مشكلة سوسلين

في الرياضيات ، تُعرف مسألة سوسلين بأنها سؤالٌ حول المجموعات المرتبة ترتيبًا كليًا، طرحه ميخائيل ياكوفليفيتش سوسلين ( 1920 ) ونُشر بعد وفاته. وقد ثبت أنها مستقلة عن النظام البديهي القياسي لنظرية المجموعات المعروف باسم ZFC ؛ إذ بيّن سولوفاي وتيننباوم (1971) أنه لا يمكن إثبات هذه المسألة أو دحضها انطلاقًا من تلك البديهيات، بافتراض اتساق ZFC. 

(يكتب اسم Suslin أحيانًا بالترجمة الصوتية الفرنسية Souslin ، من الكلمة السيريلية Суслин .)

تطرح مسألة سوسلين السؤال التالي: بالنظر إلى مجموعة R غير فارغة ومرتبة كليًا ذات الخصائص الأربع

1. لا تحتوي R على عنصر أصغر ولا عنصر أكبر ؛
2. الترتيب على R كثيف (بين أي عنصرين مختلفين يوجد عنصر آخر) ؛
3. الترتيب على R كامل ، بمعنى أن كل مجموعة جزئية محدودة غير فارغة لها قيمة عليا وقيمة دنيا ؛
4. كل مجموعة من الفترات المفتوحة غير الفارغة المنفصلة عن بعضها البعض في R قابلة للعد (هذا هو شرط السلسلة القابلة للعد لطوبولوجيا الترتيب لـ R ) .

هل R بالضرورة متماثل الترتيب مع الخط الحقيقي R ؟

إذا تم استبدال شرط السلسلة القابلة للعد بشرط أن R تحتوي على مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد (أي أن R فضاء قابل للفصل )، فإن الإجابة هي نعم بالفعل: أي مجموعة R من هذا القبيل هي بالضرورة متماثلة الترتيب مع R (أثبت ذلك كانتور ).

يُطلق على الشرط الخاص بالفضاء الطوبولوجي الذي يكون فيه كل مجموعة من المجموعات المفتوحة المنفصلة غير الفارغة قابلة للعد على الأكثر اسم خاصية سوسلين .

أي مجموعة مرتبة كليًا غير متماثلة مع R ولكنها تحقق الخصائص من 1 إلى 4 تُعرف باسم خط سوسلين . تنص فرضية سوسلين على أنه لا توجد خطوط سوسلين: أي أن كل ترتيب خطي كامل كثيف شرط السلسلة القابلة للعد بدون نقاط نهاية متماثل مع خط الأعداد الحقيقية. ويمكن التعبير عن ذلك بأن كل شجرة بارتفاع ω₁ _إما أن يكون لها فرع بطول ω₁ _أو سلسلة مضادة بعدد عناصر ℵ₁ _.

تنص فرضية سوسلين المعممة على أنه لكل عدد أصلي منتظم لانهائي κ، فإن كل شجرة ارتفاعها κ إما أن يكون لها فرع طوله κ أو سلسلة مضادة عددية κ. إن وجود خطوط سوسلين يكافئ وجود أشجار سوسلين وجبر سوسلين .

إن فرضية سوسلين مستقلة عن نظرية ZFC. استخدم كل من جيتش (1967) وتيننباوم (1968) بشكل مستقل أساليب الإجبار لبناء نماذج لنظرية ZFC تتضمن خطوط سوسلين. أثبت جنسن لاحقًا وجود خطوط سوسلين بافتراض مبدأ المعين ، وهو نتيجة بديهية قابلية البناء V  =  L. (كانت نتيجة جنسن مفاجئة، إذ كان يُعتقد سابقًا أن V  =  L تعني عدم وجود خطوط سوسلين، استنادًا إلى أن V  =  L تعني وجود "عدد قليل" من المجموعات). من جهة أخرى، استخدم سولوفاي وتيننباوم (1971) أساليب الإجبار لبناء نموذج لنظرية ZFC بدون خطوط سوسلين؛ وبشكل أدق، أظهرا أن بديهية مارتن بالإضافة إلى نفي فرضية الاستمرارية تستلزم فرضية سوسلين.

إن فرضية سوسلين مستقلة أيضًا عن كل من فرضية الاستمرارية المعممة (التي أثبتها رونالد جنسن ) ونفي فرضية الاستمرارية . ولا يُعرف ما إذا كانت فرضية سوسلين المعممة متسقة مع فرضية الاستمرارية المعممة؛ ومع ذلك، بما أن الجمع بينهما يستلزم نفي مبدأ التربيع عند عدد أصلي قوي منفرد - في الواقع، عند جميع الأعداد الأصلية المنفردة وجميع الأعداد الأصلية اللاحقة المنتظمة - فإنه يستلزم أن بديهية الحتمية صحيحة في L(R)، ويُعتقد أنها تستلزم وجود نموذج داخلي ذي عدد أصلي فائق القوة .

• قائمة بالعبارات المستقلة عن ZFC
• فرضية الاستمرارية
• إعلان ⁺
• نظرية كانتور للتماثل

• K. Devlin and H. Johnsbråten, The Souslin Problem, Lecture Notes in Mathematics (405) Springer 1974.
• جيتش، توماش (1967)، "عدم إمكانية إثبات فرضية سوسلين"، تعليقات الرياضيات، جامعة كارولينا ، 8 : 291-305 ، MR 0215729 
• سوسلين، م. (1920)، “المشكلة 3” (PDF) ، أساسيات الرياضيات ، 1 : 223، دوى : 10.4064/fm-1-1-223-224
• سولوفاي، آر إم؛ تيننباوم، إس. (1971)، "امتدادات كوهين المتكررة ومسألة سوسلين"، حوليات الرياضيات ، 94 (2): 201-245 ، doi : 10.2307/1970860 ، JSTOR 1970860 
• تيننباوم، س. (1968)، "مشكلة سوسلين"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 59 (1): 60-63 ، Bibcode : 1968PNAS...59...60T ، doi : 10.1073/pnas.59.1.60 ، MR 0224456 ، PMC 286001 ، PMID 16591594   
• غريشين، في إن (2001) [1994]، "فرضية سوسلين" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس