بديهية الاقتران

يُعتبر مبدأ الاقتران عمومًا غير مثير للجدل، ويظهر هو أو ما يُماثله في جميع صيغ نظرية المجموعات تقريبًا. مع ذلك، في الصيغة القياسية لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، ينبثق مبدأ الاقتران من مخطط الاستبدال المطبق على أي مجموعة معطاة تحتوي على عنصرين أو أكثر، ^{[ 1 ] [ 2 ]} ولذلك يُحذف أحيانًا. ويمكن استنتاج وجود مجموعة كهذه تحتوي على عنصرين، مثل { {}, { {} } }، إما من مبدأ المجموعة الفارغة ومبدأ مجموعة القوى ، أو من مبدأ اللانهاية .

في غياب بعض بديهيات ZFC الأقوى، لا يزال من الممكن إدخال بديهية الاقتران، دون فقدان، في أشكال أضعف.

في وجود الأشكال القياسية لمخطط بديهية الفصل، يمكننا استبدال بديهية الاقتران بنسختها الأضعف:

${\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall D((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\in C)}$.

هذه البديهية الضعيفة للاقتران تعني أن أي كائنات معينة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$أعضاء في مجموعة ما${\displaystyle C}$باستخدام مخطط بديهيات الفصل، يمكننا إنشاء المجموعة التي تكون عناصرها بالضبط${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

من البديهيات الأخرى التي تستلزم بديهية الاقتران في وجود بديهية المجموعة الفارغة، بديهية الاقتران.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]}$.

يختلف عن النموذج القياسي باستخدام${\displaystyle D\in A}$بدلاً من${\displaystyle D=A}$باستخدام {} للعنصر A و x للعنصر B، نحصل على { x } للعنصر C. ثم باستخدام { x } للعنصر A و y للعنصر B ، نحصل على { x,y } للعنصر C. يمكن الاستمرار بهذه الطريقة لبناء أي مجموعة منتهية. ويمكن استخدام هذه الطريقة لتوليد جميع المجموعات المنتهية وراثيًا دون استخدام بديهية الاتحاد .

بالإضافة إلى بديهية المجموعة الفارغة وبديهية الاتحاد ، يمكن تعميم بديهية الاقتران إلى المخطط التالي:

${\displaystyle \forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]}$

إنه:

بالنظر إلى أي عدد محدود _من العناصر _{من A1} إلى An ، توجد مجموعة C التي تكون أعضاؤها بالضبط _من A1 إلى An _.

هذه المجموعة C فريدة مرة أخرى بواسطة بديهية الامتداد ، ويرمز لها بـ { A ₁ ,..., A _n }.

بالطبع، لا يمكننا الإشارة إلى عدد محدود من الأشياء بدقة دون أن يكون لدينا مسبقًا مجموعة (محدودة) تنتمي إليها هذه الأشياء. لذا، فهذه ليست عبارة واحدة، بل هي مخطط ، مع عبارة منفصلة لكل عدد طبيعي n .

• الحالة n = 1 هي بديهية الاقتران مع A = A ₁ و B = A ₁ .
• الحالة n = 2 هي بديهية الاقتران مع A = A ₁ و B = A ₂ .
• يمكن إثبات الحالات n > 2 باستخدام بديهية الاقتران وبديهية الاتحاد عدة مرات.

على سبيل المثال، لإثبات الحالة n = 3، نستخدم بديهية الاقتران ثلاث مرات، فنحصل على الزوج { A1 _, A2 }، والمجموعة المفردة { _A3 } ، ثم الزوج {{ A1 _, A2 _{}, {A3} } } _. بعد ذلك _{، تُنتج} بديهية الاتحاد النتيجة المطلوبة، وهي { A1 , A2 , A3 } _. يمكننا توسيع هذا المخطط ليشمل n = ₀ إذا فسرنا تلك الحالة على أنها _بديهية المجموعة الفارغة .

لذا، يمكن استخدام هذا كنموذج بديهي بدلاً من بديهيتي المجموعة الفارغة والاقتران. مع ذلك، عادةً ما تُستخدم بديهيتا المجموعة الفارغة والاقتران بشكل منفصل، ثم يُبرهن على ذلك كنموذج نظري . تجدر الإشارة إلى أن اعتماد هذا كنموذج بديهي لن يحل محل بديهية الاتحاد ، التي لا تزال ضرورية في حالات أخرى.