ثلاثي متوازن

جزء من سلسلة عن
أنظمة الأرقام
تدوين القيمة المكانية الأرقام الهندية العربية العربية الغربية العربية الشرقية البنغالية ديفاناجاري الغوجاراتية جورموكي أوديا السنهالية التاميلية المالايالامية التيلجو كانادا دزونغا التبتية بالينيزي البورمية الجاوية الخميرية لاو المنغولية اللغة السوندانية تايلاندي أنظمة شرق آسيا معاصر الصينية سوتشو هوكين اليابانية كوري الفيتنامية تاريخي قضبان العد تانغوت أنظمة أخرى تاريخ عتيق البابلي ما بعد الكلاسيكية السيسترسي المايا مويسكا خماسي كويبو جلال الدين الرومي معاصر شيروكي كاكتوفيك (إينوبياك) حسب الجذر/القاعدة الجذور/القواعد المشتركة 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60 الجذور/القواعد غير القياسية ثنائي الاتجاه  ( 1 ) رقم موقّع  (ثلاثي متوازن) مختلط  ( عاملي ) سلبي مجمع  ( 2 )​ عدد غير صحيح  ( φ ) غير متماثل
تدوين القيمة والعلامة Non-alphabetic Aegean Attic Aztec Brahmi Chuvash Egyptian Etruscan Kharosthi Prehistoric counting Proto-cuneiform Roman Tally marks Alphabetic Abjad Armenian Alphasyllabic Akṣarapallī Āryabhaṭa Kaṭapayādi Coptic Cyrillic Geʽez Georgian Glagolitic Greek Hebrew
List of numeral systems
v t e

الثلاثي المتوازن هو نظام رقمي ثلاثي (أي أساسه 3 بثلاثة أرقام ) يستخدم تمثيلًا متوازنًا للأرقام الموقعة للأعداد الصحيحة حيث تكون للأرقام القيم −1 و 0 و 1 . وهذا يتناقض مع النظام الثلاثي القياسي (غير المتوازن)، حيث تكون للأرقام القيم 0 و1 و2. يمكن للنظام الثلاثي المتوازن تمثيل جميع الأعداد الصحيحة دون استخدام علامة ناقص منفصلة ؛ حيث تحمل قيمة الرقم غير الصفري الأول في الرقم علامة الرقم نفسه. النظام الثلاثي المتوازن هو مثال على نظام رقمي موضعي غير قياسي . تم استخدامه في بعض أجهزة الكمبيوتر المبكرة ^[1] وتم استخدامه أيضًا لحل ألغاز التوازن . ^[2]

تستخدم مصادر مختلفة رموزًا مختلفة لتمثيل الأرقام الثلاثة في الثلاثي المتوازن. في هذه المقالة، يمثل T (الذي يشبه رباط علامة الطرح و1) −1 ، بينما يمثل 0 و 1 نفسيهما. تتضمن الاتفاقيات الأخرى استخدام '−' و'+' لتمثيل −1 و1 على التوالي، أو استخدام الحرف اليوناني ثيتا (Θ)، الذي يشبه علامة الطرح في الدائرة، لتمثيل −1. في المنشورات حول حاسوب سيتون ، يتم تمثيل −1 على أنه 1 مقلوب: "1". ^[1]

يظهر الثلاثي المتوازن مبكرًا في كتاب مايكل ستيفل Arithmetica Integra (1544). ^[3] كما يحدث أيضًا في أعمال يوهانس كيبلر وليون لالان . تمت مناقشة مخططات الأرقام ذات الإشارة ذات الصلة في قواعد أخرى من قبل جون كولسون وجون ليزلي وأوغستين لويس كوشي وربما حتى الفيدا الهندية القديمة . ^[2]

دعونا نشير إلى مجموعة الرموز (وتسمى أيضًا الحروف الهيروغليفية أو الأحرف )، حيث يُستخدم الرمز أحيانًا بدلاً من تعريف دالة ذات قيمة عددية صحيحة بواسطة ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}:=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace }$${\displaystyle {\bar {1}}}$${\displaystyle \operatorname {T} .}$${\displaystyle f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f_{}(\operatorname {T} )=-1,}$

${\displaystyle f_{}(0)=0\quad }$و

${\displaystyle f_{}(1)=1,}$^[4]

حيث تكون الجوانب اليمنى أعدادًا صحيحة بقيمها المعتادة. هذه الوظيفة هي التي تحدد بدقة وبشكل رسمي كيفية تعيين قيم الأعداد الصحيحة للرموز/الرموز في إحدى فوائد هذه الصيغة الرسمية هي أن تعريف "الأعداد الصحيحة" (مهما كانت طريقة تعريفها) لا يختلط بأي نظام معين لكتابتها/تمثيلها؛ وبهذه الطريقة، يتم الحفاظ على هذين المفهومين المتميزين (وإن كانا وثيقي الصلة) منفصلين. ${\displaystyle f_{},}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}.}$

تشكل المجموعة مع الدالة تمثيلًا متوازنًا للأرقام الموقعة يسمى النظام الثلاثي المتوازن . ويمكن استخدامه لتمثيل الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle f_{}}$

ليكن Kleene زائدًا لـ ، وهي مجموعة جميع السلاسل المتسلسلة ذات الطول المحدود المكونة من رمز واحد أو أكثر (تسمى أرقامها ) حيث هو عدد صحيح غير سالب وجميع الأرقام مأخوذة من بداية هو الرمز (على اليمين )، ونهايته هي ( على اليسار)، وطوله هو . التقييم الثلاثي هو الدالة التي يتم تعريفها عن طريق تعيين العدد الصحيح لكل سلسلة${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle d_{n},\ldots ,d_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .}$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.}$

يمثل السلسلة (بالنسبة إلى ) العدد الصحيح، ويمكن الإشارة إلى القيمة بدلاً من ذلك بواسطة ، الخريطة هي شاملة ولكنها ليست حقنية، على سبيل المثال، ومع ذلك، فإن كل عدد صحيح له تمثيل واحد فقط أسفله لا ينتهي (على اليسار) بالرمز أي${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).}$${\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$${\displaystyle {d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.}$${\displaystyle v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .}$${\displaystyle v}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle d_{n}=0.}$

إذا ثم يفي بالشرط : ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}$

الذي يوضح أن هذا يلبي نوعًا من علاقة التكرار . تحتوي علاقة التكرار هذه على الشرط الأولي حيث هو السلسلة الفارغة. ${\displaystyle v}$${\displaystyle v\left(\varepsilon \right)=0}$${\displaystyle \varepsilon }$

وهذا يعني أنه بالنسبة لكل سلسلة${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},}$

${\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}$

وهو ما يعني حرفيًا أن الرموز الرائدة (إلى اليسار في سلسلة تحتوي على رمزين أو أكثر) لا تؤثر على القيمة الناتجة. ${\displaystyle 0}$

توضح الأمثلة التالية كيفية حساب بعض قيم ، حيث (كما في السابق) تتم كتابة جميع الأعداد الصحيحة في النظام العشري (القاعدة 10) وتكون جميع عناصر مجرد رموز. ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}^{+}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}}$

وباستخدام علاقة التكرار أعلاه

${\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}$

في النظام الثلاثي المتوازن، تكون قيمة الرقم n مكانًا إلى يسار نقطة الأساس هي حاصل ضرب الرقم في 3 ⁿ . وهذا مفيد عند التحويل بين النظام الثلاثي العشري والنظام الثلاثي المتوازن. فيما يلي، تحمل السلاسل التي تشير إلى النظام الثلاثي المتوازن اللاحقة، bal3 . على سبيل المثال،

10 _بال3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 _dec

10𝖳 _bal3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 _dec

−9 _dec = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 𝖳00 _bal3

8 _dec = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10𝖳 _bal3

وبالمثل، فإن المكان الأول على يمين نقطة الأساس يحمل 3 ⁻¹ = ⁠1/3⁠ ، المكان الثاني يحمل 3 ⁻² = ⁠1/9⁠ ، وما إلى ذلك. على سبيل المثال،

- ⁠2/3⁠ _dec = −1 + ⁠1/3= −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = 𝖳.1 _بال3 .

يكون العدد الصحيح قابلاً للقسمة على ثلاثة إذا وفقط إذا كان الرقم في خانة الآحاد يساوي صفراً.

يمكننا التحقق من تكافؤ عدد صحيح ثلاثي متوازن من خلال التحقق من تكافؤ مجموع كل التريتات. هذا المجموع له نفس تكافؤ العدد الصحيح نفسه.

يمكن أيضًا توسيع الثلاثي المتوازن إلى أرقام كسرية على غرار كيفية كتابة الأرقام العشرية على يمين نقطة الأساس . ^[5]

عشري	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3	-0.2	-0.1	0
ثلاثي متوازن	٠١٠ ث	𝖳. 1𝖳𝖳1	𝖳. 10𝖳0	١١ ث	0. 𝖳 أو 𝖳. 1	0. 𝖳𝖳11	0. 𝖳010	0. 11ث	0.0𝖳01​	0
عشري	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1	0
ثلاثي متوازن	1. 0𝖳01	1. 𝖳11𝖳	1. 𝖳010	1. 𝖳𝖳11	0. 1 أو 1. 𝖳	0. 11ث	0. 10م0	0. 1𝖳𝖳1	0.010 م	0

في النظام العشري أو الثنائي، تحتوي القيم الصحيحة والكسور المنتهية على تمثيلات متعددة. على سبيل المثال ،1/10= 0.1 = 0.1 0 = 0.0 9 . و ،1/2= 0.1 ₂ = 0.1 0 ₂ = 0.0 1 ₂ . بعض الكسور الثلاثية المتوازنة لها تمثيلات متعددة أيضًا. على سبيل المثال ،1/6= 0.1 𝖳 _bal3 = 0.0 1 _bal3 . بالتأكيد، في النظام العشري والثنائي، يمكننا حذف أقصى 0 لا نهائية متبقية على اليمين بعد نقطة الأساس والحصول على تمثيل لعدد صحيح أو كسر منتهٍ. ولكن في النظام الثلاثي المتوازن، لا يمكننا حذف أقصى 1 لا نهائية متبقية على اليمين بعد نقطة الأساس من أجل الحصول على تمثيل لعدد صحيح أو كسر منتهٍ.

أشار دونالد كنوث ^{[6] إلى أن التقريب والاقتطاع هما نفس العملية في النظام الثلاثي المتوازن - فهما ينتجان نفس النتيجة تمامًا (وهي خاصية مشتركة مع أنظمة الأعداد المتوازنة الأخرى).} الرقم1/2⁠ ليس استثنائيًا؛ فهو يحتوي على تمثيلين متساويين في الصلاحية، واثنين من الاختصارات متساوية الصلاحية: 0.1 ( التقريب إلى 0، والاختصار إلى 0) و1.𝖳 ( التقريب إلى 1، والاختصار إلى 1). مع أساس فردي ، يكون التقريب المزدوج معادلاً أيضًا للتقريب المباشر إلى الدقة النهائية، على عكس الأساس الزوجي.

تتم العمليات الأساسية -الجمع والطرح والضرب والقسمة- كما هو الحال في النظام الثلاثي المنتظم. يمكن إجراء الضرب في اثنين بإضافة رقم إلى نفسه، أو طرح نفسه بعد تحريكه إلى اليسار.

إن الإزاحة الحسابية إلى اليسار لعدد ثلاثي متوازن تعادل الضرب بقوة (موجبة متكاملة) للرقم 3؛ والإزاحة الحسابية إلى اليمين لعدد ثلاثي متوازن تعادل القسمة على قوة (موجبة متكاملة) للرقم 3.

إن تحويل عدد ثلاثي متوازن متكرر إلى كسر يشبه تحويل عدد عشري متكرر . على سبيل المثال (نظرًا لأن 111111 _bal3 = ( ⁠3 ⁶ − 1/3 − 1) ديسمبر ) _:

${\displaystyle 0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}}$

كما هو الحال في أي قاعدة عددية صحيحة أخرى، فإن الأعداد غير النسبية الجبرية والأعداد المتعالية لا تنتهي أو تتكرر. على سبيل المثال:

عشري	ثلاثي متوازن
${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.4142135623731\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {1T} }}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots } }$
${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.7320508075689\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {10} }}=\mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots } }$
${\displaystyle {\sqrt {5}}=2.2360679774998\ldots }$	${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {1TT} }}=\mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1\ldots } }$
${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887499\ldots }$	${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {\mathrm {1TT} }}}{\mathrm {1T} }}=\mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011\ldots } }$
${\displaystyle \tau =6.28318530717959\ldots }$	${\displaystyle \tau =\mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots }$
${\displaystyle \pi =3.14159265358979\ldots }$	${\displaystyle \pi =\mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} \ldots }$
${\displaystyle e=2.71828182845905\ldots }$	${\displaystyle e=\mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} \ldots }$

يتم تقديم التوسعات الثلاثية المتوازنة لـ في OEIS على أنها A331313، وتلك الخاصة بـ في A331990. ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e}$

يمكن تحويل الثلاثي غير المتوازن إلى تدوين ثلاثي متوازن بطريقتين:

• أضف 1 تريت تلو الأخرى من أول تريت غير صفري مع الحمل، ثم اطرح 1 تريت تلو الأخرى من نفس التريت دون اقتراض. على سبيل المثال،

  021 ₃ + 11 ₃ = 102 ₃ ، 102 ₃ − 11 ₃ = 1T1 _bal3 = 7 _dec .

• إذا كان هناك 2 موجودًا في الثلاثي، فقم بتحويله إلى 1T. على سبيل المثال،

  0212 ₃ = 0010 _بال3 + 1T00 _بال3 + 001T _بال3 = 10TT _بال3 = 23 _ديسمبر

متوازن	منطق	غير موقّع
1	حقيقي	2
0	مجهول	1
ت	خطأ شنيع	0

إذا كانت القيم الثلاث للمنطق الثلاثي خاطئة وغير معروفة وحقيقية ، وتم تعيينها على ثلاثي متوازن مثل T و0 و1 وعلى قيم ثلاثية غير موقعة تقليدية مثل 0 و1 و2، فيمكن اعتبار الثلاثي المتوازن نظامًا رقميًا متحيزًا مشابهًا للنظام الثنائي الإزاحي . إذا كان الرقم الثلاثي يحتوي على n تريت، فإن التحيز b هو

${\displaystyle b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor }$

والتي يتم تمثيلها على أنها جميعها في شكل تقليدي أو متحيز. ^[7]

ونتيجة لذلك، إذا تم استخدام هذين التمثيلين للأعداد الثلاثية المتوازنة وغير الموقعة، فيمكن تحويل قيمة ثلاثية موجبة غير موقعة n -trit إلى شكل متوازن عن طريق إضافة التحيز b ويمكن تحويل رقم متوازن موجب إلى شكل غير موقع عن طريق طرح التحيز b . وعلاوة على ذلك، إذا كان x و y أرقامًا متوازنة، فإن مجموعهما المتوازن هو x + y − b عند الحساب باستخدام الحساب الثلاثي غير الموقع التقليدي. وبالمثل، إذا كان x و y أرقامًا ثلاثية غير موقعة تقليدية، فإن مجموعهما هو x + y + b عند الحساب باستخدام الحساب الثلاثي المتوازن.

يمكننا التحويل إلى ثلاثي متوازن بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

أين،

أ _ن أ _{ن −1} ... أ ₁ أ ₀ . ج ₁ ج ₂ ج ₃ ... هو التمثيل الأصلي في نظام الأرقام الأصلي.

b هو الأساس الأصلي. b يساوي 10 إذا تم التحويل من العدد العشري.

a _k و c _k هما الرقمان k الموجودان على يسار ويمين نقطة الأساس على التوالي.

على سبيل المثال،

−25.4 dec = −(1T×101 1 + 1TT×101 0 + 11×101 −1 )
          = −(1T×101 + 1TT + 11÷101)
          = −10T1. 11TT 
          = T01T. TT11

1010.1 2 = 1T 10 + 1T 1 + 1T −1 
           = 10T + 1T + 0. 1 
           = 101. 1

تظهر أدناه جداول الجمع والطرح والضرب والقسمة ذات التريت الواحد. بالنسبة للطرح والقسمة، التي ليست تبادلية ، يتم إعطاء المتغير الأول على يسار الجدول، بينما يتم إعطاء المتغير الثاني في الأعلى. على سبيل المثال، توجد إجابة 1 − T = 1T في الزاوية اليسرى السفلية من جدول الطرح.

إضافة + ت 0 1 ت ت1 ت 0 0 ت 0 1 1 0 1 1 تيرا

الطرح - ت 0 1 ت 0 ت ت1 0 1 0 ت 1 1 تيرا 1 0

الضرب × ت 0 1 ت 1 0 ت 0 0 0 0 1 ت 0 1

قسم ÷ ت 1 ت 1 ت 0 0 0 1 ت 1

إن الجمع والطرح المتعدد التريتات يشبه الجمع والطرح الثنائي والعشري. قم بجمع وطرح التريتات بالتريتات، ثم أضف الحمل بشكل مناسب. على سبيل المثال:

           1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1
         + 11T1.T − 11T1.T − 11T1.T → + TT1T.1
        ______________ ______________ _______________
           1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1
         + 1T + T T1 + TT
         ____________________________ ________________ ________________
           1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1
         + ت + ت 1 + ت 1
         ____________________________ ________________ ________________
           1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

الضرب المتعدد التريتات يشبه الضرب الثنائي والعشري.

       1TT1.TT
   × ت11ت.1
   _____________
        1TT.1TT اضرب 1
       T11T.11 ضرب T
      1TT1T.T اضرب 1
     1TT1TT اضرب 1
    T11T11 ضرب T
   _____________
    0T0000T.10T

القسمة الثلاثية المتوازنة تشبه القسمة الثنائية والعشرية.

ومع ذلك، 0.5 _dec = 0.1111... _bal3 أو 1.TTTT... _bal3 . إذا كان المقسوم عليه موجب أو سالب نصف المقسوم، فيجب أن يكون تريت الحاصل 1 أو T. إذا كان المقسوم عليه بين موجب وناقص نصف المقسوم، فيجب أن يكون تريت الحاصل 0. يجب مقارنة مقدار المقسوم بمقدار نصف المقسوم قبل تحديد تريت الحاصل. على سبيل المثال،

                         حاصل القسمة 1TT1.TT
0.5 × القاسم T01.0 _____________                
      المقسوم T11T.1 ) T0000T.10T العائد             
                      T11T1 T000 < T010، المجموعة 1
                     _______
                       1T1T0
                       1TT1T 1T1T0 > 10T0، تعيين T
                      _______
                         111 طن
                        1TT1T 111T > 10T0، تعيين T
                       _______
                          ت00.1
                         T11T.1 T001 < T010، المجموعة 1
                        ________
                          1ت1.00
                          1TT.1T 1T100 > 10T0، ضبط T
                         ________
                           1ت.ت1ت
                           1T.T1T 1TT1T > 10T0، تعيين T
                          ________
                                0

مثال آخر،

                           1تتت
       0.5 × القاسم 1T _______
            القاسم 11) 1T01T 1T = 1T، ولكن 1T.01 > 1T، المجموعة 1
                          11
                         _____
                          T10 T10 < T1، تعيين T
                           تي تي
                         ______
                           T11 T11 < T1، تعيين T
                            تي تي
                          ______
                             TT TT < T1، تعيين T
                             تي تي
                            ____
                              0

مثال آخر،

                           101.TTTTTTTTTT...
                        أو 100.111111111...
       0.5 × القاسم 1T _________________
            المقسوم 11 )111T 11 > 1T، المجموعة 1
                          11
                         _____
                            1 T1 < 1 < 1T، مجموعة 0
                           ___
                            1T 1T = 1T، نهاية التريتات، المجموعة 1.TTTTTTTTTT... أو 0.111111111...

عملية استخراج الجذر التربيعي في النظام الثلاثي المتوازن مماثلة لتلك الموجودة في النظام العشري أو الثنائي.

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}}$

كما هو الحال في القسمة، يجب علينا التحقق من قيمة نصف المقسوم عليه أولاً. على سبيل المثال،

                             1. 1 1 ت 1 ت 0 0 ...
                           __________________________
                          √ 1T 1<1T<11، المجموعة 1
                           - 1
                            _____
                  1×10=10 1.0T 1.0T>0.10، المجموعة 1
                      1T0 −1.T0
                            ________
                  11×10=110 1T0T 1T0T>110، المجموعة 1
                       10T0 −10T0
                              ________
                 111×10=1110 T1T0T T1T0T<TTT0، تعيين T
                       100T0 −T0010
                               _________
                111T×10=111T0 1TTT0T 1TTT0T>111T0، المجموعة 1
                       10T110 −10T110
                                __________
               111T1×10=111T10 TT1TT0T TT1TT0T<TTT1T0، ​​اضبط T
                       100TTT0 −T001110
                                 ___________
              111T1T×10=111T1T0 T001TT0T T001TT0T<TTT1T10، اضبط T
                       10T11110 −T01TTTT0
                                  ____________
               111T1TT×10=111T1TT0 T001T0T TTT1T110<T001T0T<111T1TT0، مجموعة 0
                                     − ت العودة 1
                                     ___________
             111T1TT0×10=111T1TT00 T001T000T TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00، مجموعة 0
                                     − ت العودة 1
                                     _____________
           111T1TT00*10=111T1TT000 T001T00000T
                                             ...

إن استخراج الجذر التكعيبي في الثلاثي المتوازن يشبه إلى حد كبير الاستخراج في النظام العشري أو الثنائي:

${\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}}$

كما هو الحال في القسمة، يجب علينا التحقق من قيمة نصف المقسوم عليه أولاً أيضًا. على سبيل المثال:

                              1. 1 ت 1 0 ...
                            _____________________
                          ³√ 1T
                            − 1 1<1T<10T، المجموعة 1
                            _______
                              1.000
              1×100=100 −0.100 اقترض 100×، قم بالقسمة
                             _______
                      1TT 1.T00 1T00>1TT، المجموعة 1
          1×1×1000+1=1001 −1.001
                             __________
                                ت0ت000
            11×100 − 1100 اقترض 100×، قم بالقسمة
                              _________
                     10T000 TT1T00 TT1T00<T01000، تعيين T
       11×11×1000+1=1TT1001 −T11T00T
                              ____________
                                1TTT01000
           11T×100 − 11T00 اقترض 100×، قم بالقسمة
                               ___________
                   1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100>1T1T01TT، المجموعة 1
    11T×11T×1000+1=11111001 - 11111001
                               ______________
                                    1T10T000
          11T1×100 − 11T100 اقترض 100×، قم بالقسمة
                                   __________
                      10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT، مجموعة 0
    11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001 − TT1T00 إرجاع 100×
                                   _____________
                                    1T10T000000
                                        ...

ومن ثم ³ √ 2 = 1.259921 _dec = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

في الأيام الأولى للحوسبة، تم بناء عدد قليل من أجهزة الكمبيوتر السوفييتية التجريبية بنظام ثلاثي متوازن بدلاً من الثنائي، وأشهرها Setun ، الذي بناه نيكولاي بروسينتسوف وسيرجي سوبوليف . يتمتع الترميز بعدد من المزايا الحسابية على الثنائي والثلاثي التقليدي. على وجه الخصوص، يقلل اتساق زائد وناقص من معدل الحمل في الضرب متعدد الأرقام، ويقلل تكافؤ التقريب والقطع من معدل الحمل في التقريب على الكسور. في الثلاثي المتوازن، يظل جدول الضرب المكون من رقم واحد مكونًا من رقم واحد ولا يحتوي على حمل ويحتوي جدول الجمع على حملين فقط من أصل تسعة إدخالات، مقارنة بالثلاثي غير المتوازن مع واحد وثلاثة على التوالي. كتب كنوث أنه "ربما تثبت الخصائص المتماثلة والحساب البسيط لنظام الأرقام هذا أنها مهمة جدًا في يوم من الأيام"، ^[6] مشيرًا إلى أن،

إن تعقيد الدوائر الحسابية للحساب الثلاثي المتوازن ليس أكبر بكثير من تعقيدها في النظام الثنائي، ويتطلب رقم معين عددًا معينًا فقط من مواضع الأرقام لتمثيله." ^[6]${\displaystyle \log _{3}2\approx 63\%}$

تم استخدام النظرية التي تنص على أن كل عدد صحيح له تمثيل فريد في الثلاثي المتوازن بواسطة ليونهارد أويلر لتبرير هوية سلسلة القوى الرسمية ^[8]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}$

للثلاثي المتوازن تطبيقات أخرى إلى جانب الحوسبة. على سبيل المثال، يمكن لميزان تقليدي ذو كفتين ، بوزن واحد لكل قوة من 3، أن يزن أجسامًا ثقيلة نسبيًا بدقة باستخدام عدد صغير من الأوزان، عن طريق تحريك الأوزان بين الكفتين والطاولة. على سبيل المثال، مع أوزان لكل قوة من 3 إلى 81، سيتم موازنة جسم يزن 60 جرامًا (60 _dec = 1T1T0 _bal3 ) بشكل مثالي بوزن 81 جرامًا في الكفة الأخرى، ووزن 27 جرامًا في كفته الخاصة، ووزن 9 جرام في الكفة الأخرى، ووزن 3 جرام في كفته الخاصة، ووزن 1 جرام جانبًا.

وبالمثل، لنفترض وجود نظام نقدي به عملات معدنية بقيمة 1¤، 3¤، 9¤، 27¤، 81¤. إذا كان لدى كل من المشتري والبائع عملة واحدة فقط من كل نوع، فمن الممكن إجراء أي معاملة تصل قيمتها إلى 121¤. على سبيل المثال، إذا كان السعر 7¤ (7 _dec = 1T1 _bal3 )، يدفع المشتري 1¤ + 9¤ ويتلقى 3¤ في المقابل.

قد توفر أيضًا تمثيلًا أكثر طبيعية للـ qutrit والأنظمة التي تستخدمها.

• تمثيل الأرقام الموقعة
• طرق حساب الجذور التربيعية
• نظام الأرقام
• كوتريت
• قرص سلاميس
• حاسوب ثلاثي
  • سيتون ، حاسوب ثلاثي
• المنطق الثلاثي
• ثلاثي متوازن معمم

• تطوير أجهزة الكمبيوتر الثلاثية في جامعة موسكو الحكومية
• تمثيل الأعداد الكسرية في النظام الثلاثي المتوازن
• "القاعدة الثالثة" وأنظمة الأعداد الثلاثية والمتوازنة
• نظام الأعداد الثلاثية المتوازنة (يتضمن محول الأعداد الصحيحة العشرية إلى الأعداد الثلاثية المتوازنة)
• تسلسل OEIS A182929 (المثلث ثنائي الحدين المختصر إلى قوائم ثلاثية متوازنة)
• التدوين الثلاثي المتوازن (الموقّع) محفوظ في 2016-03-03 على موقع Wayback Machine بقلم Brian J. Shelburne (ملف PDF)
• الآلة الحاسبة الثلاثية لتوماس فاولر بقلم مارك جلوسكر