رباعي عشر الأضلاع

في الهندسة ، يُعرف المضلع ذو الأربعة عشر ضلعًا باسم المضلع الرباعي عشر أو المضلع الرباعي عشر أو المضلع ذو الأربعة عشر ضلعًا .

يتم تمثيل الشكل الرباعي المنتظم بواسطة رمز شلافلي {14} ويمكن إنشاؤه على شكل سباعي الأضلاع شبه منتظم ، t{7} ، والذي يتناوب بين نوعين من الحواف.

مساحة الشكل الرباعي المنتظم ذي طول الضلع a تُعطى بالعلاقة التالية :

${\displaystyle A={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}\approx 15.3345a^{2}}$

بناء

بما أن 14 = 2 × 7، فلا يمكن إنشاء شكل رباعي عشر منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، يمكن إنشاؤه باستخدام النيوسيس مع استخدام منصف الزاوية ، ^{[ 2 ]} أو باستخدام مسطرة مدرجة، ^{[ 3 ]} كما هو موضح في المثالين التاليين.

يتمتع الشكل الرباعي المنتظم ذو العشرة أضلاع بتناظر Dih ₁₄ ، من الرتبة 28. وهناك 3 تناظرات ثنائية السطوح للمجموعات الفرعية: Dih ₇ و Dih ₂ و Dih ₁ ، و 4 تناظرات للمجموعات الدورية : Z ₁₄ و Z ₇ و Z ₂ و Z ₁ .

يمكن ملاحظة هذه التناظرات الثمانية في عشرة تناظرات مميزة على المضلع ذي الأربعة عشر ضلعًا، وهو عدد أكبر لأن خطوط الانعكاس قد تمر عبر الرؤوس أو الحواف. يرمز جون كونواي لهذه التناظرات بحرف وترتيب المجموعة. ^{[ 4 ]} التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r28 ، ولا يوجد تناظر يُرمز له بـ a1 . تُقسم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطري) أو الحواف ( p للعمودي)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. تُرمز التناظرات الدورية في العمود الأوسط بـ g لترتيب دورانها المركزي.

يُتيح تناظر كل مجموعة فرعية درجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g14 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

أعلى أشكال رباعية الأضلاع غير المنتظمة تناظرًا هي d14 ، وهو شكل رباعي الأضلاع متساوي الزوايا مُكوَّن من سبعة مرايا يمكن أن تتبادل فيها الأضلاع الطويلة والقصيرة، و p14 ، وهو شكل رباعي الأضلاع متساوي المحاور، مُكوَّن من أطوال أضلاع متساوية، ولكن رؤوسه تتبادل فيها زاويتان داخليتان مختلفتان. هذان الشكلان متناظران لبعضهما البعض، ولهما نصف رتبة تناظر الشكل الرباعي الأضلاع المنتظم.

إسقاط مكعب 14

تشريح المعين 84

يذكر كوكسيتر أن كل مضلع زونوغون (مضلع طوله 2 م، أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى م ( م - 1)/2 متوازي أضلاع. ^{[ 5 ]} وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، حيث تكون متوازيات الأضلاع جميعها معينات. بالنسبة للمضلع الرباعي عشر المنتظم ، م = 7، ويمكن تقسيمه إلى 21: 3 مجموعات من 7 معينات. يعتمد هذا التقسيم على إسقاط مضلع بيتري لمكعب سباعي الأضلاع ، ذي 21 وجهًا من أصل 672 وجهًا. تحدد قائمة OEIS : A006245  عدد الحلول بـ 24698، بما في ذلك الدوران حتى 14 مرة والأشكال الكيرالية في الانعكاس.

التشريح إلى 21 معينًا

يُستخدم الشكل الرباعي العشري المنتظم كشكل لبعض العملات التذكارية الذهبية والفضية الماليزية ، حيث يمثل عدد الأضلاع الولايات الـ 14 للاتحاد الماليزي. ^{[ 6 ]}

النجمة الرباعية هي مضلع نجمي ذو 14 ضلعًا، ويرمز لها بالرمز {14/n}. يوجد نوعان من المضلعات النجمية المنتظمة : {14/3} و{14/5}، يستخدمان نفس الرؤوس، لكنهما يربطان كل نقطة ثالثة أو خامسة. كما توجد ثلاثة أشكال مركبة: {14/2} تُختزل إلى 2{7} على هيئة سباعيي الأضلاع ، بينما تُختزل {14/4} و{14/6} إلى 2{7/2} و2{7/3} على هيئة سباعيي أضلاع مختلفين ، وأخيرًا تُختزل {14/7} إلى سبعة ثنائيات الأضلاع .

ومن التطبيقات البارزة للنجمة ذات الأربعة عشر رأساً علم ماليزيا ، الذي يتضمن نجمة صفراء {14/6} رباعية عشرية في الزاوية العلوية اليمنى، تمثل وحدة الولايات الثلاث عشرة مع الحكومة الفيدرالية .

المركبات والمضلعات النجمية
ن	1	2	3	4	5	6	7
استمارة	عادي	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{14/1} = {14}	{14/2} = 2{7}	{14/3}	{14/4} = 2{7/2}	{14/5}	{14/6} = 2{7/3}	{14/7} أو 7{2}
خطة داخلية	≈154.286°	≈128.571°	≈102.857°	≈77.1429°	≈51.4286°	≈25.7143°	0°

يمكن أن تؤدي عمليات القطع الأعمق للمضلع السباعي المنتظم والهيبتاجرام إلى إنتاج أشكال وسيطة متساوية الزوايا ( متعدية الرؤوس ) من نوع تيتراديكاجرام، ذات رؤوس متساوية التباعد وطولين مختلفين للحواف. كما يمكن لعمليات قطع أخرى أن تُشكّل مضلعات تغطية مزدوجة 2{p/q}، وهي: t{7/6}={14/6}=2{7/3}، وt{7/4}={14/4}=2{7/2}، وt{7/2}={14/2}=2{7}. ^{[ 7 ]}

اقتطاعات متساوية الزوايا للمضلع السباعي والنجمة السباعية
شبه منتظم	متساوي الزوايا			غطاء مزدوج شبه منتظم
t{7}={14}				7/6 = 14/6 = 27/3
t{7/3}={14/3}				t{7/4}={14/4} =2{7/2}
t{7/5}={14/5}				t{7/2}={14/2} =2{7}

الأشكال متساوية السمية

يمكن تسمية المضلع متساوي الأضلاع بالرمز {p α } _حيث الزاوية الداخلية الخارجية α ، والمضلع النجمي بالرمز {( p / q ) _α }، حيث q هو عدد اللفات ، والقاسم المشترك الأكبر لـ p و q هو 1، و q < p . المضلعات رباعية الأضلاع متساوية الأضلاع لها p = 7، وبما أن 7 عدد أولي، فإن جميع الحلول، q = 1..6، هي مضلعات.

{7 α }

{(7/2) α }

{(7/3) α }

{(7/4) α }

{(7/5) α }

{(7/6) α }

مضلعات بيتري

توجد الأشكال الرباعية الاثني عشرية المائلة المنتظمة كمضلعات بيتري للعديد من متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى، كما هو موضح في هذه الإسقاطات المتعامدة المائلة ، بما في ذلك:

مضلعات بيتري
ب 7		2I 2 (7) (4D)
7-أورثوبلكس	مكعب 7	7-7 هرم مزدوج	7-7 منشور مزدوج
أ 13	د 8		E 8
13-simplex	5 11	1 51	4 21	2 41

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الشكل الرباعي ذو العشرة أضلاع" . عالم الرياضيات .