مجموعة مثالية

في الرياضيات ، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية الزمر ، يقال إن الزمرة مثالية إذا كانت تساوي زمرتها الفرعية التبادلية ، أو بشكل مكافئ، إذا لم يكن للزمرة أي قسمة أبيلية غير تافهة .

أصغر زمرة كاملة (غير تافهة) هي الزمرة المتناوبة A⁵ _. وبشكل أعم، أي زمرة بسيطة غير تبديلية هي زمرة كاملة لأن زمرة التبديل هي زمرة جزئية طبيعية ذات خارج قسمة تبديلي. مع ذلك، لا يشترط أن تكون الزمرة الكاملة بسيطة؛ على سبيل المثال، الزمرة الخطية الخاصة على الحقل ذي 5 عناصر، SL(2,5) (أو الزمرة العشرية الوجوه الثنائية ، المتماثلة معها) هي زمرة كاملة ولكنها ليست بسيطة (لها مركز غير تافه يحتوي على${\displaystyle -\!\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)}$).

إنّ حاصل الضرب المباشر لأيّ مجموعتين بسيطتين غير تبديليتين يكون تامًا ولكنه ليس بسيطًا؛ ومبدّل عنصرين هو [( أ ، ب )، ( ج ، د )] = ([ أ ، ج ]، [ ب ، د ]). وبما أن المبدّلات في كلّ مجموعة بسيطة تُشكّل مجموعة مولدة، فإنّ أزواج المبدّلات تُشكّل مجموعة مولدة لحاصل الضرب المباشر.

المجموعة الأساسية من${\displaystyle SO(3)/I_{60}}$هي مجموعة مثالية من الرتبة 120. ^{[ 1 ]}

بشكلٍ أعم، فإنّ الزمرة شبه البسيطة ( امتداد مركزي مثالي لزمرة بسيطة) التي تُعدّ امتدادًا غير تافه (وبالتالي ليست زمرة بسيطة بحد ذاتها) تكون مثالية ولكنها ليست بسيطة؛ ويشمل ذلك جميع الزمر الخطية الخاصة المنتهية غير البسيطة وغير القابلة للحل SL( n , q ) كامتدادات للزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL( n , q ) (SL(2,5) هي امتداد لـ PSL(2,5)، وهي متماثلة مع A5). وبالمثل، فإنّ الزمرة الخطية الخاصة على الأعداد الحقيقية والمركبة مثالية ، لكن الزمرة الخطية العامة GL ليست مثالية أبدًا (إلا عندما تكون تافهة أو _على${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$، حيث يساوي المجموعة الخطية الخاصة)، حيث أن المحدد يعطي تبديلًا غير تافه، وبالفعل فإن المجموعة الفرعية للمبدل هي SL.

ومع ذلك، فإن المجموعة الكاملة غير التافهة ليست بالضرورة قابلة للحل ؛ والعدد 4 يقسم رتبتها (إذا كانت منتهية)، علاوة على ذلك، إذا لم يقسم العدد 8 الرتبة، فإن العدد 3 يقسمها . ^{[ 2 ]}

كل زمرة غير دورية كاملة، لكن العكس ليس صحيحًا: الزمرة ₅ كاملة لكنها ليست غير دورية (في الواقع، ليست حتى فائقة الكمال )، انظر ( بيريك وهيلمان 2003 ) . في الواقع، بالنسبة لـ${\displaystyle n\geq 5}$المجموعة المتناوبة${\displaystyle A_{n}}$مثالي ولكنه ليس مثالياً للغاية، مع${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$ل${\displaystyle n\geq 8}$.

أي خارج قسمة لمجموعة كاملة هو مجموعة كاملة. وبالتالي، فإن أي مجموعة كاملة منتهية غير تافهة وليست بسيطة يجب أن تكون امتدادًا لمجموعة واحدة على الأقل من المجموعات البسيطة غير التبديلية الأصغر منها. ولكن يمكن أن تكون امتدادًا لأكثر من مجموعة بسيطة. في الواقع، فإن حاصل الضرب المباشر للمجموعات الكاملة هو أيضًا مجموعة كاملة.

تُحدد كل زمرة كاملة G زمرة كاملة أخرى E ( امتدادها المركزي الشامل ) بالإضافة إلى تطبيق شامل f : E → G نواته في مركز E، بحيث تكون f شاملة بهذه الخاصية. تُسمى نواة f مُضاعِف شور لـ G لأن إسحاق شور درسها لأول مرة عام 1904؛ وهي متماثلة مع زمرة التماثل .${\displaystyle H_{2}(G)}$.

في البناء الزائد لنظرية K الجبرية ، إذا اعتبرنا المجموعة${\displaystyle \operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)}$لحلقة تبديلية${\displaystyle A}$ثم المجموعة الفرعية من المصفوفات الأولية${\displaystyle E(R)}$يشكل مجموعة فرعية مثالية.

بما أن المجموعة الفرعية التبادلية تُولَّد بواسطة التبادلات، فقد تحتوي المجموعة الكاملة على عناصر هي نواتج تبادلات ولكنها ليست تبادلات بحد ذاتها. وقد أثبت أويستين أور في عام 1951 أن المجموعات المتناوبة المكونة من خمسة عناصر أو أكثر لا تحتوي إلا على تبادلات، وخمّن أن هذا ينطبق على جميع المجموعات البسيطة غير التبادلية المنتهية. وقد تم إثبات تخمين أور أخيرًا في عام 2008. ويعتمد البرهان على نظرية التصنيف . ^{[ 3 ]}

من الحقائق الأساسية حول المجموعات الكاملة ما يُعرف بـ Grün's lemma ( Grün 1935 ، Satz 4، ^{[ ملاحظة 1 ]} ص. 3) ، والذي يعود الفضل فيه إلى Otto Grün : إن خارج قسمة مجموعة كاملة على مركزها يكون بلا مركز (له مركز تافه).

البرهان: إذا كانت G زمرة كاملة، فلنرمز بـ _Z₁ و Z₂ إلى الحدين الأولين من السلسلة المركزية العليا لـ G (أي أن Z₁ هو مركز G ، و Z₂ / _Z₁ هو مركز G / Z₁ ₎ . إذا كانت _H و K زمرتين جزئيتين من G _، فلنرمز إلى مبدل H و K بـ [ H , K ]، ونلاحظ أن [ Z₁ _, G ] = 1 و [ Z₂ _, G ] ⊆ Z₁ _{، وبالتالي} ( مع مراعاة الاصطلاح [ X _, Y , Z ] = [[ X , Y ] , Z ] ) :

${\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}$

بحسب نظرية المجموعات _{الفرعية} الثلاث (أو ما يعادلها، بحسب متطابقة هول-ويت )، فإن [ _G , Z2 ] = [[ _G , G ] , Z2 ] = [ G , G , Z2 ] = {1}. وبالتالي، فإن _Z2 ⊆ Z1 = Z ₍ G ) ، ومركز مجموعة القسمة G / Z ( G ) هو المجموعة التافهة .

ونتيجة لذلك، فإن جميع المراكز العليا (أي الحدود العليا في السلسلة المركزية العليا ) لمجموعة مثالية تساوي المركز.

من منظور تماثل المجموعات ، تُعرَّف المجموعة الكاملة بأنها تلك التي تنعدم فيها مجموعة التماثل الأولى: H₁ ₍ G , Z ) = 0، لأن مجموعة التماثل الأولى لمجموعة ما هي بالضبط عملية التبديل للمجموعة، والكمال يعني التبديل التافه. ومن مزايا هذا التعريف أنه قابل للتحسين.

• المجموعة الفائقة الكمال هي المجموعة التي تختفي فيها أول مجموعتين من مجموعات التماثل:${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0}$.
• المجموعة غير الدورية هي مجموعة تختفي فيها جميع مجموعات التماثل (المختزلة).${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.}$(هذا يعادل جميع مجموعات التماثل باستثناء${\displaystyle H_{0}}$(يتلاشى.)

في مجال نظرية K الجبرية تحديدًا ، يُقال إن الزمرة شبه كاملة إذا كانت زمرتها التبادلية كاملة؛ ورمزيًا، الزمرة شبه الكاملة هي التي تحقق G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (حيث يكون تبادل الزمرة التبادلية هو الزمرة التبادلية نفسها)، بينما الزمرة الكاملة هي التي تحقق G ⁽¹⁾ = G (حيث تكون الزمرة التبادلية هي الزمرة بأكملها). انظر ( كاروبي 1973 ، ص 301-411) و ( إيناساريدزه 1995 ، ص 76) .  

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الكاملة" . عالم الرياضيات .
• فايستين، إريك دبليو. “ليما جرون” . عالم الرياضيات .