الرباعي المنقسم

في الجبر المجرد ، تشكل الرباعيات المنقسمة أو الرباعيات المشتركة بنية جبرية قدمها جيمس كوكل عام 1849 تحت الاسم الأخير. وهي تشكل جبرًا ترابطيًا من البعد الرابع على الأعداد الحقيقية .

بعد ظهور تعريفات الحلقات والجبر الخالية من الإحداثيات في القرن العشرين ، ثبت أن جبر الكواترنيونات المنقسمة متماثل مع حلقة المصفوفات الحقيقية من الرتبة 2×2 . لذا، يمكن اختزال دراسة الكواترنيونات المنقسمة إلى دراسة المصفوفات الحقيقية، وهذا قد يفسر قلة الإشارات إليها في الأدبيات الرياضية للقرنين العشرين والحادي والعشرين. كما أن الكواترنيونات المنقسمة مكافئة لجبر كليفورد Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R ) على الأعداد الحقيقية، وبالتالي فإن دراسة الكواترنيونات المنقسمة تندرج ضمن دراسة جبر كليفورد والجبر الهندسي في أدبيات الرياضيات والفيزياء .

الأعداد الرباعية المنقسمة هي تركيبات خطية (بمعاملات حقيقية) لأربعة عناصر أساسية 1، i، j، k التي تحقق قواعد الضرب التالية:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

من خلال خاصية الترابط ، فإن هذه العلاقات تعني

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

وأيضًا ijk = 1 .

إذن، تُشكّل الكواترنيونات المنقسمة فضاءً متجهيًا حقيقيًا ذا بُعد أربعة، مع المجموعة { 1، i، j، k} كأساس . كما تُشكّل حلقة غير تبديلية ، وذلك بتوسيع قواعد الضرب المذكورة أعلاه باستخدام خاصية التوزيع لتشمل جميع الكواترنيونات المنقسمة.

المصفوفات المربعة

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

تُحقق هذه المصفوفات جدول الضرب نفسه الذي تُحققه الكواترنيونات المنقسمة المناظرة. وبما أن هذه المصفوفات تُشكل أساسًا للمصفوفات ثنائية الأبعاد، فإن الدالة الخطية الوحيدة التي تُسقط 1، i، j، k إلى${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$(على التوالي) يؤدي إلى تماثل جبري من الرباعيات المنقسمة إلى المصفوفات الحقيقية اثنين في اثنين.

تشير قواعد الضرب المذكورة أعلاه إلى أن العناصر الثمانية 1، i، j، k، −1، −i، −j، −k تشكل مجموعة تحت هذا الضرب، وهي متماثلة مع المجموعة ثنائية السطوح D ₄ ، وهي مجموعة التناظر للمربع .

لتوضيح ذلك، تخيل مربعًا رؤوسه هي النقاط التي${\displaystyle x{\text{,}}\,y}$تكون الإحداثيات إما -1 أو +1 بحيث تكون الرؤوس${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$المربع المذكور باتجاه عقارب الساعة من السمت +45 درجة هو$${\displaystyle {\bigg \{}\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}+1\\+1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}+1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}={\begin{pmatrix}-1\\+1\end{pmatrix}}{\bigg \}}}$$ المصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$له محدد${\displaystyle +1}$ويعطي دورانًا باتجاه عقارب الساعة بمقدار ربع دورة، لأن${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{1}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{2}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{3}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{1}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{4}}$المصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$محددها -1 وهي انعكاس حول القطر الأول. وهي تثبت الرؤوس${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ويعكس الرؤوس${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$يتداخلان مع بعضهما البعض. المصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {ك}}}$هو انعكاس حول المحور السيني .${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{3}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$معكوس مصفوفة الوحدة هو مربع المصفوفة${\displaystyle \mathbf {i} }$، له محدد${\displaystyle +1}$ويدير المربع بزاوية 180 درجة حول نقطة الأصل.${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{3}}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$.

على غرار الكواترنيونات التي قدمها هاميلتون عام 1843، تُشكل الكواترنيونات المنقسمة جبرًا ترابطيًا حقيقيًا رباعي الأبعاد . ولكن على غرار الجبر الحقيقي للمصفوفات 2×2 - وعلى عكس الجبر الحقيقي للكواترنيونات - تحتوي الكواترنيونات المنقسمة على قواسم صفرية غير تافهة ، وعناصر معدومة القوة ، وعناصر متساوية القوة . (على سبيل المثال، 1/2 ( 1 + j) هو قاسم صفري متساوي القوة، و i − j عنصر معدوم القوة ). وباعتباره جبرًا على الأعداد الحقيقية ، فإن جبر الكواترنيونات المنقسمة متماثل مع جبر المصفوفات الحقيقية 2×2 وفقًا للتماثل المُعرَّف أعلاه.

يُتيح هذا التشاكل تحديد كل رباعي مُجزأ بمصفوفة 2×2. لذا، فإن كل خاصية من خواص الرباعيات المُجزأة تُقابل خاصية مماثلة للمصفوفات، والتي غالبًا ما تُسمى بأسماء مختلفة.

المرافق للرباعي المنقسم q = w + x i + y j + z k هو q ^∗ = w − x i − y j − z k . وبالنسبة للمصفوفات، فإن المرافق هو مصفوفة العوامل المرافقة التي يتم الحصول عليها عن طريق تبديل عناصر القطر الرئيسي وتغيير إشارة العنصرين الآخرين.

حاصل ضرب الكواترنيون المنقسم مع مرافقه هو الشكل التربيعي المتناحي :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

والذي يسمى معيار الرباعي المنقسم أو محدد المصفوفة المرتبطة به.

الجزء الحقيقي من الرباعي المنفصل q = w + x i + y j + z k هو w = ( q ^∗ + q )/2 . وهو يساوي أثر المصفوفة المرتبطة به.

معيار حاصل ضرب اثنين من الكواترنيونات المنقسمة هو حاصل ضرب معياريهما. وبالمثل، فإن محدد حاصل ضرب مصفوفتين هو حاصل ضرب محدديهما. هذه الخاصية تعني أن الكواترنيونات المنقسمة تُشكل جبرًا تركيبيًا . ولأن هناك كواترنيونات منقسمة غير صفرية ذات معيار صفري، فإن الكواترنيونات المنقسمة تُشكل "جبرًا تركيبيًا منقسمًا" - ومن هنا جاء اسمها.

للمصفوفة الرباعية المنقسمة ذات المعيار غير الصفري معكوس ضربي ، وهو q ^* / N ( q ) . وبالنسبة للمصفوفات، يُكافئ هذا قاعدة كرامر التي تنص على أن المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفري، وفي هذه الحالة، يكون معكوس المصفوفة هو خارج قسمة المصفوفة المرافقة على المحدد. المصفوفة المرافقة هي منقولة مصفوفة العوامل المرافقة ، وتُعرف أيضًا بالمصفوفة المرافقة أو الملحقة.

يُظهر التشاكل بين الكواترنيونات المنقسمة والمصفوفات الحقيقية 2×2 أن المجموعة الضربية للكواترنيونات المنقسمة ذات المعيار غير الصفري متماثلة مع${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$ومجموعة الكواترنيونات المنقسمة ذات المعيار 1 متماثلة مع${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

هندسيًا، يمكن مقارنة الكواترنيونات المنقسمة بكواترنيونات هاميلتون كحزم من المستويات . في كلتا الحالتين، تشكل الأعداد الحقيقية محور الحزمة. في كواترنيونات هاميلتون، توجد كرة من الوحدات التخيلية، وأي زوج من الوحدات التخيلية المتقابلة يُولّد مستوىً مركبًا مع خط الأعداد الحقيقية. أما بالنسبة للكواترنيونات المنقسمة، فتوجد قطع زائدية من الوحدات الزائدية والتخيلية تُولّد مستويات مركبة منقسمة أو مستويات مركبة عادية، كما هو موضح أدناه في قسم "الطبقات" .

يوجد تمثيل للأعداد الرباعية المنقسمة كجبر فرعي ترابطي أحادي للمصفوفات 2×2 ذات المدخلات المركبة . ويمكن تعريف هذا التمثيل بواسطة تشاكل الجبر الذي يحول العدد الرباعي المنقسم w + x i + y j + z k إلى المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

هنا، i ( مائل ) هي الوحدة التخيلية ، لا ينبغي الخلط بينها وبين عنصر أساس الكواترنيون المنقسم i ( روماني قائم ).

صورة هذا التشاكل هي حلقة المصفوفات المكونة من المصفوفات من الشكل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

حيث يكون النص العلوي${\displaystyle ^{*}}$يشير إلى المرافق المركب .

يقوم هذا التشاكل بتحويل الأيونات الرباعية المنقسمة i و j و k على التوالي إلى المصفوفات

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

يتم استكمال تماثل الجبر باستخدام ضرب المصفوفات للتحقق من المتطابقات التي تتضمن i و j و k. على سبيل المثال،

${\displaystyle jk={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i.}$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة للرباعي المنقسم المُمثل كمصفوفة معقدة، فإن المرافق هو مصفوفة العوامل المرافقة، والمعيار هو المحدد.

مع تمثيل الكواترنيونات المنقسمة كمصفوفات معقدة، تشكل المصفوفات ذات المحدد 1 المجموعة الوحدوية الخاصة SU(1,1) ، والتي تستخدم لوصف الحركات الزائدية لنموذج قرص بوانكاريه في الهندسة الزائدية . ^{[ 1 ]}

يمكن توليد الكواترنيونات المنقسمة باستخدام بناء كايلي-ديكسون المعدل ^{[ 2 ]،} على غرار طريقة إل إي ديكسون وأدريان ألبرت ، لجبر القسمة C و H و O. قاعدة الضرب $${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$ يُستخدم عند إنتاج الناتج المضاعف في حالات الانقسام الحقيقي.${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$لهذا السبب. $${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$ إذا كان a و b عددين مركبين منقسمين و quaternion منقسم${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

ثم$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

في هذا القسم، يتم دراسة وتصنيف الجبر الجزئي الحقيقي الناتج عن رباعي منقسم واحد.

ليكن p = w + x i + y j + z k رباعيًا منقسمًا . جزؤه الحقيقي هو w = ½ ( p + p ^* ) . ليكن q = p – w = ½ ( p – p * ) جزؤه غير الحقيقي ^. لدينا q * ⁼ –q ، وبالتالي${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$ويترتب على ذلك أن p ² هو عدد حقيقي إذا وفقط إذا كان p إما عددًا حقيقيًا ( q = 0 و p = w ) أو رباعيًا منقسمًا غير حقيقي تمامًا ( w = 0 و p = q ).

بنية الجبر الفرعي${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ينتج عن p بشكل مباشر. لدينا

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

وهذا جبر تبديلي . بُعده اثنان إلا إذا كان p عددًا حقيقيًا (في هذه الحالة، يكون الجبر الجزئي ببساطة${\displaystyle \mathbb {R} }$).

العناصر غير الحقيقية لـ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$تكون مربعاتها حقيقية على الصورة aq حيث${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

يجب النظر في ثلاث حالات، والتي سيتم تفصيلها في الأقسام الفرعية التالية.

الوحدات التخيلية

هذه هي الحالة التي يكون فيها N ( q ) > 0. بفرض${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ يمتلك المرء

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ويترتب على ذلك أن 1/ nq ينتمي إلى القطع الزائد ذي الورقتين من المعادلة${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$لذلك، توجد أعداد حقيقية n و t و u بحيث يكون 0 ≤ t < 2π و

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

هذا عبارة عن معلمات لجميع الكواترنيونات المنقسمة التي يكون لجزءها غير الحقيقي معيار موجب.

وهذا أيضاً تمثيلٌ معياريٌّ للجبر الجزئي المقابل بواسطة أزواج النقاط المتقابلة لسطح زائد مكون من ورقتين: الكواترنيونات المنقسمة من الشكل${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$تشكل قطعًا زائدًا من ورقتين؛ جبر فرعي مولد بواسطة رباعي منقسم بجزء غير حقيقي ذي معيار موجب يحتوي على نقطتين متقابلتين بالضبط على هذا القطع الزائد، واحدة على كل ورقة؛ ولا يحتوي القطع الزائد على أي نقطة أخرى.

الجبر الناتج عن رباعي منقسم ذي جزء غير حقيقي ذي معيار موجب متماثل مع${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$وإلى الميدان${\displaystyle \mathbb {C} }$من الأعداد المركبة .

الوحدات الزائدية

هذه هي الحالة التي يكون فيها N ( q ) < 0. بفرض${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ يمتلك المرء

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

يستنتج من ذلك أن 1 / nq ينتمي إلى القطع الزائد ذي الورقة الواحدة للمعادلة y² ⁺ z² - ^x² = 1. وبالتالي ، توجد أعداد حقيقية ⁿ و t و u بحيث يكون 0 ≤ t < 2π و

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

هذا عبارة عن معلمات لجميع الكواترنيونات المنقسمة التي يكون لجزءها غير الحقيقي معيار سلبي.

وهذا أيضًا تمثيلٌ معياريٌّ للجبر الجزئي المقابل بواسطة أزواج النقاط المتقابلة لسطح زائد ذي ورقة واحدة: الكواترنيونات المنقسمة من الشكل${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$تشكل قطعًا زائدًا من ورقة واحدة؛ جبر فرعي مولد بواسطة رباعي منقسم بجزء غير حقيقي ذي معيار سالب يحتوي على نقطتين متقابلتين بالضبط على هذا القطع الزائد؛ ولا يحتوي القطع الزائد على أي نقطة أخرى.

الجبر الناتج عن رباعي منقسم ذي جزء غير حقيقي ذي معيار سالب متماثل مع${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$وإلى حلقة الأعداد المركبة المنقسمة . وهي متماثلة أيضًا (كجبر) مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بواسطة عملية الربط المحددة بواسطة ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

تم تطبيق الكواترنيونات المنقسمة على توازن الألوان ^{[ 3 ].} يشير النموذج إلى جبر جوردان للمصفوفات المتناظرة التي تمثل الجبر. يوفق النموذج بين رؤية الألوان الثلاثية ومبدأ هيرينغ للتضاد ، ويستخدم نموذج كايلي-كلاين للهندسة الزائدية لحساب المسافات اللونية.

تم تقديم الكواتيرنيونات لأول مرة (تحت هذا الاسم) ^{[ 4 ]} في عام 1849 من قبل جيمس كوكل في مجلة لندن - إدنبرة - دبلن الفلسفية . وقد تم استذكار الأوراق التمهيدية التي كتبها كوكل في قائمة المراجع لعام 1904 ^{[ 5 ]} لجمعية الكواتيرنيون .

في عام 1878، وصف دبليو كيه كليفورد تقريبًا تمثيل الكواترنيونات المنقسمة باستخدام المصفوفات: ^{[ 6 ]} استخدم K للتعبير عن الوحدة التخيلية${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$العيب الوحيد كان غياب علامة السالب في المعادلة

${\displaystyle JK={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-I.}$

أطلق ألكسندر ماكفارلين على بنية متجهات الكواترنيون المنقسمة اسم النظام الكروي الخارجي عندما كان يتحدث في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900. ^{[ 7 ]} تناول ماكفارلين "النظير القطعي الزائد للتحليل الكروي" في مقال نُشر عام 1910 بعنوان "توحيد وتطوير مبادئ جبر الفضاء" في نشرة جمعية الكواترنيون . ^{[ 8 ]}

قارن هانز بيك تحويلات الكواترنيون المنقسمة بخاصية تبديل الدوائر لتحويلات موبيوس في عام 1910. ^{[ 9 ]} كما تم ذكر بنية الكواترنيون المنقسمة بإيجاز في حوليات الرياضيات . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• تُدرس المتشعبات ذات البنى شبه الرباعية (إيفانوف وزامكوفوي 2005، موهاوبت 2006) في الهندسة التفاضلية ونظرية الأوتار . في أدبيات شبه الرباعية، يُستبدل k بـ − k .
• النظام خارج الكروي (ماكفارلين 1900)
• الرباعيات المنقسمة (روزنفيلد 1988) ^{[ 12 ]}
• الأنتي كواتيرنيونات (روزنفيلد 1988)
• الأعداد الرباعية الزائفة (ياغلوم 1968 ^{[ 13 ]} روزنفيلد 1988)

• الرباعيات المزدوجة
• مصفوفات باولي
• جبر الكواتيرنيون
• ثنائيات رباعية منقسمة
• الأوكتوني المنقسم

• برودي، دورجي سي ، وإيفا-ماريا غريف . "حول الميكانيكا المعقدة والأعداد الرباعية المشتركة". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• إيفانوف، ستيفان؛ زامكوفوي، سيميون (2005)، "المشعبات الباراهيرميتية والباراكواترنيونية"، الهندسة التفاضلية وتطبيقاتها 23 ، ص  205-234 ، arXiv : math.DG/ 0310415 ، MR 2158044 . 
• موهاوبت، توماس (2006)، "تطورات جديدة في الهندسة الخاصة"، arXiv : hep-th/0602171 .
• أوزدمير، م. (2009) "جذور الرباعي المنقسم"، رسائل الرياضيات التطبيقية 22:258 – 63.
• أوزدمير، م. و أ. أ. إرجين (2006) "الدورانات مع الكواترنيونات الزمنية في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد"، مجلة الهندسة والفيزياء 56: 322 – 36.
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) بعض الخصائص الجبرية والتحليلية لجبر الكوكواتيرنيون ، Advances in Applied Clifford Algebras .