تناظرات الزمكان

تُعرف تناظرات الزمكان بأنها خصائص للزمكان يمكن وصفها بأنها تُظهر شكلاً من أشكال التناظر . يُعدّ دور التناظر في الفيزياء بالغ الأهمية في تبسيط حلول العديد من المسائل. تُستخدم تناظرات الزمكان في دراسة الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة . وتختلف تناظرات الزمكان عن التناظرات الداخلية .

غالبًا ما تُدرس المشكلات الفيزيائية وتُحل من خلال ملاحظة السمات التي تتسم بنوع من التناظر. على سبيل المثال، في حل شوارزشيلد ، يُعد دور التناظر الكروي مهمًا في اشتقاق حل شوارزشيلد واستنتاج النتائج الفيزيائية لهذا التناظر (مثل عدم وجود إشعاع جاذبي في نجم نابض كرويًا). في المشكلات الكونية، يلعب التناظر دورًا في المبدأ الكوني ، الذي يُقيد أنواع الأكوان المتوافقة مع الملاحظات واسعة النطاق (مثل مقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر ). تتطلب التناظرات عادةً شكلًا من أشكال الحفاظ على الخصائص، ومن أهمها في النسبية العامة ما يلي:

• الحفاظ على المسارات الجيوديسية للزمكان
• الحفاظ على موتر القياس
• الحفاظ على موتر الانحناء

سيتم تناول هذه التناظرات وغيرها بمزيد من التفصيل لاحقًا. ويمكن استخدام خاصية الحفظ هذه، التي تتميز بها التناظرات عادةً (المشار إليها أعلاه)، لتبرير تعريف مفيد لهذه التناظرات نفسها.

قدّم هول (2004) تعريفًا دقيقًا للتناظرات في النسبية العامة. في هذا النهج، تكمن الفكرة في استخدام حقول متجهة (سلسة) تحافظ تحويلاتها التفاضلية للتدفق المحلي على بعض خصائص الزمكان . (تجدر الإشارة إلى ضرورة التأكيد على أن هذا تحويل تفاضلي - أي تحويل على عنصر تفاضلي . ويترتب على ذلك أن سلوك الأجسام ذات الامتداد قد لا يكون متناظرًا بشكل واضح). تُوضَّح خاصية الحفاظ على هذه التحويلات التفاضلية بدقة كما يلي: يُقال إن حقلًا متجهًا أملسًا X على زمكان M يحافظ على موتر أملس T على M (أو أن T ثابت تحت تأثير X ) إذا كان الموتران T و ϕ ^∗ _t ( T ) متساويين على نطاق ϕ _t ، وذلك لكل تحويل تفاضلي للتدفق المحلي أملس ϕ _t مرتبط بـ X. هذا البيان مكافئ للشرط الأكثر فائدة وهو أن مشتقة لي للموتر تحت تأثير الحقل المتجه تتلاشى. $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0}$$ على M. ويترتب على ذلك أنه، عند تحديد أي نقطتين p و q على M ، فإن إحداثيات T في نظام إحداثيات حول p تساوي إحداثيات T في نظام إحداثيات حول q . التناظر على الزمكان هو حقل متجهي أملس تحافظ تحويلاته التفاضلية للتدفق المحلي على سمة (هندسية عادةً) من سمات الزمكان. قد تشير السمة (الهندسية) إلى موترات محددة (مثل المقياس، أو موتر الطاقة-الزخم) أو إلى جوانب أخرى من الزمكان مثل بنيته الجيوديسية. يُشار إلى الحقول المتجهة أحيانًا باسم التوازيات ، أو حقول متجهات التناظر ، أو ببساطة التناظرات . تشكل مجموعة جميع حقول متجهات التناظر على M جبر لي تحت عملية قوس لي، كما يتضح من المتطابقة: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {L}}_{Y}T)-{\mathcal {L}}_{Y}({\mathcal {L}}_{X}T)}$$ يُكتب المصطلح الموجود على اليمين عادةً، مع إساءة استخدام الترميز ، على النحو التالي: $${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]T.}$$

يُعد حقل متجه كيلينغ أحد أهم أنواع التناظرات، ويُعرَّف بأنه حقل متجه أملس X يحافظ على موتر القياس g : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$$

وعادة ما يُكتب هذا بالشكل الموسع على النحو التالي: $${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}=0.}$$

تجد حقول المتجهات القاتلة تطبيقات واسعة (بما في ذلك في الميكانيكا الكلاسيكية ) وترتبط بقوانين الحفظ .

الحقل المتجهي المتماثل هو الحقل الذي يحقق ما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2cg.}$$ حيث c ثابت حقيقي. تجد حقول المتجهات المتجانسة تطبيقات في دراسة التفردات في النسبية العامة.

الحقل المتجهي الأفيني هو الحقل الذي يحقق الشروط التالية: $${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab;c}=0}$$

يحافظ حقل المتجهات الأفيني على الخطوط الجيوديسية ويحافظ على المعامل الأفيني.

تُعد أنواع حقول المتجهات الثلاثة المذكورة أعلاه حالات خاصة من حقول المتجهات الإسقاطية التي تحافظ على الجيوديسية دون الحفاظ بالضرورة على المعامل الأفيني.

الحقل المتجهي المطابق هو الحقل الذي يحقق ما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\phi g}$$ حيث ϕ دالة حقيقية سلسة على M.

التوازي المنحني هو حقل متجه يحافظ على موتر ريمان : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{R^{a}}_{bcd}=0}$$

حيث تمثل R ^{و a} _{و b و c وd} مركبات موتر ريمان. تشكل مجموعة جميع تطابقات الانحناء الملساء جبر لي تحت عملية قوس لي (إذا تم حذف شرط الانسيابية، فلا يلزم أن تشكل مجموعة جميع تطابقات الانحناء جبر لي ). يُرمز إلى جبر لي بـ CC ( M ) وقد يكون لانهائي الأبعاد . كل حقل متجه أفيني هو تطابق انحناء.

ثمة شكل أقل شهرة من التناظر يتعلق بحقول المتجهات التي تحافظ على موتر الطاقة-الزخم. ويُشار إليها بأسماء مختلفة مثل محاذاة المادة أو تناظرات المادة، وتُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0}$$حيث T هو موتر الطاقة-الزخم المتغاير. يمكن هنا تسليط الضوء على العلاقة الوثيقة بين الهندسة والفيزياء، إذ يُعتبر حقل المتجهات X حافظًا لبعض الكميات الفيزيائية على طول خطوط تدفقه ، وهذا ينطبق على أي مراقبين. وفي هذا السياق، يمكن إثبات أن كل حقل متجهات كيلينغ هو توازي للمادة (باستخدام معادلات أينشتاين للمجال، مع أو بدون الثابت الكوني ). وبالتالي، عند وجود حل لمعادلات أينشتاين للمجال، فإن حقل المتجهات الذي يحافظ على المقياس يحافظ بالضرورة على موتر الطاقة-الزخم المقابل . عندما يمثل موتر الطاقة-الزخم مائعًا مثاليًا، فإن كل حقل متجهات كيلينغ يحافظ على كثافة الطاقة والضغط وحقل متجهات تدفق المائع. أما عندما يمثل موتر الطاقة-الزخم مجالًا كهرومغناطيسيًا، فإن حقل متجهات كيلينغ لا يحافظ بالضرورة على المجالين الكهربائي والمغناطيسي.

كما ذكرنا في بداية هذه المقالة، فإن التطبيق الرئيسي لهذه التناظرات يحدث في النسبية العامة، حيث يمكن تصنيف حلول معادلات أينشتاين عن طريق فرض بعض التناظرات على الزمكان.

• اشتقاقات تحويلات لورنتز
• المجال (الفيزياء) - الكميات الفيزيائية التي تأخذ قيمًا عند كل نقطة في المكان والزمان 
• موتِر القتل – الموتِر في النسبية العامة 
• نظرية نوثر – بيان يربط بين التناظرات القابلة للتفاضل والكميات المحفوظة 
• تحلل ريتشي
• التناظر في الفيزياء - خاصية للنظام تبقى محفوظة تحت تأثير تحويل معين. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• التناظر في ميكانيكا الكم – الخصائص الأساسية للفيزياء الحديثة 
• مجموعات لي – مجموعة هي أيضًا متعددة شعب قابلة للتفاضل مع عمليات مجموعة سلسة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• مجموعة لورنتز – مجموعة لي لتحويلات لورنتز 
• مجموعة بوانكاريه – مجموعة تناظرات الزمكان المسطح 
• مجموعة بوندي-ميتزنر-ساكس – مجموعة التناظر التقاربي للنسبية العامة 
• مجموعة إيلرز – مفهوم فيزيائي 
• مجموعة جيروش – مجموعة حلول معادلات أينشتاين للمجال 

• هول، غراهام (2004). التناظرات وبنية الانحناء في النسبية العامة (سلسلة محاضرات وورلد ساينتيفيك في الفيزياء) . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 981-02-1051-5.انظر القسم 10.1 للاطلاع على تعريف التناظرات.
• ستيفاني، هانز؛ كرامر، ديتريش؛ ماكولوم، مالكولم؛ هوينسيليرز، كورنيليوس؛ هيرلت، إدوارد (2003). الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-46136-7.
• شوتز، برنارد (1980). الأساليب الهندسية للفيزياء الرياضية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-29887-3.انظر الفصل 3 لخصائص مشتقة لي والقسم 3.10 لتعريف الثبات.