المحدد

للمحدد عدة خصائص رئيسية يمكن إثباتها من خلال التقييم المباشر لتعريف${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات من الرتبة n، وتستمر هذه الخاصية في الانطباق على محددات المصفوفات الأكبر حجمًا. وهي كالتالي: ^{[ 1 ]} أولًا، محدد مصفوفة الوحدة${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$تساوي 1. ثانيًا، يكون المحدد صفرًا إذا كان صفان متطابقين:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$

وينطبق هذا الأمر بالمثل إذا كان العمودان متطابقين. علاوة على ذلك،

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.}$

وأخيرًا، إذا تم ضرب أي عمود في رقم ما${\displaystyle r}$(أي، يتم ضرب جميع القيم في ذلك العمود بهذا الرقم)، كما يتم ضرب المحدد بهذا الرقم أيضًا:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

يمكن وصف المحدد بالخصائص الرئيسية الثلاث التالية. ولتوضيح هذه الخصائص، من الملائم اعتبار${\displaystyle n\times n}$المصفوفة A باعتبارها مكونة من${\displaystyle n}$الأعمدة، التي يُشار إليها بـ

${\displaystyle A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},}$

حيث متجه العمود${\displaystyle a_{i}}$(لكل i ) يتكون من مدخلات المصفوفة في العمود i .

2. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$، أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة .
4. المحدد متعدد الخطية : إذا كان العمود j من المصفوفة${\displaystyle A}$تُكتب على شكل توليفة خطية${\displaystyle a_{j}=r\cdot v+w}$إذا كان لدينا متجهان عموديان v و w وعدد r ، فإن محدد المصفوفة A يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية مماثلة:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}}$

6. المحدد متناوب : عندما يكون عمودان من المصفوفة متطابقين، يكون محددها 0:

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.}$

إذا عُرِّف المحدد باستخدام صيغة لايبنتز كما سبق، فيمكن إثبات هذه الخصائص الثلاث من خلال الفحص المباشر لتلك الصيغة. كما يتناول بعض المؤلفين المحدد مباشرةً باستخدام هذه الخصائص الثلاث: إذ يمكن إثبات وجود دالة واحدة فقط تُسند قيمة إلى أي قيمة لـ .${\displaystyle n\times n}$المصفوفة A هي عدد يحقق هذه الخصائص الثلاث. ^{[ 5 ]} وهذا يُظهر أيضًا أن هذا النهج الأكثر تجريدًا للمحدد يُعطي نفس التعريف الذي يُعطيه استخدام صيغة لايبنيز.

لتوضيح ذلك، يكفي توسيع المحدد باستخدام خاصية التعدد الخطي في الأعمدة إلى توليفة خطية (ضخمة) من محددات المصفوفات، حيث يمثل كل عمود متجه أساس قياسي . تكون هذه المحددات إما صفرًا (إذا كانت الأعمدة مرتبطة خطيًا، وفقًا للخاصية 3) أو ±1 (وفقًا للخاصيتين 1 و3 - تظهر الإشارة السالبة عند تبديل الأعمدة وفقًا لتبديل فردي )، وبالتالي تعطي التوليفة الخطية التعبير المذكور أعلاه بدلالة رمز ليفي-تشيفيتا. مع أن هذا التوصيف يبدو أقل تعقيدًا من الناحية التقنية، إلا أنه لا يمكنه أن يحل محل صيغة لايبنتز تمامًا في تعريف المحدد، إذ بدونها لا يكون وجود دالة مناسبة واضحًا.

لهذه القواعد عدة عواقب أخرى:

• المحدد دالة متجانسة ، أي$${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$$(لـ${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$).
• يؤدي تبديل أي زوج من أعمدة المصفوفة إلى ضرب محددها في  -1. وينتج هذا عن كون المحدد متعدد الخطية ومتناوبًا (الخاصيتان 2 و3 أعلاه):$${\displaystyle |a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.}$$يمكن تطبيق هذه الصيغة بشكل متكرر عند تبديل عدة أعمدة. على سبيل المثال$${\displaystyle |a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.}$$وبشكل أعم، فإن أي تبديل للأعمدة يضرب المحدد بإشارة التبديل .
• إذا أمكن التعبير عن عمود ما كتركيبة خطية للأعمدة الأخرى (أي أن أعمدة المصفوفة تشكل مجموعة مرتبطة خطيًا )، فإن المحدد يساوي 0. وكحالة خاصة، يشمل ذلك: إذا كان هناك عمود ما بحيث تكون جميع مدخلاته أصفارًا، فإن محدد تلك المصفوفة يساوي 0.
• إضافة مضاعف عددي لعمود إلى عمود آخر لا يُغير قيمة المحدد. هذا نتيجة لتعدد الخطية وكون المصفوفة متناوبة: فبسبب تعدد الخطية، يتغير المحدد بمقدار مضاعف لمحدد مصفوفة ذات عمودين متساويين، والذي يساوي صفرًا، لأن المحدد متناوب.
• لو${\displaystyle A}$هي مصفوفة مثلثية ، أي${\displaystyle a_{ij}=0}$، حينما${\displaystyle i>j}$أو بدلاً من ذلك، متى ما${\displaystyle i<j}$ثم يكون محددها مساوياً لحاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي:$${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$$في الواقع، يمكن اختزال هذه المصفوفة، بإضافة مضاعفات الأعمدة ذات القيم غير الصفرية الأقل إلى تلك ذات القيم الأكثر، إلى مصفوفة قطرية (دون تغيير المحدد). بالنسبة لهذه المصفوفة، وباستخدام خاصية الخطية في كل عمود، تُختزل إلى مصفوفة الوحدة، وفي هذه الحالة، تتحقق الصيغة المذكورة بفضل الخاصية المميزة الأولى للمحددات. بدلاً من ذلك، يمكن استنتاج هذه الصيغة من صيغة لايبنتز، حيث أن التبديل الوحيد${\displaystyle \sigma }$إن التبديل الذي يعطي مساهمة غير صفرية هو التبديل المحايد.

مثال

تُعدّ الخصائص المميزة المذكورة أعلاه ونتائجها ذات أهمية نظرية، ويمكن استخدامها أيضًا لحساب محددات المصفوفات الملموسة. في الواقع، يمكن تطبيق طريقة الحذف الغاوسي لتحويل أي مصفوفة إلى شكل مثلثي علوي، وتؤثر خطوات هذه الخوارزمية على المحدد بطريقة مضبوطة. يوضح المثال الملموس التالي حساب محدد المصفوفة${\displaystyle A}$باستخدام تلك الطريقة:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{bmatrix}}.}$

حساب محدد المصفوفة${\displaystyle A}$

المصفوفة	${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-3&-1&2\\3&1&4\\0&3&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-3&5&2\\3&13&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle D={\begin{bmatrix}5&-3&2\\13&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle E={\begin{bmatrix}18&-3&2\\0&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$
تم الحصول عليه بواسطة	أضف العمود الثاني إلى العمود الأول	أضف ثلاثة أضعاف العمود الثالث إلى العمود الثاني	قم بتبديل العمودين الأولين	يضيف${\displaystyle -{\frac {13}{3}}}$اضرب العمود الثاني في العمود الأول
المحدد	${\displaystyle |A|=|B|}$	${\displaystyle |B|=|C|}$	${\displaystyle |D|=-|C|}$	${\displaystyle |E|=|D|}$

يؤدي الجمع بين هذه المتساويات إلى${\displaystyle |A|=-|E|=-(18\cdot 3\cdot (-1))=54.}$

محدد منقولة​${\displaystyle A}$يساوي محدد المصفوفة A :

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$.

يمكن إثبات ذلك بفحص صيغة لايبنتز. ^{[ 6 ]} وهذا يعني أنه في جميع الخصائص المذكورة أعلاه، يمكن استبدال كلمة "عمود" بكلمة "صف". على سبيل المثال، عند اعتبار مصفوفة n × n مكونة من n صفًا، فإن المحدد هو دالة خطية من الرتبة n .

المحدد عبارة عن دالة ضربية ، أي بالنسبة للمصفوفات المربعة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت المصفوفات متساوية في الحجم، فإن محدد حاصل ضرب المصفوفات يساوي حاصل ضرب محدداتها:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

يمكن إثبات هذه الحقيقة الأساسية من خلال ملاحظة أنه بالنسبة لمصفوفة ثابتة${\displaystyle B}$كلا جانبي المعادلة متناوبان ومتعددا الخطية كدالة تعتمد على أعمدة${\displaystyle A}$علاوة على ذلك، يأخذ كلاهما القيمة${\displaystyle \det B}$متى${\displaystyle A}$هي مصفوفة الوحدة. وبالتالي، فإن التوصيف الفريد المذكور أعلاه للخرائط الخطية المتعددة المتناوبة يُظهر هذا الادعاء. ^{[ 7 ]}

مصفوفة${\displaystyle A}$تكون المصفوفة التي تحتوي على عناصر في حقل ما قابلة للعكس إذا كان محددها غير صفري. وينتج هذا من خاصية ضرب المحدد وصيغة المصفوفة العكسية التي تتضمن المصفوفة المرافقة المذكورة أدناه. في هذه الحالة، يُعطى محدد المصفوفة العكسية بالصيغة التالية:

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$.

على وجه الخصوص، فإن حاصل ضرب المصفوفات ومعكوساتها ذات المحدد غير الصفري (أو المحدد الواحد) لا يزال يتمتع بهذه الخاصية. وبالتالي، فإن مجموعة هذه المصفوفات (ذات الحجم الثابت)${\displaystyle n}$فوق حقل${\displaystyle K}$) يشكل مجموعة تُعرف باسم المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$(على التوالي، مجموعة فرعية تسمى المجموعة الخطية الخاصة)${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)}$وبشكل أعم، تشير كلمة "خاص" إلى المجموعة الفرعية لمجموعة مصفوفات أخرى ذات محدد يساوي واحدًا. ومن الأمثلة على ذلك المجموعة المتعامدة الخاصة (التي تتكون، إذا كان n يساوي 2 أو 3، من جميع مصفوفات الدوران )، والمجموعة الوحدوية الخاصة .

ولأن المحدد يحترم الضرب والمعكوسات، فهو في الواقع تشاكل زمر من${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$إلى المجموعة الضربية${\displaystyle K^{\times }}$من العناصر غير الصفرية لـ${\displaystyle K}$هذا التشاكل شامل، ونواته هي ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$(المصفوفات ذات المحدد الواحد). ومن ثم، وفقًا لنظرية التشاكل الأولى ، يُبين هذا أن${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$وأن مجموعة القسمة${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)}$متماثل مع${\displaystyle K^{\times }}$.

تُعدّ صيغة كوشي-بينيه تعميمًا لصيغة الضرب تلك للمصفوفات المستطيلة . ويمكن إعادة صياغة هذه الصيغة أيضًا كصيغة ضرب للمصفوفات المركبة التي تكون عناصرها هي محددات جميع المصفوفات الفرعية التربيعية لمصفوفة معينة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يُعبّر تحليل لابلاس عن محدد المصفوفة${\displaystyle A}$بشكل متكرر بدلالة محددات المصفوفات الأصغر، والمعروفة باسم محدداتها الصغرى . المحدد الصغير${\displaystyle M_{i,j}}$يُعرَّف بأنه المحدد لـ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$المصفوفة الناتجة عن${\displaystyle A}$عن طريق إزالة${\displaystyle i}$الصف رقم - و${\displaystyle j}$العمود رقم -th. التعبير${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$يُعرف باسم العامل المساعد . لكل${\displaystyle i}$، يكون المرء متساوياً

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j},}$

وهو ما يُسمى بتوسيع لابلاس على طول الصف i . على سبيل المثال، توسيع لابلاس على طول الصف الأول (${\displaystyle i=1}$) يعطي الصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

تحليل محددات هذه${\displaystyle 2\times 2}$تُعيد المصفوفات صيغة لايبنيز المذكورة أعلاه. وبالمثل، فإن توسيع لابلاس على طول${\displaystyle j}$العمود رقم -th هو المساواة

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.}$

يمكن استخدام توسيع لابلاس بشكل تكراري لحساب المحددات، لكن هذه الطريقة غير فعالة مع المصفوفات الكبيرة. ومع ذلك، فهي مفيدة لحساب محددات المصفوفات المتناظرة للغاية مثل مصفوفة فاندرموند.$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).}$$يمكن تعميم توسيع لابلاس ذي n حدًا على طول صف أو عمود لكتابة محدد n × n كمجموع لـ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$terms ، كل منها ناتج ضرب محدد المصفوفة الفرعية k x k ومحدد المصفوفة الفرعية التكميلية ( n−k ) x ( n−k ).

المصفوفة المرافقة${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$هي منقولة مصفوفة العوامل المساعدة، أي

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

لكل مصفوفة، يكون لدينا ^{[ 10 ]}

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

وبالتالي، يمكن استخدام المصفوفة المرافقة للتعبير عن معكوس المصفوفة غير المنفردة :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

صيغة تحديد قيمة a${\displaystyle 2\times 2}$تظل المصفوفة أعلاه صالحة، في ظل افتراضات إضافية مناسبة، بالنسبة لمصفوفة كتلية ، أي مصفوفة تتكون من أربع مصفوفات فرعية.${\displaystyle A,B,C,D}$من الأبعاد${\displaystyle m\times m}$،${\displaystyle m\times n}$،${\displaystyle n\times m}$و${\displaystyle n\times n}$على التوالي. أسهل صيغة من هذا القبيل، والتي يمكن إثباتها باستخدام صيغة لايبنيز أو تحليل يتضمن مكمل شور ، هي

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

لو${\displaystyle A}$إذا كانت قابلة للعكس ، فإنه يترتب على ذلك، وفقًا لنتائج قسم الضرب، أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}}}$

والذي يتبسط إلى${\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}$متى${\displaystyle D}$هو${\displaystyle 1\times 1}$مصفوفة.

وينطبق الأمر نفسه عندما${\displaystyle D}$قابلة للعكس، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}}$

يمكن دمج كلا النتيجتين لاستنتاج نظرية سيلفستر للمحدد ، والتي ترد أيضًا أدناه.

إذا كانت الكتل عبارة عن مصفوفات مربعة من نفس الحجم، فإن الصيغ الأخرى تنطبق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$التنقل (أي،${\displaystyle CD=DC}$ثم ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

تم تعميم هذه الصيغة لتشمل المصفوفات المكونة من أكثر من${\displaystyle 2\times 2}$^{[ 12 ]}​

ل${\displaystyle A=D}$و${\displaystyle B=C}$، الصيغة التالية صحيحة (حتى لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(لا تتنقل).

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}}=\det(A+B)\det(A-B).}$

من الممكن حساب المحدد باستخدام مصفوفات الكتل بطريقة سريعة باستخدام خوارزميات ضرب المصفوفات السريعة في وقت${\displaystyle O({n^{\omega }})}$ل${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$بواسطة${\displaystyle LU}$التحلل. ^{[ 13 ]}

تنص نظرية سيلفستر للمحددات على أنه بالنسبة للمصفوفة A ، وهي مصفوفة من الرتبة m × n ، والمصفوفة B ، وهي مصفوفة من الرتبة n × m (بحيث يكون للمصفوفتين A و B أبعاد تسمح بضربهما بأي ترتيب لتشكيل مصفوفة مربعة):

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

حيث أن I _m و I _n هما مصفوفات الوحدة m × m و n × n على التوالي.

تترتب على هذه النتيجة العامة عدة نتائج.

التعميم هو${\displaystyle \det \left(Z+AWB\right)=\det \left(Z\right)\det \left(W\right)\det \left(W^{-1}+BZ^{-1}A\right)}$(انظر مبرهنة محدد المصفوفة )، حيث Z هي مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة m × m و W هي مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة n × n .

محدد المجموع${\displaystyle A+B}$إن مصفوفتين مربعتين من نفس الحجم لا يمكن التعبير عنها بشكل عام بدلالة محددات A و B.

لكن بالنسبة للمصفوفات شبه الموجبة المحددة${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$متساوية الحجم، $${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C){\text{,}}}$$ مع النتيجة ^{[ 15 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B){\text{.}}}$$

تنص نظرية برون-مينكوفسكي على أن الجذر النوني للمحدد هو دالة مقعرة ، عند تقييدها بالدوال الهرميتية الموجبة المحددة.${\displaystyle n\times n}$^{[ 17 ]} لذلك، إذا كانت A و B مصفوفتين هيرميتيتين موجبتين محددتين${\displaystyle n\times n}$المصفوفات، لدى المرء $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\det(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\det(A)}}+{\sqrt[{n}]{\det(B)}},}$$بما أن الجذر النوني للمحدد هو دالة متجانسة .

يرتبط المحدد ارتباطًا وثيقًا بمفهومين مركزيين آخرين في الجبر الخطي، وهما القيم الذاتية ومتعددة الحدود المميزة للمصفوفة.${\displaystyle A}$كن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة ذات عناصر مركبة . ثم، وفقًا للنظرية الأساسية للجبر،${\displaystyle A}$يجب أن يكون لها n قيمة ذاتية بالضبط${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$(من المفهوم هنا أن القيمة الذاتية ذات التعدد الجبري μ تظهر μ مرة في هذه القائمة.) ثم، يتضح أن محدد المصفوفة A يساوي حاصل ضرب هذه القيم الذاتية.

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

يُشار إلى حاصل ضرب جميع القيم الذاتية غير الصفرية باسم المحدد الزائف .

ومن هذا يتضح مباشرة أن محدد المصفوفة${\displaystyle A}$يساوي صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle 0}$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle A}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle A}$تكون قابلة للعكس إذا وفقط إذا${\displaystyle 0}$ليست قيمة ذاتية لـ${\displaystyle A}$.

يتم تعريف متعددة الحدود المميزة على النحو التالي ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A).}$

هنا،${\displaystyle t}$هو المتغير غير المحدد لكثير الحدود و${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة ذات الحجم نفسه${\displaystyle A}$باستخدام هذه المعادلة متعددة الحدود، يمكن استخدام المحددات لإيجاد القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle A}$إنها تحديدًا جذور هذه المعادلة متعددة الحدود، أي تلك الأعداد المركبة${\displaystyle \lambda }$بحيث

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=0.}$

تكون المصفوفة الهرميتية موجبة التحديد إذا كانت جميع قيمها الذاتية موجبة. وينص معيار سيلفستر على أن هذا يكافئ محددات المصفوفات الفرعية.

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}}$

أن نكون إيجابيين، من أجل الجميع${\displaystyle k}$بين${\displaystyle 1}$و${\displaystyle n}$[ ^{19 ]​}

إن أثر المصفوفة A ، بحسب التعريف، هو مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة A ، ويساوي أيضًا مجموع القيم الذاتية. وبالتالي، بالنسبة للمصفوفات المركبة A ،

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

أو، بالنسبة للمصفوفات الحقيقية A ،

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

هنا، يرمز exp( A ) إلى الدالة الأسية للمصفوفة A ، لأن كل قيمة ذاتية λ للمصفوفة A تقابل القيمة الذاتية exp( λ ) للمصفوفة exp( A ). وبالتحديد، لأي لوغاريتم للمصفوفة A ، أي أي مصفوفة L تحقق

${\displaystyle \exp(L)=A}$

محدد المصفوفة A يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 2 و n = 3 و n = 4 على التوالي،

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

انظر نظرية كايلي-هاميلتون . يمكن استنتاج هذه التعبيرات من حجج توافقية، أو متطابقات نيوتن ، أو خوارزمية فاديف-ليفرير . أي، بالنسبة لأي قيمة عامة لـ n ، يكون det A = (−1) ⁿ c ₀ هو الحد الثابت الموقّع لكثير الحدود المميز ، والذي يتم تحديده بشكل تكراري من

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

في الحالة العامة، يمكن الحصول على ذلك أيضًا من ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

حيث يتم حساب المجموع على مجموعة جميع الأعداد الصحيحة k _l ≥ 0 التي تحقق المعادلة

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

يمكن التعبير عن الصيغة بدلالة متعددة حدود بيل الأسية الكاملة ذات n وسيطًا s _l = −( l – 1)! tr( A ^l ) كما يلي

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

يمكن استخدام هذه _الصيغة أيضًا لإيجاد محدد المصفوفة A ^I _J ذات المؤشرات متعددة الأبعاد _I = ( i1 , i2 _, ... , ir ₎ و J = ( j1 _, j2 , ..., jr ) . ويُعرَّف حاصل ضرب وأثر هذه المصفوفات بطريقة طبيعية كما يلي _:

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

يمكن الحصول على متطابقة مهمة ذات بُعد n عشوائي من متسلسلة ميركاتور للوغاريتم عندما تتقارب المتسلسلة. إذا كانت كل قيمة ذاتية للمصفوفة A أقل من 1 بالقيمة المطلقة،

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة. وبشكل أعم، إذا

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

إذا تم توسيعها كمتسلسلة قوى رسمية في s، فإن جميع معاملات s ^m لـ m > n تكون صفرًا، ويكون كثير الحدود المتبقي هو det( I + sA ) .

بالنسبة للمصفوفة A الموجبة المحددة ، يعطي عامل الأثر الحدود الدنيا والعليا الدقيقة التالية لمحدد اللوغاريتم

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان A = I. ويمكن اشتقاق هذه العلاقة من خلال صيغة تباعد كولباك-لايبير بين توزيعين طبيعيين متعدد المتغيرات .

أيضًا،

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

يمكن إثبات هذه المتباينات بالتعبير عن الآثار والمحدد بدلالة القيم الذاتية. وبذلك، فهي تمثل الحقيقة المعروفة بأن المتوسط ​​التوافقي أقل من المتوسط ​​الهندسي ، الذي بدوره أقل من المتوسط ​​الحسابي ، الذي هو بدوره أقل من الجذر التربيعي لمتوسط ​​المربعات .

تُظهر صيغة لايبنيز أن محدد المصفوفات المربعة الحقيقية (أو بشكل مماثل للمصفوفات المربعة المركبة) هو دالة متعددة الحدود من${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$ل${\displaystyle \mathbf {R} }$وعلى وجه الخصوص، فهي قابلة للتفاضل في كل مكان . ويمكن التعبير عن مشتقتها باستخدام صيغة جاكوبي : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

أين${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$يشير إلى المرافق لـ${\displaystyle A}$وخاصة إذا${\displaystyle A}$إذا كانت قابلة للعكس، فلدينا

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

معبر عنها بدلالة مدخلات${\displaystyle A}$هذه هي

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

وهناك صيغة مكافئة أخرى هي

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$،

باستخدام ترميز Big O. الحالة الخاصة حيث${\displaystyle A=I}$، مصفوفة الوحدة، ينتج

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

تُستخدم هذه المتطابقة في وصف جبر لي المرتبط ببعض زمر لي المصفوفية . على سبيل المثال، الزمرة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}}$يتم تعريفها بالمعادلة${\displaystyle \det A=1}$تُظهر الصيغة أعلاه أن جبر لي الخاص به هو جبر لي الخطي الخاص${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$تتكون من تلك المصفوفات التي يكون أثرها صفراً.

كتابة${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة كـ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}}$أين${\displaystyle a,b,c}$إذا كانت المتجهات الثلاثة عبارة عن متجهات عمودية طولها 3، فيمكن كتابة التدرج على أحد المتجهات الثلاثة على أنه حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين الآخرين:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

يمكن استخدام المحددات لوصف حلول نظام المعادلات الخطية ، المكتوبة في شكل مصفوفة كما يلي:${\displaystyle Ax=b}$لهذه المعادلة حل وحيد${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \det(A)}$وهي غير صفرية. في هذه الحالة، يُعطى الحل بواسطة قاعدة كرامر :

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

أين${\displaystyle A_{i}}$هي المصفوفة التي تتشكل باستبدال${\displaystyle i}$العمود رقم - من${\displaystyle A}$بواسطة متجه العمود${\displaystyle b}$ويتبع ذلك مباشرةً توسيع المحدد عمودياً، أي

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

حيث المتجهات${\displaystyle a_{j}}$تمثل أعمدة المصفوفة A. وتُستنتج هذه القاعدة أيضًا من خلال المتطابقة.

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

يمكن تطبيق قاعدة كرامر في${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$الوقت، وهو ما يضاهي الطرق الأكثر شيوعًا لحل أنظمة المعادلات الخطية، مثل LU أو QR أو تحليل القيم المفردة . ^{[ 37 ]}

يمكن استخدام المحددات لتوصيف المتجهات المرتبطة خطيًا :${\displaystyle \det A}$تكون قيمة المصفوفة صفرًا إذا وفقط إذا كانت متجهات أعمدة المصفوفة${\displaystyle A}$هي مرتبطة خطيًا. ^{[ 38 ]} على سبيل المثال، إذا كان لدينا متجهان مستقلان خطيًا${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3}}$متجه ثالث${\displaystyle v_{3}}$يقع في المستوى الذي يمتد عليه المتجهان السابقان بالضبط إذا كان محدد${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة المكونة من المتجهات الثلاثة تساوي صفرًا. وتُستخدم الفكرة نفسها أيضًا في نظرية المعادلات التفاضلية : الدوال المعطاة${\displaystyle f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)}$(من المفترض أن يكون)${\displaystyle n-1}$(قابلة للتفاضل مرات )، يُعرَّف المحدد الرونسكي بأنه

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.}$

إنها ليست صفرًا (بالنسبة للبعض)${\displaystyle x}$) في فترة محددة إذا وفقط إذا كانت الدوال المعطاة وجميع مشتقاتها حتى الرتبة${\displaystyle n-1}$مستقلة خطيًا. إذا أمكن إثبات أن محدد فرونسكي يساوي صفرًا في كل مكان على فترة ما، ففي حالة الدوال التحليلية ، هذا يعني أن الدوال المعطاة مستقلة خطيًا. انظر: محدد فرونسكي والاستقلال الخطي . ومن الاستخدامات الأخرى للمحدد المحصلة ، التي تُعطي معيارًا لتحديد ما إذا كان لكثيرتي حدود جذر مشترك . ^{[ 39 ]}

إن حساب الضرب الاتجاهي يكافئ إيجاد المحدد الرسمي لمصفوفة محددة من الرتبة 3×3. وبالتحديد، بالنسبة للمتجهات${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$، و${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$: