الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي

الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي هو دالة متجهة نسبية يمكن من خلالها اشتقاق المجال الكهرومغناطيسي . وهو يجمع بين جهد كهربائي قياسي وجهد مغناطيسي متجه في متجه رباعي واحد . ^{[ 1 ]}

عند قياسها في إطار مرجعي محدد ، ولقياس معين ، يُعتبر المكون الأول من الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي تقليديًا هو الجهد الكهربائي القياسي، بينما تُشكل المكونات الثلاثة الأخرى الجهد المغناطيسي الشعاعي. وبينما يعتمد كل من الجهد القياسي والشعاعي على الإطار المرجعي، فإن الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي متغاير لورنتز .

ومثل غيرها من الجهود، فإن العديد من الجهود الكهرومغناطيسية الرباعية المختلفة تتوافق مع نفس المجال الكهرومغناطيسي، وذلك اعتمادًا على اختيار المقياس.

تستخدم هذه المقالة ترميز مؤشر الموتر واتفاقية إشارة متري مينكوفسكي (+ − − −) . انظر أيضًا إلى التغاير والتغاير العكسي للمتجهات ورفع وخفض المؤشرات لمزيد من التفاصيل حول الترميز. تُعطى الصيغ بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) ووحدات غاوس-cgs .

يمكن تعريف الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي المتغاير على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

وحدات النظام الدولي للوحدات	وحدات غاوس
${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}\phi ,\mathbf {A} \right)\,\!}$	${\displaystyle A^{\alpha }=(\phi ,\mathbf {A} )}$

حيث ϕ هو الجهد الكهربائي ، و A هو الجهد المغناطيسي ( جهد متجه ). وحدة Aα هي V · s · m ⁻¹ في النظام الدولي للوحدات، و ^Mx · cm −1 ^في نظام Gaussian-CGS .

المجالات الكهربائية والمغناطيسية المرتبطة بهذه الجهود الأربعة هي: ^{[ 3 ]}

وحدات النظام الدولي للوحدات	وحدات غاوس
${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla} \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla} \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$
${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$

في النسبية الخاصة ، يتحول المجالان الكهربائي والمغناطيسي تحت تحويلات لورنتز . ويمكن كتابة ذلك على شكل موتر من الرتبة الثانية - وهو الموتر الكهرومغناطيسي . تُكتب المكونات الستة عشر المتغايرة للموتر الكهرومغناطيسي، باستخدام اصطلاح مينكوفسكي المتري (+ − − −) ، بدلالة الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي والتدرج الرباعي كما يلي:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\جزئي ^{\mu }A^{\nu }-\جزئي ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B _ {y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

إذا كان التوقيع المذكور بدلاً من ذلك (− + + +)، فعندئذٍ:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\جزئي '\,^{\mu }A^{\nu }-\جزئي '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{ y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

وهذا يحدد بشكل أساسي الكمون الرباعي من حيث الكميات القابلة للملاحظة فيزيائيًا، بالإضافة إلى اختزاله إلى التعريف المذكور أعلاه.

في كثير من الأحيان، تكون حالة مقياس لورنز${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$يتم استخدام الإطار المرجعي العطالي لتبسيط معادلات ماكسويل على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

وحدات النظام الدولي للوحدات	وحدات غاوس
${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }}$

حيث J و ^α هما مركبات التيار الرباعي ، و

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

هو مؤثر دالمبير . وباستخدام الكمون القياسي والمتجهي، تصبح هذه المعادلة الأخيرة كما يلي:

وحدات النظام الدولي للوحدات	وحدات غاوس
${\displaystyle \Box \phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \Box \phi =4\pi \rho }$
${\displaystyle \Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} }$	${\displaystyle \Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

بالنسبة لتوزيع الشحنة والتيار المعطى، ρ ( r , t ) و j ( r , t ) ، فإن حلول هذه المعادلات بوحدات النظام الدولي للوحدات هي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

هو الزمن المتأخر . ويُعبّر عنه أحيانًا أيضًا بـ

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

حيث تشير الأقواس المربعة إلى ضرورة حساب الزمن عند الزمن المتأخر. وبطبيعة الحال، بما أن المعادلات المذكورة أعلاه هي ببساطة حلول لمعادلة تفاضلية غير متجانسة ، فإنه يمكن إضافة أي حل للمعادلة المتجانسة إليها لتحقيق الشروط الحدية . وتمثل هذه الحلول المتجانسة عمومًا موجات تنتشر من مصادر خارج الحدود.

عند تقييم التكاملات المذكورة أعلاه للحالات النموذجية، على سبيل المثال تيار متذبذب (أو شحنة)، يتم العثور على أنها تعطي كل من مكون المجال المغناطيسي الذي يتغير وفقًا لـ r ⁻² ( مجال الحث ) ومكون يتناقص كـ r ⁻¹ ( مجال الإشعاع ).

عند تسطيحها إلى شكل أحادي (في تدوين الموتر،${\displaystyle A_{\mu }}$)، الإمكانات الأربعة${\displaystyle A}$(عادةً ما تُكتب كمتجه أو،${\displaystyle A^{\mu }}$(في تدوين الموتر) يمكن تحليلها عبر نظرية هودج للتحليل كمجموع شكل دقيق ، وشكل متطابق، وشكل توافقي،

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

توجد حرية قياس في A ، حيث أن من بين الأشكال الثلاثة في هذا التفكيك، فإن الشكل المتطابق تمامًا فقط هو الذي له أي تأثير على موتر الكهرومغناطيسية.

${\displaystyle F=dA}$.

الأشكال التامة مغلقة، وكذلك الأشكال التوافقية على نطاق مناسب، لذلك${\displaystyle dd\alpha =0}$و${\displaystyle d\gamma =0}$دائماً. لذا بغض النظر عن أي شيء${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \gamma }$أما نحن، فلا يتبقى لنا سوى

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

في فضاء مينكوفسكي المسطح اللانهائي، كل صيغة مغلقة تكون دقيقة. لذلك فإن${\displaystyle \gamma }$يختفي المصطلح. كل تحويل قياسي لـ${\displaystyle A}$وبالتالي يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle A\Rightarrow A+d\alpha }$.

• تأثير أهارونوف-بوم
• الصياغة المتغيرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية
• متجه رباعي
• مجال الغلوون
• معادلات جيفيمينكو

• ريندلير، وولفغانغ (1991). مقدمة في النسبية الخاصة (الطبعة الثانية) . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853952-5.
• جاكسون، جيه دي (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (الطبعة الثالثة) . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-30932-X.