خاصية الجمع الفرعي القوية للإنتروبيا الكمومية

في نظرية المعلومات الكمومية، تُعرف خاصية الجمع الفرعي القوي للإنتروبيا الكمومية ( SSA ) بأنها العلاقة بين إنتروبيات فون نيومان لمختلف الأنظمة الكمومية الفرعية لنظام كمومي أكبر يتكون من ثلاثة أنظمة فرعية (أو لنظام كمومي واحد بثلاث درجات حرية). وهي نظرية أساسية في نظرية المعلومات الكمومية الحديثة . وقد افترضها كل من د. و. روبنسون ود . رويل ^{[ 1 ]} عام 1966، ثم أ. إ. لانفورد الثالث ود. و. روبنسون ^{[ 2 ]} عام 1968، وأثبتها إ. هـ. ليب وم . ب. روسكاي عام 1973 ^{[ 3 ]} ، استنادًا إلى نتائج توصل إليها ليب في إثباته لفرضية ويغنر-ياناسي-دايسون ^{[ 4 ] .}

لطالما عُرفت النسخة الكلاسيكية من نظرية SSA وحظيت بتقدير واسع في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية ونظرية المعلومات. يُعدّ إثبات هذه العلاقة في الحالة الكلاسيكية سهلاً نسبياً، بينما يُصبح الأمر صعباً في الحالة الكمومية نظراً لعدم تبادلية مصفوفات الكثافة المُختزلة التي تصف الأنظمة الكمومية الفرعية.

تتضمن بعض المراجع المفيدة هنا ما يلي:

• " الحوسبة الكمومية والمعلومات الكمومية " ^{[ 5 ]}
• "الإنتروبيا الكمومية واستخدامها" ^{[ 6 ]}
• عدم المساواة في الأثر والإنتروبيا الكمومية: دورة تمهيدية ^{[ 7 ]}

نستخدم الرموز التالية في جميع ما يلي: يُرمز إلى فضاء هيلبرت بـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، و${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$يشير إلى المؤثرات الخطية المحدودة على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يُشار إلى حاصل ضرب الموترات برموز مرتفعة، على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$يُشار إلى الأثر بـ${\displaystyle {\rm {Tr}}}$.

تتعلق خاصية الجمع الجزئي العادية ^{[ 9 ]} بفضائين فقط${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ومصفوفة الكثافة${\displaystyle \rho ^{12}}$ينص على ذلك

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

This inequality is true, of course, in classical probability theory, but the latter also contains the theorem that the conditional entropies${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ and ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$ are both non-negative. In the quantum case, however, both can be negative, e.g. ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ can be zero while ${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$. Nevertheless, the subadditivity upper bound on ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ continues to hold. The closest thing one has to ${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$ is the Araki–Lieb triangle inequality^[9]

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

which is derived in ^[9] from subadditivity by a mathematical technique known as purification.

Suppose that the Hilbert space of the system is a tensor product of three spaces: ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$. Physically, these three spaces can be interpreted as the space of three different systems, or else as three parts or three degrees of freedom of one physical system.

Given a density matrix ${\displaystyle \rho ^{123}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, we define a density matrix ${\displaystyle \rho ^{12}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ as a partial trace: ${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$. Similarly, we can define density matrices: ${\displaystyle \rho ^{23}}$, ${\displaystyle \rho ^{13}}$, ${\displaystyle \rho ^{1}}$, ${\displaystyle \rho ^{2}}$, ${\displaystyle \rho ^{3}}$.

اقترح إي بي ويجنر وإم إم ياناس ^{[ 14 ]} تعريفًا مختلفًا للإنتروبيا، والذي تم تعميمه بواسطة فريمان دايسون .

تقعر معلومات الانحراف p

وقد افترض كل من إي بي ويغنر وإم إم ياناس في ^{[ 15 ]} أن${\displaystyle p}$- معلومات الانحراف تكون مقعرة كدالة لمصفوفة الكثافة${\displaystyle \rho }$مقابل مبلغ ثابت${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$.

منذ المصطلح${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$بما أن المنحنى مقعر (أي أنه خطي)، فإن الفرضية تختزل إلى مسألة تقعر المنحنى.${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$كما ذُكر في ^{[ 4 ]،} فإن هذه الفرضية (لكل${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$) يستلزم SSA، وقد تم إثباته لـ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$في، ^{[ 15 ]} ولجميع${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$في ^{[ 4 ]} بالشكل الأكثر عمومية التالي: دالة لمتغيرين مصفوفيين

${\displaystyle A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K}$

1

مقعر بشكل مشترك في${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$ متى${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$و${\displaystyle p+r\leq 1}$.

تُعد هذه النظرية جزءًا أساسيًا من إثبات SSA في ^{[ 3 ] .}

في ورقتهم البحثية ^{[ 15 ]،} افترض كل من إي بي ويغنر وإم إم ياناس أيضًا خاصية الجمع الجزئي لـ${\displaystyle p}$- تحريف المعلومات لـ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$، وهو ما تم دحضه من قبل هانسن ^{[ 16 ]} من خلال تقديم مثال مضاد.

وقد أشير في ^{[ 9 ]} إلى أن العبارة الأولى أدناه تعادل SSA، وأظهر أ. أولمان في ^{[ 17 ]} التكافؤ بين العبارة الثانية أدناه و SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$لاحظ أن الانتروبيا الشرطية${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$و${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$ليس بالضرورة أن يكون كلاهما غير سالب.
• الخريطة${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$محدب.

تم إثبات كلا هذين البيانين بشكل مباشر في ^{[ 3 ] .}

كما أشار ليندبلاد ^{[ 18 ]} وأولمان ^{[ 19 ]} ، إذا أخذنا في المعادلة ( 1 )${\displaystyle K=1}$و${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$و ${\displaystyle B=\sigma }$ويختلف في${\displaystyle p}$في${\displaystyle p=0}$، نحصل على التحدب المشترك للإنتروبيا النسبية : أي، إذا${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$، و${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$، ثم

${\displaystyle S{\Bigl (}\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S(\rho _{k}||\sigma _{k}),}$

2

أين${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$مع${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$.

تتناقص الإنتروبيا النسبية بشكل رتيب في ظل عمليات الحفاظ على الأثر الموجب تمامًا (CPTP).${\displaystyle {\mathcal {N}}}$حول مصفوفات الكثافة،

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

تُسمى هذه المتباينة رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية. وبفضل نظرية ستينسبرينغ للتحليل ، تُعدّ هذه المتباينة نتيجة لاختيار مُحدد لخريطة CPTP - وهي خريطة أثر جزئية موصوفة أدناه.

تُعد عملية التتبع الجزئي أهم فئة أساسية من خرائط CPTP${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$، مقدمة من${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$. ثم

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),}$

3

وهو ما يسمى رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية تحت الأثر الجزئي .

لمعرفة كيف يترتب ذلك على التحدب المشترك للإنتروبيا النسبية، لاحظ أن ${\displaystyle T}$يمكن كتابتها في تمثيل أولمان على النحو التالي:

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

لبعض محدود${\displaystyle N}$ومجموعة من المصفوفات الوحدوية على${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$(أو بدلاً من ذلك، التكامل على مقياس هار ). بما أن الأثر (وبالتالي الإنتروبيا النسبية) ثابت تحت التحويلات الوحدوية، فإن المتباينة ( 3 ) تتبع الآن من ( 2 ). تعود هذه النظرية إلى ليندبلاد ^{[ 18 ]} وأولمان ^{[ 17 ]،} وبرهانهما هو البرهان المقدم هنا.

يتم الحصول على SSA من ( 3 ) مع${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$تم استبدالها بـ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ و ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$استبدال${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$. يأخذ${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$ثم يصبح ( 3 )

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

لذلك،

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

وهو ما يُعرف بـ SSA. وبالتالي، فإن رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية (التي تتبع من ( 1 )) تستلزم SSA.

جميع المتباينات المهمة المذكورة أعلاه متكافئة فيما بينها، ويمكن إثباتها مباشرةً. المتباينات التالية متكافئة:

• رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية (MONO)؛
• رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية في ظل الأثر الجزئي (MPT)؛
• خاصية الجمع الفرعي القوي (SSA)؛
• التحدب المشترك للإنتروبيا النسبية الكمومية (JC)؛

تُظهر النتائج التالية التكافؤ بين هذه المتباينات.

• كثرة الوحيدات${\displaystyle \Rightarrow }$MPT: يتبع ذلك لأن MPT هي حالة خاصة من MONO؛
• MPT${\displaystyle \Rightarrow }$MONO: تم عرضه بواسطة ليندبلاد، ^{[ 20 ]} باستخدام تمثيل الخرائط العشوائية كأثر جزئي على نظام مساعد؛
• MPT${\displaystyle \Rightarrow }$SSA: يتبع ذلك من خلال اختيار محدد للحالات الثلاثية في MPT، الموصوفة في القسم أعلاه، "رتابة الإنتروبيا النسبية الكمومية"؛
• إدارة الضمان الاجتماعي${\displaystyle \Rightarrow }$العلاج الطبيعي الاحترافي: عن طريق الاختيار${\displaystyle \rho _{123}}$لكي تكون الخريطة قطرية كتلة، يمكن للمرء أن يثبت أن SSA تعني أن الخريطة

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$محدب. في ^{[ 3 ]} لوحظ أن هذا التحدب ينتج عنه MPT؛

• MPT${\displaystyle \Rightarrow }$JC: كما ذُكر أعلاه، باختيار${\displaystyle \rho _{12}}$(وبالمثل،${\displaystyle \sigma _{12}}$) لتكون مصفوفة قطرية كتلية مع كتل${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$(و${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$، يكون الأثر الجزئي عبارة عن مجموع على الكتل بحيث${\displaystyle \rho$ :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}} ، لذلك من MPT يمكن للمرء الحصول على JC؛
• JC${\displaystyle \Rightarrow }$باستخدام "عملية التنقية"، لاحظ أراكي وليب ^{[ 9 ] [ 21 ]} أنه يمكن الحصول على متباينات جديدة مفيدة من المتباينات المعروفة. من خلال التنقية${\displaystyle \rho _{123}}$ل${\displaystyle \rho _{1234}}$يمكن إثبات أن SSA مكافئ لـ

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \rho _{124}}$إذا كان نقياً، فإذن${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$و${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$وبالتالي، فإن المساواة صحيحة في المتباينة أعلاه. وبما أن النقاط القصوى للمجموعة المحدبة لمصفوفات الكثافة هي حالات نقية، فإن SSA تتبع من JC؛

انظر ^{[ 21 ] [ 22 ]} لمزيد من المناقشة.

وجد كل من إي إتش ليب وإي إيه كارلين حد خطأ صريح في متباينة SSA، ^{[ 10 ]} وهو،

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

لو${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$و${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$وكما هو الحال دائمًا بالنسبة لإنتروبيا شانون الكلاسيكية، فإن هذه المتباينة لا تُضيف شيئًا. أما بالنسبة لإنتروبيا الكم، فمن الممكن تمامًا أن تُحقق الإنتروبيات الشرطية الشروط التالية:${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$أو${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$(ولكن ليس كلاهما أبدًا!). ثم، في هذا النظام "الكمي للغاية"، توفر هذه المتباينة معلومات إضافية.

الثابت 2 هو الأمثل، بمعنى أنه بالنسبة لأي ثابت أكبر من 2، يمكن للمرء أن يجد حالة يتم فيها انتهاك المتباينة مع هذا الثابت.

في ورقته البحثية ^{[ 26 ]} درس آي. كيم امتدادًا للمؤثر الخاص بالجمعية الفرعية القوية، وأثبت المتباينة التالية:

بالنسبة لحالة ثلاثية الأجزاء (مصفوفة الكثافة) ${\displaystyle \rho ^{123}}$على${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$،

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

يستند برهان هذه المتباينة إلى نظرية إفروس ^{[ 27 ]} ، حيث تُختار دوال ومؤثرات محددة لاستنتاج المتباينة المذكورة أعلاه. يصف إم بي روسكاي هذا العمل بالتفصيل في ^{[ 28 ]} ، ويناقش كيفية إثبات فئة واسعة من متباينات المصفوفات الجديدة في حالتي المصفوفة الثلاثية والثنائية عن طريق أخذ أثر جزئي على جميع الفضاءات باستثناء فضاء واحد.

أُثبت تعزيزٌ كبيرٌ لخاصية الجمع الفرعي القوي في عام 2014 على يد عمر فوزي وريناتو رينر ، ^{[ 29 ]} والذي جرى تحسينه لاحقًا على يد مارك وايلد وزملاؤه. ^{[ 30 ] [ 31 ]} وفي عام 2017، ^{[ 32 ]} تبيّن أنه يمكن اعتبار قناة الاستعادة هي خريطة استعادة بيتز الأصلية. لهذه التحسينات في خاصية الجمع الفرعي القوي تفسيرات فيزيائية من حيث قابلية الاستعادة، بمعنى أنه إذا كانت المعلومات المتبادلة الشرطية${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$حالة كمومية ثلاثية الأجزاء${\displaystyle \rho _{ABE}}$إذا كانت القيمة قريبة من الصفر، فمن الممكن إجراء عملية استعادة القناة${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$(من النظام E إلى AE) بحيث${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$وبالتالي، فإن هذه النتائج تعمم شروط المساواة الدقيقة المذكورة أعلاه.

• إنتروبيا فون نيومان
• الإنتروبيا الكمومية المشروطة
• المعلومات المتبادلة الكمومية
• تباعد كولباك-لايبير