على أنه حد أقصى لكتلة الجرافيتون m _g <7.7 × 10⁻²³ إلكترون فولت  ^{/ c². [16]} كما تم ^{الحصول على حدود} تنافسية لكتلة الجرافيتون من قياسات النظام الشمسي بواسطة مهمات فضائية مثل كاسيني ^{وميسنجر} ، والتيتعطي بدلاً من ذلك القيد λg _>1.83 × 10^ ¹⁶ م  أو م _غ <6.76 × 10 ⁻²³ فولت / ج ²  . ^{[ 17 ]}

على المستوى الخطي، يمكن للمرء أن يبني نظرية لحقل ذي كتلة مغزلية -2${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ينتشر في فضاء مينكوفسكي . ويمكن اعتبار ذلك امتدادًا للجاذبية الخطية على النحو التالي. تُستنتج الجاذبية الخطية من خلال خطية النسبية العامة حول الفضاء المسطح ،${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathsf {Pl}}^{-1}h_{\mu \nu }}$، حيث${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}=1/{\sqrt {8\pi G\ }}}$كتلة بلانك مع${\displaystyle G}$ثابت نيوتن للجاذبية . وهذا يؤدي إلى حد حركي في لاغرانجيان لـ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$وهذا يتوافق مع ثبات التشاكل التفاضلي ، بالإضافة إلى اقتران بالمادة على شكل

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\ ,}$

أين${\displaystyle T_{\mu \nu }}$هو موتر الإجهاد والطاقة . هذا الحد الحركي واقتران المادة مجتمعين ليسا سوى فعل أينشتاين-هيلبرت الخطي حول الفضاء المسطح.

يتم الحصول على الجاذبية الكتلية عن طريق إضافة حدود التفاعل غير المشتقة لـ ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. على المستوى الخطي (أي، من الدرجة الثانية في ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$) ، لا يوجد سوى مصطلحين محتملين للكتلة:

${\displaystyle {\mathcal {L}} _ {\mathrm {int} }=a\ h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\ \left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}~.}$

أظهر فيرز وباولي ^{[ 18 ]} في عام 1939 أن هذا لا ينشر سوى الاستقطابات الخمسة المتوقعة للجرافيتون ذي الكتلة (مقارنة باستقطابين في حالة الجرافيتون عديم الكتلة) إذا تم اختيار المعاملات بحيث${\displaystyle a=-b}$أي خيار آخر سيفتح درجة حرية سادسة، "شبحية". "الشبح" هو نمط ذو طاقة حركية سالبة ؛ مما يؤدي إلى تناقضات منطقية في النظرية. هاميلتونيانه غير محدود من الأسفل، وبالتالي فهو غير مستقر ويتحلل إلى جسيمات ذات طاقات موجبة وسالبة كبيرة بشكل تعسفي. مصطلح كتلة فيرز-باولي ،

${\displaystyle {\mathcal {L}} _ {\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

وبالتالي، فإن هذه النظرية هي النظرية الخطية المتسقة الفريدة لحقل ضخم ذي دوران 2.

في سبعينيات القرن العشرين، اكتشف كل من هندريك فان دام ومارتينوس جي جي فيلتمان ^{[ 19 ]} ، وبشكل مستقل، فالنتين آي زاخاروف ^{[ 20 ]} خاصية غريبة لنظرية فيرز-باولي للجاذبية الكتلية: وهي أن تنبؤاتها لا تختزل بشكل موحد إلى تنبؤات النسبية العامة في الحد${\displaystyle m\to 0}$على وجه الخصوص، بينما يتم استعادة قانون نيوتن للجاذبية على نطاقات صغيرة (أقصر من طول موجة كومبتون لكتلة الجرافيتون)، فإن انحناء الضوء لا يمثل سوى ثلاثة أرباع النتيجة التي توصل إليها ألبرت أينشتاين في النسبية العامة. يُعرف هذا باسم عدم استمرارية vDVZ .

يمكننا فهم انحناء الضوء الأصغر على النحو التالي: ينشر الجرافيتون الضخم في نظرية فيرز-باولي، نتيجةً لكسر ثبات التشاكل التفاضلي ، ثلاث درجات حرية إضافية مقارنةً بالجرافيتون عديم الكتلة في النسبية العامة الخطية. تتجمع درجات الحرية الثلاث هذه في حقل متجه ، وهو غير ذي صلة بموضوعنا، وحقل قياسي. يمارس هذا النمط القياسي قوة جذب إضافية في حالة الجرافيتون الضخم مقارنةً بحالة الجرافيتون عديم الكتلة. لذا، إذا أردنا أن تتفق قياسات القوة المؤثرة بين الكتل غير النسبية، فيجب أن يكون ثابت الاقتران في نظرية الجرافيتون الضخم أصغر من نظيره في نظرية الجرافيتون عديم الكتلة. لكن انحناء الضوء لا يتأثر بالقطاع القياسي، لأن موتر الإجهاد والطاقة للضوء عديم الأثر. وبالتالي، إذا اتفقت النظريتان على القوة بين الجسيمات غير النسبية، فإن نظرية الجرافيتون الضخم ستتنبأ بانحناء ضوئي أصغر من انحناء الضوء في نظرية الجرافيتون عديم الكتلة.

جادل فاينشتاين ^{[ 21 ]} بعد ذلك بعامين بأن عدم استمرارية vDVZ هو نتاج النظرية الخطية، وأن تنبؤات النسبية العامة يتم استعادتها في الواقع على نطاقات صغيرة عند أخذ التأثيرات غير الخطية في الاعتبار، أي الحدود الأعلى من الحدود التربيعية في${\displaystyle h_{\mu \nu }}$بصورة تقريبية، ضمن منطقة تُعرف بنصف قطر فاينشتاين ، تصبح تقلبات النمط القياسي غير خطية، وتتجاوز حدود مشتقاته العليا الحد الحركي المتعارف عليه. لذا، يؤدي تطبيع الكمية القياسية حول هذه الخلفية إلى كبح كبير للحد الحركي، مما يُخمد تقلبات الكمية القياسية ضمن نصف قطر فاينشتاين. ولأن القوة الإضافية التي تُسببها الكمية القياسية تتناسب طرديًا مع (أو عكسيًا مع) تدرجها، فإن هذا يؤدي إلى قوة إضافية أصغر بكثير مما كنا سنحسبه باستخدام نظرية فيرز-باولي الخطية فقط.

تُعرف هذه الظاهرة باسم "حجب فاينشتاين" ، وهي لا تقتصر على نظرية الجاذبية الهائلة فحسب، بل تشمل أيضًا نظريات الجاذبية المعدلة ذات الصلة، مثل نظرية الجاذبية الديناميكية (DGP) وبعض نظريات الكميات القياسية-الموترية ، حيث تُعدّ بالغة الأهمية لإخفاء آثار الجاذبية المعدلة في النظام الشمسي. وهذا ما يسمح لهذه النظريات بمطابقة اختبارات الجاذبية الأرضية والشمسية، تمامًا كما تفعل النسبية العامة، مع الحفاظ على انحرافات كبيرة على مسافات أبعد. وبهذه الطريقة، يمكن لهذه النظريات أن تؤدي إلى تسارع كوني، وأن تترك بصمات قابلة للملاحظة على البنية واسعة النطاق للكون، دون أن تتعارض مع قيود أخرى أكثر صرامة من الملاحظات الأقرب إلينا.

كرد فعل على نموذج الجاذبية ذي المدى المحدود لفروند -ماهيشواري-شونبرغ ، ^{[ 22 ]} وفي نفس الوقت تقريبًا الذي تم فيه اكتشاف عدم استمرارية vDVZ وآلية فاينشتاين، وجد ديفيد بولوار وستانلي ديزر في عام 1972 أن التوسعات غير الخطية العامة لنظرية فيرز-باولي أعادت إدخال نمط الشبح الخطير؛ ^{[ 23 ]} الضبط${\displaystyle a=-b}$وجد الباحثون أن غياب هذا النمط عند الرتبة التربيعية، والذي يضمن عدم حدوثه، ينكسر عمومًا عند الرتبة التكعيبية وما فوقها، مما يعيد ظهور هذا النمط الوهمي عند تلك الرتب. ونتيجة لذلك، يظهر هذا النمط الوهمي من نوع بولوار-ديزر حول، على سبيل المثال، الخلفيات غير المتجانسة للغاية.

يمثل هذا إشكالًا لأن نظرية الجاذبية الخطية، مثل نظرية فيرز-باولي، محددة جيدًا في حد ذاتها ولكنها لا تستطيع التفاعل مع المادة، كما هو الحال في اقتران${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$يُخلّ هذا بثبات التماثل التفاضلي. ويجب معالجة ذلك بإضافة حدود جديدة عند رتب أعلى فأعلى، إلى ما لا نهاية . بالنسبة للجرافيتون عديم الكتلة، تتقارب هذه العملية، والنتيجة معروفة: ببساطة نصل إلى النسبية العامة. هذا هو معنى القول بأن النسبية العامة هي النظرية الوحيدة (مع مراعاة شروط الأبعاد والمحلية، إلخ) لحقل عديم الكتلة ذي لف مغزلي 2.

لكي تصف نظرية الجاذبية الكتلية الجاذبية وصفًا دقيقًا، أي مجالًا كتليًا ذو لف مغزلي 2 يقترن بالمادة، وبالتالي يتوسط قوة الجاذبية، يجب الحصول على إكمال غير خطي مماثل. يُمثل شبح بولوار-ديسير عقبةً خطيرةً أمام هذا المسعى. ستعاني الغالبية العظمى من نظريات المجالات الكتلية المتفاعلة ذات اللف المغزلي 2 من هذا الشبح، وبالتالي لن تكون قابلة للتطبيق. في الواقع، حتى عام 2010، كان يُعتقد على نطاق واسع أن جميع نظريات الجاذبية الكتلية الثابتة لورنتز تحتوي على شبح بولوار-ديسير ^{[ 24 ]} على الرغم من الجهود المبذولة لإثبات عدم صحة هذا الاعتقاد. ^{[ 25 ]} تجدر الإشارة إلى أن نموذج dRGT هو أفضل طريقة لعزل شبح بولوار-ديسير والقضاء عليه، نظرًا لأن كلا النموذجين تم تطويرهما باستخدام معالجات هاميلتونية ومتغيرات ADM . أما بالنسبة لنموذج الجاذبية ذي المدى المحدود ونموذج أوجيفيتسكي وبولوبارينوف، فقد تبين أنهما يحتاجان إلى مبدأ نوثر التبايني بالإضافة إلى إعادة تعريف وتحسين موتر الطاقة والزخم بشكل توافقي كحقل مصدر . ^{[ 26 ]}

في عام 2010، تحقق إنجازٌ هامٌ عندما قام دي رام ، وغابادادزه ، وتولي، ببناء نظرية للجاذبية الكتلية، رتبةً تلو الأخرى، بمعاملاتٍ مضبوطةٍ لتجنب ظاهرة بولوار-ديسير الوهمية، وذلك بتجميع جميع المؤثرات الوهمية (أي المشتقات العليا) في مشتقاتٍ كليةٍ لا تُسهم في معادلات الحركة. ^{[ 27 ] [ 28 ]} وقد أثبت فؤاد حسن وراشيل روزن لاحقًا الغياب التام لظاهرة بولوار-ديسير الوهمية، لجميع الرتب وما وراء حد الفصل . ^{[ 29 ] [ 30 ]}

يتم إعطاء الفعل لجاذبية الكتلة الخالية من الأشباح دي رام-جابادادزه-تولي (dRGT) بواسطة ^{[ 31 ].}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

أو، على نحو مماثل،

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

تتطلب هذه المكونات بعض التوضيح. وكما هو الحال في النسبية العامة القياسية، يوجد حد حركي لأينشتاين-هيلبرت يتناسب مع كمية ريتشي القياسية.${\displaystyle R}$واقتران ضئيل بالمادة لاغرانجيان ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}}$، مع${\displaystyle \Phi _{i}}$يمثل هذا النموذج جميع حقول المادة، مثل تلك الموجودة في النموذج القياسي . أما الجزء الجديد فهو عبارة عن حد كتلة، أو جهد تفاعل، تم بناؤه بعناية لتجنب شبح بولوار-ديزر، مع قوة تفاعل${\displaystyle m}$وهو (إذا كان غير صفري)${\displaystyle \beta _{i}}$هي​${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$) يرتبط ارتباطًا وثيقًا بكتلة الجرافيتون.

يجعل مبدأ ثبات القياس التعبيرات زائدة في أي نظرية حقل مزودة بقياسها (مقاييسها) المناظرة. على سبيل المثال، في فعل بروكا ذي الكتلة واللف المغزلي 1 ، يكون الجزء ذو الكتلة في لاغرانجيان${\displaystyle {\tfrac {1}{2}} مللي أمبير _ {\mu }A^{\mu }}$يكسر${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ثبات القياس. ومع ذلك، يتم استعادة الثبات عن طريق إدخال التحويلات التالية :${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi }$ويمكن تطبيق الأمر نفسه على الجاذبية ذات الكتلة باتباع نظرية المجال الفعال للجاذبية ذات الكتلة لأركاني-حامد، وجورجي، وشوارتز. [ ^{32 ] وقد حفّز} غياب عدم استمرارية vDVZ في هذا النهج تطوير إعادة تجميع dRGT لنظرية الجاذبية ذات الكتلة على النحو التالي. ^{[ 28 ]}

يتكون جهد التفاعل من كثيرات الحدود المتناظرة الأولية${\displaystyle e_{n}}$القيم الذاتية للمصفوفات${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f~}}}$أو${\displaystyle \textstyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f~}}}$يتم تحديدها بواسطة ثوابت اقتران لا بعدية${\displaystyle \alpha _{i}}$أو​${\displaystyle \beta _{i}}$، على التوالي. هنا${\displaystyle \textstyle {\sqrt {g^{-1}f~}}}$المصفوفة هي الجذر التربيعي للمصفوفة${\displaystyle g^{-1}f}$مكتوبة باستخدام تدوين الفهرس،${\displaystyle \mathbb {X} }$يتم تعريفها من خلال العلاقة${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }}$لقد قدمنا ​​مقياسًا مرجعيًا${\displaystyle f_{\mu \nu }}$وذلك لإنشاء حد التفاعل. وهناك سبب بسيط لذلك: من المستحيل إنشاء حد تفاعل غير تافه (أي غير مشتق) من${\displaystyle g_{\mu \nu }}$وحيدًا. الاحتمالات الوحيدة هي${\displaystyle g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$و​${\displaystyle \det g}$وكلاهما يؤدي إلى حد ثابت كوني بدلاً من تفاعل حقيقي . من الناحية الفيزيائية،${\displaystyle f_{\mu \nu }}$يتوافق هذا مع المقياس الأساسي الذي تتخذ حوله التقلبات شكل فيرز-باولي. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن إكمال نظرية فيرز-باولي غير الخطية حول فضاء مينكوفسكي المذكور أعلاه سيؤدي إلى جاذبية dRGT ذات كتلة مع ⁠${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$، على الرغم من أن إثبات عدم وجود شبح بولوار-ديزر ينطبق بشكل عام${\displaystyle f_{\mu \nu }}$[ ³³ ]^​​

يتحول المقياس المرجعي مثل موتر المقياس تحت التحويل التفاضلي

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

لذلك${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$والمصطلحات المماثلة ذات القوى الأعلى، تتحول ككمية قياسية تحت نفس التحويل التفاضلي. لتغيير في الإحداثيات${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$، نتوسع${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$مع${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$بحيث يصبح المقياس المضطرب كما يلي:

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

بينما يتحول المتجه الشبيه بالجهد وفقًا لحيلة ستوكلبرغ كما يلي:${\displaystyle \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }}$بحيث يُعرَّف حقل ستوكلبرغ على النحو التالي :${\displaystyle \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)}$[ ^{34 ]} انطلاقاًمن التماثل التفاضلي، يمكن تعريف مصفوفة ستوكلبرغ ^أخرى .${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}}$، حيث${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}}$و${\displaystyle \mathbb {X} _{~b}^{a}}$لها نفس القيم الذاتية. ^{[ 35 ]} الآن، نأخذ بعين الاعتبار التناظرات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

بحيث يصبح المقياس المضطرب المحوّل كما يلي:

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

يتم الحصول على الشكل المتغير لهذه التحويلات كما يلي. إذا كان نمط الحلزونية 0 (أو الدوران 0)${\displaystyle \pi }$هو مقياس دقيق لأنماط غولدستون غير المادية، مع${\displaystyle \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi }$[ ^{36 ]} المصفوفة​^​${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$هي دالة موتر لموتر التغاير

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

اضطراب القياس${\displaystyle h_{\mu \nu }}$بحيث يكون الموتر${\displaystyle H_{\mu \nu }}$يتم تحويل ستوكلبرغ بواسطة المجال${\displaystyle \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi }$[ ^{37 ]} تحويلات ^نمط الحلزونية-0 تحت تحويلات غاليليو${\displaystyle \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }}$ومن هنا جاء اسم "غاليليون". ^{[ 38 ]} المصفوفة${\displaystyle \mathbb {X} }$هي دالة موتر لموتر التغاير${\displaystyle H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }}$اضطراب القياس${\displaystyle h_{\mu \nu }}$يتم تحديد مكوناتها بواسطة:

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

أين

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

هو الانحناء الخارجي. ^{[ 39 ]}

ومن المثير للاهتمام أن موتر التغاير المشترك قد تم تقديمه في الأصل بواسطة ماهيشواري في ورقة بحثية من تأليفه منفرداً، وهي تكملة لموضوع الحلزونية.${\displaystyle (2\oplus 0)}$نموذج الجاذبية ذو المدى المحدود لفروند-ماهيشواري-شونبرغ. ^{[ 26 ]} في عمل ماهيشواري، يخضع اضطراب المقياس لشرط هيلبرت-لورنتز${\displaystyle m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0}$في ظل التغيير

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

يتم إدخال ذلك في نظرية الجاذبية الكتلية لأوجيفيتسكي-بولوبارينوف، حيث${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$سيتم تحديدها. ^{[ 40 ]} من السهل ملاحظة التشابه بين الموترات${\displaystyle \mathbb {X} }$في dRGT والموتر${\displaystyle h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}}$في عمل ماهيشواري مرة واحدة${\displaystyle n=2}$يتم اختياره. كما يفرض نموذج أوجيفيتسكي- بولوبارينوف${\displaystyle n=-{\tfrac {1}{p}}}$، مما يعني أنه في البعد الرابع ،${\displaystyle p=-{\tfrac {\ 1\ }{n}}=-{\tfrac {\ 1\ }{2}}}$، التباين${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }}$متوافق.

تنقسم الحقول الضخمة لـ dRGT إلى حلزونيتين -2${\displaystyle h_{\mu \nu }}$، حلزونيتان-1${\displaystyle A_{\mu }}$وحلزونية واحدة - 0${\displaystyle \pi }$درجات الحرية، تمامًا مثل تلك الموجودة في نظرية فيرز-باولي الضخمة. ومع ذلك، فإن التغاير، إلى جانب حد الفصل ، يضمن أن تناظرات هذه النظرية الضخمة تُختزل إلى تناظر النسبية العامة الخطية بالإضافة إلى تناظر${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$النظرية الضخمة، بينما ينفصل العدد القياسي. إذا${\displaystyle v_{\mu }}$يتم اختيارها لتكون خالية من التباعد، أي${\displaystyle \Box \ \pi =0}$، تعطينا نهاية الفصل لـ dRGT الجاذبية الخطية المعروفة. ^{[ 41 ]} لفهم كيفية حدوث ذلك، قم بتوسيع الحدود التي تحتوي على${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$في العمل في صلاحيات ⁠${\displaystyle H_{\mu \nu }}$، حيث${\displaystyle H_{\mu \nu }}$يتم التعبير عنها بدلالة${\displaystyle \phi ^{a}}$مجالات مثل كيف${\displaystyle h'_{\mu \nu }}$يتم التعبير عنها بدلالة ⁠${\displaystyle A^{\mu }}$الحقول​${\displaystyle h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi }$يتم استبدالها بما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

ويترتب على ذلك أنه في حالة الفصل ، أي عندما يكون كلاهما${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}M_{\mathsf {Pl}}={\text{const}}}$، لاغرانجيان الجاذبية الهائلة ثابت تحت:

1. ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu },}$كما هو الحال في النظرية العامة الخطية للنسبية،
2. ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi ,}$كما هو الحال في نظرية ماكسويل الكهرومغناطيسية، و
3. ${\displaystyle \delta \pi =0.}$

من حيث المبدأ، يجب تحديد المقياس المرجعي يدويًا، وبالتالي لا توجد نظرية جاذبية واحدة ذات كتلة في نظرية dRGT، لأن النظرية ذات المقياس المرجعي المسطح تختلف عن تلك ذات المقياس المرجعي دي سيتر ، وهكذا. بدلاً من ذلك، يمكن للمرء أن يفكر في${\displaystyle f_{\mu \nu }}$كثابت من ثوابت النظرية، تمامًا مثل${\displaystyle m}$أو​${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}}$بدلاً من تحديد مقياس مرجعي منذ البداية، يمكن السماح له بأن يكون له ديناميكياته الخاصة. إذا كان المصطلح الحركي لـ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$إذا كان أيضًا أينشتاين-هيلبرت، فإن النظرية تظل خالية من الأشباح ونبقى مع نظرية الجاذبية الثنائية الضخمة ، ^{[ 12 ]} (أو النسبية ثنائية القياس ، BR) التي تنشر درجتي حرية للجرافيتون عديم الكتلة بالإضافة إلى خمس درجات حرية للجرافيتون الضخم.

من الناحية العملية، ليس من الضروري حساب القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbb {X} }$(أو${\displaystyle \mathbb {K} }$) من أجل الحصول على${\displaystyle e_{n}}$. يمكن كتابتها مباشرة بدلالة${\displaystyle \mathbb {X} }$مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

حيث تشير الأقواس إلى أثر ،${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$إنها التركيبة المتناظرة المضادة المحددة للمصطلحات في كل من${\displaystyle e_{n}}$وهو المسؤول عن جعل شبح بولوار-ديزر غير ديناميكي.

خيار الاستخدام${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$أو${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$، مع${\displaystyle \mathbb {I} }$مصفوفة الوحدة هي اصطلاح، ففي كلتا الحالتين يكون حد الكتلة الخالي من الأشباح عبارة عن توليفة خطية من كثيرات الحدود المتناظرة الأولية للمصفوفة المختارة. يمكن التحويل من أساس إلى آخر، وفي هذه الحالة تحقق المعاملات العلاقة ^{[ 31 ].}

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

المعاملات هي معاملات متعددة حدود مميزة على شكل محدد فريدهولم . ويمكن الحصول عليها أيضاً باستخدام خوارزمية فاديف-ليفرير .

في إطار رباعي الأبعاد متعامد ، لدينا القواعد التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\,\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\,\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

حيث الفهرس${\displaystyle i}$يُستخدم للمكون المكاني ثلاثي الأبعاد لـ${\displaystyle \mu }$الإحداثيات غير المتعامدة، والمؤشر${\displaystyle I}$يُستخدم للمكونات المكانية ثلاثية الأبعاد لـ${\displaystyle a}$-المتعامدة. يتطلب النقل المتوازي اتصال الدوران${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0}$لذلك ، فإن الانحناء الخارجي ، الذي يتوافق مع${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$في الصيغة المترية، يصبح

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

أين${\displaystyle \gamma _{ij}}$المقياس المكاني كما هو الحال في شكلية ADM وصياغة القيمة الأولية .

إذا كان الرباعي يتحول توافقياً كما${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$يصبح الانحناء الخارجي${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$، حيث من معادلات فريدمان${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$، و${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$(على الرغم من كونه مثيرًا للجدل ^{[ 42 ]} )، أي أن الانحناء الخارجي يتحول على النحو التالي :${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$هذا يبدو مشابهاً جداً للمصفوفة${\displaystyle \mathbb {K} }$أو الموتر${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$⁠ .

تم تطوير dRGT مستوحى من تطبيق التقنية السابقة على نموذج DGP خماسي الأبعاد بعد دراسة تفكيك نظريات جاذبية كالوزا-كلاين ذات الأبعاد الأعلى ، ^{[ 43 ]} حيث يتم استبدال البعد (الأبعاد) الإضافية بسلسلة من N موقع شبكي بحيث يتم استبدال المقياس ذي الأبعاد الأعلى بمجموعة من المقاييس المتفاعلة التي تعتمد فقط على المكونات رباعية الأبعاد. ^{[ 39 ]}

إن وجود مصفوفة الجذر التربيعي أمرٌ غير مريح إلى حد ما، ويشير إلى صياغة بديلة وأبسط باستخدام وحدات رباعية . يتم تقسيم المقاييس إلى وحدات رباعية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

ثم تعريف الأشكال الأحادية

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\end{aligned}}}$

يمكن كتابة مصطلحات التفاعل الخالية من الأشباح في نظرية حسن-روزن للجاذبية الثنائية ببساطة على النحو التالي (حتى العوامل العددية) ^{[ 44 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

من حيث الفيربينات، بدلاً من المقاييس، يمكننا بالتالي أن نرى الأهمية الفيزيائية لمصطلحات جهد dRGT الخالية من الأشباح بوضوح تام: إنها ببساطة جميع التركيبات الممكنة المختلفة لمنتجات الوتد للفيربينات للمقياسين.

لاحظ أن الجاذبية الكتلية في الصيغتين المترية والرباعية لا تكون متكافئة إلا إذا تحقق شرط التناظر

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

يتحقق هذا الشرط. مع أن هذا ينطبق على معظم الحالات الفيزيائية، إلا أنه قد توجد حالات، مثل اقتران المادة بكلا المقياسين أو في النظريات متعددة المقاييس ذات دورات التفاعل، لا يتحقق فيها هذا الشرط. في هذه الحالات، تُعتبر صيغتا المقياس والفيبربين نظريتين فيزيائيتين منفصلتين، على الرغم من أن كلتيهما تنشران غرافيتونًا ضخمًا سليمًا.

تكمن الجدة في نظرية الجاذبية الضخمة dRGT في أنها نظرية ثبات القياس تحت تحويلات لورنتز المحلية، انطلاقاً من افتراض المقياس المرجعي${\displaystyle f_{\mu \nu }}$يساوي مقياس مينكوفسكي${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$، وثبات التشاكل التفاضلي، من وجود الزمكان المنحني النشط${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. ويتضح ذلك من خلال إعادة كتابة صيغة ستوكلبرغ التي نوقشت سابقًا بلغة الفيربين على النحو التالي. ^{[ 45 ]}

تُقرأ النسخة رباعية الأبعاد من معادلات أينشتاين للمجال في خمسة أبعاد على النحو التالي:

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

أين${\displaystyle n^{\mu }}$يمثل المتجه العمودي على الشريحة رباعية الأبعاد. باستخدام تعريف الانحناء الخارجي الهائل${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$، من السهل ملاحظة أن الحدود التي تحتوي على انحناءات خارجية تأخذ الشكل الوظيفي${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$في الفعل الرباعي.

لذلك، وباستخدام المعاملات العددية فقط، فإن فعل dRGT الكامل في شكله الموتري هو

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

حيث الوظائف${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$تتخذ أشكالاً مشابهة لتلك الخاصة بـ${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$ثم ، وباستخدام بعض المعاملات العددية، يأخذ الفعل الشكل التكاملي

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

حيث يمثل الحد الأول جزء أينشتاين-هيلبرت من فعل بالاتيني الرباعي و${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا .

يضمن حد الفصل أن${\displaystyle \Box \pi =0}$و${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$عن طريق المقارنة${\displaystyle X^{\mu }}$بالنسبة إلى {{tmath \phi^{\mu} }}، من المشروع التفكير في الموتر ⁠${\displaystyle {1}}$. بمقارنة هذا مع تعريف الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$، يمكن تعريف المكونات المتغيرة لحقل الإطار${\displaystyle f^{a}{}_{\mu }=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a}}$، أي​${\displaystyle e^{a}{}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda ^{a}{}_{b}e^{b}{}_{\nu }}$، ليحل محل${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$بحيث تصبح حدود التفاعل الثلاثة الأخيرة في فعل الفيربين

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

يمكن القيام بذلك لأنه يُسمح بتحريك تحويلات التشاكل التفاضلي بحرية${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$إلى المحور المرجعي الرباعي من خلال تحويلات لورنتز${\displaystyle \Lambda ^{a}{}_{b}}$والأهم من ذلك ، أن تحويلات التشاكل تساعد في إظهار ديناميكيات أنماط الحلزونية 0 والحلزونية 1، وبالتالي سهولة استبعادها عند مقارنة النظرية بنسختها التي تحتوي فقط على${\displaystyle U(1)}$تحويلات القياس أثناء إيقاف تشغيل حقول ستوكلبرغ.

قد يتساءل المرء عن سبب حذف المعاملات، وكيفية ضمان كونها عددية دون اعتماد صريح على الحقول. في الواقع، هذا مسموح به لأن تغير فعل الفيربين بالنسبة لحقول ستوكلبرغ المحولة محليًا باستخدام تحويل لورنتز يُعطي هذه النتيجة الجيدة. ^{[ 45 ]} علاوة على ذلك، يمكننا إيجاد حلول صريحة لحقول ستوكلبرغ الثابتة لورنتز، وبالتعويض مرة أخرى في فعل الفيربين، يمكننا إثبات التكافؤ التام مع الشكل الموتري لجاذبية الكتلة dRGT. ^{[ 46 ]}

إذا كانت كتلة الجرافيتون${\displaystyle m}$وهو ما يُقارن بمعدل هابل${\displaystyle H_{0}}$ثم عند المسافات الكونية، يمكن أن يُحدث حد الكتلة تأثيرًا جاذبيًا تنافريًا يؤدي إلى تسارع كوني. وذلك لأن، بشكل عام، تناظر التشاكل المعزز في الحد${\displaystyle m=0}$يحمي كتلة الجرافيتون الصغيرة من التصحيحات الكمومية الكبيرة، وهذا هو الخيار${\displaystyle m\sim H_{0}}$هو في الواقع أمر طبيعي من الناحية التقنية . ^{[ 47 ]} وبالتالي، قد توفر الجاذبية الهائلة حلاً لمشكلة الثابت الكوني : لماذا لا تتسبب التصحيحات الكمومية في تسارع الكون في أوقات مبكرة للغاية؟

مع ذلك، اتضح أن الحلول الكونية المسطحة والمغلقة لفريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر غير موجودة في نظرية الجاذبية الضخمة dRGT ذات المقياس المرجعي المسطح. ^{[ 13 ]} وتعاني الحلول المفتوحة والحلول ذات المقاييس المرجعية العامة من عدم الاستقرار. ^{[ 48 ]} لذا، لا يمكن إيجاد نماذج كونية قابلة للتطبيق في نظرية الجاذبية الضخمة إلا بالتخلي عن المبدأ الكوني القائل بأن الكون متجانس على نطاقات واسعة، أو بتعميم نظرية dRGT بطريقة أخرى. على سبيل المثال، تكون الحلول الكونية أكثر استقرارًا في نظرية الجاذبية الثنائية ، ^{[ 14 ]} وهي النظرية التي توسع نظرية dRGT من خلال إعطاء${\displaystyle f_{\mu \nu }}$الديناميكيات. في حين أن هذه تميل إلى امتلاك عدم استقرار أيضًا، ^{[ 49 ] [ 50 ]} قد تجد هذه الاضطرابات حلاً في الديناميكيات غير الخطية (من خلال آلية شبيهة بآلية فاينشتاين) أو عن طريق دفع حقبة عدم الاستقرار إلى بدايات الكون المبكرة جدًا. ^{[ 15 ]}

توجد حالة خاصة في ثلاثة أبعاد، حيث لا ينشر الجرافيتون عديم الكتلة أي درجات حرية. في هذه الحالة، يمكن تعريف عدة نظريات خالية من الأشباح للجرافيتون ذي الكتلة، الذي ينشر درجتي حرية. في حالة الجاذبية ذات الكتلة الطوبولوجية ^{[ 1 ]} ، يكون لدينا الفعل

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

مع${\displaystyle M_{3}}$كتلة بلانك ثلاثية الأبعاد. هذه هي النسبية العامة ثلاثية الأبعاد مُكمَّلة بمصطلح شبيه بمصطلح تشيرن-سيمونز مبني من رموز كريستوفيل .

وفي الآونة الأخيرة، تم تطوير نظرية تُعرف باسم الجاذبية الكتلية الجديدة ، ^{[ 2 ]} والتي يتم وصفها من خلال الفعل

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

أدى اكتشاف موجات الجاذبية عام 2016 ^{[ 51 ]} والملاحظات اللاحقة إلى وضع قيود على الحد الأقصى لكتلة الجرافيتونات، إن وُجدت أصلاً. بعد حدث GW170104 ، وُجد أن طول موجة كومبتون للجرافيتون لا يقل عن1.6 × 10^ ¹⁶  متر ، أو حوالي 1.6 سنة ضوئية ، وهو ما يتوافق مع كتلة جرافيتون لا تزيد عن7.7 × 10⁻²³ ^{إلكترون}  فولت/ ثانية² . ^{[ 16 ]} تُحسب هذه العلاقة بين الطول الموجي والطاقة باستخدام الصيغة نفسها ( علاقة بلانك-أينشتاين ) التي تربط الطول الموجي الكهرومغناطيسي بطاقة الفوتون . مع ذلك، تختلف الفوتونات ، التي ^لا تمتلك سوى الطاقة دون كتلة، اختلافًا جوهريًا عن الجرافيتونات ذات الكتلة في هذا الصدد، إذ لا يساوي طول موجة كومبتون للجرافيتون طول موجة الجاذبية. بدلًا من ذلك، يبلغ الحد الأدنى لطول موجة كومبتون للجرافيتون حوالييبلغ طول موجة كومبتون 9 × 10⁹ ^ضعف طول موجة الجاذبية لحدث GW170104، والذي كان حوالي 1700  كيلومتر. ويعود ذلك إلى أن طول موجة كومبتون يُحدد بكتلة سكون الجرافيتون، وهو كمية قياسية ثابتة.

• تسارع توسع الكون – ظاهرة كونية 
• بدائل للنسبية العامة – نظريات مقترحة للجاذبية 
• نظرية هورنديسكي
• الجاذبية ثنائية القياس – النظريات المقترحة للجاذبية 
• نموذج DGP – نموذج مقترح للجاذبية 
• نظرية الكميات القياسية والموترية – نظرية في الفيزياء تستخدم الكميات القياسية والموترية لوصف القوة أو التفاعل 
• الجاذبية المزدوجة

المقالات الاستعراضية

• دي رام، كلوديا (2014)، "الجاذبية الهائلة"، مراجعات حية في النسبية ، 17 (1) 7، arXiv : 1401.4173 ، Bibcode : 2014LRR....17....7D ، doi : 10.12942/lrr-2014-7 ، PMC 5256007 ، PMID 28179850  
• هينتربيشلر، كورت (2012)، "الجوانب النظرية للجاذبية الكتلية"، مراجعات الفيزياء الحديثة ، 84 (2): 671-710 ، arXiv : 1105.3735 ، Bibcode : 2012RvMP...84..671H ، doi : 10.1103/RevModPhys.84.671 ، S2CID 119279950