التناظر المستعرض

المادة المتناحية عرضيًا (وتُعرف أيضًا باسم المادة المتناحية قطبيًا ) هي مادة ذات خصائص فيزيائية متناظرة حول محور عمودي على مستوى التناظر . يحتوي هذا المستوى العرضي على عدد لا نهائي من مستويات التناظر، وبالتالي، ضمن هذا المستوى، تكون خصائص المادة متطابقة في جميع الاتجاهات. في الجيوفيزياء، يُعرف التناظر العرضي الرأسي (VTI) أيضًا باسم التباين القطري.

يُظهر هذا النوع من المواد تناظرًا سداسيًا (مع أن هذا التناظر لا ينطبق تقنيًا على الموترات من الرتبة السادسة وما فوق)، لذا ينخفض عدد الثوابت المستقلة في موتر المرونة (من الرتبة الرابعة) إلى 5 (من أصل 21 ثابتًا مستقلًا في حالة المادة الصلبة غير المتجانسة تمامًا ). أما موترات المقاومة الكهربائية والنفاذية الكهربائية، وما إلى ذلك (من الرتبة الثانية)، فلها ثابتان مستقلان.

مثال على المواد المتناحية عرضيًا

من الأمثلة على المواد المتناحية عرضيًا ما يُسمى بالصفائح المركبة الليفية أحادية الاتجاه المحورية ، حيث تكون الألياف دائرية المقطع العرضي. في المركب أحادي الاتجاه، يُمكن اعتبار المستوى العمودي على اتجاه الألياف مستوىً متناحيًا عند أطوال موجية طويلة (ترددات منخفضة) للإثارة. في الشكل على اليمين، ستكون الألياف محاذية لـ $x_{2}$ المحور، وهو عمودي على مستوى التناظر.

من حيث الخصائص الفعّالة، تُفسَّر الطبقات الجيولوجية للصخور غالبًا على أنها متجانسة عرضيًا. وقد أُطلق على حساب الخصائص المرنة الفعّالة لهذه الطبقات في علم الصخور اسم "توسيع نطاق باكوس" ، والذي سيتم شرحه أدناه.

مصفوفة تناظر المادة

مصفوفة المواد ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ يتمتع بتناظر بالنسبة لتحويل متعامد معين ( ${\boldsymbol {A}}$ ) إذا لم يتغير عند إخضاعه لهذا التحويل. ولضمان ثبات خصائص المادة تحت هذا التحويل، نحتاج إلى

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

وبالتالي فإن شرط التناظر المادي هو (باستخدام تعريف التحويل المتعامد)

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

يمكن تمثيل التحويلات المتعامدة في الإحداثيات الديكارتية بواسطة $3\times 3$ مصفوفة ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ مقدم من

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

لذلك، يمكن كتابة شرط التناظر في شكل مصفوفة كما يلي

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

بالنسبة للمادة المتناحية عرضيًا، فإن المصفوفة ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ له الشكل

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.

حيث $x_{3}$ المحور - هو محور التناظر . تبقى مصفوفة المادة ثابتة تحت الدوران بأي زاوية $\theta$ حول $x_{3}$ -محور.

في الفيزياء

يمكن التعبير عن العلاقات التكوينية للمادة الخطية في الفيزياء بالشكل التالي:

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

أين $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ هما متجهان يمثلان كميات فيزيائية و ${\boldsymbol {K}}$ هو موتر مادي من الدرجة الثانية. في شكل مصفوفة،

{\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

أمثلة على المشكلات الفيزيائية التي تتناسب مع النموذج أعلاه مدرجة في الجدول أدناه. ^{[ 1 ]}

مشكلة	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
التوصيل الكهربائي	التيار الكهربائي $\mathbf {J}$	المجال الكهربائي $\mathbf {E}$	الموصلية الكهربائية ${\boldsymbol {\sigma }}$
المواد العازلة	الإزاحة الكهربائية $\mathbf {D}$	المجال الكهربائي $\mathbf {E}$	السماحية الكهربائية ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
المغناطيسية	الحث المغناطيسي $\mathbf {B}$	المجال المغنطيسي $\mathbf {H}$	النفاذية المغناطيسية ${\boldsymbol {\mu }}$
التوصيل الحراري	التدفق الحراري $\mathbf {q}$	تدرج درجة الحرارة $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	الموصلية الحرارية ${\boldsymbol {\kappa }}$
انتشار	تدفق الجسيمات $\mathbf {J}$	تدرج التركيز $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	الانتشارية ${\boldsymbol {D}}$
التدفق في الأوساط المسامية	سرعة السائل الموزون $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	تدرج الضغط ${\boldsymbol {\nabla }}P$	نفاذية السوائل ${\boldsymbol {\kappa }}$
مرونة	ضغط ${\boldsymbol {\sigma }}$	أَضْنَى ${\boldsymbol {\varepsilon }}$	صلابة $\mathbf {C}$

استخدام $\theta =\pi$ في ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ المصفوفة تعني أن $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$ . استخدام $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ يؤدي إلى $K_{11}=K_{22}$ و $K_{12}=-K_{21}$ تتطلب قيود الطاقة عادةً $K_{12},K_{21}\geq 0$ وبالتالي يجب أن يكون لدينا $K_{12}=K_{21}=0$ لذلك، فإن الخصائص المادية لمادة متناحية الخواص عرضيًا تُوصف بواسطة المصفوفة.

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

في المرونة الخطية

شرط التناظر المادي

في المرونة الخطية ، يرتبط الإجهاد والانفعال بقانون هوك ، أي

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

أو باستخدام تدوين فويغت ،

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

الشرط اللازم لتناظر المادة في المواد المرنة الخطية هو. ^{[ 2 ]}

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}

أين

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

موتر المرونة

باستخدام القيم المحددة لـ $\theta$ في المصفوفة ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ [ ³^{] يمكن إثبات أن موتر الصلابة المرنة}^من الرتبة الرابعة يمكن كتابته في تدوين فويغت ذي المؤشرين على شكل مصفوفة

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.

مصفوفة الصلابة المرنة $C_{ij}$ يحتوي على 5 ثوابت مستقلة، ترتبط بمعاملات المرونة الهندسية المعروفة بالطريقة التالية. يتم تحديد هذه المعاملات الهندسية تجريبياً.

مصفوفة الامتثال (معكوس مصفوفة الصلابة المرنة) هي

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}

أين ${\displaystyle \Delta$ . في الترميز الهندسي،

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}

بمقارنة هذين الشكلين لمصفوفة الامتثال، يتضح لنا أن معامل يونغ الطولي يُعطى بالصيغة التالية:

E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})

وبالمثل، فإن معامل يونغ العرضي هو

E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})

معامل القص في المستوى هو

G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}

ونسبة بواسون للتحميل على طول المحور القطبي هي

\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})

.

هنا، يمثل L الاتجاه الطولي (القطبي) ويمثل T الاتجاه العرضي.

في الجيوفيزياء

في الجيوفيزياء، يُفترض عادةً أن التكوينات الصخرية للقشرة الأرضية متباينة الخواص قطبياً محلياً (متجانسة الخواص عرضياً)؛ وهذه أبسط حالة ذات أهمية جيوفيزيائية. ويُستخدم توسيع نطاق باكوس ^{[ 4 ]} غالباً لتحديد ثوابت المرونة الفعالة المتجانسة الخواص عرضياً للوسائط الطبقية للموجات الزلزالية ذات الأطوال الموجية الطويلة.

الافتراضات التي يتم وضعها في تقريب باكوس هي:

جميع المواد مرنة خطيًا
لا توجد مصادر لتبديد الطاقة الذاتية (مثل الاحتكاك)
صالحة في حالة الطول الموجي اللانهائي، وبالتالي لا تُحقق نتائج جيدة إلا إذا كان سمك الطبقة أصغر بكثير من الطول الموجي.
إن إحصائيات توزيع الخصائص المرنة للطبقة ثابتة، أي أنه لا يوجد اتجاه مرتبط في هذه الخصائص.

بالنسبة للأطوال الموجية الأقصر، يُوصف سلوك الموجات الزلزالية باستخدام مبدأ تراكب الموجات المستوية . تدعم الأوساط المتناحية عرضيًا ثلاثة أنواع من الموجات المستوية المرنة:

موجة شبه- P ( اتجاه الاستقطاب يكاد يكون مساوياً لاتجاه الانتشار)
موجة شبه S
موجة S (مستقطبة بشكل متعامد مع الموجة شبه S، ومع محور التناظر، ومع اتجاه الانتشار).

يمكن بناء حلول لمشاكل انتشار الموجات في مثل هذه الوسائط من هذه الموجات المستوية، باستخدام تركيب فورييه .

تكبير الصورة باستخدام طريقة باكوس (تقريب الطول الموجي الطويل)

يمكن توسيع نموذج متعدد الطبقات لمادة متجانسة ومتساوية الخواص إلى وسط متناحي الخواص عرضيًا، كما اقترح باكوس. ^{[ 4 ]}

قدّم باكوس نظرية الوسط المكافئ، حيث يمكن استبدال الوسط غير المتجانس بوسط متجانس يتنبأ بانتشار الموجات في الوسط الفعلي. ^{[ 5 ]} بيّن باكوس أن للطبقات على نطاق أدق بكثير من الطول الموجي تأثيرًا، وأنه يمكن استبدال عدد من الطبقات المتناحية بوسط متجانس متناحٍ عرضيًا يتصرف تمامًا بنفس طريقة الوسط الفعلي تحت تأثير الحمل الساكن في حالة الطول الموجي اللانهائي.

إذا كانت كل طبقة $i$ يتم وصفها بخمسة معلمات متناحية عرضيًا $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$ ، وتحديد المصفوفة

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}

ستكون معاملات المرونة للوسط الفعال هي

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}

أين

{\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}

$\langle \cdot \rangle$ يشير إلى المتوسط المرجح بالحجم عبر جميع الطبقات.

يشمل ذلك الطبقات المتجانسة، حيث تكون الطبقة متجانسة إذا $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$ ، $a_{i}=c_{i}$ و $d_{i}=e_{i}$ .

تقريب الأطوال الموجية القصيرة والمتوسطة

يمكن إيجاد حلول لمسائل انتشار الموجات في الأوساط المرنة الخطية المتناحية عرضيًا عن طريق تراكب حلول الموجة شبه-P، والموجة شبه-S، وموجة S مستقطبة عموديًا على الموجة شبه-S. مع ذلك، فإن معادلات التغير الزاوي للسرعة معقدة جبريًا، وسرعات الموجة المستوية هي دوال لزاوية الانتشار. $\theta$ [ ⁶^] يمكن إيجاد سرعات الموجات المعتمدة ^على الاتجاه للموجات المرنة عبر المادة باستخدام معادلة كريستوفيل ويتم إعطاؤها بواسطة ^[⁷^]

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}

أين ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ هي الزاوية بين محور التناظر واتجاه انتشار الموجة، $\rho$ هي كثافة الكتلة و $C_{ij}$ هي عناصر مصفوفة الصلابة المرنة . تُستخدم معاملات تومسن لتبسيط هذه التعبيرات وتسهيل فهمها.

معلمات ثومسن

تُعدّ معاملات تومسن ^{[ 8 ]} تراكيب لا بُعدية لمعاملات المرونة التي تُميّز المواد المتناحية عرضيًا، والتي تُصادف، على سبيل المثال، في الجيوفيزياء . وتُعرّف هذه المعاملات بدلالة مُكوّنات مصفوفة الصلابة المرنة كما يلي:

{\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}

حيث يشير الرقم 3 إلى محور التناظر ( $\mathbf {e} _{3}$ يمكن استخدام هذه المعاملات، بالإضافة إلى سرعات الموجات الأولية والثانوية المرتبطة بها ، لتوصيف انتشار الموجات عبر الأوساط الطبقية ذات التباين الضعيف. عمليًا، تكون معاملات تومسن لمعظم التكوينات الصخرية الطبقية أقل بكثير من 1.

يشير الاسم إلى ليون تومسن، أستاذ الجيوفيزياء في جامعة هيوستن ، الذي اقترح هذه المعلمات في ورقته البحثية عام 1986 بعنوان "التباين المرن الضعيف".

تعابير مبسطة لسرعات الموجات

في الجيوفيزياء، يكون التباين في الخصائص المرنة ضعيفًا عادةً، وفي هذه الحالة $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$ عندما يتم تبسيط التعبيرات الدقيقة لسرعات الموجات المذكورة أعلاه في هذه الكميات الصغيرة، فإنها تصبح أبسط إلى

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}

أين

V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}

تمثل سرعات الموجتين P و S اتجاه محور التناظر ( $\mathbf {e} _{3}$ ) (في الجيوفيزياء، يكون هذا عادةً، ولكن ليس دائمًا، الاتجاه الرأسي). لاحظ أن $\delta$ قد يتم تبسيطها بشكل أكبر، لكن هذا لا يؤدي إلى مزيد من التبسيط.

تتميز الصيغ التقريبية لسرعات الموجات ببساطتها الكافية لتفسيرها فيزيائياً، ودقتها العالية التي تفي بمعظم التطبيقات الجيوفيزيائية. كما أن هذه الصيغ مفيدة في بعض السياقات التي لا يكون فيها التباين ضعيفاً.

انظر أيضاً

مراجع

↑ ميلتون، جي دبليو (2002). نظرية المواد المركبة . مطبعة جامعة كامبريدج.
↑ سلاوينسكي، ماجستير (2010). الموجات والأشعة في الأوساط المرنة المتصلة (ملف PDF) . دار النشر العالمية. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 10 فبراير 2009.
↑ يمكننا استخدام القيم $\theta =\pi$ و $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ للحصول على اشتقاق مصفوفة الصلابة للمواد المتناحية عرضيًا. تم اختيار قيم محددة لتسهيل الحساب.
1 2 باكوس، جي إي (1962)، التباين المرن ذو الموجات الطويلة الناتج عن الطبقات الأفقية، مجلة البحوث الجيوفيزيائية، 67 (11)، 4427-4440
↑ إيكيل، لوك تي. وأموندسن، لاس (2005)، مقدمة في علم الزلازل البترولية، تحقيقات جمعية الجيوفيزيائيين الاستكشافيين في الجيوفيزياء رقم 12
↑ ناي، جيه إف (2000). الخصائص الفيزيائية للبلورات: تمثيلها بواسطة الموترات والمصفوفات . مطبعة جامعة أكسفورد.
↑ جي. مافكو ، تي. موكرجي، جيه. دفوركين. دليل فيزياء الصخور . مطبعة جامعة كامبريدج 2003 (غلاف ورقي). ISBN 0-521-54344-4
↑ تومسن، ليون (1986). "التباين المرن الضعيف". الجيوفيزياء . 51 (10): 1954-1966 . Bibcode : 1986Geop...51.1954T . doi : 10.1190/1.1442051 .

[Milton-1] ميلتون، جي دبليو (2002). نظرية المواد المركبة . مطبعة جامعة كامبريدج.

[Slawinski-2] سلاوينسكي، ماجستير (2010). الموجات والأشعة في الأوساط المرنة المتصلة (ملف PDF) . دار النشر العالمية. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 10 فبراير 2009.

[note1-3] يمكننا استخدام القيم $\theta =\pi$ و $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ للحصول على اشتقاق مصفوفة الصلابة للمواد المتناحية عرضيًا. تم اختيار قيم محددة لتسهيل الحساب.

[Backus-4] 1 2 باكوس، جي إي (1962)، التباين المرن ذو الموجات الطويلة الناتج عن الطبقات الأفقية، مجلة البحوث الجيوفيزيائية، 67 (11)، 4427-4440

[5] إيكيل، لوك تي. وأموندسن، لاس (2005)، مقدمة في علم الزلازل البترولية، تحقيقات جمعية الجيوفيزيائيين الاستكشافيين في الجيوفيزياء رقم 12

[6] ناي، جيه إف (2000). الخصائص الفيزيائية للبلورات: تمثيلها بواسطة الموترات والمصفوفات . مطبعة جامعة أكسفورد.

[7] جي. مافكو ، تي. موكرجي، جيه. دفوركين. دليل فيزياء الصخور . مطبعة جامعة كامبريدج 2003 (غلاف ورقي). ISBN 0-521-54344-4

[T86-8] تومسن، ليون (1986). "التباين المرن الضعيف". الجيوفيزياء . 51 (10): 1954-1966 . Bibcode : 1986Geop...51.1954T . doi : 10.1190/1.1442051 .

[ 1 ]

[ 2 ]

3

[ 4 ]

[ 5 ]

6

على

[ 8 ]