اشتقاقات تحويلات لورنتز

لنفترض صحة الفرضية الثانية للنسبية الخاصة التي تنص على ثبات سرعة الضوء، بغض النظر عن الإطار المرجعي، ولنعتبر مجموعة من الأنظمة المرجعية تتحرك بالنسبة لبعضها البعض بسرعة ثابتة، أي أنظمة قصورية ، كل منها مزود بمجموعة إحداثيات ديكارتية خاصة به تُحدد النقاط، أي أحداث الزمكان. للتعبير عن ثبات سرعة الضوء بصيغة رياضية، نُحدد حدثين في الزمكان، يُسجلان في كل إطار مرجعي. ليكن الحدث الأول هو انبعاث إشارة ضوئية، والحدث الثاني هو امتصاصها.

اختر أي إطار مرجعي في المجموعة. سيتم تعيين إحداثيات للحدث الأول ضمن إحداثياته.${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}}$والثاني${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2},ct_{2}}$المسافة المكانية بين الانبعاث والامتصاص هي${\textstyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$لكن هذه هي المسافة أيضاً${\displaystyle c(t_{2}-t_{1})}$تنتقل بواسطة الإشارة. وبالتالي، يمكن وضع المعادلة

$${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0.}$$

كل نظام إحداثيات آخر سيسجل، بإحداثياته ​​الخاصة، المعادلة نفسها. هذه هي النتيجة الرياضية المباشرة لثبات سرعة الضوء. تُسمى الكمية الموجودة على اليسار بفترة الزمكان . هذه الفترة، بالنسبة للأحداث التي تفصل بينها إشارات ضوئية، تكون نفسها (صفر) في جميع الأطر المرجعية، ولذلك تُسمى ثابتة .

لكي يكون لتحويل لورنتز دلالة فيزيائية تتحقق في الطبيعة، من الضروري أن تكون الفترة الزمنية ثابتة لأي حدثين، وليس فقط للأحداث التي تفصل بينها إشارات ضوئية. ولإثبات ذلك، يُنظر إلى فترة زمنية متناهية الصغر ، ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$$

كما هو مسجل في النظام${\displaystyle K}$. يترك${\displaystyle K'}$نظام آخر يحدد الفاصل الزمني${\displaystyle ds'^{2}}$لنفس الحدثين المتباعدين بشكل متناهي الصغر. لأنه إذا${\displaystyle ds^{2}=0}$إذن، ستكون الفترة أيضًا صفرًا في أي نظام آخر (الفرضية الثانية)، وبما أن${\displaystyle ds^{2}}$و${\displaystyle ds'^{2}}$إذا كانت الكميات متناهية الصغر من نفس الرتبة، فلا بد أن تكون متناسبة مع بعضها البعض. $${\displaystyle ds^{2}=ads'^{2}.}$$

على ما قد${\displaystyle a}$هل يعتمد الأمر على ذلك؟ قد لا يعتمد على موقعي الحدثين في الزمكان، لأن ذلك سيخالف التجانس المفترض للزمكان . قد يعتمد على السرعة النسبية.${\displaystyle V'}$بين${\displaystyle K}$و${\displaystyle K'}$، ولكن فقط فيما يتعلق بالسرعة، وليس بالاتجاه، لأن الأخير من شأنه أن ينتهك تماثل الفضاء .

والآن أدخل الأنظمة${\displaystyle K_{1}}$و${\displaystyle K_{2}}$، $${\displaystyle ds^{2}=a(V_{1})ds_{1}^{2},\quad ds^{2}=a(V_{2})ds_{2}^{2},\quad ds_{1}^{2}=a(V_{12})ds_{2}^{2}.}$$ ويترتب على ذلك، $${\displaystyle {\frac {a(V_{2})}{a(V_{1})}}=a(V_{12}).}$$

والآن، يلاحظ المرء أنه على الجانب الأيمن أن${\displaystyle V_{12}}$يعتمد على كليهما${\displaystyle V_{1}}$و${\displaystyle V_{2}}$وكذلك على الزاوية بين المتجهات${\displaystyle {\textbf {V}}_{1}}$و${\displaystyle {\textbf {V}}_{2}}$ومع ذلك، يُلاحظ أيضًا أن الطرف الأيسر لا يعتمد على هذه الزاوية. وبالتالي، فإن السبيل الوحيد لصحة المعادلة هو أن تكون الدالة${\displaystyle a(V)}$هو ثابت. علاوة على ذلك، وبحسب المعادلة نفسها، فإن هذا الثابت يساوي واحدًا. وبالتالي، $${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$$ لجميع الأنظمة${\displaystyle K'}$وبما أن هذا ينطبق على جميع الفترات المتناهية الصغر، فإنه ينطبق على جميع الفترات.

تعتمد معظم، إن لم تكن جميع، اشتقاقات تحويلات لورنتز على هذا الأمر كأمر مسلم به. في تلك الاشتقاقات، يستخدمون ثبات سرعة الضوء (عدم تغير الأحداث المنفصلة الشبيهة بالضوء) فقط. تضمن هذه النتيجة أن تحويل لورنتز هو التحويل الصحيح.

^{بيان دقيق} وبرهان على ^تناسب ds² و ds′²

نظرية: ليكن${\displaystyle n,p\geq 1}$لتكن أعدادًا صحيحة،${\displaystyle d:=n+p}$و${\displaystyle V}$فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأبعاد${\displaystyle d}$. يترك${\displaystyle h}$أن يكون منتجًا داخليًا غير محدد على${\displaystyle V}$بنوع التوقيع​${\displaystyle (n,p)}$. يفترض${\displaystyle g}$هي شكل ثنائي خطي متناظر على${\displaystyle V}$بحيث تكون المجموعة الصفرية للشكل التربيعي المرتبط بـ${\displaystyle h}$يحتوي على ذلك من${\displaystyle g}$(أي افترض أنه لكل${\displaystyle v\in V}$، لو${\displaystyle h(v,v)=0}$ثم${\displaystyle g(v,v)=0}$ثم، يوجد ثابت${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle g=Ch}$علاوة على ذلك، إذا افترضنا${\displaystyle n\neq p}$وذلك${\displaystyle g}$يحتوي أيضًا على نوع التوقيع${\displaystyle (n,p)}$ثم لدينا${\displaystyle C>0}$.

ملاحظات.

• في القسم أعلاه ، يُستخدم مصطلح "متناهي الصغر" فيما يتعلق بـ${\displaystyle ds^{2}}$يشير هذا في الواقع (نقطة بنقطة) إلى شكل تربيعي على فضاء متجهي حقيقي رباعي الأبعاد (أي الفضاء المماسي عند نقطة من متعدد الشعب الزمكاني). وقد نُقلت الحجة أعلاه حرفيًا تقريبًا من لاندو وليفشيتز، حيث تناسب${\displaystyle ds^{2}}$و${\displaystyle ds'^{2}}$يُذكر هذا كحقيقة "بديهية" فحسب، على الرغم من أن العبارة لم تُصاغ بدقة رياضية ولم تُثبت. هذه حقيقة رياضية غير بديهية تحتاج إلى تبرير؛ ولحسن الحظ، فإن البرهان بسيط نسبيًا، ويتلخص في ملاحظات وعمليات جبرية أساسية.
• الافتراضات المذكورة أعلاه بشأن${\displaystyle h}$ويعني ما يلي:${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {R} }$هي صيغة ثنائية الخطية متناظرة وغير متدهورة ، بحيث توجد قاعدة مرتبة${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n},v_{n+1},\dots ,v_{d}\}}$ل${\displaystyle V}$والتي$${\displaystyle h(v_{a},v_{b})={\begin{cases}-1&{\text{إذا كان }}a=b,{\text{حيث ​​}}a,b\in \{1,\dots ,n\}\\1&{\text{إذا كان }}a=b,{\text{حيث ​​}}a,b\in \{n+1,\dots ,d\}\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}$$ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة مماثلة وهي:${\displaystyle h}$له تمثيل مصفوفي${\displaystyle {\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$بالنسبة للأساس المرتب${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$.
• إذا نظرنا في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle n=1,p=3}$إذن، نحن نتعامل مع حالة التوقيع اللورنتزي في أربعة أبعاد، وهو ما تقوم عليه النسبية (أو يمكن اعتماد الاصطلاح المعاكس بإشارة سالبة شاملة؛ لكن من الواضح أن هذا لا يؤثر على صحة النظرية). كذلك، في هذه الحالة، إذا افترضنا${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$كلاهما لهما صيغ تربيعية بنفس المجموعة الصفرية (في المصطلحات الفيزيائية، نقول ذلك).${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$إذا كانت هذه النتائج تؤدي إلى نفس مخروط الضوء، فإن النظرية تخبرنا بوجود ثابت.${\displaystyle C>0}$بحيث${\displaystyle g=Ch}$. باستثناء بعض الاختلافات في الترميز، هذا هو بالضبط ما تم استخدامه في القسم أعلاه .

إثبات النظرية (باستخدام الترميز الفهرسي)

لتبسيط الأمر، دعونا نتفق في هذا البرهان على أن المؤشرات اليونانية مثل${\displaystyle \alpha ,\beta }$نطاق واسع${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$بينما المؤشرات اللاتينية مثل${\displaystyle i,j}$نطاق واسع${\displaystyle \{n+1,\dots ,p\}}$. كما سنستخدم اصطلاح جمع أينشتاين في كل مكان.

حدد أساسًا${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$ل${\displaystyle V}$مقارنة بأي${\displaystyle h}$له تمثيل مصفوفي${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$كذلك، لكل${\displaystyle x=(x^{1},\dots ,x^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle y=(y^{n+1}\dots ,y^{n+p})\in \mathbb {R} ^{p}}$باعتبار أن لدينا معيارًا إقليديًا يساوي واحدًا ، فلننظر إلى المتجه${\displaystyle w=x^{\alpha }v_{\alpha }+y^{i}v_{i}\in V}$ثم، بحسب خاصية الخطية الثنائية، لدينا${\displaystyle h(w,w)=-\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2}=-1+1=0}$وبالتالي، بناءً على افتراضنا، لدينا${\displaystyle g(w,w)=0}$كذلك. باستخدام الخطية الثنائية والتناظر لـ${\displaystyle g}$وهذا يعادل

$${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }+2g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}+g_{ij}y^{i}y^{j}=0.}$$ بما أن هذا ينطبق على الجميع${\displaystyle x,y}$بمعيار الوحدة، يمكننا استبدال${\displaystyle y}$مع${\displaystyle -y}$للحصول على $${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }-2g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}+g_{ij}y^{i}y^{j}=0.}$$ الآن، نطرح هاتين المعادلتين ونقسم على 4 لنحصل على ذلك لجميع${\displaystyle x,y}$بمعيار الوحدة، $${\displaystyle g_{\alpha i}x^{\alpha }y^{i}=0.}$$ لذا، باختيارك${\displaystyle x=e_{\alpha }\in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle y=e_{i}\in \mathbb {R} ^{p}}$(أي مع 1 في الفهرس المحدد و0 في أي مكان آخر)، نرى أن${\displaystyle g_{\alpha i}=0}$ونتيجة لذلك، تُبسط معادلتنا الأولى إلى $${\displaystyle g_{\alpha \beta }x^{\alpha }x^{\beta }=-g_{ij}y^{i}y^{j}.}$$ وهذا ينطبق مرة أخرى على الجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$ذات معيار الوحدة. ونتيجة لذلك، تختفي جميع الحدود غير القطرية؛ بتعبير أدق، لنفترض${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{1,\dots ,n\}}$هي مؤشرات متميزة. لنفترض${\textstyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(e_{\alpha }\pm e_{\beta })}$ثم، بما أن الجانب الأيمن من المعادلة لا يعتمد على${\displaystyle x}$، نرى ذلك${\displaystyle g_{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }}$وبالتالي${\displaystyle g_{\alpha \beta }=0}$وبحجة مماثلة تقريبًا نستنتج أنه إذا${\displaystyle i,j\in \{n+1,\dots ,n+p\}}$إذا كانت مؤشرات متميزة${\displaystyle g_{ij}=0}$.

وأخيرًا، عن طريق السماح المتتالي${\displaystyle x}$نطاق واسع${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ثم السماح${\displaystyle y}$نطاق واسع${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{p}\in \mathbb {R} ^{p}}$، نرى ذلك $${\displaystyle -g_{11}=\dots =-g_{nn}=g_{n+1,n+1}=\dots =g_{n+p,n+p}}$$،

أو بعبارة أخرى،${\displaystyle g}$له تمثيل مصفوفي${\displaystyle [g]=-g_{11}\cdot {\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$وهذا يعادل قول${\displaystyle g=-g_{11}\cdot h}$إذن، ثابت التناسب المذكور في النظرية هو${\displaystyle C=-g_{11}}$وأخيرًا، إذا افترضنا أن${\displaystyle g,h}$كلاهما يمتلك أنواع التوقيع${\displaystyle (n,p)}$و${\displaystyle n\neq p}$ثم${\displaystyle C:=-g_{11}>0}$(لا يمكننا أن نمتلك${\displaystyle C=0}$لأن ذلك يعني${\displaystyle g=0}$وهذا مستحيل نظرًا لوجود نوع التوقيع${\displaystyle (n,p)}$يعني ذلك أنها صيغة ثنائية الخطية غير صفرية. كذلك، إذا${\displaystyle C<0}$إذن هذا يعني${\displaystyle g}$لديه${\displaystyle n}$المدخلات القطرية الموجبة و${\displaystyle p}$المدخلات القطرية السالبة؛ أي أنها ذات توقيع${\displaystyle (p,n)\neq (n,p)}$، لأننا افترضنا${\displaystyle n\neq p}$لذا فهذا غير ممكن أيضاً. وهذا يتركنا مع${\displaystyle C>0}$(باعتبارها الخيار الوحيد). وبهذا يكتمل برهان النظرية.

إثبات النظرية (مفاهيمي)

حدد أساسًا${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$ل${\displaystyle V}$مقارنة بأي${\displaystyle h}$له تمثيل مصفوفي${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$النقطة الأساسية هي أن الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$يمكن تقسيمها إلى فضاءات فرعية${\displaystyle V^{-}}$(امتداد الأول)${\displaystyle n}$متجهات الأساس) و${\displaystyle V^{+}}$(ثم ​​مدى الآخر)${\displaystyle p}$متجهات الأساس) بحيث يكون كل متجه في${\displaystyle V}$يمكن كتابتها بشكل فريد كـ${\displaystyle v+w}$ل${\displaystyle v\in V^{-}}$و${\displaystyle w\in V^{+}}$؛ علاوة على ذلك${\displaystyle h(v,v)\leq 0}$،${\displaystyle h(w,w)\geq 0}$و${\displaystyle h(v,w)=0}$إذن (بحسب العلاقة الثنائية الخطية)

$${\displaystyle h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)}$$ بما أن الحد الأول على اليمين غير موجب والثاني غير سالب، فإنه لأي ${\displaystyle v\in V^{-}}$ و${\displaystyle w\in V^{+}}$، يمكننا إيجاد كمية قياسية${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0}$.

من الآن فصاعدًا، ضع في اعتبارك دائمًا${\displaystyle v\in V^{-}}$ و${\displaystyle w\in V^{+}}$. بالخطية الثنائية $${\displaystyle {\begin{aligned}g(v+w,v+w)&=g(v,v)+g(w,w)+2g(v,w)\\g(v-w,v-w)&=g(v,v)+g(w,w)-2g(v,w)\end{aligned}}}$$

لو${\displaystyle h(v+w,v+w)=0}$ثم أيضًا${\displaystyle h(v-w,v-w)=0}$وينطبق الشيء نفسه على${\displaystyle g}$(بما أن المجموعة الفارغة من${\displaystyle h}$يحتوي على ذلك من${\displaystyle g}$في هذه الحالة، ينتج عن طرح التعبيرين أعلاه (والقسمة على 4)

$${\displaystyle 0=g(v,w)}$$

كما سبق، لكل${\displaystyle v\in V^{-}}$ و${\displaystyle w\in V^{+}}$يوجد عدد قياسي${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle h(v+\alpha w,v+\alpha w)=0}$، لذا${\displaystyle g(v,\alpha w)=0}$وهذا يعني بالخطية الثنائية${\displaystyle g(v,w)=0}$.

والآن لننظر إلى القيم غير الصفرية${\displaystyle v,v'\in V^{-}}$بحيث${\displaystyle h(v,v)=h(v',v')}$يمكننا أن نجد${\displaystyle w\in V^{+}}$بحيث${\displaystyle 0=h(v+w,v+w)=h(v,v)+h(w,w)=h(v'+w,v'+w)}$بناءً على التعبيرات المذكورة أعلاه، $${\displaystyle g(v,v)=-g(w,w)=g(v',v')}$$ وبالمثل، لـ${\displaystyle w,w'\in V^{+}}$يمكن للمرء أن يثبت أنه إذا${\displaystyle h(w,w)=h(w',w')}$ثم أيضًا ${\displaystyle g(w,w)=g(w',w')}$لذا، ينطبق ذلك على جميع المتجهات في${\displaystyle V}$.

ل${\displaystyle u,u'\in V}$، لو${\displaystyle g(u,u)=Ch(u,u)\neq 0}$،${\displaystyle g(u',u')=C'h(u',u')\neq 0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle C,C'\in \mathbb {R} }$يمكننا (مع تعديل أحدها إذا لزم الأمر) أن نفترض${\displaystyle h(u,u)=h(u',u')}$وهذا يعني، بحسب ما سبق، أن${\displaystyle C=C'}$. لذا${\displaystyle g=Ch}$.

وأخيراً، إذا افترضنا أن${\displaystyle g,h}$كلاهما يمتلك أنواع التوقيع${\displaystyle (n,p)}$و${\displaystyle n\neq p}$ثم${\displaystyle C>0}$(لا يمكننا أن نمتلك${\displaystyle C=0}$لأن ذلك يعني${\displaystyle g=0}$وهذا مستحيل نظرًا لوجود نوع التوقيع${\displaystyle (n,p)}$يعني ذلك أنها صيغة ثنائية الخطية غير صفرية. كذلك، إذا${\displaystyle C<0}$إذن هذا يعني${\displaystyle g}$لديه${\displaystyle n}$المدخلات القطرية الموجبة و${\displaystyle p}$المدخلات القطرية السالبة؛ أي أنها ذات توقيع${\displaystyle (p,n)\neq (n,p)}$، لأننا افترضنا${\displaystyle n\neq p}$لذا فهذا غير ممكن أيضاً. وهذا يتركنا مع${\displaystyle C>0}$(باعتبارها الخيار الوحيد). وبهذا يكتمل برهان النظرية.

إثبات النظرية (مفهومي ومفصل)

بحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، يمكننا تحديد أساس${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{d}\}}$ل${\displaystyle V}$مقارنة بأي${\displaystyle h}$له تمثيل مصفوفي${\displaystyle [h]={\begin{pmatrix}-I_{n}&0\\0&I_{p}\end{pmatrix}}}$النقطة الأساسية هي أن الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$يمكن تقسيمها إلى فضاءات فرعية${\displaystyle V^{-}}$(امتداد الأول)${\displaystyle n}$متجهات الأساس) و${\displaystyle V^{+}}$(ثم ​​مدى الآخر)${\displaystyle p}$متجهات الأساس) بحيث يكون كل متجه في${\displaystyle V}$يمكن كتابتها بشكل فريد كـ${\displaystyle v+w}$ل${\displaystyle v\in V^{-}}$و${\displaystyle w\in V^{+}}$؛ علاوة على ذلك${\displaystyle h(v,v)\leq 0}$،${\displaystyle h(w,w)\geq 0}$و${\displaystyle h(v,w)=0}$سنكتب${\displaystyle h(u)}$ل${\displaystyle h(u,u)}$من الآن فصاعدًا.

اللمة : يوجد ثابت${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$بحيث يكون لأي${\displaystyle v\in V^{-}}$و${\displaystyle w\in V^{+}}$،

(أ)${\displaystyle g(v,w)=0}$

(ب)${\displaystyle g(u)=Ch(u)}$، أين${\displaystyle u=v+w}$

برهان اللمة

1. ليكن a =${\displaystyle {\sqrt {-h(v)}},b={\sqrt {h(w)}}}$. بالخطية الثنائية:
2. ${\displaystyle h(bv+aw)=h(bv)+h(aw)=b^{2}h(v)+a^{2}h(w)=0}$
3. ${\displaystyle h(bv-aw)=h(bv)+h(-aw)=b^{2}h(v)+a^{2}h(w)=0}$بما أن المجموعة الفارغة من${\displaystyle h}$يحتوي على ذلك من${\displaystyle g}$:
4. ${\displaystyle 0=g(bv+aw)=b^{2}g(v)+2bag(v,w)+a^{2}g(w)}$
5. ${\displaystyle 0=g(bv-aw)=b^{2}g(v)-2bag(v,w)+a^{2}g(w)}$جمع/طرح 4 و 5 من بعضهما البعض يعطي 6 و 7:
6. ${\displaystyle g(bv,aw)=0}$
7. ${\displaystyle b^{2}g(v)+a^{2}g(w)=0}$بحلول الساعة السادسة،${\displaystyle g(v,w)=0}$، مما يثبت (أ)، من خلال 7 و2،${\displaystyle b^{2}g(v)=-a^{2}g(w)}$و${\displaystyle b^{2}h(v)=-a^{2}h(w)}$
8. لذا${\displaystyle {\frac {g(v)}{h(v)}}={\frac {g(w)}{h(w)}}}$.

حفظ${\displaystyle v}$ثابت ومتغير${\displaystyle w}$نلاحظ أن هذه النسبة لا تعتمد على${\displaystyle w}$وبالمثل، فهو لا يعتمد على${\displaystyle v}$.

لنسمي هذه النسبة${\displaystyle C}$لدينا${\displaystyle g(u)=g(v)+g(w)=Ch(v)+Ch(w)=Ch(u)}$، حيث تتبع المعادلة الأولى من (أ). وهذا يثبت (ب).${\displaystyle \quad \square }$

للجميع${\displaystyle u,u'\in V}$لدينا ${\displaystyle g(u,u')={\frac {g(u+u')-g(u-u')}{4}}={\frac {Ch(u+u')-Ch(u-u')}{4}}=Ch(u,u')}$، حيث تتبع المعادلتان الأولى والأخيرة من الخطية الثنائية، وتتبع المعادلة الوسطى من الجزء (ب) من اللمة.

لذا${\displaystyle g=Ch.\quad \square }$

يتم الرجوع إلى صيغ الدوال الزائدية الثلاث هذه (H1 – H3) أدناه:

1. ${\displaystyle \cosh ^{2}\Psi -\sinh ^{2}\Psi =1,}$
2. ${\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}$
3. ${\displaystyle \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}$

يتم حل المشكلة المطروحة في التكوين القياسي لزيادة السرعة في الاتجاه x ، حيث تشير الإحداثيات المميزة إلى النظام المتحرك ، عن طريق إيجاد حل خطي للمشكلة الأبسط.

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}.}$$

الحل الأكثر عمومية هو، كما يمكن التحقق منه عن طريق الاستبدال المباشر باستخدام (H1)، ^{[ 4 ]}

${\displaystyle x=x'\cosh \Psi +ct'\sinh \Psi ,\quad ct=x'\sinh \Psi +ct'\cosh \Psi .}$

1

لإيجاد دور Ψ في السياق الفيزيائي، سجّل مسار نقطة الأصل لـ F ′ ، أي x ′ = 0، x = vt . تصبح المعادلات (باستخدام x ′ = 0 أولاً )،

$${\displaystyle x=ct'\sinh \Psi ,\quad ct=ct'\cosh \Psi .}$$

والآن قسّم:

$${\displaystyle {\frac {x}{ct}}=\tanh \Psi ={\frac {v}{c}}\Rightarrow \quad \sinh \Psi ={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

حيث تم استخدام x = vt في الخطوة الأولى، و(H2) و(H3) في الخطوة الثانية، والتي عند تعويضها مرة أخرى في ( 1 )، تعطي

$${\displaystyle x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

أو بالاختصارات المعتادة،

يتم تكرار هذه العملية الحسابية بمزيد من التفصيل في قسم الدوران الزائدي .

يمكن أيضًا اشتقاق تحويلات لورنتز من خلال تطبيق بسيط لمسلمات النسبية الخاصة وباستخدام المتطابقات الزائدية . ^{[ 8 ]}

مسلمات النسبية

ابدأ من معادلات الجبهة الموجية الكروية لنبضة ضوئية، متمركزة عند نقطة الأصل:

$${\displaystyle (ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ct')^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=0}$$

والتي تتخذ الشكل نفسه في كلا الإطارين بسبب مسلمات النسبية الخاصة. بعد ذلك، ضع في اعتبارك الحركة النسبية على طول المحور x لكل إطار، في التكوين القياسي أعلاه، بحيث يكون y = y ′، z = z ′، وهو ما يتبسط إلى

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}}$$

الخطية

والآن افترض أن التحويلات تأخذ الشكل الخطي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=Ax+Bct\\ct'&=Cx+Dct\end{aligned}}}$$

حيث يجب إيجاد A و B و C و D. إذا كانت هذه القوى غير خطية، فلن تتخذ الشكل نفسه لجميع المراقبين، إذ ستظهر قوى وهمية (وبالتالي تسارعات) في إطار مرجعي واحد حتى لو كانت السرعة ثابتة في إطار مرجعي آخر، وهو ما يتعارض مع تحويلات الإطار المرجعي العطالي. ^{[ 9 ]}

بالتعويض في النتيجة السابقة:

$${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=[(Cx)^{2}+(Dct)^{2}+2CDcxt]-[(Ax)^{2}+(Bct)^{2}+2ABcxt]}$$

ومقارنة معاملات x² ^و t² ^و xt :​

$${\displaystyle {\begin{aligned}-1=C^{2}-A^{2}&\Rightarrow &A^{2}-C^{2}=1\\c^{2}=(Dc)^{2}-(Bc)^{2}&\Rightarrow &D^{2}-B^{2}=1\\2CDc-2ABc=0&\Rightarrow &AB=CD\end{aligned}}}$$

الدوران الزائدي

تشير المعادلات إلى الهوية الزائدية${\displaystyle \cosh ^{2}\phi -\sinh ^{2}\phi =1.}$

إن إدخال معامل السرعة ϕ كزاوية زائدية يسمح بتحديدات متسقة

$${\displaystyle A=D=\cosh \phi \,,\quad C=B=-\sinh \phi }$$

حيث تم اختيار الإشارات بعد الجذور التربيعية بحيث تزداد قيمتا x' و t' إذا زادت قيمتا x و t على التوالي. وقد تم حل التحويلات الزائدية لـ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cosh \phi -ct\sinh \phi \\ct'&=-x\sinh \phi +ct\cosh \phi \end{aligned}}}$$

إذا تم اختيار الإشارات بشكل مختلف، فسيتعين استبدال إحداثيات الموضع والوقت بـ − x و/أو − t بحيث تزداد x و t لا تنقص.

لإيجاد كيفية ارتباط ϕ بالسرعة النسبية، من التكوين القياسي، يتم قياس أصل الإطار ذي العلامة x ′ = 0 في الإطار بدون علامة ليكون x = vt (أو العكس المكافئ؛ أصل الإطار بدون علامة هو x = 0 وفي الإطار ذي العلامة يكون عند x ′ = − vt ):

$${\displaystyle 0=vt\cosh \phi -ct\sinh \phi \,\Rightarrow \,\tanh \phi ={\frac {v}{c}}=\beta }$$

والمتطابقات الزائدية${\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},\,\cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}}}$يؤدي ذلك إلى العلاقات بين β و γ و ϕ ،

$${\displaystyle \cosh \phi =\gamma ,\,\quad \sinh \phi =\beta \gamma \,.}$$

أظهرت سلسلة من النتائج في الستينيات والسبعينيات، والتي بلغت ذروتها في عمل أ.د. ألكسندروف ، أن تحويلات لورنتز يمكن اشتقاقها من خصائص نوعية أكثر جوهرية للزمكان من ثبات سرعة الضوء.

علم هندسة الزمن لألكسندروف (1950-1976): منذ عام 1949، وعلى مدار عقدين من الزمن، وضع ألكسندروف أهم النتائج العامة في هذا المجال. ينطلق منهجه، الذي أطلق عليه اسم "هندسة الزمن"، من الترتيب السببي للأحداث. وقد نظر في مجموعة جميع التحويلات التي تحافظ على علاقة "ما بعد" (أي، إذا كان الحدث أ يؤثر على الحدث ب، فإن الحدث المُحوَّل f(أ) يؤثر على f(ب)). تمثلت مساهمة ألكسندروف الرائدة في إثبات أن أي تحويل أحادي التقابل لفضاء مينكوفسكي (أو حتى منطقة منه) على نفسه، والذي يحافظ على الترتيب السببي - أو، بشكل أدق، عائلة المخاريط الضوئية - يجب أن يكون تحويل لورنتز مُركَّبًا مع تمدد. ^{[ 10 ] [ 11 ]} ويُذكر عمله بشكل خاص لتصنيفه التحويلات المطابقة للزمكان (بما في ذلك الانعكاسات) باعتبارها التشاكلات السببية المحلية الوحيدة.

نظرية السببية لإريك كريستوفر زيمان (1964): في ورقة بحثية نُشرت عام 1964، قدّم إريك كريستوفر زيمان، بشكل مستقل، نتيجةً ذات صلة، ولكنها أقل عمومية. فقد برهن أن أي تشاكل ذاتي لفضاء مينكوفسكي (أي تطبيق أحادي على نفسه) يحافظ على العلاقة السببية - وهو شرط أضعف من ثبات سرعة الضوء بالمعنى الرياضي - هو بالضرورة عنصر من مجموعة لورنتز، مقترنًا بعمليات الإزاحة والتمدد. ^{[ 12 ]} وعلى الرغم من تأثيرها الكبير، تفترض نظرية زيمان أن التطبيق مُعرّف على الفضاء بأكمله، بينما وسّع عمل ألكسندروف اللاحق النتائج لتشمل التطبيقات المحلية للمجالات.

إنّ الاستنتاج الجماعي لهذه النظريات عميقٌ للغاية: فالبنية السببية للزمكان، المُعرَّفة ببساطة من خلال الأحداث التي يمكن أن تؤثر في بعضها البعض، كافية لتحديد هندسته بشكلٍ فريد على أنها مينكوفسكية، وتناظراته على أنها تحويلات لورنتز. وهذا يجعل مبدأ السببية بديهيةً أكثر جوهريةً من ثبات سرعة الضوء في البنية المنطقية للنسبية الخاصة.

يمكن اشتقاق معادلات التحويل من تمدد الزمن وانكماش الطول ، واللذان يمكن اشتقاقهما بدورهما من المبادئ الأساسية. وباعتبار O و O ′ يمثلان الأصل المكاني للإطارين F ​​و F ′ ، ووجود حدث ما M ، فإن العلاقة بين متجهات الموضع (التي تختزل هنا إلى القطع الموجهة OM و OO ′ و O′M ) في كلا الإطارين تُعطى بالمعادلة التالية: ^{[ 13 ]}

باستخدام الإحداثيات ( x , t ) في F و ( x ′ , t ′ ) في F ′ للحدث M، في الإطار F تكون القطع OM = x و OO ′ = vt و O′M = x ′ / γ ( لأن x ′ هي O′M كما تم قياسها في F ′ ) : $${\displaystyle x=vt+x'/\gamma .}$$ وبالمثل، في الإطار F ′ ، تكون القطع OM = x / γ (لأن x هي OM كما تم قياسها في F )، و OO ′ = vt ′ و O ′ M = x ′ : $${\displaystyle x/\gamma =vt'+x'.}$$ بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، نحصل على $${\displaystyle x'=\gamma (x-vt),}$$ وهو الجزء المكاني من تحويل لورنتز. وتعطي العلاقة الثانية $${\displaystyle x=\gamma (x'+vt'),}$$ وهو معكوس الجزء المكاني. وبحذف x ′ بين معادلتي الجزء المكاني نحصل على

$${\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}$$

ذلك، إذا${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}}$، ويُبسط إلى:

$${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$$ وهو الجزء الزمني من التحويل، والذي يتم إيجاد معكوسه عن طريق حذف مماثل لـ x : $${\displaystyle t=\gamma (t'+vx'/c^{2}).}$$

ما يلي مشابه لما طرحه أينشتاين. ^{[ 14 ] [ 15 ]} كما هو الحال في تحويل غاليليو ، فإن تحويل لورنتز خطي لأن السرعة النسبية للأطر المرجعية ثابتة كمتجه؛ وإلا لظهرت قوى القصور الذاتي . تُسمى هذه الأطر المرجعية بالأطر المرجعية القصور الذاتي أو غاليليو. وفقًا لنظرية النسبية، لا يُفضّل أي إطار مرجعي غاليليو. شرط آخر هو أن تكون سرعة الضوء مستقلة عن الإطار المرجعي، أي عن سرعة مصدر الضوء.

لنفترض وجود إطارين مرجعيين قصوريين O و O ′، حيث يكون O ساكنًا بينما يتحرك O ′ بسرعة v بالنسبة إلى O في الاتجاه الموجب لمحور x . تتطابق نقطتا الأصل O و O ′ في البداية. تُبعث إشارة ضوئية من نقطة الأصل المشتركة وتنتشر على شكل موجة كروية. لنفترض وجود نقطة P على هذه الموجة الكروية على بُعد r و r ′ من نقطتي الأصل O و O ′ على التوالي. وفقًا للفرضية الثانية من النظرية النسبية الخاصة، فإن سرعة الضوء متساوية في كلا الإطارين، لذا بالنسبة للنقطة P : $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=ct\\r'&=ct'.\end{aligned}}}$$

معادلة الكرة في الإطار O معطاة بالصيغة التالية $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$$ بالنسبة للجبهة الموجية الكروية التي تصبح $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}.}$$وبالمثل، تُعطى معادلة الكرة في الإطار O ′ بالصيغة التالية:$${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},}$$ لذا فإن جبهة الموجة الكروية تحقق $${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2}.}$$

يتحرك الأصل O ′ على طول المحور x . لذلك، $${\displaystyle {\begin{aligned}y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}$$

يجب أن تتغير x′ خطيًا مع x و t . لذلك، يكون للتحويل الشكل التالي: $${\displaystyle x'=\gamma x+\sigma t.}$$ بالنسبة لأصل O′x ′ و x، يتم تحديدهما بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=0\\x&=vt,\end{aligned}}}$$ لذا، بالنسبة لجميع قيم t ، $${\displaystyle 0=\gamma vt+\sigma t}$$ وبالتالي $${\displaystyle \sigma =-\gamma v.}$$ هذا يبسط عملية التحويل إلى $${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$$ حيث يجب تحديد قيمة γ . عند هذه النقطة، لا تكون γ ثابتة بالضرورة، ولكن يجب أن تؤول إلى 1 عندما تكون v ≪ c .

التحويل العكسي هو نفسه باستثناء أن إشارة v معكوسة: $${\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right).}$$

المعادلتان أعلاه توضحان العلاقة بين t و t′ على النحو التالي: $${\displaystyle x=\gamma \left[\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right]}$$ أو $${\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}$$

باستبدال x′ و y′ و z′ و t′ في معادلة الجبهة الموجية الكروية في إطار O ′، $${\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2},}$$ ينتج عن تعبيراتهم بدلالة x و y و z و t ما يلي : $${\displaystyle {\gamma ^{2}}\left(x-vt\right)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}\left[\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}\right]^{2}}$$ وبالتالي، $${\displaystyle \gamma ^{2}x^{2}+\gamma ^{2}v^{2}t^{2}-2\gamma ^{2}vtx+y^{2}+z^{2}=c^{2}{\gamma ^{2}}t^{2}+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}x^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)txc^{2}}{v}}}$$ وهذا يعني، $${\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-2{\gamma ^{2}}vtx+y^{2}+z^{2}=\left(c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right)t^{2}+2{\frac {\left[1-{\gamma ^{2}}\right]txc^{2}}{v}}}$$ أو $${\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-\left[2{\gamma ^{2}}v+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)c^{2}}{v}}\right]tx+y^{2}+z^{2}=\left[c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right]t^{2}}$$

بمقارنة معامل t ² في المعادلة أعلاه مع معامل t ² في معادلة الجبهة الموجية الكروية للإطار O ، نحصل على: $${\displaystyle c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}=c^{2}}$$ يمكن الحصول على تعابير مكافئة لـ γ عن طريق مطابقة ^{معاملات} x² أو جعل معامل tx يساوي صفرًا. بإعادة الترتيب: $${\displaystyle {\gamma ^{2}}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$ أو، اختيار الجذر الموجب لضمان أن تشير محاور x و x' ومحاور الزمن في نفس الاتجاه، $${\displaystyle {\gamma }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ وهذا ما يُسمى عامل لورنتز . ينتج عن هذا العامل تحويل لورنتز من التعبير أعلاه. ويُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$$

إن تحويل لورنتز ليس التحويل الوحيد الذي يحافظ على شكل الموجات الكروية، إذ توجد مجموعة أوسع من تحويلات الموجات الكروية في سياق الهندسة المطابقة ، والتي تحافظ على التعبير${\displaystyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}$ومع ذلك، لا يمكن استخدام التحويلات المطابقة المتغيرة المقياس لوصف جميع قوانين الطبيعة بشكل متناظر، بما في ذلك الميكانيكا ، في حين أن تحويلات لورنتز (التحويل الوحيد الذي ينطوي على${\displaystyle \lambda =1}$تمثل هذه المعادلة تناظرًا لجميع قوانين الطبيعة وتختزل إلى تحويلات غاليليو عند${\displaystyle v\ll c}$.

في كتابه الشهير ^{[ 19 ]،} اشتق أينشتاين تحويل لورنتز بالقول إنه يجب أن يكون هناك ثابتان اقتران غير صفريين λ و μ بحيث

$${\displaystyle {\begin{cases}x'-ct'=\lambda \left(x-ct\right)\\x'+ct'=\mu \left(x+ct\right)\,\end{cases}}}$$