مسرد مصطلحات الطوبولوجيا العامة

هذا معجم لبعض المصطلحات المستخدمة في فرع الرياضيات المعروف باسم الطوبولوجيا . مع أنه لا يوجد تمييز مطلق بين فروع الطوبولوجيا المختلفة، إلا أن التركيز هنا ينصب على الطوبولوجيا العامة . وتُعدّ التعريفات التالية أساسية أيضًا للطوبولوجيا الجبرية ، والطوبولوجيا التفاضلية ، والطوبولوجيا الهندسية . للاطلاع على قائمة المصطلحات الخاصة بالطوبولوجيا الجبرية، انظر معجم الطوبولوجيا الجبرية .

جميع الفضاءات في هذا المعجم يفترض أنها فضاءات طوبولوجية ما لم يُذكر خلاف ذلك.

مغلق تمامًا

انظر H-closed

متاح للجميع

يرى${\displaystyle T_{1}}$.

نقطة التراكم

انظر إلى نقطة الحد .

تكثيف ألكساندروف

طوبولوجيا ألكسندروف

تكون طوبولوجيا الفضاء X طوبولوجيا ألكسندروف (أو مولدة بشكل نهائي ) إذا كانت التقاطعات العشوائية للمجموعات المفتوحة في X مفتوحة، أو بشكل مكافئ، إذا كانت الاتحادات العشوائية للمجموعات المغلقة مغلقة، أو، مرة أخرى بشكل مكافئ، إذا كانت المجموعات المفتوحة هي المجموعات العليا لمجموعة مرتبة جزئياً . ^{[ 1 ]}

شبه سري

يُقال عن الفضاء أنه شبه منفصل إذا كانت كل مجموعة مفتوحة فيه مغلقة (ومن هنا جاءت تسمية clopen). والفضاءات شبه المنفصلة هي تحديدًا الفضاءات الصفرية الأبعاد المولدة نهائيًا.

ألفا-مغلق، ألفا-مفتوح

تكون المجموعة الجزئية A من الفضاء الطوبولوجي X مفتوحة من النوع α إذا${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)}$ومكملة هذه المجموعة هي مجموعة مغلقة من النوع α. ^{[ 2 ]}

مساحة الاقتراب

فضاء الاقتراب هو تعميم للفضاء المتري يعتمد على المسافات من نقطة إلى مجموعة، بدلاً من المسافات من نقطة إلى نقطة.

مساحة باير

لهذا الأمر معنيان مشتركان متميزان:

1. الفضاء هو فضاء باير إذا كان تقاطع أي مجموعة قابلة للعد من المجموعات المفتوحة الكثيفة كثيفًا؛ انظر فضاء باير .
2. فضاء باير هو مجموعة جميع الدوال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الطبيعية، مع طوبولوجيا التقارب النقطي؛ انظر فضاء باير (نظرية المجموعات) .

قاعدة

تُعتبر مجموعة B من المجموعات المفتوحة أساسًا (أو قاعدة ) لطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$إذا كانت كل مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \tau }$هو اتحاد مجموعات في${\displaystyle B}$الطوبولوجيا${\displaystyle \tau }$هي أصغر بنية على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle B}$ويُقال إنه ناتج عن${\displaystyle B}$.

أساس

انظر القاعدة .

β-مفتوح

انظر شبه مفتوح مسبقًا .

مفتوح، مغلق

مجموعة فرعية${\displaystyle A}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يكون مفتوحًا إذا${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$. متممة المجموعة المفتوحة من النوع b هي مجموعة مغلقة من النوع b. ^{[ 2 ]}

جبر بوريل

جبر بوريل على فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$هو الأصغر${\displaystyle \sigma }$الجبر الذي يحتوي على جميع المجموعات المفتوحة. يتم الحصول عليه عن طريق أخذ تقاطع جميع${\displaystyle \sigma }$الجبر على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle \tau }$.

مجموعة بوريل

مجموعة بوريل هي عنصر من عناصر جبر بوريل.

الحدود

حدود المجموعة (أو حدودها الخارجية ) هي إغلاق المجموعة مطروحًا منه داخلها . وبصورة مكافئة، حدود المجموعة هي تقاطع إغلاقها مع إغلاق متممتها. حدود المجموعة${\displaystyle A}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \partial A}$أو${\displaystyle bd}$${\displaystyle A}$.

محدود

تكون المجموعة في الفضاء المتري محدودة إذا كان قطرها محدودًا . وبالمثل، تكون المجموعة محدودة إذا كانت محتواة في كرة مفتوحة ذات نصف قطر محدود. وتكون الدالة التي تأخذ قيمًا في الفضاء المتري محدودة إذا كانت صورتها مجموعة محدودة.

فئة الفضاءات الطوبولوجية

تحتوي فئة Top على فضاءات طوبولوجية ككائنات وخرائط متصلة كتشاكلات .​

متتابعة كوشي

تكون المتتالية { x n _} في فضاء متري ( M , d ) متتالية كوشي إذا كان لكل عدد حقيقي موجب r ، يوجد عدد صحيح N بحيث يكون لكل الأعداد الصحيحة m ، n > N ، لدينا d ( x _m ، x _n ) < r .

مجموعة Copen

تكون المجموعة مفتوحة ومغلقة إذا كانت مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت.

كرة مغلقة

إذا كان ( M , d ) فضاءً متريًا ، فإن الكرة المغلقة هي مجموعة على الصورة D ( x ; r )  := { y ∈ M  : d ( x , y ) ≤ r }، حيث x ∈ M و r عدد حقيقي موجب ، وهو نصف قطر الكرة. الكرة المغلقة التي نصف قطرها r هي كرة r مغلقة . كل كرة مغلقة هي مجموعة مغلقة في الطوبولوجيا المستحثة على M بواسطة d . لاحظ أن الكرة المغلقة D ( x ; r ) قد لا تساوي إغلاق الكرة المفتوحة B ( x ; r ).

مجموعة مغلقة

تكون المجموعة مغلقة إذا كان مكملها عنصرًا من عناصر الطوبولوجيا.

دالة مغلقة

تكون الدالة من فضاء إلى آخر مغلقة إذا كانت صورة كل مجموعة مغلقة مغلقة.

إنهاء

إغلاق المجموعة هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على المجموعة الأصلية. وهو يساوي تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتويها. أي عنصر من عناصر إغلاق المجموعة S هو نقطة إغلاق S.

عامل إغلاق

انظر بديهيات الإغلاق لكوراتوفسكي .

طوبولوجيا أكثر خشونة

إذا كانت X مجموعة، وإذا كانت T1 و T2 بنيتين _{طوبولوجيتين} على X ، فإن T1 تكون أضعف (أو أصغر ، أو _أقل قوة ) من _T2 إذا كانت T1 محتواة في _{T2 .} مع ذلك، يجب الحذر، فبعض المؤلفين، وخاصة المحللين ، يستخدمون مصطلح _" أقوى " .

كوميغري

تُسمى المجموعة الجزئية A من الفضاء X مجموعةً ناقصة ( comeager ) إذا كانت متممتها X \ A ناقصة . وتُسمى أيضًا المجموعة المتبقية .

صغير الحجم

الفضاء متراص إذا كان لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي محدود . كل فضاء متراص هو فضاء ليندلوف وشبه متراص. لذلك، كل فضاء هاوسدورف متراص هو فضاء طبيعي. انظر أيضًا الفضاء شبه المتراص .

طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة

تُعرَّف الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة على المجموعة C(X, Y) لجميع التطبيقات المتصلة بين فضاءين X و Y كما يلي: إذا كانت لدينا مجموعة جزئية مدمجة K من X ومجموعة جزئية مفتوحة U من Y ، فلنرمز بـ V ( K , U ) إلى مجموعة جميع التطبيقات f في C ( X , Y ) بحيث تكون f ( K ) مُحتواة في U. عندئذٍ، تُشكِّل مجموعة جميع هذه التطبيقات V ( K , U ) قاعدةً فرعيةً للطوبولوجيا المدمجة المفتوحة.

مكتمل

تكون الفضاءات المترية كاملة إذا كانت كل متتالية كوشي متقاربة.

قابل للقياس بشكل كامل/قابل للقياس بشكل كامل

انظر إلى المساحة الكاملة .

طبيعي تماماً

تكون المساحة طبيعية تمامًا إذا كانت أي مجموعتين منفصلتين لهما جوارات منفصلة .

هاوسدورف طبيعي تمامًا

الفضاء الهاوسدورفي الطبيعي تمامًا (أو فضاء T5 ) هو فضاء T1 طبيعي تمامًا _. (الفضاء الطبيعي تمامًا هو فضاء هاوسدورفي إذا وفقط إذا كان T1 _{، لذا فإن} المصطلحات متسقة ). كل فضاء هاوسدورفي طبيعي تمامًا هو فضاء هاوسدورفي طبيعي.

عادي تمامًا

تكون المساحة منتظمة تمامًا إذا كان، كلما كانت C مجموعة مغلقة و x نقطة ليست في C ، فإن C و { x } منفصلتان وظيفيًا.

_{T 3} بالكامل

انظر تيكونوف .

عنصر

انظر المكون المتصل / المكون المتصل بالمسار .

متصل

تكون المساحة متصلة إذا لم تكن اتحادًا لمجموعتين مفتوحتين غير فارغتين منفصلتين . وبصورة مكافئة، تكون المساحة متصلة إذا كانت المجموعتان المفتوحتان الوحيدتان فيها هما المساحة بأكملها والمجموعة الفارغة.

المكون المتصل

المكون المتصل للفضاء هو فضاء فرعي متصل غير فارغ ذو أبعاد قصوى. كل مكون متصل مغلق، ومجموعة المكونات المتصلة للفضاء هي تجزئة لذلك الفضاء.

مستمر

تكون الدالة من فضاء إلى آخر متصلة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة مفتوحة.

سلسلة متصلة

يُطلق على الفضاء اسم متصل إذا كان فضاء هاوسدورف مضغوطًا ومتصلًا.

قابل للتعاقد

الفضاء X قابل للانكماش إذا كان تطبيق التطابق على X متماثلاً مع تطبيق ثابت. كل فضاء قابل للانكماش يكون بسيط الاتصال.

طوبولوجيا المنتج المشترك

إذا كانت { X _i } عبارة عن مجموعة من الفضاءات و X هي الاتحاد المنفصل (نظري المجموعات) لـ { X _i }، فإن طوبولوجيا المنتج المشترك (أو طوبولوجيا الاتحاد المنفصل ، المجموع الطوبولوجي لـ X _i ) على X هي أفضل طوبولوجيا تكون فيها جميع خرائط الحقن متصلة.

مساحة أساسية مدمجة

الفضاء الكوني

صورة متصلة لبعض الفضاءات المترية القابلة للفصل . ^{[ 3 ]}

حالة سلسلة قابلة للعد

الفضاء X يحقق شرط السلسلة القابلة للعد إذا كانت كل عائلة من المجموعات المفتوحة غير الفارغة والمنفصلة زوجياً قابلة للعد.

مضغوطة قابلة للعد

تكون المساحة متراصة عدديًا إذا كان لكل غطاء مفتوح قابل للعد غطاء فرعي منتهٍ . كل مساحة متراصة عدديًا تكون شبه متراصة ومتراصة عدديًا بشكل ضعيف.

قابل للعد محليًا محدود

تكون مجموعة من المجموعات الجزئية من الفضاء X محدودة محليًا بشكل قابل للعد (أو محدودة محليًا σ ) إذا كانت اتحادًا لمجموعة قابلة للعد من مجموعات محدودة محليًا من المجموعات الجزئية من X.

غطاء

تعتبر مجموعة من المجموعات الجزئية لمساحة ما غطاءً (أو تغطية ) لتلك المساحة إذا كان اتحاد المجموعة هو المساحة بأكملها.

تغطية

انظر إلى الغلاف .

نقطة القطع

إذا كان X فضاءً متصلاً بأكثر من نقطة واحدة، فإن النقطة x من X هي نقطة قطع إذا كان الفضاء الجزئي X − { x } غير متصل.

δ-نقطة العنقودية، δ-مغلقة، δ-مفتوحة

تُعتبر النقطة x في الفضاء الطوبولوجي X نقطة عنقودية من النوع δ لمجموعة جزئية A إذا${\displaystyle A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset }$لكل جوار مفتوح U للنقطة x في X. تكون المجموعة الجزئية A مغلقة من النوع δ إذا كانت مساوية لمجموعة نقاطها العنقودية من النوع δ، ومفتوحة من النوع δ إذا كانت مكملتها مغلقة من النوع δ. ^{[ 4 ]}

مجموعة كثيفة

تكون المجموعة كثيفة إذا كان لها تقاطع غير فارغ مع كل مجموعة مفتوحة غير فارغة. وبصورة مكافئة، تكون المجموعة كثيفة إذا كان إغلاقها هو الفضاء بأكمله.

مجموعة كثيفة في حد ذاتها

تكون المجموعة كثيفة في ذاتها إذا لم يكن لها نقطة معزولة .

كثافة

الحد الأدنى لعدد عناصر مجموعة جزئية كثيفة من فضاء طوبولوجي. المجموعة ذات الكثافة ℵ ≥ ₀ هي فضاء قابل للفصل . ^{[ 5 ]}

مجموعة مشتقة

إذا كان X فضاءً و S مجموعة جزئية من X ، فإن المجموعة المشتقة من S في X هي مجموعة نقاط النهاية لـ S في X.

مساحة قابلة للتطوير

فضاء طوبولوجي مع تطور . ^{[ 6 ]}

تطوير

مجموعة قابلة للعد من الأغطية المفتوحة لفضاء طوبولوجي، بحيث أنه لأي مجموعة مغلقة C وأي نقطة p في مكملتها يوجد غطاء في المجموعة بحيث يكون كل جوار لـ ^p في الغطاء منفصلاً عن C. ^{[ 6} ]

القطر

إذا كان ( M , d ) فضاءً متريًا و S مجموعة جزئية من M ، فإن قطر S هو الحد الأعلى للمسافات d ( x , y )، حيث تتراوح x و y على S.

مقياس منفصل

المقياس المتقطع على مجموعة X هو الدالة d  : X × X  → R بحيث يكون لكل x و y في X ، d ( x , x ) = 0 و d ( x , y ) = 1 إذا كان x ≠ y . يُنشئ المقياس المتقطع الطوبولوجيا المتقطعة على X. 

مساحة منفصلة

الفضاء X منفصل إذا كانت كل مجموعة جزئية من X مفتوحة. نقول إن X يحمل الطوبولوجيا المنفصلة . ^{[ 7 ]}

الطوبولوجيا المنفصلة

انظر إلى الفضاء المنفصل .

طوبولوجيا الاتحاد المنفصل

انظر إلى طوبولوجيا المنتج المشترك .

نقطة التشتت

إذا كان X فضاءً متصلاً بأكثر من نقطة واحدة، فإن النقطة x من X هي نقطة تشتت إذا كان الفضاء الجزئي X − { x } منفصلاً وراثيًا (مكوناته المتصلة الوحيدة هي مجموعات النقطة الواحدة).

مسافة

انظر إلى الفضاء المتري .

مساحة داوكر

نظرية دوجونجي للتمديد

قبعة الأحمق (علم الطوبولوجيا)

الحاشية

انظر إلى الفضاء الموحد .

الخارج

الجزء الخارجي من مجموعة ما هو الجزء الداخلي من مكملها.

مبرهنة إيلينبرغ – فوجيسلافسكي

تنص نظرية إيلنبرغ -فويديسوافسكي على أنه يمكن تضمين كل فضاء متري محدود في فضاء باناخ كمجموعة فرعية مغلقة من الغلاف المحدب للصورة.

مجموعة F _σ

مجموعة F _σ هي اتحاد قابل للعد لمجموعات مغلقة. ^{[ 8 ]}

فلتر

انظر أيضًا: المرشحات في علم الطوبولوجيا . المرشح على فضاء X هو عائلة غير فارغة F من المجموعات الجزئية من X بحيث تتحقق الشروط التالية:

1. المجموعة الفارغة ليست في F.
2. تقاطع أي عدد محدود من عناصر F يقع مرة أخرى في F.
3. إذا كانت المجموعة A تنتمي إلى المجموعة F وإذا كانت المجموعة B تحتوي على المجموعة A ، فإن المجموعة B تنتمي إلى المجموعة F.

الطوبولوجيا النهائية

على مجموعة X بالنسبة لعائلة من الدوال إلى${\displaystyle X}$، هي أفضل طوبولوجيا على X تجعل تلك الدوال متصلة . ^{[ 9 ]}

الطوبولوجيا الدقيقة (نظرية الكمون)

في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، وهي أبسط أنواع الطوبولوجيا التي تجعل جميع الدوال التوافقية الفرعية (أو ما يعادلها جميع الدوال التوافقية الفائقة) متصلة. ^{[ 10 ]}

طوبولوجيا أدق

إذا كانت X مجموعة، وإذا كانت T1 و T2 بنيتين طوبولوجيتين على X ، فإن T2 تكون أدق (أو أكبر ، أقوى ) من _T1 إذا كانت _T2 تحتوي على _{T1 .} انتبه، فبعض المؤلفين، وخاصة المحللين ، يستخدمون مصطلح _" أضعف _" .

مولد نهائي

انظر إلى طوبولوجيا ألكسندروف .

الفئة الأولى

انظر إلى Meagre .

أول اسم معدود

تكون المساحة قابلة للعد من الدرجة الأولى إذا كانت كل نقطة فيها لها قاعدة محلية قابلة للعد .

فريشيه

انظر T ₁ .

الحدود

انظر الحدود .

مجموعة كاملة

تُسمى المجموعة الجزئية المدمجة K من المستوى المركب مجموعة كاملة إذا كانت متممتها متصلة. على سبيل المثال، القرص المغلق الذي يمثل الوحدة مجموعة كاملة، بينما دائرة الوحدة ليست كذلك.

منفصل وظيفيا

تكون المجموعتان A و B في الفضاء X منفصلتين وظيفيًا إذا كان هناك تطبيق مستمر f : X  →  [0, 1] بحيث يكون f ( A ) = 0 و f ( B ) = 1.

مجموعة G _δ

مجموعة G _δ أو مجموعة الحد الداخلي هي تقاطع قابل للعد للمجموعات المفتوحة. ^{[ 8 ]}

فضاء G _δ

فضاء تكون فيه كل مجموعة مغلقة مجموعة G _δ . ^{[ 8 ]}

نقطة عامة

النقطة العامة لمجموعة مغلقة هي النقطة التي تكون المجموعة المغلقة بالنسبة لها هي إغلاق المجموعة الأحادية التي تحتوي على تلك النقطة. ^{[ 11 ]}

هاوسدورف

الفضاء الهاوسدورفي ( أو فضاء T2 ₎ هو فضاء تكون فيه كل نقطتين مختلفتين لهما جوارات منفصلة . كل فضاء هاوسدورفي هو فضاء _T1 .

مغلق على شكل حرف H

تكون المساحة مغلقة من النوع H، أو مغلقة من نوع هاوسدورف أو مغلقة تمامًا ، إذا كانت مغلقة في كل مساحة هاوسدورف تحتوي عليها.

نصف مدمجة

الفضاء نصف مضغوط، إذا كان هناك تسلسل من المجموعات الجزئية المضغوطة بحيث تكون كل مجموعة جزئية مضغوطة موجودة في واحدة منها.

وراثيًا P

تكون المساحة وراثيًا P لخاصية ما P إذا كانت كل مساحة جزئية P أيضًا .

وراثي

يُقال إن خاصية الفضاءات وراثية إذا كانت كل فضاءات جزئية منه تمتلك تلك الخاصية. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، خاصية العد الثاني هي خاصية وراثية.

التشبيه المتماثل

إذا كان X و Y فضاءين، فإن التشاكل الموضعي من X إلى Y هو دالة تقابلية f  : X → Y بحيث تكون f و f ⁻¹ متصلتين. يُقال حينها أن الفضاءين X و Y متماثلان موضعيًا . من وجهة نظر الطوبولوجيا، فإن الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة.   

متجانس

الفضاء X متجانس إذا كان لكل عنصرين x و y في X ، يوجد تماثل طوبولوجي f  : X  → X بحيث يكون f ( x ) = y . وبشكل بديهي، يبدو الفضاء متماثلاً عند كل نقطة. كل زمرة طوبولوجية متجانسة. 

الخرائط المتجانسة

يُقال إن دالتين متصلتين f و g  : X  → Y متماثلتان (في Y ) إذا وُجدت دالة متصلة H : X × [0, 1] → Y بحيث يكون H ( x , 0) = f ( x ) و H ( x , 1) = g ( x ) لكل x في X. هنا، X × [0, 1] هي طوبولوجيا الضرب. تُسمى الدالة H تماثلاً (في Y ) بين f و g .    

التماثل

انظر الخرائط المتجانسة .

متصل بشكل فائق

يُقال إن الفضاء متصل اتصالاً فائقاً إذا لم تكن أي مجموعتين مفتوحتين غير فارغتين منفصلتين ^{[ 13 ].} كل فضاء متصل اتصالاً فائقاً يكون متصلاً. ^{[ 13 ]}

خريطة تعريفية

انظر إلى خريطة القسمة .

مساحة التعريف

انظر إلى مساحة القسمة .

مساحة غير منفصلة

انظر إلى الطوبولوجيا التافهة .

الطوبولوجيا اللانهائية الأبعاد

انظر إلى مشعب هيلبرت ومشعبات Q ، أي المشعبات (المعممة) المصممة على فضاء هيلبرت وعلى مكعب هيلبرت على التوالي.

مجموعة التحديد الداخلية

مجموعة A G _{δ .} ^{[ 8 ]}

التصميم الداخلي

الجزء الداخلي من مجموعة ما هو أكبر مجموعة مفتوحة تحتويها المجموعة الأصلية. وهو يساوي اتحاد جميع المجموعات المفتوحة التي تحتويها. يُطلق على عنصر الجزء الداخلي من مجموعة S اسم نقطة داخلية في S.

نقطة داخلية

انظر إلى الداخل .

نقطة معزولة

تُعتبر النقطة x نقطة معزولة إذا كانت المجموعة { x } مفتوحة. وبشكل أعم، إذا كانت S مجموعة جزئية من الفضاء X ، وكانت x نقطة من S ، فإن x تُعتبر نقطة معزولة من S إذا كانت { x } مفتوحة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي على S.

التماثل المتساوي القياس

إذا كان _M1 و M2 فضاءين متريين _{، فإن} التشاكل المتساوي القياس من M1 إلى M2 هو تشاكل تقابلي f : M1 → _{M2 .} ويُقال حينها إن هذين الفضاءين متماثلان قياسيًا . ومن منظور نظرية الفضاءات المترية، فإن الفضاءات المتماثلة قياسيًا متطابقة _.   

التساوي القياسي

إذا _كان ( M1 _, d1 ₎ و( _M2 , d2 ) فضاءين متريين، فإن التماثل من _{M1 إلى} M2 هو دالة f : M1 → M2 بحيث يكون d2 ( f ( _x ) _, f ( y ) ) = _{d1 (} x , y ) لكل x و y في M1 . كل تماثل هو أحادي ، ولكن ليس كل تماثل شامل _.   

نظرية كوخ للقوس

بديهية كولموغوروف

انظر T ₀ .

بديهيات إغلاق كوراتوفسكي

تُعدّ بديهيات إغلاق كوراتوفسكي مجموعة من البديهيات التي تحققها الدالة التي تأخذ كل مجموعة جزئية من X إلى إغلاقها:

1. التساوي في التوتر : كل مجموعة موجودة داخل إغلاقها.
2. خاصية التكرار : إن إغلاق إغلاق مجموعة ما يساوي إغلاق تلك المجموعة.
3. الحفاظ على الاتحادات الثنائية : إن إغلاق اتحاد مجموعتين هو اتحاد إغلاقاتهما.
4. الحفاظ على الاتحادات الصفرية : إغلاق المجموعة الفارغة يكون فارغًا.

إذا كانت c دالة من مجموعة القوى لـ X إلى نفسها، فإن c تُعتبر عامل إغلاق إذا حققت بديهيات إغلاق كوراتوفسكي. ويمكن استخدام بديهيات إغلاق كوراتوفسكي لتعريف طوبولوجيا على X بتحديد المجموعات المغلقة كنقاط ثابتة لهذا العامل، أي أن المجموعة A تكون مغلقة إذا وفقط إذا كانت c ( A ) = A.

طوبولوجيا كولموغوروف

T _Kol = {R,${\displaystyle \varnothing }$}∪{(a,∞): a هو عدد حقيقي}؛ الزوج (R,T _Kol ) يسمى مضيق كولموغوروف .

مساحة L

الفضاء L هو فضاء ليندلوف وراثي غير قابل للفصل وراثيًا . خط سوسلين هو فضاء L. ^{[ 14 ]}

طوبولوجيا أكبر

انظر إلى الطوبولوجيا الدقيقة .

نقطة الحد

تُعتبر النقطة x في الفضاء X نقطة حدية لمجموعة جزئية S إذا كانت كل مجموعة مفتوحة تحتوي على x تحتوي أيضًا على نقطة من S غير x نفسها. وهذا يُكافئ اشتراط أن كل جوار لـ x يحتوي على نقطة من S غير x نفسها.

نقطة الحد المدمجة

انظر: مضغوطة بشكل ضعيف وقابلة للعد .

مساحة محدودة

لينديلوف

تُعتبر المساحة من نوع لينديلوف إذا كان لكل غلاف مفتوح غلاف فرعي قابل للعد .

قاعدة محلية

تعتبر مجموعة B من الجوارات لنقطة x في الفضاء X قاعدة محلية (أو أساس محلي ، أو أساس الجوار ، أو أساس الجوار ) عند x إذا كان كل جوار لـ x يحتوي على عنصر ما من B.

أساس محلي

انظر القاعدة المحلية .

الفضاء المحلي (P)

يوجد تعريفان للفضاء "محليًا (P)"، حيث (P) خاصية طوبولوجية أو نظرية مجموعات: إما أن لكل نقطة جوارًا يتمتع بالخاصية (P)، أو أن لكل نقطة قاعدة جوار يتمتع كل عنصر فيها بالخاصية (P). يُستخدم التعريف الأول عادةً للفضاءات المدمجة محليًا، والمدمجة عدديًا، والقابلة للقياس، والقابلة للفصل، والقابلة للعد؛ بينما يُستخدم التعريف الثاني للفضاءات المتصلة محليًا. ^{[ 15 ]}

مجموعة فرعية مغلقة محليًا

مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي تمثل تقاطع مجموعة مفتوحة ومجموعة مغلقة. أو بعبارة أخرى، هي مجموعة جزئية مفتوحة نسبياً من إغلاقها.

مضغوطة محلياً

الفضاء متراص محليًا إذا كانت لكل نقطة فيه جوار متراص: ويُستخدم أحيانًا التعريف البديل القائل بأن لكل نقطة قاعدة محلية تتكون من جوارات متراصة: وهذان التعريفان متكافئان بالنسبة لفضاءات هاوسدورف. ^{[ 15 ]} كل فضاء هاوسدورف متراص محليًا هو فضاء تيكونوڤ.

متصل محليًا

تكون المساحة متصلة محلياً إذا كانت كل نقطة فيها لها قاعدة محلية تتكون من أحياء متصلة. ^{[ 15 ]}

كثيف محلياً

انظر قسم ما قبل الفتح .

محدود محليًا

تُسمى مجموعة من المجموعات الجزئية في فضاء ما مجموعةً منتهية محليًا إذا كان لكل نقطة فيها جوار يتقاطع مع عدد محدود فقط من المجموعات الجزئية. انظر أيضًا: منتهية محليًا قابلة للعد ، منتهية نقطيًا .

قابل للقياس محلياً / قابل للقياس محلياً

تكون المساحة قابلة للقياس محلياً إذا كانت كل نقطة فيها لها جوار قابل للقياس. ^{[ 15 ]}

متصل بمسار محلي

تكون المساحة متصلة محليًا عبر المسارات إذا كانت لكل نقطة فيها قاعدة محلية تتكون من جوارات متصلة عبر المسارات. ^{[ 15 ]} وتكون المساحة المتصلة محليًا عبر المسارات متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة عبر المسارات.

اتصال محلي بسيط

تكون المساحة متصلة ببساطة محلياً إذا كانت كل نقطة فيها تحتوي على قاعدة محلية تتكون من أحياء متصلة ببساطة.

حلقة

إذا كانت x نقطة في الفضاء X ، فإن الحلقة عند x في X (أو حلقة في X بنقطة أساس x ) هي مسار f في X ، بحيث يكون f (0) = f (1) = x . وبالمثل، فإن الحلقة في X هي دالة متصلة من دائرة الوحدة S1 إلى ^X.

هزيل

إذا كان X فضاءً و A مجموعة جزئية من X ، فإن A تكون مجموعةً ضئيلة في X (أو من الفئة الأولى في X ) إذا كانت اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات غير كثيفة في أي مكان. أما إذا ^لم تكن A مجموعةً ضئيلة في X ، فإنها تكون من الفئة الثانية في X. ^{[ 16} ]

ميتاكومباكت

تكون المساحة متراصة للغاية إذا كان لكل غطاء مفتوح نقطة تحسين مفتوحة محدودة.

متري

انظر إلى المساحة المترية .

ثابت متري

الثابت المتري هو خاصية يتم الحفاظ عليها في ظل التشاكل المتساوي القياس.

خريطة مترية

إذا كان X و Y فضاءين متريين بمقياسين dX و dY على التوالي _، فإن الدالة المترية هي دالة f من X إلى Y ، بحيث يكون لأي نقطتين x و _y في X ، dY ( f ( x ₎ , f ( y ) ) ≤ dX ( _x , y ). وتكون الدالة المترية مترية تمامًا إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة تمامًا لجميع x و y في X.

المساحة المترية

الفضاء المتري ( M , d ) هو مجموعة M مزودة بدالة d  : M × M → R تحقق البديهيات التالية لجميع x و y و z في M :      

1. د ( س ، ص ) ≥ 0
2. د ( س ، س ) = 0
3. إذا كان d ( x , y ) = 0 فإن x = y ( هوية غير قابلة للتمييز )      
4. د ( س ، ص ) = د ( ص ، س ) ( التناظر )   
5. d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( متباينة المثلث )   

الدالة d هي مقياس على M ، و d ( x , y ) هي المسافة بين x و y . مجموعة جميع الكرات المفتوحة في M هي أساس لطوبولوجيا على M ؛ وهذه هي الطوبولوجيا على M المستحثة بواسطة d . كل فضاء متري هو فضاء هاوسدورف ومتراص (وبالتالي فهو فضاء طبيعي وفضاء تيكونو). كل فضاء متري قابل للعد من الدرجة الأولى.

قابل للقياس / قابل للقياس

الفضاء قابل للقياس إذا كان متماثلاً شكليًا مع فضاء متري. كل فضاء قابل للقياس هو فضاء هاوسدورف ومتراص جزئيًا (وبالتالي فهو فضاء عادي وفضاء تيكونو). كل فضاء قابل للقياس هو فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى.

مونوليث

كل فضاء مضغوط فائق الاتصال وغير فارغ X له أكبر مجموعة فرعية مفتوحة مناسبة؛ تسمى هذه المجموعة الفرعية بالكتلة المتجانسة .

مور سبيس

فضاء مور هو فضاء هاوسدورف منتظم قابل للتطوير . ^{[ 6 ]}

على وشك الافتتاح

انظر إلى ما قبل الافتتاح . انظر أيضاً: خريطة شبه مفتوحة .

الحي / الحي

جوار النقطة x هو مجموعة تحتوي على مجموعة مفتوحة تحتوي بدورها على النقطة x . وبشكل أعم، جوار المجموعة S هو مجموعة تحتوي على مجموعة مفتوحة تحتوي بدورها على المجموعة S. وبالتالي، فإن جوار النقطة x هو جوار المجموعة الأحادية { x }. (لاحظ أنه وفقًا لهذا التعريف، لا يشترط أن يكون الجوار نفسه مفتوحًا. يشترط العديد من المؤلفين أن تكون الجوارات مفتوحة؛ لذا يُرجى الانتباه إلى الاصطلاحات).

قاعدة الحي / أساس

انظر القاعدة المحلية .

نظام الأحياء لنقطة x

نظام الجوار عند نقطة x في الفضاء هو مجموعة جميع جوارات x .

شبكة

الشبكة في الفضاء X هي دالة من مجموعة موجهة A إلى X. يُرمز عادةً للشبكة من A إلى X بالرمز ( x _α )، حيث α متغير فهرس يمتد على A. كل متتالية هي شبكة، مع اعتبار A المجموعة الموجهة للأعداد الطبيعية بالترتيب المعتاد.

طبيعي

الفضاء طبيعي إذا كانت أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين لهما جوارات منفصلة. ^{[ 8 ]} كل فضاء طبيعي يقبل تجزئة للوحدة .

نورمال هاوسدورف

الفضاء الهاوسدورفي الطبيعي (أو فضاء T4 ) هو فضاء T1 طبيعي _. (الفضاء الطبيعي هو هاوسدورفي إذا وفقط إذا كان T1 _{، لذا فإن} المصطلحات متسقة). كل فضاء هاوسدورفي طبيعي هو فضاء تيكونوڤ.

لا يوجد مكان كثيف

المجموعة غير الكثيفة في أي مكان هي مجموعة يكون إغلاقها فارغًا من الداخل.

أغطية مفتوحة

الغلاف المفتوح هو غلاف يتكون من مجموعات مفتوحة. ^{[ 6 ]}

كرة مفتوحة

إذا كان ( M , d ) فضاءً متريًا، فإن الكرة المفتوحة هي مجموعة على الصورة B ( x ; r )  := { y ∈ M  : d ( x , y ) < r }، حيث x ∈ M و r عدد حقيقي موجب ، وهو نصف قطر الكرة. الكرة المفتوحة التي نصف قطرها r هي كرة مفتوحة من الرتبة r . كل كرة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة في الطوبولوجيا على M المستحثة بواسطة d .

شروط مفتوحة

انظر إلى العقار المفتوح .

مجموعة مفتوحة

المجموعة المفتوحة هي عنصر من عناصر الطوبولوجيا.

دالة الفتح

تكون الدالة من فضاء إلى آخر مفتوحة إذا كانت صورة كل مجموعة مفتوحة مفتوحة.

عقار مفتوح

تُوصف خاصية النقاط في فضاء طوبولوجي بأنها "مفتوحة" إذا كانت النقاط التي تمتلكها تُشكّل مجموعة مفتوحة . غالبًا ما تتخذ هذه الشروط شكلًا مشتركًا، ويُمكن القول إن هذا الشكل شرط مفتوح ؛ على سبيل المثال، في الفضاءات المترية ، تُعرّف الكرة المفتوحة كما سبق، ويُقال إن "المتباينة الصارمة شرط مفتوح".

أورثوكومباكت

تكون المساحة متراصة بشكل مستقيم، إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح يحافظ على الداخل .

شبه مضغوط

الفضاء شبه متراص إذا كان لكل غطاء مفتوح فيه تكرير مفتوح محدود محليًا. الفضاء شبه المتراص يستلزم الفضاء شبه المتراص. ^{[ 17 ]} فضاءات هاوسدورف شبه المتراصة هي فضاءات طبيعية. ^{[ 18 ]}

تقسيم الوحدة

إن تجزئة الوحدة للفضاء X هي مجموعة من الدوال المتصلة من X إلى [0، 1] بحيث يكون لأي نقطة جوار تكون فيه جميع الدوال باستثناء عدد محدود منها صفرًا بشكل متطابق، ويكون مجموع جميع الدوال على الفضاء بأكمله 1 بشكل متطابق.

طريق

المسار في الفضاء X هو دالة متصلة f من الفترة المغلقة [0, 1] إلى X. النقطة f (0) هي نقطة البداية للدالة f ؛ والنقطة f (1) هي نقطة النهاية للدالة f . ^{[ 13 ]}

متصل بالمسار

يُقال عن الفضاء X أنه متصل مسارياً إذا كان لكل نقطتين x و y في X مسار f من x إلى y ، أي مسار نقطة بدايته f (0) = x ونقطة نهايته f (1) = y . كل فضاء متصل مسارياً يكون متصلاً. ^{[ 13 ]}

مكون متصل بالمسار

المكون المتصل مسارياً في فضاء ما هو فضاء جزئي متصل مسارياً غير فارغ وأقصى. مجموعة المكونات المتصلة مسارياً في فضاء ما هي تجزئة _لهذا الفضاء ، وهي أدق من التجزئة إلى مكونات متصلة. ^{[ 13 ]} يُرمز إلى مجموعة المكونات المتصلة مسارياً في فضاء X بالرمز π₀ ( X ) .

بيانو كونتينوا

طبيعي تماماً

فضاء عادي وهو أيضًا G _δ . ^{[ 8 ]}

قاعدة π

تعتبر مجموعة B من المجموعات المفتوحة غير الفارغة أساسًا π لطوبولوجيا τ إذا كانت كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في τ تتضمن مجموعة ^من B. ^{[ 19} ]

نقطة

النقطة هي عنصر من عناصر الفضاء الطوبولوجي. وبشكل أعم، النقطة هي عنصر من عناصر أي مجموعة ذات بنية طوبولوجية أساسية؛ على سبيل المثال، عنصر الفضاء المتري أو المجموعة الطوبولوجية هو أيضًا "نقطة".

نقطة الإغلاق

انظر الخاتمة .

بولندي

الفضاء يكون بولنديًا إذا كان قابلاً للفصل وقابلاً للقياس بشكل كامل، أي إذا كان متماثلًا مع فضاء متري قابل للفصل وكامل.

متعدد العلاقات

الفضاء متعدد الحدود إذا كان الصورة المستمرة لقوة التكثيف أحادي النقطة لفضاء هاوسدورف محليًا مضغوط وغير مضغوط.

الفضاء متعدد الطوبولوجيا

الفضاء متعدد الطوبولوجيا هو مجموعة${\displaystyle X}$مع عائلة${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$من الطوبولوجيات على${\displaystyle X}$يتم ترتيبها خطيًا وفقًا لعلاقة التضمين حيث${\displaystyle I}$هي مجموعة فهارس عشوائية .

نقطة P

تُسمى نقطة في فضاء طوبولوجي نقطة P إذا كانت مجموعة الجوار الخاصة بها مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد.

ما قبل التكديس

انظر: مضغوطة نسبياً .

مجموعة ما قبل الفتح

تكون المجموعة الجزئية A من الفضاء الطوبولوجي X مفتوحة مسبقًا إذا${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)}$[ ^{4 ]​}

الطوبولوجيا المتقطعة

تُعرَّف الطوبولوجيا المتقطعة على حاصل الضرب A ^G بأنها طوبولوجيا حاصل الضرب عندما يُعطى كل عامل A الطوبولوجيا المتقطعة. ^{[ 20 ]}

تصميم المنتج

لو${\displaystyle \left(X_{i}\right)}$هي مجموعة من الفضاءات و X هو حاصل الضرب الديكارتي (في نظرية المجموعات) لـ${\displaystyle \left(X_{i}\right),}$ثم تكون طوبولوجيا المنتج على X هي الطوبولوجيا الأكثر خشونة التي تكون فيها جميع خرائط الإسقاط متصلة.

الوظيفة/التعيين الصحيح

تكون الدالة المتصلة f من الفضاء X إلى الفضاء Y دالة مناسبة إذا${\displaystyle f^{-1}(C)}$هي مجموعة مضغوطة في X لأي فضاء جزئي مضغوط C من Y.

مساحة التقارب

الفضاء التقاربي ( X ، d ) هو مجموعة X مزودة بعلاقة ثنائية d بين مجموعات جزئية من X تحقق الخصائص التالية: 

لجميع المجموعات الجزئية A و B و C من X ،

1. A d B يستلزم B d A
2. A d B يعني أن A غير فارغة
3. إذا كان للمنطقتين A و B تقاطع غير فارغ، فإن A d B
4. أ د ( ب ${\displaystyle \cup }$ ج ) إذا وفقط إذا ( أ و ب أو أ و ج )
5. إذا كان لدينا ، لكل مجموعة جزئية E من X ، ( A d E أو B d E )، فيجب أن يكون لدينا A d ( X − B ).

شبه مضغوط

تكون المساحة شبه متراصة إذا كانت كل دالة حقيقية القيمة متصلة على المساحة محدودة.

شبه متري

انظر الفضاء شبه المتري .

الفضاء شبه المتري

الفضاء شبه المتري ( M , d ) هو مجموعة M مزودة بدالة حقيقية القيمة${\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} }$تحقق جميع شروط الفضاء المتري، باستثناء ربما شرط تطابق النقاط غير المتمايزة. أي أن النقاط في الفضاء شبه المتري قد تكون "متقاربة إلى ما لا نهاية" دون أن تكون متطابقة. الدالة d هي دالة شبه مترية على M. كل متري هو دالة شبه مترية.

حي مثقوب / حي مثقوب

الجوار المثقوب لنقطة x هو جوار x ناقص { x }. على سبيل المثال، الفترة (−1, 1) = { y  : −1 < y < 1} هي جوار x = 0 على خط الأعداد الحقيقية ، لذا فإن المجموعة${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}}$هي منطقة مجاورة مثقوبة من 0.

شبه مضغوط

انظر إلى كلمة "مضغوط ". يُعرّف بعض المؤلفين "المضغوط" ليشمل بديهية فصل هاوسدورف ، ويستخدمون مصطلح "شبه المضغوط" للدلالة على ما نسميه في هذا المعجم ببساطة "المضغوط" (بدون بديهية هاوسدورف). هذا الاصطلاح شائع في اللغة الفرنسية، وفي فروع الرياضيات التي تأثرت بها بشكل كبير.

خريطة القسمة

إذا كان X و Y فضاءين، وإذا كانت f دالة شاملة من X إلى Y ، فإن f تكون دالة قسمة (أو دالة تعريف ) إذا كان لكل مجموعة جزئية U من Y ، تكون U مفتوحة في Y إذا وفقط إذا كانت f ^{- 1} ( U ) مفتوحة في X. بعبارة أخرى، Y لها طوبولوجيا قوية من النوع f . أو بصورة مكافئة، ${\displaystyle f}$تكون دالة خارج القسمة إذا وفقط إذا كانت تركيبًا متساميًا لدوال${\displaystyle X\rightarrow X/Z}$، أين${\displaystyle Z\subset X}$هي مجموعة جزئية. لاحظ أن هذا لا يعني أن f دالة مفتوحة.

فضاء القسمة

إذا كان X فضاءً، و Y مجموعة، و f دالة شاملة من X إلى Y ، فإن طوبولوجيا القسمة على Y الناتجة عن f هي أدق طوبولوجيا تكون فيها f متصلة. يُسمى الفضاء X فضاء قسمة أو فضاء تعريف . وبحسب التعريف، فإن f دالة قسمة. وأكثر الأمثلة شيوعًا على ذلك هو اعتبار علاقة تكافؤ على X ، حيث Y هي مجموعة فئات التكافؤ و f هي دالة الإسقاط الطبيعي. هذا البناء ثنائي لبناء طوبولوجيا الفضاء الجزئي.    

التحسين

تعتبر الغطاء K تحسينًا للغطاء L إذا كان كل عنصر من عناصر K مجموعة جزئية من عنصر ما من عناصر L.

عادي

تكون المساحة منتظمة إذا كان، كلما كانت C مجموعة مغلقة و x نقطة ليست في C ، فإن C و x لهما جوارات منفصلة .

هاوسدورف العادي

الفضاء منتظم من نوع هاوسدورف (أو T3 ) إذا كان فضاءً منتظمًا من نوع T0 _. (الفضاء المنتظم من نوع هاوسدورف إذا وفقط إذا كان من نوع T0 _{، لذا} فإن المصطلحات متسقة).

مفتوح بشكل منتظم

تُسمى المجموعة الجزئية من الفضاء X مجموعة مفتوحة منتظمة إذا كانت تساوي الجزء الداخلي من إغلاقها؛ وبالمثل، تُسمى المجموعة المغلقة المنتظمة مجموعة مغلقة من إغلاقها. ^{[ 21 ]} مثال على مجموعة مفتوحة غير منتظمة هو المجموعة U = (0,1) ∪ (1,2) في R مع طوبولوجيتها الطبيعية، لأن 1 يقع داخل إغلاق U ، ولكنه ليس جزءًا من U. تُشكل المجموعات الجزئية المفتوحة المنتظمة من الفضاء جبرًا بوليانيًا كاملًا . ^{[ 21 ]}

صغير الحجم نسبياً

تكون المجموعة الجزئية Y من الفضاء X مضغوطة نسبياً في X إذا كان إغلاق Y في X مضغوطاً.

المتبقي

إذا كان X فضاءً و A مجموعة جزئية من X ، فإن A تكون باقية في X إذا كانت متممة A ضئيلة في X. وتُسمى أيضًا متممة ضئيلة أو متممة ضئيلة .

قابل للحل

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسم قابل للحل إذا كان من الممكن التعبير عنه كاتحاد مجموعتين فرعيتين كثيفتين منفصلتين .

حافة مدمجة

تكون المساحة متراصة الحواف إذا كانت لها قاعدة من المجموعات المفتوحة التي تكون حدودها متراصة.

مساحة S

الفضاء S هو فضاء قابل للفصل وراثيًا ولكنه ليس فضاء لينديلوف وراثيًا . ^{[ 14 ]}

متناثر

تكون المساحة X مبعثرة إذا كانت كل مجموعة جزئية غير فارغة A من X تحتوي على نقطة معزولة في A.

سكوت

تُعرَّف طوبولوجيا سكوت على مجموعة مرتبة جزئياً بأنها تلك التي تكون فيها المجموعات المفتوحة هي تلك المجموعات العليا التي لا يمكن الوصول إليها عن طريق عمليات الربط الموجهة. ^{[ 22 ]}

الفئة الثانية

انظر إلى Meagre .

الشخص الثاني المعدود

يكون الفضاء قابلاً للعد الثاني أو قابلاً للفصل التام إذا كان له أساس قابل للعد لبنيته الطوبولوجية. ^{[ 8 ]} كل فضاء قابل للعد الثاني يكون قابلاً للعد الأول، وقابلاً للفصل، ولينديلوف.

متصل بشكل بسيط شبه محليًا

يُقال عن الفضاء X أنه متصل اتصالًا بسيطًا شبه محليًا إذا كان لكل نقطة x في X ، توجد جوار U لـ x بحيث يكون كل مسار عند x في U متماثلًا في X مع المسار الثابت x . كل فضاء متصل اتصالًا بسيطًا وكل فضاء متصل اتصالًا بسيطًا محليًا هو متصل اتصالًا بسيطًا شبه محليًا. (قارن مع الاتصال البسيط محليًا؛ هنا، يُسمح للتماثل أن يكون في X ، بينما في تعريف الاتصال البسيط محليًا، يجب أن يكون التماثل في U ).

شبه مفتوح

تُسمى المجموعة الجزئية A من الفضاء الطوبولوجي X شبه مفتوحة إذا${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}$[ ^{23 ]​}

شبه مفتوح

تُسمى المجموعة الجزئية A من الفضاء الطوبولوجي X شبه مفتوحة مسبقًا إذا${\displaystyle A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)}$^{[ 2 ]}

شبه منتظم

تكون المساحة شبه منتظمة إذا شكلت المجموعات المفتوحة المنتظمة قاعدة.

قابل للفصل

تكون المساحة قابلة للفصل إذا كان لها مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد . ^{[ 8 ] [ 16 ]}

منفصل

تُعتبر المجموعتان A و B منفصلتين إذا كانت كل منهما غير متصلة بإغلاق الأخرى.

مضغوطة بالتسلسل

تكون الفضاءات متراصة تسلسليًا إذا كان لكل متتالية متتالية جزئية متقاربة. كل فضاء متراص تسلسليًا يكون متراصًا عدديًا، وكل فضاء قابل للعد من الدرجة الأولى ومتراص عدديًا يكون متراصًا تسلسليًا.

خريطة مختصرة

انظر الخريطة المترية

مساحة سيربينسكي

ببساطة متصل

تكون المساحة متصلة ببساطة إذا كانت متصلة بالمسارات وكل حلقة متماثلة مع خريطة ثابتة.

بنية أصغر

انظر إلى الطوبولوجيا الأكثر خشونة .

مُتّزِن

في فضاء رصين ، كل مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال هي إغلاق لنقطة واحدة بالضبط: أي أن لها نقطة عامة فريدة . ^{[ 24 ]}

نجم

النجمة لنقطة في غطاء معين لفضاء طوبولوجي هي اتحاد جميع المجموعات في الغطاء التي تحتوي على تلك النقطة. انظر تحسين النجمة .

${\displaystyle f}$- طوبولوجيا قوية

يترك${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$لنفترض أن لدينا خريطة للفضاءات الطوبولوجية. نقول ذلك.${\displaystyle Y}$لديه${\displaystyle f}$- طوبولوجيا قوية إذا، لكل مجموعة جزئية${\displaystyle U\subset Y}$، لدى المرء ذلك${\displaystyle U}$مفتوح في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}(U)}$مفتوح في${\displaystyle X}$

بنية أقوى

انظر إلى الطوبولوجيا الدقيقة . انتبه، فبعض المؤلفين، وخاصة المحللين ، يستخدمون مصطلح الطوبولوجيا الأضعف .

القاعدة الفرعية

تُعتبر مجموعة من المجموعات المفتوحة قاعدة فرعية (أو أساسًا فرعيًا ) لطوبولوجيا ما إذا كانت كل مجموعة مفتوحة حقيقية غير فارغة في الطوبولوجيا هي اتحاد تقاطع منتهٍ لمجموعات في القاعدة الفرعية.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي أي مجموعة من المجموعات الجزئية لمجموعة X ، والطوبولوجيا على X المولدة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي أصغر بنية تحتوي على${\displaystyle {\mathcal {B}};}$تتكون هذه الطوبولوجيا من المجموعة الفارغة X وجميع اتحادات التقاطعات المنتهية لعناصر${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ هكذا${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هي قاعدة فرعية للطوبولوجيا التي تولدها.

الأساس الفرعي

انظر القاعدة الفرعية .

غطاء فرعي

تعتبر الغطاء K غطاءً فرعياً (أو غطاءً فرعياً ) للغطاء L إذا كان كل عنصر من عناصر K عنصراً من عناصر L.

التغطية الفرعية

انظر الغلاف الفرعي .

مساحة دون الحد الأقصى

يقال إن الفضاء الطوبولوجي هو فضاء شبه أقصى إذا كانت كل مجموعة جزئية منه مغلقة محليًا، أي أن كل مجموعة جزئية هي تقاطع مجموعة مفتوحة ومجموعة مغلقة .

فيما يلي بعض الحقائق حول خاصية شبه القصوى كخاصية للفضاءات الطوبولوجية:

• كل مساحة باب هي دون الحد الأقصى.
• كل فضاء شبه أقصى هو شبه أقصى ضعيف، أي أن كل مجموعة منتهية مغلقة محليًا.
• كل فضاء دون الحد الأقصى غير قابل للحل . ^{[ 25 ]}

الفضاء الفرعي

إذا كانت T طوبولوجيا على فضاء X ، وكانت A مجموعة جزئية من X ، فإن طوبولوجيا الفضاء الجزئي على A الناتجة عن T تتكون من جميع تقاطعات المجموعات المفتوحة في T مع A. هذا البناء ثنائي لبناء طوبولوجيا القسمة.

خط سوسلين

T ₀

الفضاء هو T ₀ (أو كولموغوروف ) إذا كان لكل زوج من النقاط المتميزة x و y في الفضاء، إما أن تكون هناك مجموعة مفتوحة تحتوي على x ولكن ليس y ، أو أن تكون هناك مجموعة مفتوحة تحتوي على y ولكن ليس x .

T ₁

يُقال عن الفضاء أنه فضاء من _النوع T1 (أو فضاء فريشيه أو فضاء قابل للوصول ) إذا كان لكل زوج من النقاط المختلفة x و y في هذا الفضاء، توجد مجموعة مفتوحة تحتوي على x ولا تحتوي على y . (قارن ذلك بالفضاء T0 _؛ حيث يُسمح لنا هنا بتحديد النقطة التي ستكون ضمن المجموعة المفتوحة). وبالمثل، يُقال عن الفضاء أنه من النوع T1 _إذا كانت جميع عناصره الفردية مغلقة. كل فضاء من النوع T1 _هو فضاء من النوع _T0 .

T ₂

انظر إلى مساحة هاوسدورف .

تي ₃

انظر هاوسدورف العادي .

T _3½

انظر إلى فضاء تيكونوڤ .

تي ₄

انظر نورمان هاوسدورف .

تي ₅

انظر هاوسدورف الطبيعي تمامًا .

قمة

انظر فئة الفضاءات الطوبولوجية .

θ-نقطة عنقودية، θ-مغلقة، θ-مفتوحة

تُعتبر النقطة x في الفضاء الطوبولوجي X نقطة عنقودية من النوع θ لمجموعة جزئية A إذا${\displaystyle A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset }$لكل جوار مفتوح U للنقطة x في X. تكون المجموعة الجزئية A مغلقة من النوع θ إذا كانت مساوية لمجموعة نقاطها العنقودية من النوع θ، ومفتوحة من النوع θ إذا كانت مكملتها مغلقة من النوع θ. ^{[ 23 ]}

ثابت طوبولوجي

الثابت الطوبولوجي هو خاصية تبقى محفوظة تحت تأثير التشاكل الطوبولوجي. على سبيل المثال، التراص والاتصال خاصيتان طوبولوجيتان، بينما التقييد والكمال ليسا كذلك. الطوبولوجيا الجبرية هي دراسة البنى الجبرية المجردة الثابتة طوبولوجيًا على الفضاءات الطوبولوجية.

الفضاء الطوبولوجي

الفضاء الطوبولوجي ( X , T ) هو مجموعة X مزودة بمجموعة T من المجموعات الجزئية من X التي تحقق البديهيات التالية :

1. المجموعة الفارغة و X ينتميان إلى T.
2. اتحاد أي مجموعة من المجموعات في T هو أيضًا في T.
3. تقاطع أي زوج من المجموعات في T هو أيضًا في T.

المجموعة T هي طوبولوجيا على X.​

المجموع الطوبولوجي

انظر إلى طوبولوجيا المنتج المشترك .

مكتمل طوبولوجيًا

غالباً ما تسمى الفضاءات المترية الكاملة (أي الفضاءات الطوبولوجية المتماثلة مع الفضاءات المترية الكاملة) بالفضاءات المترية الكاملة طوبولوجياً ؛ وفي بعض الأحيان يستخدم المصطلح أيضاً للفضاءات الكاملة تشيك أو الفضاءات الموحدة تماماً .

الطوبولوجيا

انظر الفضاء الطوبولوجي .

محدد بالكامل

الفضاء المتري M محدود كليًا إذا كان، لكل r > 0، يوجد غطاء منتهٍ لـ M بواسطة كرات مفتوحة نصف قطرها r . الفضاء المتري متراص إذا وفقط إذا كان كاملًا ومحدودًا كليًا.

منفصل تمامًا

تكون المساحة منفصلة تمامًا إذا لم يكن لها مجموعة فرعية متصلة بأكثر من نقطة واحدة.

الطوبولوجيا التافهة

تتكون الطوبولوجيا التافهة (أو الطوبولوجيا غير المنفصلة ) على مجموعة X من المجموعة الفارغة والفضاء X بأكمله .

تيكونوف

فضاء تيكونوف (أو فضاء هاوسدورف منتظم تمامًا ، أو فضاء T3 كامل، أو _فضاء T3.5 ₎ هو فضاء T0 منتظم تمامًا _. (يكون الفضاء المنتظم تمامًا هاوسدورف إذا وفقط إذا كان T0 _، لذا فإن المصطلحات متسقة). كل فضاء تيكونوف هو فضاء هاوسدورف منتظم.

اتصال فائق

تكون المساحة فائقة الاتصال إذا لم تكن أي مجموعتين مغلقتين غير فارغتين منفصلتين. ^{[ 13 ]} كل مساحة فائقة الاتصال تكون متصلة مسارياً.

ألترا ميتريك

المقياس هو مقياس فائق إذا كان يحقق النسخة الأقوى التالية من متباينة المثلث : لكل x و y و z في M ، d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )).

التماثل المنتظم

إذا كان X و Y فضاءين منتظمين ، فإن التشاكل المنتظم من X إلى Y هو دالة تقابلية f  : X → Y بحيث تكون f و f ⁻¹ متصلتين بانتظام . ويُقال حينها إن الفضاءين متماثلان بانتظام ويشتركان في نفس الخصائص المنتظمة .

قابل للتوحيد / قابل للتوحيد

يكون الفضاء قابلاً للتوحيد إذا كان متماثلاً شكلياً مع فضاء منتظم.

مساحة موحدة

الفضاء المنتظم هو مجموعة X مزودة بمجموعة غير فارغة Φ من المجموعات الجزئية من حاصل الضرب الديكارتي X × X التي تحقق البديهيات التالية :

1. إذا كانت U في Φ، فإن U تحتوي على { ( x , x ) | x في X }.
2. إذا كانت U تنتمي إلى Φ، فإن { ( y , x ) | ( x , y ) in U } تنتمي أيضًا إلى Φ
3. إذا كانت U تنتمي إلى Φ وكانت V مجموعة جزئية من X × X تحتوي على U ، فإن V تنتمي إلى Φ
4. إذا كان كل من U و V ينتميان إلى Φ، فإن U ∩ V ينتميان إلى Φ
5. إذا كانت U في Φ، فإنه يوجد V في Φ بحيث أنه كلما كان ( x ، y ) و ( y ، z ) في V ، فإن ( x ، z ) يكون في U.

تُسمى عناصر Φ بالمجموعات المحيطة ، وتُسمى Φ نفسها بالبنية المنتظمة على X. تُنشئ البنية المنتظمة طوبولوجيا على X حيث تكون الجوارات الأساسية لـ x عبارة عن مجموعات من الشكل { y  : ( x , y )∈ U } لـ U ∈Φ.

بنية موحدة

انظر إلى الفضاء الموحد .

فيتوريس

طوبولوجيا فيتوريس

طوبولوجيا ضعيفة

الطوبولوجيا الضعيفة على مجموعة، بالنسبة لمجموعة من الدوال من تلك المجموعة إلى الفضاءات الطوبولوجية، هي الطوبولوجيا الأكثر خشونة على المجموعة التي تجعل جميع الدوال متصلة.

طوبولوجيا أضعف

انظر إلى الطوبولوجيا الأقل دقة . انتبه، فبعض المؤلفين، وخاصة المحللين ، يستخدمون مصطلح الطوبولوجيا الأقوى .

مضغوطة بشكل ضعيف ومعدود

تكون المساحة مضغوطة بشكل ضعيف وقابلة للعد (أو مضغوطة بنقطة النهاية ) إذا كانت كل مجموعة جزئية غير منتهية تحتوي على نقطة نهاية.

وراثي ضعيف

تُوصف خاصية الفضاءات بأنها وراثية ضعيفة إذا كانت كل فضاءات جزئية مغلقة منه تمتلك تلك الخاصية. على سبيل المثال، خاصية التراص وخاصية ليندلوف كلاهما خاصيتان وراثيتان ضعيفتان، مع أن أياً منهما ليس وراثياً.

وزن

وزن الفضاء X هو أصغر عدد أصلي κ بحيث يكون للفضاء X أساس من العدد الأصلي κ. (لاحظ أن مثل هذا العدد الأصلي موجود، لأن الطوبولوجيا بأكملها تشكل أساسًا، ولأن فئة الأعداد الأصلية مرتبة ترتيبًا جيدًا .)

علاقات جيدة

انظر إلى "المتصلة للغاية" . (يستخدم بعض المؤلفين هذا المصطلح حصراً للإشارة إلى المساحات المدمجة المتصلة للغاية).

الأبعاد الصفرية

يكون الفضاء صفري الأبعاد إذا كانت قاعدته من المجموعات المفتوحة المغلقة. ^{[ 26 ]}

• نظرية المجموعات الساذجة ، ونظرية المجموعات البديهية ، والدالة للتعريفات المتعلقة بالمجموعات والدوال.
• الطوبولوجيا لتاريخ موجز ووصف لمجال الموضوع
• الفضاءات الطوبولوجية للتعريفات الأساسية والأمثلة
• قائمة بمواضيع الطوبولوجيا العامة
• قائمة أمثلة في الطوبولوجيا العامة

مفاهيم خاصة بالطوبولوجيا

• مساحة صغيرة
• مساحة متصلة
• الاستمرارية
• المساحة المترية
• مجموعات منفصلة
• بديهية الفصل
• الفضاء الطوبولوجي
• مساحة موحدة

مسرد مصطلحات أخرى

• مسرد مصطلحات الطوبولوجيا الجبرية
• مسرد مصطلحات الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا
• مسرد مجالات الرياضيات
• مسرد مصطلحات الهندسة الريمانية والهندسة المترية

• هارت، كلاس بيتر. ناجاتا، جون إيتي؛ فوغان، جيري إي. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير. رقم ISBN 978-0-444-50355-8.
• كونين، كينيث ؛ فوغان، جيري إي، محرران. (1984). دليل طوبولوجيا نظرية المجموعات . نورث هولاند. ISBN 0-444-86580-2.
• ناجاتا، جون-إيتي (1985). الطوبولوجيا العامة الحديثة . مكتبة شمال هولندا الرياضية. المجلد.  33 (الطبعة الثانية المنقحة  ). أمستردام-نيويورك-أكسفورد: شمال هولندا. رقم ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001 . 
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1978). أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من طبعة 1978  ). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446 .​ 
• فيكرز، ستيفن (1989). الطوبولوجيا عبر المنطق . سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية. المجلد  5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 . 
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . سلسلة أديسون-ويسلي في الرياضيات. ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601 . متوفر أيضاً كطبعة معاد طباعتها من دار نشر دوفر.

• مسرد للمصطلحات في علم الطوبولوجيا