نظرية قياس الشبكة

في الفيزياء ، نظرية القياس الشبكي هي دراسة نظريات القياس على الزمكان الذي تم تقسيمه إلى شبكة .

تُعدّ نظريات القياس مهمة في فيزياء الجسيمات ، وتشمل النظريات السائدة للجسيمات الأولية : الديناميكا الكهربائية الكمومية ، والديناميكا اللونية الكمومية (QCD)، والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات . تتضمن حسابات نظرية القياس غير الاضطرابية في الزمكان المتصل حساب تكامل مسار لا نهائي الأبعاد، وهو أمر غير قابل للحل حسابيًا. عند العمل على زمكان منفصل ، يصبح تكامل المسار محدود الأبعاد، ويمكن حسابه باستخدام تقنيات المحاكاة العشوائية مثل طريقة مونت كارلو . عندما يُؤخذ حجم الشبكة كبيرًا جدًا وتكون مواقعها متقاربة جدًا، تُستعاد نظرية القياس المتصلة. ^{[ 1 ]}

في نظرية قياس الشبكة، يتم تدوير الزمكان بواسطة ويك إلى الفضاء الإقليدي وتقسيمه إلى شبكة ذات مواقع مفصولة بمسافة${\displaystyle a}$وترتبط هذه الشبكات بروابط. في معظم الحالات الشائعة، مثل نظرية الكروموديناميكا الكمية الشبكية (QCD )، تُعرَّف حقول الفرميون عند مواقع الشبكة (مما يؤدي إلى مضاعفة الفرميون )، بينما تُعرَّف حقول القياس على الروابط. أي، يُخصَّص عنصر U من زمرة لي المدمجة G (ليست جبرًا ) لكل رابط. وبالتالي، لمحاكاة نظرية الكروموديناميكا الكمية باستخدام زمرة لي SU(3) ، تُعرَّف مصفوفة وحدوية 3×3 على كل رابط. يُخصَّص للرابط اتجاه، ويكون العنصر العكسي له مطابقًا للرابط نفسه ولكن باتجاه معاكس. ويُعطى كل عقدة قيمة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$(متجه لون ثلاثي الأبعاد، الفضاء الذي يعمل عليه التمثيل الأساسي لـ SU(3))، سبينور ديراك ، متجه n _f ، ومتغير غراسمان .

وبالتالي، فإن تكوين عناصر SU(3) للروابط على طول مسار (أي الضرب المرتب لمصفوفاتها) يقارب دالة أسية مرتبة على المسار (تكامل هندسي)، والتي يمكن من خلالها حساب قيم حلقة ويلسون للمسارات المغلقة.

تُكتب معادلة يانغ-ميلز على الشبكة باستخدام حلقات ويلسون ( نسبةً إلى كينيث جي. ويلسون )، بحيث تكون النهاية${\displaystyle a\to 0}$^{[ 1 ]} يعيد إنتاج فعل الاستمرارية الأصلي بشكل رسمي. ^[ 1] بالنظر إلى تمثيل غير قابل للاختزال ρ أمين لـ G ، فإن فعل يانغ-ميلز الشبكي، المعروف باسم فعل ويلسون ، هو مجموع جميع مواقع الشبكة للمكون الحقيقي للأثر على الروابط n e1 _، ...، _en في حلقة ويلسون،

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

هنا، χ هو الحرف . إذا كان ρ تمثيلاً حقيقياً (أو شبه حقيقي )، فإن أخذ المكون الحقيقي يصبح زائداً، لأنه حتى لو تم قلب اتجاه حلقة ويلسون، فإن مساهمتها في الفعل تظل دون تغيير.

توجد العديد من عمليات ويلسون الممكنة، وذلك بحسب حلقات ويلسون المستخدمة في العملية. تستخدم أبسط عملية ويلسون حلقة ويلسون 1×1 فقط، وتختلف عن عملية الاستمرارية بوجود "تشوهات شبكية" تتناسب مع صغر المسافة بين أجزاء الشبكة.${\displaystyle a}$باستخدام حلقات ويلسون الأكثر تعقيدًا لبناء "إجراءات محسّنة"، يمكن تقليل تشوهات الشبكة لتكون متناسبة مع${\displaystyle a^{2}}$مما يجعل الحسابات أكثر دقة.

تُحسب كميات مثل كتل الجسيمات بشكل عشوائي باستخدام تقنيات مثل طريقة مونت كارلو . وتُولد تكوينات مجال القياس باحتمالات تتناسب مع${\displaystyle e^{-\beta S}}$، أين${\displaystyle S}$هو فعل الشبكة و${\displaystyle \beta }$يرتبط ذلك بتباعد الشبكة${\displaystyle a}$يتم حساب الكمية المطلوبة لكل تكوين، ثم يتم حساب متوسطها. وغالبًا ما تُكرر الحسابات عند مسافات شبكية مختلفة.${\displaystyle a}$بحيث يمكن تعميم النتيجة على نطاق متصل،${\displaystyle a\to 0}$.

غالبًا ما تتطلب هذه الحسابات موارد حاسوبية هائلة، وقد تستلزم استخدام أكبر الحواسيب العملاقة المتاحة . ولتقليل العبء الحسابي، يُمكن استخدام ما يُسمى بتقريب الإخماد ، حيث تُعامل الحقول الفرميونية كمتغيرات "مجمدة" غير ديناميكية. وبينما كان هذا شائعًا في حسابات QCD الشبكية المبكرة، أصبحت الفرميونات "الديناميكية" معيارًا الآن. ^{[ 3 ]} تُعد محاكاة نظريات القياس الشبكية أحد التطبيقات الافتراضية للحواسيب الكمومية . ^{[ 4 ]}

تُظهر نتائج حسابات QCD الشبكية أنه في الميزون، لا تكون الجسيمات (الكواركات والكواركات المضادة) مهمة فحسب، بل أيضًا " أنابيب التدفق " لحقول الغلوون.

تُعدّ نظرية قياس الشبكة مهمةً أيضًا لدراسة التفاهة الكمومية بواسطة مجموعة إعادة التطبيع في الفضاء الحقيقي . ^{[ 5 ]} أهم المعلومات في تدفق مجموعة إعادة التطبيع هي النقاط الثابتة . تُعطى الحالات الماكروسكوبية الممكنة للنظام، على نطاق واسع، بواسطة هذه المجموعة من النقاط الثابتة. إذا كانت هذه النقاط الثابتة تُطابق نظرية حقل حر، يُقال إن النظرية تافهة أو غير تفاعلية. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

طُبِّق مفهوم التافهة على فيزياء بوزون هيغز . ^{[ 8 ]} تُقدِّم نظرية φ⁴ نموذجًا مبسطًا نسبيًا لـ"قطاع هيغز" في النموذج القياسي ، وهي نظرية حقل قياسي تتضمن لاغرانجيانها حد تفاعل من الدرجة ^{الرابعة} في الحقل φ. يُفترض، استنادًا إلى أدلة تشمل حسابات قياس الشبكة، أن هذه النظرية "تافهة": إذا تم اختيار حد القطع للتنظيم عند مسافة صفرية أو طاقة لانهائية، فإن النظرية ستصف الجسيمات الحرة فقط. باستخدام هذا كنموذج لبوزون هيغز، فإن التافهة المفترضة تعني أنه لا يمكن إزالة حد القطع. نظرًا لوجود حد أعلى لطاقة القطع، فهناك حد أعلى لقوة التفاعل، مما يعني في النهاية وجود حد أعلى لكتلة بوزون هيغز. ^{[ 9 ]}

في الأصل، تم تقديم نظريات قياس الشبكة ثنائية الأبعاد القابلة للحل في عام 1971 كنماذج ذات خصائص إحصائية مثيرة للاهتمام من قبل المنظر فرانز فيجنر ، الذي عمل في مجال التحولات الطورية . ^{[ 10 ]}

عندما تظهر حلقات ويلسون 1×1 فقط في الفعل، يمكن إثبات أن نظرية قياس الشبكة هي ثنائية تمامًا لنماذج رغوة الدوران . ^{[ 11 ]}

• نظرية قياس الشبكة الهاميلتونية
• نظرية المجال الشبكي
• شبكة QCD
• إجراء ويلسون

• كروتز، مايكل (2022). الكواركات، والغلوونات، والشبكات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781009290395.
• ماكينكو، يوري (2023). مناهج نظرية القياس المعاصرة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781009402095.
• سميت، يان (2023). مقدمة في الحقول الكمومية على الشبكة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781009402705.
• روث، هاينز (2012). نظريات قياس الشبكة: مقدمة . وورلد ساينتيفيك. ISBN 9789814365871.
• جاترينجر، سي.، لانج، سي. بي.، الديناميكا اللونية الكمومية على الشبكة ، سبرينغر، (2010). ISBN 978-3642018497
• كنيشتلي، ف.، غونتر، م.، بيردون، م.، الديناميكا اللونية الكمومية الشبكية: أساسيات عملية ، سبرينغر، (2016). ISBN 978-9402409970
• وايز بيتر، ماجومدار بوشان (2012). "نظريات قياس الشبكة" . سكولاربيديا . 7 (4): 8615. رمز Bibcode : 2012SchpJ...7.8615W . doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

• مكتبة فيرمي كيو سي دي لنظرية المجال الشبكي
• مكتبات برامج الديناميكا اللونية الكمومية الشبكية الأمريكية، مؤرشفة بتاريخ 23 فبراير 2024 على موقع Wayback Machine