منتج فرعي مباشر

في الرياضيات ، وخاصة في مجالات الجبر المجرد المعروفة بالجبر الشامل ، ونظرية الزمر ، ونظرية الحلقات ، ونظرية الوحدات ، يُعرف الضرب الجزئي المباشر بأنه جبر جزئي من الضرب المباشر يعتمد كليًا على جميع عوامله، دون أن يكون بالضرورة هو الضرب المباشر الكامل. وقد قدم بيركوف هذا المفهوم عام ١٩٤٤، معممًا بذلك الحالة الخاصة التي طرحتها إيمي نوثر للفكرة (ونتيجة التفكيك) للحلقات النويثرية، وقد أثبت أنه تعميم قوي لمفهوم الضرب المباشر.

الضرب الفرعي المباشر هو جبر فرعي (بمعنى الجبر الشامل ) A للضرب المباشر Π _i A _i بحيث يكون كل إسقاط مستحث (المركب p _j s : A → A _j للإسقاط p _j : Π _i A _i → A _j مع تضمين الجبر الفرعي s : A → Π _i A _i ) شاملاً .

التمثيل المباشر ( الفرعي ) للجبر A هو ناتج مباشر (فرعي) متماثل مع A.

يُطلق على الجبر اسم " غير قابل للاختزال بشكل مباشر " إذا لم يكن قابلاً للتمثيل بشكل مباشر بواسطة جبر "أبسط" (بصورة رسمية، إذا كان أحد الإسقاطات في أي تمثيل مباشر متماثلاً). وتُشبه الجبر غير القابل للاختزال بشكل مباشر بالنسبة للجبر الناتج بشكل مباشر، الأعداد الأولية بالنسبة لضرب الأعداد الصحيحة.

أثبت بيركوف (1944) أن كل جبر تكون جميع عملياته ذات عدد محدود من العمليات متماثل مع حاصل ضرب فرعي مباشر لجبر غير قابل للاختزال بشكل فرعي.

• كل مجموعة تبديل هي ناتج فرعي مباشر لقيودها على مداراتها .
• يمكن تمثيل أي شبكة توزيعية L بشكل غير مباشر كجبر فرعي لقوة مباشرة للشبكة التوزيعية ثنائية العناصر. ويمكن اعتبار ذلك صياغة جبرية لإمكانية تمثيل L كمجموعة من المجموعات المغلقة تحت عمليتي الاتحاد والتقاطع، وذلك من خلال تفسير القوة المباشرة نفسها كمجموعة قوى. في الحالة المحدودة، يكون هذا التمثيل مباشرًا (أي القوة المباشرة بأكملها) إذا وفقط إذا كانت L شبكة مكملة ، أي جبرًا بوليانيًا.
• وينطبق الأمر نفسه على أي شبكة شبهية عند استبدال مصطلح "شبكة شبهية" بمصطلح "شبكة توزيعية" و"شبكة شبهية فرعية" بمصطلح "شبكة فرعية" في المثال السابق. أي أن كل شبكة شبهية يمكن تمثيلها كقوة فرعية مباشرة للشبكة شبهية ثنائية العناصر.
• سلسلة الأعداد الطبيعية مع اللانهاية، كجبر هيتينغ ، قابلة للتمثيل شبه المباشر كجبر فرعي من حاصل الضرب المباشر لجبر هيتينغ المرتب خطيًا والمنتهي. وتُناقش حالة جبر هيتينغ الأخرى بمزيد من التفصيل في مقالة "الجبر غير القابل للاختزال شبه المباشر" .
• يمكن تمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة الخاضعة للجمع بشكل غير مباشر بواسطة أي عائلة (لا نهائية بالضرورة) من الزمر الدورية المنتهية ذات الحجم الكبير كيفيًا . في هذا التمثيل، يمثل الصفر متتالية عناصر الوحدة للزمر الممثلة، ويمثل الواحد متتالية المولدات المختارة من الزمرة المناسبة، بينما يمثل جمع الأعداد الصحيحة ونفيها عمليتي الزمرة المناظرتين في كل زمرة مطبقة على كل إحداثية. يتميز هذا التمثيل بالدقة (لا يمكن تمثيل عددين صحيحين بنفس المتتالية) نظرًا لشرط الحجم، وتكون الإسقاطات شاملة لأن كل إحداثية تستنفد زمرتها في النهاية.
• كل فضاء متجهي على حقل معين قابل للتمثيل شبه المباشر بواسطة الفضاء أحادي البعد على ذلك الحقل، مع إمكانية تمثيل الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة مباشرةً بهذه الطريقة. (بالنسبة للفضاءات المتجهة، كما هو الحال بالنسبة للمجموعات الأبيلية ، فإن الضرب المباشر مع عدد محدود من العوامل مرادف للجمع المباشر مع عدد محدود من العوامل، ومن ثم فإن الضرب شبه المباشر والجمع شبه المباشر مترادفان أيضاً لعدد محدود من العوامل).
• تُستخدم المنتجات الفرعية المباشرة لتمثيل العديد من المجموعات الكاملة الصغيرة في ( هولت وبليسكن 1989 ) .
• كل حلقة نوثرية تبديلية مختزلة هي حاصل ضرب فرعي مباشر لمجالات تكاملية (على حقل، يتوافق هذا مع تحليل صنف إلى مكوناته غير القابلة للاختزال ). وبشكل أعم، كل حلقة نوثرية تبديلية هي حاصل ضرب فرعي مباشر لحلقات تكون قواسمها الصفرية الوحيدة عديمة القوة . (أُثبتت هذه الحقيقة في الأصل في القسم 6 من كتاب نوثر (1921)).
• كل حلقة مختزلة تبديلية هي ناتج فرعي مباشر للحقول (اللمة 2 من بيركوف (1944)).

• المنتج شبه المباشر ، وهو نوع آخر من منتجات المجموعة
• معضلة غورسات ، التي تصنف المنتجات الفرعية المباشرة لمجموعتين
• تصنيف نوين وشويتزر ^{[ 1 ] للمنتجات الفرعية المباشرة للمجموعات ذات العوامل الثلاثة}

• بيركوف، غاريت (1944)، "الاتحادات الفرعية المباشرة في الجبر الشامل"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 50 (10): 764-768 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 ، ISSN 0002-9904 ، MR 0010542  
• هولت، ديريك ف.؛ بليسكن، و. (1989)، الزمر الكاملة ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-853559-1، MR 1025760 
• نوثر، إيمي (1921)، "نظرية المثالي في نطاقات الحلقات"، حوليات الرياضيات ، 83 : 24-66 ، doi : 10.1007/BF01464225
• بيرلين، دانيال (2014)، نظرية المثالي في الحلقات (ترجمة "Idealtheorie in Ringbereichen" لإيمي نوثر) ، arXiv : 1401.2577