مساحة فائقة القياس

في الرياضيات ، الفضاء فوق المتري هو فضاء متري يتم فيه تعزيز متباينة المثلث إلى${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$للجميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$. في بعض الأحيان يُطلق على المقياس المرتبط به أيضًا اسم المقياس غير الأرخميدي أو المقياس الفائق .

مقياس فائق على مجموعة${\displaystyle M}$هي دالة حقيقية ذات قيم

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(أين${\displaystyle \mathbb {R} }$تشير إلى الأعداد الحقيقية ، بحيث يكون لكل${\displaystyle x,y,z\in M}$:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x=y}$( عدم الانحطاط )
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$( التناظر )
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$( متباينة المثلث القوية أو متباينة القياس الفائق ).

الفضاء فوق المتري هو زوج${\displaystyle (M,d)}$يتكون من مجموعة${\displaystyle M}$بالإضافة إلى مقياس فائق${\displaystyle d}$على${\displaystyle M}$، والتي تسمى دالة المسافة المرتبطة بالفضاء (وتسمى أيضًا مقياسًا ).

لو${\displaystyle d}$إذا استوفى جميع الشروط باستثناء شرط "إذا وفقط إذا" في الشرط 1، فسيتم تخفيفه إلى "إذا"، ثم${\displaystyle d}$يُطلق عليه اسم القياس الزائف الفائق${\displaystyle M}$الفضاء شبه المتري الفائق هو زوج${\displaystyle (M,d)}$يتكون من مجموعة${\displaystyle M}$وقياس زائف فائق${\displaystyle d}$على${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

في حالة عندما${\displaystyle M}$هي مجموعة أبيلية (تُكتب بشكل جمعي) و${\displaystyle d}$يتم توليدها بواسطة دالة الطول${\displaystyle \|\cdot \|}$ (لهذا السبب${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$)، يمكن تعزيز الخاصية الأخيرة باستخدام تقنية Krull للشحذ من أجل:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$مع المساواة إذا${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$.

نريد أن نثبت ذلك إذا${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$إذاً، يتحقق التساوي إذا${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$دون الإخلال بعمومية المسألة ، فلنفترض أن${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$وهذا يعني أن${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$لكن يمكننا أيضًا حساب${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$والآن، قيمة${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$لا يمكن أن يكون${\displaystyle \|y\|}$لأنه إذا كان الأمر كذلك، فسنكون قد${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$خلافاً للافتراض الأولي. وبالتالي،${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$، و${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$باستخدام المتباينة الأولية، لدينا${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$وبالتالي${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$.

انطلاقاً من التعريف أعلاه، يمكن استنتاج العديد من الخصائص النموذجية للقياسات الفائقة. على سبيل المثال، بالنسبة لجميع${\displaystyle x,y,z\in M}$، واحدة على الأقل من المتساويات الثلاث${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$أو${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$أو${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$صحيح. أي أن كل ثلاثية من النقاط في الفضاء تشكل مثلثًا متساوي الساقين ، لذا فإن الفضاء بأكمله عبارة عن مجموعة متساوية الساقين .

تعريف الكرة (المفتوحة) ذات نصف القطر${\displaystyle r>0}$مركزها في${\displaystyle x\in M}$مثل${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$لدينا الخصائص التالية:

• كل نقطة داخل الكرة هي إحدى مراكزها، أي إذا${\displaystyle d(x,y)<r}$ثم${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$.
• الكرات المتقاطعة تكون محصورة داخل بعضها البعض، أي إذا${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$إذا لم تكن فارغة، فإما${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$أو${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$.
• جميع الكرات ذات نصف القطر الموجب تمامًا هي مجموعات مفتوحة ومغلقة في الطوبولوجيا المستحثة . أي أن الكرات المفتوحة هي أيضًا مجموعات مغلقة، والكرات المغلقة (تستبدل${\displaystyle <}$مع${\displaystyle \leq }$(مفتوحة أيضاً).
• مجموعة جميع الكرات المفتوحة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$ومركز في كرة مغلقة نصف قطرها${\displaystyle r>0}$يشكل تجزئة للأخير، والمسافة المتبادلة بين كرتين مفتوحتين مختلفتين (أكبر من أو تساوي)${\displaystyle r}$.

يُعدّ إثبات هذه العبارات تمرينًا تعليميًا. ^{[ 2 ]} جميعها مُشتقة مباشرةً من مُتباينة المثلث فوق المتري. لاحظ أنه، وفقًا للعبارة الثانية، قد يكون للكرة عدة نقاط مركزية ذات مسافة غير صفرية. يكمن المنطق وراء هذه التأثيرات التي تبدو غريبة في أنه، نظرًا لمُتباينة المثلث القوية، لا تتجمع المسافات في الأبعاد فوق المتري.

• المقياس المنفصل هو مقياس فائق.
• تشكل الأعداد p -adic فضاءً فائق القياس كاملاً.
• لنفترض مجموعة من الكلمات ذات طول عشوائي (محدود أو غير محدود)،${\displaystyle \Sigma ^{*}}$، فوق بعض الحروف الأبجدية${\displaystyle \Sigma }$عرّف المسافة بين كلمتين مختلفتين على النحو التالي:${\displaystyle 2^{-n}}$، أين${\displaystyle n}$هذا هو أول موضع تختلف فيه الكلمات. المقياس الناتج هو مقياس فائق.
• مجموعة الكلمات ذات النهايات الملصقة بطول${\displaystyle n}$حول بعض الحروف الأبجدية${\displaystyle \Sigma }$هو فضاء فائق القياس بالنسبة للمسافة القريبة من الرتبة p . كلمتان${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$تكون السلسلة الفرعية المكونة من p حرفًا متتاليًا (p -close) إذا كانت أي سلسلة فرعية من p حرفًا متتاليًا (${\displaystyle p<n}$يظهر ) نفس عدد المرات (والذي قد يكون صفرًا أيضًا) في كل من${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$[ ^{3 ]​}
• لو${\displaystyle r=(r_{n})}$إذا كانت متتالية من الأعداد الحقيقية تتناقص إلى الصفر، فإن${\displaystyle |x|_{r}:=\limsup _{n\rightarrow \infty }|x_{n}|^{r_{n}}}$يُنشئ هذا فضاءً فائق القياس على فضاء جميع المتتاليات العقدية التي يكون فيها هذا الفضاء محدودًا. (لاحظ أن هذا ليس شبه معيار لأنه يفتقر إلى التجانس - إذا كان${\displaystyle r_{n}}$إذا كانت القيم المسموح بها صفرًا، فينبغي هنا استخدام الاصطلاح غير المألوف نوعًا ما التالي:${\displaystyle 0^{0}=0}$( صفر مرفوعًا للأس صفر ).
• لو${\displaystyle G}$هو رسم بياني غير موجه ذو أوزان حواف ، وجميع أوزان الحواف موجبة، و${\displaystyle d(u,v)}$يمثل وزن مسار المينيماكس بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$(أي، أكبر وزن لحافة، على مسار تم اختياره لتقليل هذا الوزن الأكبر)، ثم رؤوس الرسم البياني، مع قياس المسافة بواسطة${\displaystyle d}$تشكل فضاءً فوق متري، ويمكن تمثيل جميع الفضاءات الفوق مترية المنتهية بهذه الطريقة. ^{[ 4 ]}

• يمكن اعتبار دالة الانكماش وسيلةً لتقريب النتيجة النهائية للحساب (والتي يضمن وجودها نظرية باناش للنقطة الثابتة ). توجد أفكار مشابهة في نظرية المجال . يعتمد التحليل p -adic بشكل كبير على الطبيعة فائقة القياس للمقياس p -adic .
• في فيزياء المادة المكثفة ، يُظهر التداخل الذاتي المتوسط ​​بين اللفات في نموذج SK للزجاج المغزلي بنية فائقة القياس، ويُعطى الحل من خلال إجراء كسر التناظر الكامل للنسخ الذي وضعه جورجيو باريسي وزملاؤه لأول مرة. ^{[ 5 ]} كما تظهر خاصية فائقة القياس في نظرية المواد الصلبة غير الدورية. ^{[ 6 ]}
• في علم التصنيف وبناء الأشجار التطورية ، تُستخدم المسافات فائقة القياس أيضًا في طريقتي UPGMA و WPGMA . ^{[ 7 ]} تتطلب هذه الخوارزميات افتراض معدل ثابت، وتُنتج أشجارًا تكون فيها المسافات من الجذر إلى كل طرف فرع متساوية. عند تحليل بيانات الحمض النووي DNA والحمض النووي الريبوزي RNA والبروتينات ، يُطلق على افتراض فائقة القياس اسم الساعة الجزيئية .
• تستخدم نماذج التقطع في الاضطراب ثلاثي الأبعاد للسوائل ما يسمى بالشلالات، وفي النماذج المنفصلة للشلالات الثنائية، والتي لها بنية فوق مترية. ^{[ 8 ]}
• في الجغرافيا وعلم بيئة المناظر الطبيعية ، تم تطبيق المسافات فائقة القياس لقياس تعقيد المناظر الطبيعية ولتقييم مدى أهمية وظيفة معينة من وظائف المناظر الطبيعية على حساب وظيفة أخرى. ^{[ 9 ]}

• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 

• كابلانسكي، آي. (1977)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، دار نشر تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-2694-2.

• وسائط متعلقة بالهندسة غير الأرخميدية على ويكيميديا ​​كومنز