G 2 (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، G 2 عبارة عن ثلاث زمر لي بسيطة (شكل معقد، وشكل حقيقي مضغوط، وشكل حقيقي منقسم)، وجبر لي الخاص بهاز2،{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2},}بالإضافة إلى بعض الزمر الجبرية . وهي أصغر زمر لي البسيطة الخمس الاستثنائية . رتبة G2 هي 2 وبُعدها 14. ولها تمثيلان أساسيان ، أحدهما ببعد 7 والآخر ببعد 14.

يمكن وصف الشكل المضغوط لـ G 2 بأنه مجموعة التشاكل الذاتي لجبر الأوكتونيون أو، بشكل مكافئ، بأنه المجموعة الفرعية من SO(7) التي تحافظ على أي متجه معين مختار في تمثيله الحقيقي ذي الأبعاد الثمانية ( تمثيل الدوران ).

تاريخ

جبر ليز2{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}باعتبارها أصغر جبر لي بسيط استثنائي، كانت أول جبر لي بسيط يتم اكتشافه في محاولة لتصنيف جبر لي البسيط. في 23 مايو 1887، كتب ويلهلم كيلينج رسالة إلى فريدريك إنجلز يخبره فيها أنه وجد جبر لي بسيطًا ذا 14 بُعدًا، والذي نسميه الآنز2{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}[ 1 ]​

في عام 1893، نشر إيلي كارتان ملاحظة تصف مجموعة مفتوحة فيج5{\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}مزود بتوزيع ثنائي الأبعاد - أي حقل متغير بسلاسة من الفضاءات الفرعية ثنائية الأبعاد للفضاء المماسي - والذي يكون جبر لي الخاص بهز2{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}تظهر على شكل تناظرات متناهية الصغر. [ 2 ] في العام نفسه، وفي المجلة نفسها، لاحظ إنجل الأمر نفسه. لاحقًا، اكتُشف أن التوزيع ثنائي الأبعاد يرتبط ارتباطًا وثيقًا بكرة تتدحرج على كرة أخرى. فضاء تكوينات الكرة المتدحرجة خماسي الأبعاد، مع توزيع ثنائي الأبعاد يصف حركات الكرة أثناء تدحرجها دون انزلاق أو التواء. [ 3 ] [ 4 ]

في عام 1900، اكتشف إنجل أن الشكل الثلاثي الخطي المضاد للتناظر العام (أو الشكل 3) على فضاء متجهي معقد ذي 7 أبعاد يتم الحفاظ عليه بواسطة مجموعة متماثلة مع الشكل المعقد لـ G 2. [ 5 ]

في عام 1908، ذكر كارتان أن زمرة التشاكل الذاتي للأوكتونيونات هي زمرة لي بسيطة ذات 14 بُعدًا. [ 6 ] وفي عام 1914، ذكر أن هذا هو الشكل الحقيقي المضغوط لـ G2 . [ 7 ]

في الكتب والأوراق القديمة، يُشار أحيانًا إلى G 2 بالرمز E 2 .

الأشكال الحقيقية

توجد 3 جبر لي حقيقي بسيط مرتبط بنظام الجذور هذا:

  • الجبر الحقيقي الكامن وراء الجبر المركب G₂ له بُعد 28. يتميز هذا الجبر بوجود اقتران مركب كتشاكل خارجي، وهو متصل ببساطة. الزمرة الجزئية المدمجة القصوى لمجموعته المرتبطة هي الشكل المدمج لـ G₂ .
  • جبر لي للشكل المضغوط هو 14 بُعدًا. زمرة لي المرتبطة به ليس لها تشاكلات خارجية، وليس لها مركز، وهي متصلة ببساطة ومضغوطة.
  • جبر لي للشكل غير المتراص (المنقسم) له بُعد 14. زمرة لي البسيطة المرتبطة به لها زمرة أساسية من الرتبة 2، وزمرة التشاكل الذاتي الخارجية هي الزمرة التافهة. زمرتها الجزئية المتراصة القصوى هي SU(2) × SU(2)/(−1,−1) . ولها غطاء مزدوج غير جبري بسيط الاتصال.

الجبر

مخطط دينكين ومصفوفة كارتان

يُعطى مخطط دينكين لـ G 2مخطط دينكين لـ G 2 بواسطة .

مصفوفة كارتان الخاصة بها هي:

[2-3-12]{\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right]}

جذور G 2

نظام الجذور المتجهية الـ 12 للمعادلة G 2 في بعدين.يحتوي إسقاط مستوى كوكسيتر A 2 للرؤوس الـ 12 للمكعب الثماني الأوجه على نفس ترتيب المتجهات ثنائي الأبعاد.رسم بياني للمجموعة G2 كمجموعة فرعية من F4 و E8 مسقطة على مستوى كوكسيتر

يمكن قراءة مجموعة من الجذور البسيطة للمعادلة مباشرةً من مصفوفة كارتان أعلاه. هذه الجذور هي (2، -3 ) و( -1 ، 2)، إلا أن الشبكة الصحيحة التي تشكلها هذه الجذور ليست هي الموضحة أعلاه (لسبب واضح: لا يمكن توليد الشبكة السداسية على المستوى بواسطة متجهات صحيحة). الرسم البياني أعلاه مُستمد من زوج جذور مختلف.α=(1،0){\displaystyle \alpha =\left(1,0\right)}وβ=3(كوس⁡5π6،الخطيئة⁡5π6)=12(-3،3)\beta = \sqrt{3} \left( \cos { \frac{5 \pi}{6}}, \sin { \frac{5 \pi}{6}} \right) = \frac{1}{2} \left(-3, \sqrt{3} \right)}.

أما الجذور المتبقية (الإيجابية) فهيأ=α+β،ب=3α+β،α+أ=2α+βأندβ+ب=3α+2β{\textstyle A=\alpha +\beta ,\,B=3\alpha +\beta ,\,\alpha +A=2\alpha +\beta \,\,{\rm {and}}\,\,\beta +B=3\alpha +2\beta }.

على الرغم من أنها تمتد على فضاء ثنائي الأبعاد، كما هو موضح، إلا أنه من الأنسب اعتبارها متجهات في فضاء فرعي ثنائي الأبعاد ضمن فضاء ثلاثي الأبعاد. في هذا التحديد، يُقابل α المتجه e₁ − e₂، وβ المتجه − e₁ + 2e₂ − e₃، وA المتجه e₂ − e₃، وهكذا. في الإحداثيات الإقليدية، تبدو هذه المتجهات كما يلي:

(1, − 1,0), ( − 1,1,0)
(1,0, − ​​1), ( − 1,0,1)
(0,1, − 1), (0, − 1,1)
(2, − 1, − 1), ( − 2,1,1)
(1, − 2,1), ( − 1,2, − 1)
(1,1, − 2), ( − 1, − 1,2)

مجموعة الجذور البسيطة المقابلة هي:

e₁ − e₂ = (1, − 1,0), و − e₁+2e₂ − e₃ = ( − 1,2, − 1)

ملاحظة: يشكل α و A معًا نظام جذر مطابق لـ A₂ ، بينما النظام الذي يشكله β و B متماثل مع A₂ .

مجموعة ويل/كوكسيتر

مجموعة ويل / كوكسيتر​جي=دبليو(جي2){\displaystyle G=W(G_{2})}هي مجموعة ثنائية السطوحد6{\displaystyle D_{6}}من الرتبة 12. لديه درجة أمانة دنياμ(جي)=5{\displaystyle \mu (G)=5}.

التماثل الخاص

G 2 هي إحدى المجموعات الخاصة الممكنة التي يمكن أن تظهر كمجموعة هولونومي لمقياس ريماني . وتُسمى مشعبات هولونومي G 2 أيضًا بمشعبات G 2 .

ثابت متعدد الحدود

G 2 هي مجموعة التشاكل الذاتي لكثيرتي الحدود التاليتين في 7 متغيرات غير تبادلية.

ج1=ت2+u2+v2+w2+x2+y2+z2{\displaystyle C_{1}=t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}
ج2=تuv+wتx+ywu+zyت+vzw+xvy+uxz{\displaystyle C_{2}=tuv+wtx+ywu+zyt+vzw+xvy+uxz}(± التباديل)

وهذا مستمد من جبر الأوكتونيونات. يجب أن تكون المتغيرات غير تبادلية وإلا فإن متعددة الحدود الثانية ستكون صفرًا تمامًا.

مولدات كهربائية

بإضافة تمثيل للمولدات الـ 14 بمعاملات A و  ... و N نحصل على المصفوفة التالية: 

أλ1+⋯+شمالλ14=[0ج-بهـ-د-جيF-م-ج0أF-جي+شمالد-ك-هـ-لب-أ0-شمالمل-ك-هـ-Fشمال0-أ+ح-ب+أناج-جدجي-شمال-مأ-ح0جأناجيك-د-لب-أنا-ج0-ح-F+مهـ+لك-ج+ج-أناح0]{\displaystyle A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}={\begin{bmatrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-EL\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{bmatrix}}}

إنها بالضبط جبر لي للمجموعة

جي2={ز∈Sيا(7):ز*φ=φ،φ=ω123+ω145+ω167+ω246-ω257-ω347-ω356}{\displaystyle G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}}

يوجد 480 تمثيلاً مختلفاً لـجي2{\displaystyle G_{2}}بما يتوافق مع تمثيلات الأوكتونيونات الـ 480. الشكل المُعاير،φ{\displaystyle \varphi }يحتوي على 30 شكلاً مختلفاً، ولكل شكل 16 صيغة إشارة مختلفة. كل صيغة من صيغ الإشارة تُنتج اختلافات إشارة منجي2{\displaystyle G_{2}}وكل منها عبارة عن تشاكل ذاتي لجميع الأوكتونيونات الستة عشر المقابلة لها. وبالتالي، لا يوجد في الواقع سوى 30 تمثيلاً مختلفًا لـجي2{\displaystyle G_{2}}يمكن بناء كل هذه باستخدام جبر كليفورد [ 8 ] باستخدام شكل قابل للعكس3هـ1234567±φ{\displaystyle 3e_{1234567}\pm \varphi }بالنسبة للأوكتونيونات. بالنسبة للاختلافات الأخرى الموقعة لـφ{\displaystyle \varphi }، يحتوي هذا الشكل على بواقي تصنف 6 جبرًا غير ترابطي آخر يظهر جزئيًاجي2{\displaystyle G_{2}}التناظر. معايرة مماثلة فيSصأنان(15){\displaystyle \mathrm {دوران} (15)}يؤدي إلى السدينيونات وما لا يقل عن 11 جبرًا آخر ذا صلة.

التمثيلات

تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ G 2 حتى البعد 77 مع مصفوفة الإسقاط المرتبطة بها.

تُعطى خصائص التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي الحقيقي والمركب ومجموعات لي بواسطة صيغة خصائص فايل . أبعاد أصغر التمثيلات غير القابلة للاختزال هي (المتتالية A104599 في OEIS ) :

1، 7، 14، 27، 64، 77 (مرتين)، 182، 189، 273، 286، 378، 448، 714، 729، 748، 896، 924، 1254، 1547، 1728، 1729، 2079 (مرتين)، 2261، 2926، 3003، 3289، 3542، 4096، 4914، 4928 (مرتين)، 5005، 5103، 6630، 7293، 7371، 7722، 8372، 9177، 9660، 10206، 10556، 11571، 11648، 12096، 13090....

التمثيل ذو الأبعاد الـ 14 هو التمثيل المرافق ، والتمثيل ذو الأبعاد الـ 7 هو تأثير G 2 على الأوكتونيونات التخيلية.

هناك تمثيلان غير متماثلين وغير قابلين للاختزال بأبعاد 77، 2079، 4928، 30107، إلخ. التمثيلات الأساسية هي تلك ذات الأبعاد 14 و7 (المقابلة للعقدتين في مخطط دينكين بالترتيب الذي يشير فيه السهم الثلاثي من الأول إلى الثاني).

وصف فوغان (1994) التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال (ذات الأبعاد اللانهائية) للشكل الحقيقي المنقسم لـ G 2 .

يتم عرض تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ G 2 حتى البعد 77 على اليمين.

المجموعات المنتهية

المجموعة G₂ ( q ) هي نقاط المجموعة الجبرية G₂ على الحقل المنتهي Fₖ . قدّم ليونارد يوجين ديكسون هذه المجموعات المنتهية لأول مرة في كتابه (1901) لقيم q الفردية ، وفي كتابه (1905) لقيم q الزوجية . رتبة G₂ ( q ) هي q₆ ( q₆ - 1)( q₂ - 1) . عندما q ≠ 2 ، تكون المجموعة بسيطة ، وعندما q = 2 ، يكون لها مجموعة فرعية بسيطة من الدليل 2 متماثلة مع 2A₂ (3 ) ، وهي مجموعة التشاكل الذاتي ذات الرتبة القصوى للأوكتونيونات. تم بناء مجموعة جانكو J₁ لأول مرة كمجموعة فرعية من G₂ ( 11). قدم ري (1960) مجموعات ري الملتوية 2 G 2 ( q ) من الرتبة q 3 ( q 3 + 1)( q − 1) لـ q = 3 2 n +1 ، وهي قوة فردية للعدد 3.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أغريكولا، إيلكا (2008). "القديم والجديد في المجموعة الاستثنائية G 2 " (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 55 (8): 922-929 . MR 2441524 . 
  2. ^ إيلي كارتان (1893). "Sur la Structure des groupes simples Finis et continus". سي آر أكاد. الخيال العلمي . 116 : 784- 786.
  3. ↑ جيل بور وريتشارد مونتغمري (2009). "G 2 و"التوزيع المتداول"" . L'Enseignement Mathématique . 55 : 157– 196.arXiv : math/0612469 . doi : 10.4171/lem/55-1-8 . S2CID 119679882 . 
  4. ↑ جون بايز وجون هويرتا (2014). "G 2 والكرة المتدحرجة". معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 366 ( 10): 5257-5293 . arXiv : 1205.2447 . doi : 10.1090/s0002-9947-2014-05977-1 .
  5. ^ فريدريش إنجل (1900). "Ein neues, dem الخطي Komplexe Analikes Gebilde". لايبز. بير . 52 : 63 – 76 ، 220 – 239.
  6. ^ إيلي كارتان (1908). “مجمعات الأسماء”. موسوعة علوم الرياضيات . باريس: غوتييه فيلار. ص 329 – 468. 
  7. ^ إيلي كارتان (1914)، “Les groupes reels simplesfinis et continus”، آن. الخيال العلمي. مدرسة نورم. رشفة. ، 31 : 255 – 262
  8. ↑ ويلموت، جي بي (2023)، بناء G2 باستخدام جبر كليفورد
انظر القسم 4.1: G 2 ؛ نسخة HTML متاحة على الإنترنت على الرابط http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .