الأوكتوني المنقسم

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 44 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ الأوكتونيونات المنقسمة جبرًا غير ترابطي ثماني الأبعاد على الأعداد الحقيقية . وعلى عكس الأوكتونيونات القياسية ، فإنها تحتوي على عناصر غير صفرية وغير قابلة للعكس. كما تختلف إشارات أشكالها التربيعية : فالأوكتونيونات المنقسمة لها إشارة منقسمة (4،4)، بينما الأوكتونيونات القياسية لها إشارة موجبة محددة (8،0).

باستثناء التشاكل، تُعدّ الأوكتونيونات والأوكتونيونات المنقسمة الجبرين التركيبيين الوحيدين ذوي الأبعاد الثمانية على حقل الأعداد الحقيقية. وهما أيضًا الجبران الأوكتونيونيان الوحيدان على حقل الأعداد الحقيقية. ويمكن تعريف جبر الأوكتونيونات المنقسمة المماثل للأوكتونيونات المنقسمة على أي حقل .

تعريف

شركة كايلي-ديكسون للإنشاءات

يمكن الحصول على الأوكتونيونات والأوكتونيونات المنقسمة من خلال بناء كايلي-ديكسون بتعريف عملية ضرب على أزواج من الكواترنيونات . نقدم وحدة تخيلية جديدة ℓ ونكتب زوجًا من الكواترنيونات ( a , b ) على الصورة a + b ℓ. يُعرَّف الضرب بالقاعدة: [ 1 ]

(أ+بℓ)(ج+دℓ)=(أج+λد¯ب)+(دأ+بج¯)ℓ{\displaystyle (a+b\ell )(c+d\ell )=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+(da+b{\bar {c}})\ell }

أين

λ=ℓ2.{\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}

إذا تم اختيار قيمة λ لتكون -1 ، نحصل على الأوكتونيونات. أما إذا تم اختيارها لتكون +1، فنحصل على الأوكتونيونات المنقسمة. ويمكن أيضًا الحصول على الأوكتونيونات المنقسمة من خلال مضاعفة كايلي-ديكسون للرباعيات المنقسمة . في هذه الحالة، أي من اختياري λ (±1) يُعطي الأوكتونيونات المنقسمة.

جدول الضرب

أداة تذكيرية لمنتجات الأوكتونيونات المنقسمة.

تُعطى مجموعة أساس الأوكتونيونات المنقسمة{ 1، أنا، ج، ك، ℓ، ℓأنا، ℓج، ℓك }{\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}.

كل ثمانية منقسمةx{\displaystyle x}يمكن كتابتها كتركيبة خطية للعناصر الأساسية،

x=x0+x1أنا+x2ج+x3ك+x4ℓ+x5ℓأنا+x6ℓج+x7ℓك،{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}

بمعاملات حقيقيةxأ{\displaystyle x_{a}}.

بحسب مبدأ الخطية، فإن ضرب الأعداد الثمانية المنقسمة يتم تحديده بالكامل بواسطة جدول الضرب التالي :

المضاعف
1{\displaystyle 1}أنا{\displaystyle i}ج{\displaystyle j}ك{\displaystyle k}ℓ{\displaystyle \ell }ℓأنا{\displaystyle \ell i}ℓج{\displaystyle \ell j}ℓك{\displaystyle \ell k}
المضروب فيه 1{\displaystyle 1}1{\displaystyle 1}أنا{\displaystyle i}ج{\displaystyle j}ك{\displaystyle k}ℓ{\displaystyle \ell }ℓأنا{\displaystyle \ell i}ℓج{\displaystyle \ell j}ℓك{\displaystyle \ell k}
أنا{\displaystyle i}أنا{\displaystyle i}-1{\displaystyle -1}ك{\displaystyle k}-ج{\displaystyle -j}-ℓأنا{\displaystyle -\ell i}ℓ{\displaystyle \ell }-ℓك{\displaystyle -\ell k}ℓج{\displaystyle \ell j}
ج{\displaystyle j}ج{\displaystyle j}-ك{\displaystyle -k}-1{\displaystyle -1}أنا{\displaystyle i}-ℓج{\displaystyle -\ell j}ℓك{\displaystyle \ell k}ℓ{\displaystyle \ell }-ℓأنا{\displaystyle -\ell i}
ك{\displaystyle k}ك{\displaystyle k}ج{\displaystyle j}-أنا{\displaystyle -i}-1{\displaystyle -1}-ℓك{\displaystyle -\ell k}-ℓج{\displaystyle -\ell j}ℓأنا{\displaystyle \ell i}ℓ{\displaystyle \ell }
ℓ{\displaystyle \ell }ℓ{\displaystyle \ell }ℓأنا{\displaystyle \ell i}ℓج{\displaystyle \ell j}ℓك{\displaystyle \ell k}1{\displaystyle 1}أنا{\displaystyle i}ج{\displaystyle j}ك{\displaystyle k}
ℓأنا{\displaystyle \ell i}ℓأنا{\displaystyle \ell i}-ℓ{\displaystyle -\ell }-ℓك{\displaystyle -\ell k}ℓج{\displaystyle \ell j}-أنا{\displaystyle -i}1{\displaystyle 1}ك{\displaystyle k}-ج{\displaystyle -j}
ℓج{\displaystyle \ell j}ℓج{\displaystyle \ell j}ℓك{\displaystyle \ell k}-ℓ{\displaystyle -\ell }-ℓأنا{\displaystyle -\ell i}-ج{\displaystyle -j}-ك{\displaystyle -k}1{\displaystyle 1}أنا{\displaystyle i}
ℓك{\displaystyle \ell k}ℓك{\displaystyle \ell k}-ℓج{\displaystyle -\ell j}ℓأنا{\displaystyle \ell i}-ℓ{\displaystyle -\ell }-ك{\displaystyle -k}ج{\displaystyle j}-أنا{\displaystyle -i}1{\displaystyle 1}

يُقدّم الرسم البياني على اليمين وسيلةً سهلةً للتذكّر ، وهو يُمثّل جدول الضرب للأعداد الثمانية المنقسمة. هذا العدد مُشتقّ من العدد الثمانية الأصلي (واحد من 480 عددًا ممكنًا)، والذي يُعرّف كما يلي:

هـأناهـج=-دلتاأناجهـ0+εأناجكهـك،{\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}

أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}دلتا كرونكر وεأناجك{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}هو رمز ليفي-تشيفيتا ذو القيمة+1{\displaystyle +1}متىأناجك=123،154،176،264،257،374،365،{\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}و:

هـأناهـ0=هـ0هـأنا=هـأنا؛هـ0هـ0=هـ0،{\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}

معهـ0{\displaystyle e_{0}}العنصر القياسي، وأنا،ج،ك=1...7.{\displaystyle i,j,k=1...7.}

تشير الأسهم الحمراء إلى انعكاسات الاتجاه المحتملة المفروضة عن طريق نفي الربع السفلي الأيمن من الأصل مما يؤدي إلى إنشاء أوكتونيون منقسم باستخدام جدول الضرب هذا.

المرافق، والمعيار، والمعكوس

يُعطى المرافق لـ x -octonion المنقسم بالصيغة التالية:

x¯=x0-x1أنا-x2ج-x3ك-x4ℓ-x5ℓأنا-x6ℓج-x7ℓك،{\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}

وكذلك بالنسبة للأوكتونيونات.

الصيغة التربيعية لـ x معطاة بالصيغة التالية:

شمال(x)=x¯x=(x02+x12+x22+x32)-(x42+x52+x62+x72).{\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}

هذا الشكل التربيعي N ( x ) هو شكل تربيعي متساوي الخواص لأنه يوجد عدد غير صفري من الأعداد الثمانية المنقسمة x مع N ( x ) = 0. مع N ، تشكل الأعداد الثمانية المنقسمة فضاءً شبه إقليدي من ثمانية أبعاد على R ، ويكتب أحيانًا R 4,4 للدلالة على إشارة الشكل التربيعي.

إذا كان N ( x ) ≠ 0، فإن x له معكوس ضربي (ثنائي الجانب) x − 1 معطى بالعلاقة التالية:

x-1=شمال(x)-1x¯.{\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}

ملكيات

الأوكتونيونات المنقسمة، مثل الأوكتونيونات، غير تبادلية وغير تجميعية. ومثل الأوكتونيونات أيضًا، تُشكّل جبرًا تركيبيًا لأن الشكل التربيعي N ضربي. أي،

شمال(xy)=شمال(x)شمال(y).{\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}

تحقق الأوكتونيونات المنقسمة متطابقات موفانغ ، وبالتالي تشكل جبرًا بديلًا . وعليه، وفقًا لنظرية آرتين ، فإن الجبر الجزئي الناتج عن أي عنصرين يكون تجميعيًا. وتشكل مجموعة جميع العناصر القابلة للعكس (أي تلك العناصر التي يكون عندها N ( x ) ≠ 0) حلقة موفانغ .

مجموعة التشاكل الذاتي للأوكتونيونات المنقسمة هي مجموعة لي ذات 14 بُعدًا ، وهي الشكل الحقيقي المنقسم لمجموعة لي البسيطة الاستثنائية G 2 .

جبر المصفوفات والمتجهات لزورن

بما أن الأعداد الثمانية المنقسمة غير تجميعية، فلا يمكن تمثيلها بالمصفوفات العادية (عملية ضرب المصفوفات تجميعية دائمًا). وقد وجد زورن طريقة لتمثيلها على شكل "مصفوفات" تحتوي على كل من الكميات العددية والمتجهات باستخدام نسخة معدلة من ضرب المصفوفات. [ 2 ] وبالتحديد، تُعرَّف مصفوفة المتجهات بأنها مصفوفة 2 × 2 على الصورة [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

[أvwب]،{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}

حيث a و b عددان حقيقيان، و v و w متجهان في R³ . عرّف ضرب هذه المصفوفات بالقاعدة التالية :

[أvwب][أ′v′w′ب′]=[أأ′+v⋅w′أv′+ب′v+w×w′أ′w+بw′-v×v′بب′+v′⋅w]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {ث} \end{bmatrix}}}

حيث يمثل كل من · و × الضرب القياسي والضرب الاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد. ومع تعريف الجمع والضرب القياسي كالمعتاد، تشكل مجموعة جميع هذه المصفوفات جبرًا أحاديًا غير ترابطي ثماني الأبعاد على الأعداد الحقيقية، يُسمى جبر زورن للمتجهات والمصفوفات .

عرّف " محدد " مصفوفة متجهة وفقًا للقاعدة

المحقق[أvwب]=أب-v⋅w{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.

هذا المحدد هو شكل تربيعي على جبر زورن يحقق قاعدة التركيب:

المحقق(أب)=المحقق(أ)المحقق(ب).{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}

إن جبر المصفوفات المتجهة لزورن متماثل في الواقع مع جبر الأوكتونيونات المنقسمة. اكتب أوكتونيونًاx{\displaystyle x}على شكل

x=(أ+v)+ℓ(ب+w){\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}

أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي أعداد حقيقية، و v و w عبارة عن كواترنيونات تخيلية بحتة تُعتبر متجهات في R³ . يُعطى التشاكل من الأوكتونيونات المنقسمة إلى جبر زورن بالصيغة التالية :

x↦ϕ(x)=[أ+بv+w-v+wأ-ب].{\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}

يحافظ هذا التشاكل على المعيار لأنشمال(x)=المحقق(ϕ(x)){\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}.

التطبيقات

تُستخدم الأوكتونيونات المنقسمة في وصف القوانين الفيزيائية. على سبيل المثال:

  • يمكن التعبير عن معادلة ديراك في الفيزياء (معادلة حركة جسيم ذي دوران حر 1/2، مثل الإلكترون أو البروتون) باستخدام حساب الأوكتونيون المنفصل الأصلي. [ 7 ]
  • ميكانيكا الكم فائقة التناظر لها امتداد مثمن. [ 8 ]
  • يمكن استخدام جبر الأوكتونيون المنفصل القائم على نظرية زورن في نمذجة الديناميكا اللونية الكمومية SU(3) المتناظرة محليًا. [ 9 ]
  • إن مسألة تدحرج كرة دون انزلاق على كرة نصف قطرها أكبر بثلاث مرات لها الشكل الحقيقي المنقسم للمجموعة الاستثنائية G 2 كمجموعة تناظر لها، لأن هذه المسألة يمكن وصفها باستخدام الأوكتونيونات المنقسمة. [ 10 ]

مراجع

  1. ↑ كيفن مكريمون (2004) لمحة عن جبر جوردان ، صفحة 158، سلسلة Universitext، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-95447-3MR 2014924 
  2. ^ ماكس زورن (1931) “Alternativekörper und Quadratische Systeme”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ 9(3/4): 395–402
  3. ↑ ناثان جاكوبسون (1962) جبر لي ، صفحة 142، دار نشر إنترساينس.
  4. ↑ شيفر، ريتشارد د. (1966). مقدمة في الجبر غير الترابطي . دار النشر الأكاديمية . ص 52-56 . ISBN  0-486-68813-5.
  5. ↑ لويل ج. بيج (1963) "جبر جوردان"، الصفحات 144-186 في دراسات في الجبر الحديث حرره أ. أ. ألبرت، جمعية الرياضيات الأمريكية  : جبر المصفوفات المتجهة لزورن في الصفحة 180
  6. ↑ آرثر أ. ساغل ورالف إي. والدي (1973) مقدمة في زمر لي وجبر لي ، صفحة 199، دار النشر الأكاديمية
  7. ↑ م. غوغبيراشفيلي (2006) "الديناميكا الكهربائية الأوكتونيونية"، مجلة الفيزياء أ 39: 7099-7104. doi : 10.1088/0305-4470/39/22/020
  8. ↑ ف. دزونوشالييف (2008) "عدم التجميعية، والتناظر الفائق، والمتغيرات الخفية"، مجلة الفيزياء الرياضية 49: 042108 doi : 10.1063/1.2907868 ; arXiv : 0712.1647
  9. ↑ B. Wolk, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
  10. ↑ J. Baez and J. Huerta, G 2 and the rolling ball, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447 .

للمزيد من القراءة

  • آر. فوت وجي سي جوشي (1990) "التوقيع غير القياسي للزمكان، والأوتار الفائقة، وجبر التركيب المنفصل"، رسائل في الفيزياء الرياضية 19: 65-71
  • هارفي، ف. ريس (1990). سبينورات ومعايرات . سان دييغو: أكاديميك برس. ISBN 0-12-329650-1.
  • ناش، باتريك ل. (1990) "حول بنية جبر الأوكتونيون المنقسم"، Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550
  • سبرينغر، تا؛ إف دي فيلدكامب (2000). الأوكتونات، الجبر الأردني والمجموعات الاستثنائية . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-66337-1.