القيم المثلثية الدقيقة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 110 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يمكن التعبير عن قيم الدوال المثلثية تقريبًا، كما فيكوس⁡(π/4)≈0.707{\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}أو تحديداً، كما فيكوس⁡(π/4)=2/2{\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}على الرغم من أن جداول الدوال المثلثية تحتوي على العديد من القيم التقريبية، إلا أنه يمكن التعبير عن القيم الدقيقة لبعض الزوايا من خلال مجموعة من العمليات الحسابية والجذور التربيعية . الزوايا التي يمكن التعبير عن قيمها المثلثية بهذه الطريقة هي تحديدًا تلك التي يمكن إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة ، وتُسمى هذه القيم بالأعداد القابلة للإنشاء .

الزوايا المشتركة

الدوال المثلثية للزوايا التي هي مضاعفات 15° أو 18° أو 22.5° لها قيم جبرية بسيطة. هذه القيم مُدرجة في الجدول التالي للزوايا من 0° إلى 45° [ 1 ] [ 2 ] (انظر أدناه للإثباتات). في الجدول أدناه، يُمثل الرمز "غير مُعرّف" نسبةً.1:0.{\displaystyle 1:0.}إذا تم اختيار المجال المقابل للدوال المثلثية ليكون الأعداد الحقيقية، فإن هذه المدخلات تكون غير معرفة ، بينما إذا تم اختيار المجال المقابل ليكون الأعداد الحقيقية الممتدة إسقاطيًا ، فإن هذه المدخلات تأخذ القيمة∞{\displaystyle \infty }(انظر القسمة على صفر ).

الراديانالدرجاتالخطيئةكوسلون برونزيسرير أطفالثانيةcsc
0{\displaystyle 0}0∘{\displaystyle 0^{\circ }}0{\displaystyle 0}1{\displaystyle 1}0{\displaystyle 0}غير محدد1{\displaystyle 1}غير محدد
π12{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}15∘{\displaystyle 15^{\circ }}2(3-1)4{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}{4}}}2(3+1)4{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}{4}}}2-3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}2+3{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}2(3-1){\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}2(3+1){\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}
π10{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}18∘{\displaystyle 18^{\circ }}5-14{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}25+54{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{4}}}55-255{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{5}}}5+25{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}105-55{\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{5}}}5+1{\displaystyle {\sqrt {5}}+1}
π8{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}22.5∘{\displaystyle 22.5^{\circ }}2-22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}2+22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}2-1{\displaystyle {\sqrt {2}}-1}2+1{\displaystyle {\sqrt {2}}+1}22-2{\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}22+2{\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
π6{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}30∘{\displaystyle 30^{\circ }}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}13{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}23{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}2{\displaystyle 2}
π5{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}36∘{\displaystyle 36^{\circ }}25-54{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{4}}}5+14{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}5-25{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}55+255{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{5}}}5-1{\displaystyle {\sqrt {5}}-1}105+55{\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{5}}}
π4{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}45∘{\displaystyle 45^{\circ }}12{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}1{\displaystyle 1}2{\displaystyle {\sqrt {2}}}

بالنسبة للزوايا خارج هذا النطاق، يمكن إيجاد القيم المثلثية بتطبيق متطابقات الانعكاس والإزاحة ، مثل:

الخطيئة⁡(π2-θ)=كوس⁡(θ)،الخطيئة⁡(2π+θ)=الخطيئة⁡(π-θ)=الخطيئة⁡(θ)،الخطيئة⁡(π+θ)=الخطيئة⁡(-θ)=-الخطيئة⁡(θ)،كوس⁡(2π+θ)=كوس⁡(-θ)=كوس⁡(θ)،كوس⁡(π+θ)=كوس⁡(π-θ)=-كوس⁡(θ).{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}

على سبيل المثال ، لأي قيمة θ أكبر من π / 4 ، لإيجاد جيبها، اتبع هذه الخطوات للعمل ضمن النطاق من 0 إلى π / 4 :

  1. بينما تكون القيمة أكبر من 2π ، اطرح منها 2π. الآن حاول إيجاد sin ( θ ) .
  2. إذا كانت أكبر من π ، فاطرح π منها وحاول إيجاد − sin( θ ) .
  3. إذا كانت أكبر من π / 2 ، فاطرح π / 2 منها وحاول إيجاد cos ( θ ) .
  4. إذا كانت القيمة أكبر من π / 4 ، فاطرحها من π / 2 . إذا كنت تحاول إيجاد جيب التمام نتيجةً للخطوة 3، فحاول الآن إيجاد sin( θ ) . أما إذا كنت تحاول إيجاد الجيب لأنك لم تدخل الخطوة 3، فحاول إيجاد cos( θ ) .

الأعداد المثلثية

العدد المثلثي هو عدد يمكن التعبير عنه كجيب أو جيب تمام لمضاعف نسبي لـ π راديان . [ 3 ] بما أنالخطيئة⁡(x)=كوس⁡(x-π/2)،{\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}يمكن استبعاد حالة الجيب من هذا التعريف. لذلك، يمكن كتابة أي عدد مثلثي على النحو التالي:كوس⁡(2πك/ن){\displaystyle \cos(2\pi k/n)}حيث k و n عددان صحيحان. يمكن اعتبار هذا العدد الجزء الحقيقي من العدد المركبكوس⁡(2πك/ن)+أناالخطيئة⁡(2πك/ن){\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}تُظهر صيغة دي مويفر أن الأعداد من هذا الشكل هي جذور للوحدة :

(كوس⁡(2πكن)+أناالخطيئة⁡(2πكن))ن=كوس⁡(2πك)+أناالخطيئة⁡(2πك)=1.{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1.}

(وبالمقابل، فإن الجزء الحقيقي لأي جذر للوحدة هو عدد مثلثي). بما أن جذر الوحدة هو جذر لكثير الحدود xⁿ -  1 ،  فهو عدد جبري . وبما أن العدد المثلثي هو متوسط ​​جذر الوحدة ومرافقه المركب ، وبما أن الأعداد الجبرية مغلقة تحت العمليات الحسابية، فإن كل عدد مثلثي هو عدد جبري. [ 3 ] يمكن تعداد كثيرات الحدود الدنيا للأعداد المثلثية بشكل صريح . [ 4 ] في المقابل، وبحسب نظرية ليندمان-فايرشتراس ، فإن جيب أو جيب تمام أي عدد جبري غير صفري يكون دائمًا عددًا متساميًا . [ 5 ]

بحسب نظرية نيفن ، فإن الأعداد المثلثية النسبية الوحيدة هي 0، 1، -1، 1/2، و-1/2. [ 6 ]

قابلية التنفيذ

يمكن إنشاء زاوية باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كان جيبها (أو جيب تمامها) قابلاً للتعبير عنه بمجموعة من العمليات الحسابية والجذور التربيعية المطبقة على الأعداد الصحيحة. [ 7 ] بالإضافة إلى ذلك، الزاوية التي هي مضاعف نسبي لـπ{\displaystyle \pi }يمكن إنشاء وحدة الراديان إذا وفقط إذا تم التعبير عنها على النحو التاليأπ/ب{\displaystyle a\pi /b}بالراديان، حيث a و b عددان صحيحان أوليان فيما بينهما ، فإن التحليل إلى عوامل أولية للمقام b هو حاصل ضرب قوة ما للعدد اثنين في أي عدد من أعداد فيرما الأولية المختلفة (عدد فيرما الأولي هو عدد أولي أكبر بواحد من قوة للعدد اثنين). [ 7 ] : 46

وهكذا، على سبيل المثال،2π/15=24∘{\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}الزاوية قابلة للإنشاء لأن 15 هي حاصل ضرب العددين الأوليين لفرما 3 و 5. وبالمثلπ/12=15∘{\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}الزاوية قابلة للإنشاء لأن 12 هي قوة للعدد اثنين (4) مضروبة في عدد أولي من أعداد فيرما (3). لكنπ/9=20∘{\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}ليست زاوية قابلة للإنشاء، لأن9=3⋅3{\displaystyle 9=3\cdot 3}ليس ناتج ضرب أعداد أولية مختلفة من نوع فيرما، لأنه يحتوي على 3 كعامل مرتين، وكذلك ليسπ/7≈25.714∘{\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}، لأن 7 ليس عددًا أوليًا من أعداد فيرما. [ 8 ]

وينتج عن التوصيف أعلاه أن الزاوية ذات عدد صحيح من الدرجات يمكن إنشاؤها إذا وفقط إذا كان هذا العدد من الدرجات من مضاعفات 3 .

القيم القابلة للإنشاء

45 درجة

من منظور الهوية ،كوس⁡(45∘)=الخطيئة⁡(90∘-45∘)=الخطيئة⁡(45∘){\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}بالتعويض في متطابقة فيثاغورس المثلثيةالخطيئة⁡(45∘)2+كوس⁡(45∘)2=1{\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}وبذلك نحصل على متعددة الحدود الدنيا2الخطيئة⁡(45∘)2-1=0{\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}بأخذ الجذر الموجب، نجدالخطيئة⁡(45∘)=كوس⁡(45∘)=1/2=2/2{\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}.

إحدى الطرق الهندسية لاشتقاق جيب أو جيب تمام الزاوية 45° هي النظر إلى مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين طول ضلعه 1. بما أن زاويتين في المثلث متساوي الساقين متساويتان، فإذا كانت الزاوية المتبقية 90° في المثلث القائم الزاوية، فإن الزاويتين المتساويتين تساويان 45° لكل منهما. وبناءً على نظرية فيثاغورس، يكون طول وتر هذا المثلث هو2{\displaystyle {\sqrt {2}}}. إن تغيير مقياس المثلث بحيث يكون طول وتره 1 يؤدي إلى قسمة الأطوال على2{\displaystyle {\sqrt {2}}}، مما يعطي نفس القيمة لجيب الزاوية أو جيب تمامها 45 درجة المذكورة أعلاه.

30 درجة و 60 درجة

تُستنتج قيمتا الجيب وجيب التمام للزاويتين 30 و60 درجة من تحليل المثلث متساوي الأضلاع . في المثلث متساوي الأضلاع، تكون الزوايا الثلاث متساوية ومجموعها 180 درجة، وبالتالي فإن قياس كل زاوية من زواياه يساوي 60 درجة. بتنصيف إحدى الزوايا، نحصل على مثلث قائم الزاوية خاص بزوايا 30-60-90 درجة. وبسبب التناظر، فإن الضلع المنصف يساوي نصف طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع، ومن ثم نستنتج أنالخطيئة⁡(30∘)=1/2{\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}ثم تعطي متطابقات فيثاغورس والانعكاسالخطيئة⁡(60∘)=كوس⁡(30∘)=1-(1/2)2=3/2{\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}.

18°، 36°، 54°، و72°

قيمةالخطيئة⁡(18∘){\displaystyle \sin(18^{\circ })}يمكن اشتقاقها باستخدام صيغ الزوايا المتعددة للجيب وجيب التمام. [ 9 ] باستخدام صيغة ضعف الزاوية للجيب: الخطيئة⁡(36∘)=2الخطيئة⁡(18∘)كوس⁡(18∘){\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })} باستخدام صيغة الزاوية الثلاثية لجيب التمام: كوس⁡(54∘)=كوس3⁡(18∘)-3الخطيئة2⁡(18∘)كوس⁡(18∘)=كوس⁡(18∘)(1-4الخطيئة2⁡(18∘)){\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))} بما أن sin(36°) = cos(54°)، فإننا نساوي هذين التعبيرين ونلغي عامل cos(18°): 2الخطيئة⁡(18∘)=1-4الخطيئة2⁡(18∘){\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })} هذه المعادلة التربيعية لها جذر موجب واحد فقط: الخطيئة⁡(18∘)=5-14{\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}

ثم تعطينا متطابقة فيثاغورسكوس⁡(18∘){\displaystyle \cos(18^{\circ })}وتعطي صيغتا ضعف وثلث الزاوية جيب وجيب تمام الزوايا 36° و54° و72°. ثمكوس⁡(36∘)=(5+1)/4=φ/2{\displaystyle \cos(36^{\circ })=({\sqrt {5}}+1)/4=\varphi /2}، حيثφ{\displaystyle \varphi }هي النسبة الذهبية .

تُستمد إحدى الطرق الهندسية لإيجاد جيوب هذه الزوايا من تحليل خماسي منتظم. يشكل قطران من أقطاره زاوية قياسها 36° يمكن رسمها داخل دائرة، ويشكل أحد أضلاع الخماسي وترًا في الدائرة يقابل هذه الزاوية المحيطية. لحساب طول الوتر، نرسم شكلًا رباعيًا من أربع نقاط في الخماسي. إذا كان طول كل قطر من أقطاره يساوي واحدًا، فإن تطبيق نظرية بطليموس على هذا الشكل الرباعي يعطي المعادلة التالية:x2+x-1=0{\displaystyle x^{2}+x-1=0}حيث يمثل x طول الوتر. الجذر الموجب لهذه المعادلة هو هذه القيمة:

5-12{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}

يؤدي تنصيف الزاوية 36° إلى تكوين مثلث قائم الزاوية بزوايا 18° و72°، ويقسم الوتر إلى نصفين، مما يعطي نفس قيمة جيب الزاوية 18° المذكورة سابقًا. ومن ثم، تُستنتج قيمة جيب الزاوية 72° من نظرية فيثاغورس، بينما تُستنتج قيمتا جيب الزاويتين 36° و54° من sin(18°) وصيغتي ضعف الزاوية وثلاثة أضعافها.

المضاعفات المتبقية للعدد 3°

 يتوفر لدى ويكيميديا ​​كومنز ملف يحتوي على جدول بهذه القيم الدقيقة.

يمكن اشتقاق جيوب وجيوب تمام جميع الزوايا الأخرى بين 0 و90 درجة والتي هي مضاعفات للعدد 3 درجات من الزوايا المذكورة أعلاه وصيغ المجموع والفرق . على وجه التحديد، [ 10 ]

3∘=18∘-15∘،24∘=60∘-36∘،51∘=36∘+15∘،78∘=60∘+18∘،6∘=36∘-30∘،27∘=45∘-18∘،57∘=75∘-18∘،81∘=45∘+36∘،9∘=45∘-36∘،33∘=18∘+15∘،63∘=45∘+18∘،84∘=54∘+30∘،12∘=30∘-18∘،39∘=54∘-15∘،66∘=36∘+30∘،87∘=72∘+15∘.15∘=45∘-30∘،42∘=60∘-18∘،69∘=54∘+15∘،21∘=36∘-15∘،48∘=30∘+18∘،75∘=45∘+30∘،{\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=60^{\circ }-36^{\circ },&51^{\circ }&=36^{\circ }+15^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=75^{\circ }-18^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=18^{\circ }+15^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=54^{\circ }-15^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=72^{\circ }+15^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=54^{\circ }+15^{\circ },&\\21^{\circ }&=36^{\circ }-15^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}

على سبيل المثال، بما أن24∘=60∘-36∘{\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}ويمكن اشتقاق جيب تمامها باستخدام صيغة فرق جيب التمام: كوس⁡(24∘)=كوس⁡(60∘)كوس⁡(36∘)+الخطيئة⁡(60∘)الخطيئة⁡(36∘)=125+14+3210-254=1+5+30-658{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\[4mu]&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\[6mu]&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}

أنصاف الزوايا

إذا ضُرب المقام، b ، بعوامل إضافية من العدد 2، يُمكن اشتقاق الجيب وجيب التمام باستخدام صيغ نصف الزاوية . على سبيل المثال، 22.5° ( π /8 راديان) هي نصف 45°، لذا فإن جيبها وجيب تمامها هما: [ 11 ]

الخطيئة⁡(22.5∘)=12(1-كوس⁡(45∘))=12(1-22)=122-2كوس⁡(22.5∘)=12(1+كوس⁡(45∘))=12(1+22)=122+2{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(22.5^{\circ })&={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\bigl (}1-\cos(45^{\circ }){\bigr )}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\\\cos(22.5^{\circ })&={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\bigl (}1+\cos(45^{\circ }){\bigr )}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\end{aligned}}}

يؤدي تطبيق صيغ نصف الزاوية بشكل متكرر إلى جذور متداخلة ، وتحديداً جذور تربيعية متداخلة للعدد 2 من الشكل التالي:2±⋯{\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}بشكل عام، جيب وجيب تمام معظم الزوايا من الشكلβ/2ن{\displaystyle \beta /2^{n}}يمكن التعبير عن ذلك باستخدام الجذور التربيعية المتداخلة للعدد 2 بدلالةβ{\displaystyle \beta }. تحديداً، إذا كان بالإمكان كتابة زاوية على النحو التالي α=π(12-∑أنا=1ك∏ج=1أنابج2أنا+1)=π(12-ب14-ب1ب28-ب1ب2ب316-...-ب1ب2...بك2ك+1){\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)} أينبك∈[-2،2]{\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}وبأنا{\displaystyle b_{i}}تكون القيمة -1 أو 0 أو 1 لـأنا<ك{\displaystyle i<k}ثم [ 12 ]كوس⁡(α)=ب122+ب22+ب32+...+بك-12+2الخطيئة⁡(πبك4){\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}} وإذاب1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}ثم [ 12 ]الخطيئة⁡(α)=122-ب22+ب32+ب42+...+بك-12+2الخطيئة⁡(πبك4){\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}} على سبيل المثال،13π32=π(12-14+18+116-132){\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}لذلك يمتلك المرء(ب1،ب2،ب3،ب4)=(1،-1،1،-1){\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}ويحصل على: كوس⁡(13π32)=122-2+2+2الخطيئة⁡(-π4)=122-2+2-2الخطيئة⁡(13π32)=122+2+2-2{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\\sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}

مقام العدد 17

بما أن العدد 17 هو عدد أولي من أعداد فيرما، فإنه يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي 17 ضلعًا ، مما يعني أن جيوب وجيوب تمام الزوايا مثل2π/17{\displaystyle 2\pi /17}يمكن التعبير عن الزوايا بالراديان بدلالة الجذور التربيعية. وعلى وجه الخصوص، أثبت كارل فريدريش غاوس في عام 1796 ما يلي: [ 13 ] [ 14 ]كوس⁡(2π17)=-1+17+34-217+217+317-170+381716{\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}

جيوب وجيوب تمام الزوايا القابلة للإنشاء ذات الصلة التي يبلغ قياسهاكπ/(17⋅2ن){\displaystyle \textstyle k\pi /(17\cdot 2^{n})}الراديان (للأعداد الصحيحة )ك{\displaystyle k}و​​ن{\displaystyle n}يمكن اشتقاق ) من هذا.

عدم إمكانية البناء من الدرجة الأولى

كما نوقش في قسم  قابلية الإنشاء ، فإن بعض الزوايا فقط هي مضاعفات نسبية لـπ{\displaystyle \pi }للراديان قيم مثلثية يمكن التعبير عنها بالجذور التربيعية. الزاوية 1°، وهيπ/180=π/(22⋅32⋅5){\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}الراديان، يحتوي على عامل متكرر 3 في المقام، وبالتاليالخطيئة⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}لا يمكن التعبير عنها باستخدام الجذور التربيعية فقط. وثمة سؤال ذو صلة هو ما إذا كان يمكن التعبير عنها باستخدام الجذور التكعيبية. يمكن استخدام الطريقتين التاليتين، لكن كلتيهما تؤديان إلى تعبير يتضمن الجذر التكعيبي لعدد مركب . تُظهر نظرية غالوا أن السبب غير القابل للاختزال لا يمكن التعبير عنه بدلالة الجذور الحقيقية فقط. [ 15 ]

باستخدام متطابقة الزاوية الثلاثية، يمكننا تحديدالخطيئة⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}كجذر لكثير الحدود التكعيبي:الخطيئة⁡(3∘)=-4x3+3x{\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}الجذور الثلاثة لهذه المعادلة هيالخطيئة⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}،الخطيئة⁡(59∘){\displaystyle \sin(59^{\circ })}، و-الخطيئة⁡(61∘){\displaystyle -\sin(61^{\circ })}. منذالخطيئة⁡(3∘){\displaystyle \sin(3^{\circ })}بما أنه قابل للإنشاء، يمكن إدخال تعبير عنه في صيغة كاردانو للحصول على تعبير لـالخطيئة⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}ومع ذلك، بما أن الجذور الثلاثة للدالة التكعيبية حقيقية، فإن هذه حالة من حالات عدم الاختزال، ويتطلب التعبير إيجاد الجذر التكعيبي لعدد مركب. [ 16 ] [ 17 ]

أو بدلاً من ذلك، باستخدام صيغة دي مويفر :

(كوس⁡(1∘)+أناالخطيئة⁡(1∘))3=كوس⁡(3∘)+أناالخطيئة⁡(3∘)،(كوس⁡(1∘)-أناالخطيئة⁡(1∘))3=كوس⁡(3∘)-أناالخطيئة⁡(3∘).{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}

بأخذ الجذور التكعيبية وجمع أو طرح المعادلات، نحصل على: [ 17 ]

كوس⁡(1∘)=12(كوس⁡(3∘)+أناالخطيئة⁡(3∘)3+كوس⁡(3∘)-أناالخطيئة⁡(3∘)3)،الخطيئة⁡(1∘)=12أنا(كوس⁡(3∘)+أناالخطيئة⁡(3∘)3-كوس⁡(3∘)-أناالخطيئة⁡(3∘)3).{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أبراموفيتز وستيجون 1972 ، ص 74، 4.3.46
  2. ↑ "المكتبة الرقمية للدوال الرياضية (DLMF)، §4.17 القيم الخاصة والنهايات" .
  3. 1 2 نيفن، إيفان. الأعداد: النسبية وغير النسبية ، 1961. دار راندوم هاوس. المكتبة الرياضية الجديدة ، المجلد 1. الرقم الدولي الموحد للدوريات 0548-5932 . الفصل 5 
  4. ↑ ليمر، د. هـ. (1933). "ملاحظة حول الأعداد الجبرية المثلثية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 40 (3): 165-166 . doi : 10.2307/2301023 . JSTOR 2301023 . 
  5. ↑ برجر، إدوارد ب.؛ توبس، روبرت (17 أبريل 2013). جعل التجاوز شفافًا: مدخل بديهي لنظرية الأعداد المتسامية الكلاسيكية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 44. ISBN  978-1-4757-4114-8.
  6. ↑ شومبرغر، نورمان (1974). "نظرية صفية حول اللاعقلانية المثلثية". مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 5 (1): 73-76 . doi : 10.2307/3026991 . JSTOR 3026991 . 
  7. 1 2 مارتن، جورج إي. (1998)، الإنشاءات الهندسية ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، doi : 10.1007/978-1-4612-0629-3 ، ISBN 0-387-98276-0MR 1483895​ 
  8. ^ Fraleigh، John B. (1994)، دورة أولى في الجبر التجريدي ( الطبعة الخامسة)، أديسون ويسلي، ISBN  978-0-201-53467-2، MR 0225619 
  9. ↑ "القيمة الدقيقة لـ sin 18°" . math-only-math .
  10. ^ فايس، آدم (1851). Handbuch دير علم المثلثات (في المانيا). جي إل شميد. ص 72 – 74. 
  11. ↑ دوربا، سوبرامانيام (2012). "طريقة هندسية لإيجاد النسب المثلثية للزاويتين 22.5° و75°". الرياضيات في المدرسة . 41 (3): 22-23 . JSTOR 23269221 . 
  12. 1 2 سيرفي، إل دي (أبريل 2003). "الجذور التربيعية المتداخلة للعدد 2". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 110 (4): 326-330 . doi : 10.1080/00029890.2003.11919968 .
  13. ↑ آرثر جونز، وسيدني أ. موريس، وكينيث ر. بيرسون، الجبر المجرد والمستحيلات الشهيرة ، سبرينغر، 1991، رقم ISBN 0387976612، ص 178.
  14. ↑ كالاغي، جيمس ج. "الزاوية المركزية للمضلع المنتظم ذو 17 ضلعًا"، المجلة الرياضية 67، ديسمبر 1983، 290-292.
  15. ↑ فيلانويفا، جاي. "في سبب عدم اختزال حل المعادلة التكعيبية" (PDF) .
  16. ↑ بارنت، جيمس ت. (يونيو 2011). "القيم الدقيقة لجيب جميع الأعداد الصحيحة" (ملف PDF) . الرياضيات التفاعلية . تم الاطلاع عليه في 5 فبراير 2024 .
  17. 1 2 كوالسكي، ترافيس (نوفمبر 2016). "جيب الزاوية ذات الدرجة الواحدة" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 47 (5): 322-332 . doi : 10.4169/college.math.j.47.5.322 . S2CID 125810699 . 

فهرس