منطق المتجهات

تنتج المؤثرات الأحادية من التطبيق${\displaystyle الإثنين:V_{2}\إلى V_{2}}$والمصفوفات المرتبطة بها تحتوي على q صفوف و q أعمدة. العاملان الأساسيان الأحاديان لهذا المنطق المتجهي ثنائي القيم هما عامل التطابق وعامل النفي .

• الهوية : يتم تمثيل الهوية المنطقية ID( p ) بواسطة مصفوفة${\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}$تعمل هذه المصفوفة على النحو التالي: Ip  = p ، حيث p ∈ V ₂ ؛ وبسبب تعامد s بالنسبة إلى n ، لدينا   ${\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}$وبالمثل${\displaystyle In=n}$من المهم ملاحظة أن مصفوفة الوحدة المنطقية المتجهة هذه ليست بشكل عام مصفوفة وحدة بالمعنى المقصود في جبر المصفوفات.
• النفي : يُعبَّر عن النفي المنطقي ¬p بواسطة مصفوفة${\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}$وبالتالي، فإن Ns =  n و Nn = s . يتوافق السلوك الانعكاسي للنفي المنطقي، أي أن ¬(¬ p ) يساوي p ، مع حقيقة أن N ² = I.     

تتوافق المؤثرات الثنائية الستة عشر ذات القيمتين مع دوال من النوع${\displaystyle Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}}$تحتوي المصفوفات الثنائية على q² ^صفًا و q عمودًا. وتعتمد المصفوفات التي تُنفذ هذه العمليات الثنائية على خصائص جداء كرونكر . هناك خاصيتان لهذا الجداء أساسيتان لصياغة منطق المتجهات:

باستخدام هذه الخصائص، يمكن الحصول على تعابير لوظائف المنطق الثنائي:

• العطف . يتم تنفيذ العطف ( p ∧ q ) بواسطة مصفوفة تعمل على قيمتين متجهتين صحيحتين:${\displaystyle C(u\otimes v)}$تُعيد هذه المصفوفة إنتاج خصائص جدول الحقيقة الكلاسيكي للاقتران في صياغته:

${\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}$

ويتحقق

${\displaystyle C(s\otimes s)=s,}$و

${\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}$

• الفصل . يتم تنفيذ الفصل ( p ∨ q ) بواسطة المصفوفة

${\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$مما أدى إلى

${\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}$و

${\displaystyle D(n\otimes n)=n.}$

• الاستلزام . يتوافق الاستلزام في المنطق الكلاسيكي مع التعبير p  → q ≡¬ p ∨ q . يؤدي نظير هذا التكافؤ في منطق المتجهات إلى مصفوفة تمثل هذا الاستلزام في منطق المتجهات:     ${\displaystyle L=D(N\otimes I)}$والتعبير الصريح عن هذا الاستلزام هو:

${\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}$

وتتحقق خصائص الاستلزام الكلاسيكي:

${\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}$و

${\displaystyle L(s\otimes n)=n.}$

• التكافؤ و "أو الحصري" . في منطق المتجهات، يُعبَّر عن التكافؤ p ≡ q بالمصفوفة التالية:

${\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}$مع

${\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}$و

${\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}$

إن عملية "أو الحصرية" هي نفي التكافؤ، ¬( p ≡ q )؛ وهي تتوافق مع المصفوفة${\displaystyle X=NE}$مقدم من

${\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}$

مع${\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}$و

${\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}$

• NAND و NOR

تتوافق المصفوفتان S و P مع عمليتي شيفر (NAND) وبيرس ( NOR) على التوالي:

${\displaystyle S=NC}$

${\displaystyle P=ND}$

فيما يلي أمثلة عددية لبعض البوابات المنطقية الأساسية المنفذة كمصفوفات لمجموعتين مختلفتين من المتجهات المتعامدة ثنائية الأبعاد لـ s و n .

المجموعة 1 :$${\displaystyle s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

في هذه الحالة، يكون عاملا الهوية والنفي هما مصفوفة الهوية ومصفوفة الهوية المضادة للقطر:

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

والمصفوفات الخاصة بالوصل والفصل والاستلزام هي

$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$$على التوالى.

المجموعة الثانية :$${\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

هنا، عامل الوحدة هو مصفوفة الوحدة، لكن عامل النفي لم يعد مصفوفة الوحدة المضادة للقطر  :

$${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

المصفوفات الناتجة للربط والفصل والاستلزام هي:

$${\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}}$$على التوالى.

في المنطق الثنائي القيم، تحقق عمليتا العطف والفصل قانون دي مورغان : p ∧ q ≡ ¬(¬ p ∨ ¬ q )، وثنائيته: p ∨ q ≡ ¬(¬ p ∧ ¬ q ). وينطبق هذا القانون أيضًا على منطق المتجهات الثنائي القيم.

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}$، حيث u و v متجهان منطقيان.

يستلزم جداء كرونكر التحليل التالي:

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}$

ثم يمكن إثبات أن قانون دي مورغان في منطق المتجهات ثنائي الأبعاد هو قانون يتعلق بالمؤثرات، وليس مجرد قانون يتعلق بالعمليات: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle C=ND(N\otimes N)}$

في حساب القضايا الكلاسيكي، يُثبت قانون التناقض p  → q ≡ ¬ q → ¬ p لأن التكافؤ يتحقق لجميع التوليفات الممكنة لقيم الصواب لـ p و q . ^{[ 7 ]} أما في منطق المتجهات، فينشأ قانون التناقض من سلسلة من المتساويات ضمن قواعد جبر المصفوفات وجداءات كرونكر، كما هو موضح فيما يلي:     

${\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}$

${\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}$

تستند هذه النتيجة إلى حقيقة أن D ، مصفوفة الفصل، تمثل عملية تبديلية.

يمكن إسقاط مخرجات هذا المنطق متعدد القيم على الدوال العددية، مما يُنتج فئةً خاصةً من المنطق الاحتمالي تتشابه مع منطق رايشنباخ متعدد القيم. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} بالنظر إلى متجهين${\displaystyle u=\alpha s+\beta n}$و${\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}$ومصفوفة منطقية ثنائية${\displaystyle G}$يتم توفير منطق احتمالي قياسي من خلال الإسقاط على المتجه s : 

${\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}$

فيما يلي النتائج الرئيسية لهذه التوقعات:

${\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }$

${\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}$

${\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}$

${\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}$

${\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}$

النفي المرتبط بها هو:

${\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}$

${\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}$

إذا كانت القيم العددية تنتمي إلى المجموعة {0، 1/2 ، 1}، فإن هذا المنطق العددي متعدد القيم يكون، بالنسبة للعديد من المؤثرات ، مطابقًا تقريبًا لمنطق لوكاسيفيتش ثلاثي القيم. كما ثبت أنه عندما تعمل المؤثرات الأحادية أو الثنائية على متجهات احتمالية تنتمي إلى هذه المجموعة، فإن الناتج يكون أيضًا عنصرًا من هذه المجموعة. ^{[ 6 ]}