نظام العد الثلاثي

النظام العددي الثلاثي / ˈ t ɜːr n əri / ( يسمى أيضًا النظام ذو الأساس 3 أو النظام الثلاثي ^[¹^] ) له ثلاثة كأساس له .

على الرغم من أن مصطلح "ثلاثي" يشير في الغالب إلى نظام تكون فيه الأرقام الثلاثة جميعها أعدادًا غير سالبة (وتحديدًا 0 و1 و2)، إلا أن هذا المصطلح يُستخدم أيضًا لوصف النظام الثلاثي المتوازن . يتكون النظام الثلاثي المتوازن من الأرقام -1 و0 و+1، ويُستخدم على نطاق واسع في منطق المقارنة والحواسيب الثلاثية .

وحدات المعلومات

تريت

الرقم الثلاثي هو وحدة ثلاثية ( trit )، على غرار البت . وحدة _ثلاثية واحدة تعادل log₂²³ (حوالي 1.58496) بت من المعلومات . ^{[ 2 ]} وفقًا لافتراضات الأجهزة التقليدية، يُعد النظام الثلاثي نظريًا أكثر كفاءة من النظام الثنائي من حيث اقتصاد الأساس، لأن 3 هو أقرب عدد صحيح إلى عدد أويلر ( e ). ^{[ 3 ]}

تريبيل

على غرار النيبل الثنائي ، يتكون التريبل من 3 تريتات. يمكنه استيعاب 27 حالة مميزة ( $3³ = 2⁷ )، وهو ما يعادل تقريبًا 4.75 بت من المعلومات. ولأنه يحتوي على$ 27 حالة بالضبط، يُمثَّل التريبل بسهولة بحرف واحد في نظام الترميز الأبجدي الرقمي ذي الأساس 27 ( سبتمفيجيسيمي ).

ترايت

على غرار البايت الثنائي ، يُعرَّف الترايت عادةً بستة أو تسعة ترايتات. عرّفت الحواسيب الثلاثية المبكرة ، مثل حاسوب سيتون السوفيتي ، الترايت بستة ترايتات. ^{[ 4 ]} يحتوي الترايت ذو الستة ترايتات على $729 حالة$ $(3 ^6$ )، ويحمل ما يقارب 9.5 بت من المعلومات، وهو أكثر بكثير من البايت الثنائي القياسي ذي 8 بتات (256 حالة). ^{[ 5 ]} غالبًا ما تُفضِّل البنى النظرية الحديثة الترايت ذو التسعة ترايتات ( $19683 حالة ($ $3^9$ ))، لأنه ينقسم بسهولة إلى ثلاثة تريبيلات.

كلمة

تمثل الكلمة الثلاثية عرض السجل القياسي لبنية ثلاثية معينة. على سبيل المثال، كان حاسوب سيتون يعمل باستخدام كلمة ثلاثية مكونة من 18 حرفًا مع بنية أوامر وذاكرة ثلاثية مكونة من 9 أحرف. ^{[ 5 ]}

الوحدات الكلية

عند التوسع إلى سعات تخزين بيانات أكبر، ينقسم مصطلح الحوسبة الثلاثية إلى اصطلاحين متميزين اعتمادًا على بنية الأجهزة:

القياس الثلاثي الأصلي: في نظام ثلاثي خالص، تتضاعف الوحدات الكبيرة بقوى العدد 3 بدلاً من قوى العدد 2 (1024) أو 10 (1000) المستخدمة في النظامين الثنائي والعشري. الكيلوترايت (KT) في هذا النظام يساوي بالضبط $3 \times 10$ (59049) ترايت. وبناءً على هذا النمط، فإن الميغاترايت (MT) يساوي $3 \times 20$ ترايت، والجيجاترايت ( GT) يساوي $3 \times 30$ ترايت.
التوسيع المتوافق مع النظام الثنائي: في الأنظمة الهجينة المصممة للتفاعل مباشرةً مع البنية التحتية الثنائية الحالية، غالبًا ما يقوم المهندسون بربط المجموعات الثلاثية بأحجام ثنائية قياسية. ولأن 5 وحدات ثلاثية (243 حالة) تتناسب بكفاءة مع بايت 8 بت (256 حالة)، تُطبق أحيانًا بادئات النظام الدولي للوحدات الثنائية التقليدية مباشرةً على كتل الترايت، مما يجعل الكيلوترايت مساويًا لـ 1024 ترايت، والميغاترايت مساويًا لـ 1,048,576 ترايت.

مقارنة بالقواعد الأخرى

لا تصبح تمثيلات الأعداد الصحيحة في النظام الثلاثي طويلة بشكل مزعج بالسرعة نفسها في النظام الثنائي . على سبيل المثال، يقابل العدد العشري 365 ₁₀ أو العدد السداسي 1 405_{6 العدد الثنائي}1 0110 1101₂ (تسعة بتات ) والعدد الثلاثي 111 112₃ (ستة بتات ثلاثية). ومع ذلك، فهي لا تزال أقل اختصارًا بكثير من التمثيلات المقابلة في أنظمة أخرى مثل النظام العشري - انظر أدناه لطريقة مختصرة لترميز النظام الثلاثي باستخدام النظام التساعي (الأساس 9) والنظام السباعي الفيجي (الأساس 27).

جدول الضرب الثلاثي
×	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1 012	1 100
12	12	101	120	202	221	1010	1 022	1 111	1 200
20	20	110	200	220	1010	1 100	1 120	1 210	2000
21	21	112	210	1001	1 022	1 120	1 211	2002	2 100
22	22	121	220	1 012	1 111	1 210	2002	2 101	2200
100	100	200	1000	1 100	1 200	2000	2 100	2200	10000

**الأعداد من 0 إلى 3 ^{هي 3} - 1 في النظام الثلاثي القياسي**
عشري	0	1	2	3	4	5	6	7	8
ثلاثي	0	1	2	10	11	12	20	21	22
ثنائي	0	1	10	11	100	101	110	111	1000
سيناري	0	1	2	3	4	5	10	11	12

ثلاثي	100	101	102	110	111	112	120	121	122
ثنائي	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	1 0000	1 0001
سيناري	13	14	15	20	21	22	23	24	25
عشري	9	10	11	12	13	14	15	16	17

ثلاثي	200	201	202	210	211	212	220	221	222
ثنائي	1 0010	1 0011	1 0100	1 0101	1 0110	1 0111	1 1000	1 1001	1 1010
سيناري	30	31	32	33	34	35	40	41	42
عشري	18	19	20	21	22	23	24	25	26

**قوى العدد 3 في النظام الثلاثي**
قوة	3 ⁰	3 ¹	3 ²	3 ³	3 ⁴
ثلاثي	1	10	100	1000	10000
ثنائي	1	11	1001	1 1011	101 0001
سيناري	1	3	13	43	213
عشري	1	3	9	27	81

ثلاثي	100000	مليون	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000
ثنائي	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
سيناري	1043	3 213	14043	50 213	231 043
عشري	243	729	2 187	6561	19683
قوة	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ⁹

أما بالنسبة للأعداد النسبية ، فإن النظام الثلاثي يوفر طريقة ملائمة لتمثيل 1/3 بشكل مشابه للنظام السداسي ( على عكس تمثيله المعقد كسلسلة لا نهائية من الأرقام المتكررة في النظام العشري)؛ ولكن العيب الرئيسي هو أن النظام الثلاثي بدوره لا يوفر تمثيلاً محدوداً لـ 1/2 (ولا لـ 1/4، 1/8 ، إلخ ) ، لأن العدد 2 له عامل أولي ليس عاملاً من عوامل الأساس ؛ كما هو الحال مع الأساس 2 ، فإن عُشر العدد (العشري 1/10 ، والسداسي 1/14 ) لا يمكن تمثيله بدقة (يحتاج ذلك مثلاً إلى النظام العشري ) ؛ ولا السدس ( العدد العشري 1/10 ، العدد العشري 1/6 ) .

**الكسور في النظام الثلاثي**
عشري	0.5	0. 3	0.25	0.2	0.1 6	0.142857	0.125	0.1	0.1	0.09	0.08 3	0.076923
جزء	١/٢	١/٣	١/٤	1 / 5	1 / 6	1 / 7	1/8	1 / 9	1/10	1 / 11	1 / 12	1 / 13
ثلاثي	0.1	0.1	0.02	0.0121	0.0 1	0.010212	0.01	0.01	0.0022	0.00211	0.0 02	0.002
ثنائي	0.1	0.01	0.01	0.0011	0.0 01	0.001	0.001	0.000111	0.0 0011	0.0001011101...	0.00 01	0.000100111011...
سيناري	0.3	0.2	0.13	0.1	0.1	0.05	0.043	0.04	0.0 3	0.0313452421	0.03	0.024340531215

مجموع الأرقام في النظام الثلاثي مقابل النظام الثنائي

قيمة العدد الثنائي الذي يحتوي على $n$ بت وكلها تساوي 1 هي $2^n - 1$ .

وبالمثل، بالنسبة لعدد $N(b,d)$ مع قاعدة $b$ و $d$ الأرقام، وكلها تمثل القيمة الرقمية القصوى $b-1$ يمكننا كتابة المتتابعة الهندسية:

${\begin{aligned}N(b,d)&=(b-1)b^{d-1}+(b-1)b^{d-2}+\dots +(b-1)b^{0}\\&=(b-1)(b^{d-1}+b^{d-2}+\dots +1)\\&=(b-1)M.\end{aligned}}$

الضرب $M$ بواسطة $b$ ينتج عنه: $bM=b^{d}+b^{d-1}+\dots +b^{1}$

الطرح $M$ من $bM$ يعزل القيم الحدية: $bM-M=b^{d}-1$ $M={\frac {b^{d}-1}{b-1}}$

بإدخال هذا مرة أخرى في المعادلة الأصلية لـ $N(b,d)$ يوضح ذلك أن القيمة القصوى لأي أساس تتطابق مع سلوك الحدود في النظام الثنائي: $N(b,d)=(b-1)\left({\frac {b^{d}-1}{b-1}}\right)=b^{d}-1.$

بالنسبة للعدد الثلاثي المكون من ثلاثة أرقام، $N(3,3)=3^{3}-1=26=(2\times 3^{2})+(2\times 3^{1})+(2\times 3^{0})=18+6+2$ .

التمثيل الثلاثي المضغوط: الأساس 9 و27

مقارنة بين النظام الثلاثي والنظام التساعي
ثلاثي	التسعة
٠٠	0
01	1
02	2
10	3
11	4
12	5
20	6
21	7
22	8

يمكن استخدام النظام التساعي / ˈ n ɒ n əri / (الأساس 9، كل رقم هو رقمان ثلاثيان) أو النظام السباعي العشري (الأساس 27، كل رقم هو ثلاثة أرقام ثلاثية) لتمثيل مختصر للثلاثي، على غرار كيفية استخدام النظامين الثماني والسداسي عشري بدلاً من النظام الثنائي .

الاستخدام العملي

في بعض الدوائر المنطقية التناظرية، يُعبَّر عن حالة الدائرة غالبًا بنظام ثلاثي. ويُلاحظ هذا بشكل شائع في دوائر CMOS ، وكذلك في منطق الترانزستور-ترانزستور ذي خرج ثنائي القطب . يُقال إن الخرج إما منخفض ( مؤرض )، أو مرتفع، أو مفتوح ( مقاومة عالية ). في هذا التكوين، لا يكون خرج الدائرة متصلًا بأي مرجع جهد على الإطلاق. أما عندما تكون الإشارة مؤرضة عادةً إلى مرجع معين، أو عند مستوى جهد معين، فتُسمى الحالة مقاومة عالية لأنها مفتوحة وتخدم مرجعها الخاص. وبالتالي، يكون مستوى الجهد الفعلي غير قابل للتنبؤ في بعض الأحيان.

يُستخدم مصطلح "الفاصلة الثلاثية" النادر في إحصائيات الدفاع في لعبة البيسبول الأمريكية (خاصةً بالنسبة للرماة ) للدلالة على أجزاء من الشوط. ولأن الفريق المهاجم يُسمح له بثلاثة إخراجات في كل نصف شوط، فإن كل إخراج يُمثل ثلث شوط دفاعي بالضبط، ويُكتب عادةً بفاصلة عشرية متبوعة بعدد الإخراجات.

على سبيل المثال، إذا لعب لاعب جميع الأشواط الرابع والخامس والسادس، وسجل ضربتين خارجيتين بالضبط في الشوط السابع، فإن إحصائية عدد الأشواط التي لعبها (IP) ستُسجل على أنها 3.2 . وهذا يُمثل 3 + 2 / 3 أشواط لعبها (وهي طريقة تدوين يفضلها أحيانًا مُسجلو الإحصائيات التقليدية). في هذا السياق الرياضي تحديدًا، يُحسب الجزء الكسري فقط من العدد بالنظام الثلاثي . ^[⁶^]

يمكن استخدام الأعداد الثلاثية للتعبير بسهولة عن البنى المتشابهة ذاتيًا، مثل مثلث سيربينسكي أو مجموعة كانتور . بالإضافة إلى ذلك، يُعدّ التمثيل الثلاثي مفيدًا لتعريف مجموعة كانتور ومجموعات النقاط المرتبطة بها، نظرًا لطريقة بناء مجموعة كانتور. تتكون مجموعة كانتور من النقاط من 0 إلى 1 التي لها تعبير ثلاثي لا يحتوي على أي رقم 1. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} أي توسيع نهائي في النظام الثلاثي يُكافئ التعبير المطابق حتى الحد الذي يسبق آخر حد غير صفري، متبوعًا بالحد الأقل بواحد من آخر حد غير صفري في التعبير الأول، متبوعًا بسلسلة لا نهائية من الرقم 2. على سبيل المثال: 0.1020 يُكافئ 0.1012222... لأن التوسيعات متطابقة حتى الرقم 2 في التعبير الأول، ثم تم إنقاص الرقم 2 في التوسيع الثاني، واستُبدلت الأصفار اللاحقة بالرقم 2 في التعبير الثاني.

يُعدّ النظام الثلاثي أساس الأعداد الصحيحة الأقل كفاءةً من حيث التكلفة ، يليه مباشرةً النظام الثنائي ثم النظام الرباعي . ويعود ذلك إلى قربه من الثابت الرياضي e . وقد استُخدم في بعض أنظمة الحوسبة نظرًا لهذه الكفاءة. كما يُستخدم لتمثيل الأشجار ذات الخيارات الثلاثة ، مثل أنظمة قوائم الهاتف، التي تُتيح مسارًا بسيطًا إلى أي فرع.

مزايا ثلاثية متوازنة

عند تطبيق نظام العد الثلاثي المتوازن (الذي يتألف من الأرقام -1، 0، و+1)، فإنه يوفر مزايا حسابية واضحة مقارنةً بالنظام الثنائي. وأبرز هذه المزايا هو أن النظام الثلاثي المتوازن يُغني عن الحاجة إلى بت إشارة صريح ، إذ تُحدد إشارة العدد تلقائيًا من خلال رقمه غير الصفري الأكثر أهمية. علاوة على ذلك، فإن عملية النفي الرياضي تتسم بكفاءة عالية، إذ لا تتطلب سوى عكس بسيط للرموز (تبديل +1 و-1) بدلاً من عمليات المتمم الثنائي المعقدة التي تتطلبها الأجهزة الثنائية. ^{[ 9 ]}

يُستخدم أحيانًا شكل من أشكال التمثيل الثنائي الزائد يسمى نظام الأرقام الثنائية الموقعة، وهو شكل من أشكال تمثيل الأرقام الموقعة ، في البرامج والأجهزة منخفضة المستوى لإنجاز عملية جمع الأعداد الصحيحة بسرعة لأنه يمكنه التخلص من عمليات الحمل . ^{[ 10 ]}

الترميز الثنائي الثلاثي

يمكن أن تتضمن محاكاة الحواسيب الثلاثية باستخدام الحواسيب الثنائية، أو الربط بين الحواسيب الثلاثية والثنائية، استخدام أرقام ثلاثية مشفرة ثنائيًا (BCT)، حيث يُستخدم بتّان أو ثلاثة بتات لترميز كل قيمة ثلاثية (trit). ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} يُشابه ترميز BCT الترميز العشري المشفر ثنائيًا (BCD). إذا تم ترميز القيم الثلاثية 0 و1 و2 على النحو التالي: 00 و01 و10، فيمكن إجراء التحويل في أي اتجاه بين الترميز الثلاثي المشفر ثنائيًا والترميز الثنائي في زمن لوغاريتمي . ^{[ 13 ]} تتوفر مكتبة من أكواد C تدعم العمليات الحسابية لـ BCT. ^{[ 14 ]}

انظر أيضاً

مراجع

↑ كيندرا، فلاديمير؛ روغاليف، نيكولاي؛ أوسيبوف، سيرجي؛ زليفكو، أولغا؛ ناوموف، فلاديمير (2022). "بحث وتطوير دورات الطاقة الثلاثية" . الاختراعات . 7 (3): 56. doi : 10.3390/inventions7030056 . ISSN 2411-5134 .
↑ إيتيمبل، دانيال (2019). "الدوائر الثلاثية: لماذا R=3 ليس الأساس الأمثل للحساب". arXiv : 1908.06841 [ cs.AR ].
↑ جورجيو، هاريس ف. (2016). "حول أمثلية الحساب الثلاثي من أجل الاكتناز وتصميم الأجهزة". arXiv : 1611.03715 [ cs.AR ].
↑ إمباغليازو، جون؛ برويداكوف، إدوارد (2006). منظورات حول الحوسبة السوفيتية والروسية . المؤتمر الأول لمجموعة العمل 9.7 التابعة للاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات، SoRuCom 2006. بتروزافودسك، روسيا: سبرينغر . ISBN 978-3-64222816-2.
1 2 بروسينتسوف، ن.ب.؛ ماسلوف، س.ب.؛ راميل ألفاريز، ج.؛ جوغوليف، إ.أ. "تطوير الحواسيب الثلاثية في جامعة موسكو الحكومية" . تم الاسترجاع في 20-01-2010 .
↑ آشلي ماكلينان (9 يناير 2019). "دليل شامل للمبتدئين في إحصائيات البيسبول: إحصائيات الرامي، ومعانيها" . بارك الله فيكم يا أولاد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يوليو 2020 .
↑ سلطانيفار، محسن (2006). "حول متتالية من الفراكتلات الكانترية". مجلة روز هولمان للرياضيات الجامعية . 7 (1). ورقة بحثية رقم 9.
↑ سلطانيفار، محسن (2006). "وصف مختلف لعائلة من مجموعات كانتور الوسطى-ألفا". المجلة الأمريكية لبحوث الطلاب الجامعيين . 5 (2): 9-12 .
↑ كامبو، برتراند؛ تيليسكا، دونالد (2018). "الحوسبة الثلاثية لتعزيز الأمن السيبراني". التطورات في الأنظمة الذكية والحوسبة . ص 898-919 . doi : 10.1007/978-3-030-01177-2_67 . ISBN 978-3-030-01176-5.
↑ فاتك، د.س.؛ كورين، إ. (1994). "أنظمة الأعداد الهجينة ذات الإشارة والرقم: إطار موحد لتمثيلات الأعداد الزائدة ذات سلاسل انتشار الحمل المحدودة" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الحوسبة . 43 (8): 880-891 . CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . doi : 10.1109/12.295850 .
↑ فريدر، جيديون؛ لوك، كليمنت (فبراير 1975). "خوارزميات للعمليات الثلاثية المتوازنة والعادية المشفرة ثنائيًا". معاملات IEEE في الحوسبة . C-24 (2): 212-215 . doi : 10.1109/TC.1975.224188 . S2CID 38704739 .
↑ بارامي، بهروز؛ ماكيون، مايكل (2013-11-03). "الحساب باستخدام الأعداد الثلاثية المتوازنة المشفرة ثنائيًا". مؤتمر أسيلومار للإشارات والأنظمة والحواسيب 2013. باسيفيك غروف، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. الصفحات 1130-1133 . doi : 10.1109/ACSSC.2013.6810470 . ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID 9603084 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
↑ جونز، دوغلاس دبليو. (يونيو 2016). "الترميز الثنائي الثلاثي ومعكوسه" .
↑ جونز، دوغلاس دبليو. (2015-12-29). "أنواع البيانات الثلاثية لمبرمجي لغة سي" .

للمزيد من القراءة

هايز، برايان (نوفمبر-ديسمبر 2001). "القاعدة الثالثة" (ملف PDF) . مجلة ساينتست الأمريكية . 89 (6). سيجما إكس آي ، جمعية البحث العلمي: 490-494 . doi : 10.1511/2001.40.3268 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 30 أكتوبر 2019. تاريخ الاسترجاع: 12 أبريل 2020 .

روابط خارجية

الحساب الثلاثي ( مؤرشف بتاريخ 14 مايو 2011 في أرشيف الإنترنت )
آلة الحساب الثلاثية لتوماس فاولر
تحويل الأساس الثلاثي – يشمل الجزء الكسري، من كتاب "الرياضيات ممتعة"
نظام الأرقام الثلاثية البديل لجيديون فريدر
تصوير النظام العددي الثلاثي

[Kindra2022-1] كيندرا، فلاديمير؛ روغاليف، نيكولاي؛ أوسيبوف، سيرجي؛ زليفكو، أولغا؛ ناوموف، فلاديمير (2022). "بحث وتطوير دورات الطاقة الثلاثية" . الاختراعات . 7 (3): 56. doi : 10.3390/inventions7030056 . ISSN 2411-5134 .

[Etiemble_2019-2] إيتيمبل، دانيال (2019). "الدوائر الثلاثية: لماذا R=3 ليس الأساس الأمثل للحساب". arXiv : 1908.06841 [ cs.AR ].

[Georgiou_2016-3] جورجيو، هاريس ف. (2016). "حول أمثلية الحساب الثلاثي من أجل الاكتناز وتصميم الأجهزة". arXiv : 1611.03715 [ cs.AR ].

[Impagliazzo_2006-4] إمباغليازو، جون؛ برويداكوف، إدوارد (2006). منظورات حول الحوسبة السوفيتية والروسية . المؤتمر الأول لمجموعة العمل 9.7 التابعة للاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات، SoRuCom 2006. بتروزافودسك، روسيا: سبرينغر . ISBN 978-3-64222816-2.

[Brousentsov_2010-5] 1 2 بروسينتسوف، ن.ب.؛ ماسلوف، س.ب.؛ راميل ألفاريز، ج.؛ جوغوليف، إ.أ. "تطوير الحواسيب الثلاثية في جامعة موسكو الحكومية" . تم الاسترجاع في 20-01-2010 .

[6] آشلي ماكلينان (9 يناير 2019). "دليل شامل للمبتدئين في إحصائيات البيسبول: إحصائيات الرامي، ومعانيها" . بارك الله فيكم يا أولاد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يوليو 2020 .

[Soltanifar_2006_1-7] سلطانيفار، محسن (2006). "حول متتالية من الفراكتلات الكانترية". مجلة روز هولمان للرياضيات الجامعية . 7 (1). ورقة بحثية رقم 9.

[Soltanifar_2006_2-8] سلطانيفار، محسن (2006). "وصف مختلف لعائلة من مجموعات كانتور الوسطى-ألفا". المجلة الأمريكية لبحوث الطلاب الجامعيين . 5 (2): 9-12 .

[Cambou2018-9] كامبو، برتراند؛ تيليسكا، دونالد (2018). "الحوسبة الثلاثية لتعزيز الأمن السيبراني". التطورات في الأنظمة الذكية والحوسبة . ص 898-919 . doi : 10.1007/978-3-030-01177-2_67 . ISBN 978-3-030-01176-5.

[Phatak_1994-10] فاتك، د.س.؛ كورين، إ. (1994). "أنظمة الأعداد الهجينة ذات الإشارة والرقم: إطار موحد لتمثيلات الأعداد الزائدة ذات سلاسل انتشار الحمل المحدودة" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الحوسبة . 43 (8): 880-891 . CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . doi : 10.1109/12.295850 .

[Frieder_1975-11] فريدر، جيديون؛ لوك، كليمنت (فبراير 1975). "خوارزميات للعمليات الثلاثية المتوازنة والعادية المشفرة ثنائيًا". معاملات IEEE في الحوسبة . C-24 (2): 212-215 . doi : 10.1109/TC.1975.224188 . S2CID 38704739 .

[Parhami_2013-12] بارامي، بهروز؛ ماكيون، مايكل (2013-11-03). "الحساب باستخدام الأعداد الثلاثية المتوازنة المشفرة ثنائيًا". مؤتمر أسيلومار للإشارات والأنظمة والحواسيب 2013. باسيفيك غروف، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية. الصفحات 1130-1133 . doi : 10.1109/ACSSC.2013.6810470 . ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID 9603084 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[Jones_2016_1-13] جونز، دوغلاس دبليو. (يونيو 2016). "الترميز الثنائي الثلاثي ومعكوسه" .

[Jones_2016_2-14] جونز، دوغلاس دبليو. (2015-12-29). "أنواع البيانات الثلاثية لمبرمجي لغة سي" .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]