قاسم الصفر

في الجبر المجرد ، يُسمى العنصر a في الحلقة R قاسمًا صفريًا أيسر إذا وُجد عنصر x غير صفري في R بحيث يكون ax = 0 ، ^{[ 1 ]} أو بصورة مكافئة إذا لم يكن التطبيق من R إلى R الذي يُرسل x إلى ax أحاديًا . ^{[ a ]} وبالمثل، يُسمى العنصر a في الحلقة قاسمًا صفريًا أيمن إذا وُجد عنصر y غير صفري في R بحيث يكون ya = 0. هذه حالة جزئية من قابلية القسمة في الحلقات . يُسمى العنصر الذي يكون قاسمًا صفريًا أيسرًا أو أيمنًا ببساطة قاسمًا صفريًا . ^{[ 2 ]} يُسمى العنصر a الذي يكون قاسمًا صفريًا أيسرًا وأيمنًا في الوقت نفسه قاسمًا صفريًا ثنائي الجانب ( قد يختلف العنصر x غير الصفري الذي يحقق ax = 0 عن العنصر y غير الصفري الذي يحقق ya = 0 ). إذا كانت الحلقة تبديلية ، فإن القاسمين الصفريين الأيسر والأيمن يكونان متطابقين. 

يُطلق على عنصر الحلقة الذي لا يُعد قاسمًا للصفر من اليسار (أو ليس قاسمًا للصفر من اليمين) اسم عنصر منتظم من اليسار أو قابل للحذف من اليسار (أو عنصر منتظم من اليمين أو قابل للحذف من اليمين ). أما عنصر الحلقة القابل للحذف من اليسار واليمين، وبالتالي ليس قاسمًا للصفر، فيُطلق عليه اسم عنصر منتظم أو قابل للحذف ، ^{[ 3 ]} أو قاسم غير صفري . ( ملاحظة: في مصطلح "قاسم غير صفري"، يُفهم من البادئة "غير" أنها تُعدّل مصطلح "قاسم صفري" ككل وليس كلمة "صفر" فقط. في بعض النصوص، يُكتب مصطلح "قاسم صفري" على النحو التالي: "zerodivisor"، ومصطلح "قاسم غير صفري" على النحو التالي: "nonzerodivisor" ^{[ 4 ]} أو "non-zerodivisor" ^{[ 5 ]} للتوضيح). يُطلق على قاسم الصفر الذي ليس صفرًا اسم قاسم صفري غير صفري أو قاسم صفري غير تافه . تُسمى الحلقة غير الصفرية التي لا تحتوي على قواسم صفرية غير تافهة مجالًا .

• في الحلبة${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$، فئة البقايا${\displaystyle {\overline {2}}}$هو قاسم للصفر لأن${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$.
• القاسم الصفري الوحيد للحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة هو${\displaystyle 0}$.
• العنصر الصفري في حلقة غير صفرية هو دائمًا قاسم صفري ذو جانبين.
• عنصر متماثل${\displaystyle e\neq 1}$يكون عنصر الحلقة دائمًا قاسمًا للصفر من الجانبين، لأن${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$.
• تحتوي حلقة المصفوفات من الرتبة n × n فوق حقل ما على قواسم صفرية غير صفرية إذا كان n ≥ 2. فيما يلي أمثلة على القواسم الصفرية في حلقة المصفوفات من الرتبة 2 × 2 (فوق أي حلقة غير صفرية):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• يحتوي حاصل الضرب المباشر لحلقتين أو أكثر من الحلقات غير الصفرية دائمًا على قواسم صفرية غير صفرية. على سبيل المثال، في${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$مع كل${\displaystyle R_{i}}$غير صفري،${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$، لذا${\displaystyle (1,0)}$هو قاسم للصفر.
• يترك${\displaystyle K}$كن حقلاً و${\displaystyle G}$لنفترض أن لدينا مجموعة .${\displaystyle G}$يحتوي على عنصر${\displaystyle g}$من رتبة محدودة${\displaystyle n>1}$ثم في حلقة المجموعة${\displaystyle K[G]}$يمتلك المرء${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$، حيث لا يساوي أي من العاملين صفرًا، لذلك${\displaystyle 1-g}$هو قاسم صفري غير صفري في${\displaystyle K[G]}$.

• حلقة الأعداد الصحيحة بتردد عدد أولي لا تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية. وبما أن كل عنصر غير صفري هو عنصر محايد ، فإن هذه الحلقة حقل منتهٍ .
• وبشكل عام، لا تحتوي حلقة القسمة على قواسم صفرية غير صفرية.
• تُسمى الحلقة التبادلية غير الصفرية التي يكون قاسمها الصفري الوحيد هو 0 مجالًا تكامليًا .

• في حلقة المصفوفات من الرتبة n × n على حقل ما، تتطابق قواسم الصفر اليسرى واليمنى؛ وهي تحديدًا المصفوفات الشاذة . وفي حلقة المصفوفات من الرتبة n × n على مجال تكاملي ، تكون قواسم الصفر هي تحديدًا المصفوفات ذات المحدد الصفري.
• لا يمكن أن تكون قواسم الصفر اليسرى أو اليمنى وحدات أبدًا ، لأنه إذا كان a قابلاً للعكس و ax = 0 لبعض x غير الصفرية ، فإن 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x ، وهو تناقض.
• يمكن حذف العنصر من الجانب الذي يكون فيه منتظمًا. أي، إذا كان العنصر a منتظمًا من اليسار، فإن ax = ay يستلزم أن x = y ، وبالمثل بالنسبة للعنصر المنتظم من اليمين.

لا حاجة إلى اتفاقية منفصلة للحالة a = 0 ، لأن التعريف ينطبق أيضاً في هذه الحالة:

• إذا كانت R حلقة أخرى غير الحلقة الصفرية ، فإن 0 هو قاسم صفري (ذو جانبين)، لأن أي عنصر غير صفري x يحقق 0 x = 0 = x 0 .
• إذا كانت R هي الحلقة الصفرية، حيث 0 = 1 ، فإن 0 ليس قاسمًا للصفر، لأنه لا يوجد عنصر غير صفري عند ضربه في 0 ينتج عنه 0 .

تتضمن بعض المراجع أو تستبعد الصفر كقاسم للصفر في جميع الحلقات وفقًا للاتفاقية، ولكنها تعاني بعد ذلك من الاضطرار إلى إدخال استثناءات في عبارات مثل ما يلي:

• في حلقة تبديلية R ، تكون مجموعة القواسم غير الصفرية مجموعة ضربية في R. (وهذا بدوره مهم لتعريف حلقة القسمة الكلية ). وينطبق الشيء نفسه على مجموعة القواسم غير الصفرية اليسرى ومجموعة القواسم غير الصفرية اليمنى في أي حلقة، سواء كانت تبديلية أم لا.
• في حلقة نوثرية تبديلية R ، تكون مجموعة قواسم الصفر هي اتحاد المثاليات الأولية المرتبطة بـ R.

ليكن R حلقة تبديلية، وليكن M وحدة نمطية R ، وليكن a عنصرًا من R. يُقال إن a منتظم بالنسبة لـ M إذا كانت دالة "الضرب في a "${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$هي دالة أحادية، ويكون a قاسمًا للصفر على M فيما عدا ذلك. ^{[ 6 ]} مجموعة العناصر المنتظمة ^من الرتبة M هي مجموعة ضربية في R. [ ^{6 ]}

إن تخصيص تعريفات " M -regular" و "zero divisor on M " للحالة M = R يعيد تعريفات "regular" و "zero divisor" الواردة سابقًا في هذه المقالة.

• خاصية الضرب الصفري
• مسرد مصطلحات الجبر التبادلي (قاسم الصفر التام)
• رسم بياني لقواسم الصفر
• السيدينيونات ، التي لها قواسم صفرية

• "قاسم الصفر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• ميشيل هازوينكل ; نادية جباريني؛ ناديجدا ميخائيلوفنا جوباريني؛ فلاديمير ف. كيريتشينكو. (2004)، الجبر والخواتم والوحدات ، المجلد.  1، سبرينغر، ISBN 1-4020-2690-0