المنطق الكمي

جزء من سلسلة مقالات حول
Quantum mechanics
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Schrödinger equation
Introduction Glossary History
Background Classical mechanics Old quantum theory Bra–ket notation Hamiltonian Interference
Fundamentals Complementarity Decoherence Entanglement Energy level Measurement Nonlocality Quantum number State Superposition Symmetry Tunnelling Uncertainty Wave function Collapse
Experiments Bell's inequality CHSH inequality Davisson–Germer Double-slit Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett inequality Leggett–Garg inequality Mach–Zehnder Popper Quantum eraser Delayed-choice Schrödinger's cat Stern–Gerlach Wheeler's delayed-choice
Formulations Overview Heisenberg Interaction Matrix Phase-space Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Equations Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective-collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

في الدراسة الرياضية للمنطق والتحليل الفيزيائي للأسس الكمومية ، فإن المنطق الكمومي هو مجموعة من القواعد لمعالجة المقترحات المستوحاة من بنية نظرية الكم . يتخذ النظام الرسمي كنقطة انطلاق له ملاحظة غاريت بيركهوف وجون فون نيومان ، بأن بنية الاختبارات التجريبية في الميكانيكا الكلاسيكية تشكل جبرًا بوليانيًا ، لكن بنية الاختبارات التجريبية في ميكانيكا الكم تشكل بنية أكثر تعقيدًا بكثير.

وقد تم اقتراح عدد من المنطقات الأخرى لتحليل الظواهر الميكانيكية الكمومية، ولكن للأسف تحت مسمى "المنطق الكمومي". وهي ليست موضوع هذه المقالة. لمناقشة أوجه التشابه والاختلاف بين المنطق الكمومي وبعض هذه المنافسين، انظر § العلاقة بالمنطقيات الأخرى .

تم اقتراح المنطق الكمي كمنطق صحيح للاستدلال القياسي بشكل عام، ولا سيما من قبل الفيلسوف هيلاري بوتنام ، على الأقل في مرحلة ما من حياته المهنية. كانت هذه الأطروحة عنصرًا مهمًا في ورقة بوتنام عام 1968 " هل المنطق تجريبي؟ " حيث حلل الوضع المعرفي لقواعد المنطق القياسي. يرفض الفلاسفة المعاصرون المنطق الكمي كأساس للتفكير، لأنه يفتقر إلى شرط مادي ؛ البديل الشائع هو نظام المنطق الخطي ، والذي يعد المنطق الكمي جزءًا منه.

من الناحية الرياضية، يتم صياغة المنطق الكمومي عن طريق إضعاف قانون التوزيع للجبر البولياني، مما يؤدي إلى شبكة متممة متعامدة . يمكن تعريف الملاحظات والحالات الميكانيكية الكمومية من حيث الوظائف على الشبكة أو إليها، مما يعطي صيغة بديلة للحسابات الكمومية.

الفرق الأكثر وضوحًا بين المنطق الكمومي والمنطق الكلاسيكي هو فشل قانون التوزيع القياسي : ^[1]

ص و ( س أو ر ) = ( ص و س ) أو ( ص و ر )،

حيث أن الرموز p و q و r هي متغيرات اقتراحية.

لتوضيح سبب فشل قانون التوزيع، ضع في اعتبارك جسيمًا يتحرك على خط مستقيم (باستخدام نظام وحدات حيث يكون ثابت بلانك المختزل هو 1) دع ^{[ملاحظة 1]}

p = "الجسيم له زخم في الفترة [0، + 1 ⁄ 6 ] "

q = "الجسيم موجود في الفترة [−1, 1] "

r = "الجسيم موجود في الفترة [1، 3] "

قد نلاحظ أن:

p و ( q أو r ) = صحيح

بمعنى آخر، أن حالة الجسيم عبارة عن تراكب مرجح للزخم بين 0 و+1/6 والمواقع بين -1 و+3.

من ناحية أخرى، فإن المقترحات " p و q " و" p و r " كل منها تؤكد على قيود أكثر صرامة على القيم المتزامنة للموضع والزخم مما يسمح به مبدأ عدم اليقين (كل منها لديه عدم يقين 1/3، وهو أقل من الحد الأدنى المسموح به وهو 1/2). لذا لا توجد حالات يمكنها دعم أي من المقترحين،

( p و q ) أو ( p و r ) = خطأ

في أطروحته الكلاسيكية عام 1932 بعنوان الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، لاحظ جون فون نيومان أن الإسقاطات على فضاء هيلبرت يمكن اعتبارها مقترحات حول الملاحظات الفيزيائية؛ أي أسئلة محتملة بنعم أو لا قد يطرحها المراقب حول حالة النظام الفيزيائي، وهي أسئلة يمكن تسويتها ببعض القياسات. ^[2] أطلق فون نيومان وبيركهوف بعد ذلك على مبادئ التلاعب بهذه المقترحات الكمومية اسم المنطق الكمومي في ورقة بحثية عام 1936. ^[3]

حاول جورج ماكي في كتابه الصادر عام 1963 (والذي يُسمى أيضًا الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ) أن يشرح المنطق الكمومي باعتباره بنية لشبكة متممة متعامدة ، وأقر بأن الملاحظة الفيزيائية يمكن تعريفها من حيث الافتراضات الكمومية. وعلى الرغم من أن عرض ماكي لا يزال يفترض أن الشبكة المتممة المتعامدة هي شبكة من الفضاءات الفرعية الخطية المغلقة لفضاء هيلبرت القابل للفصل ، ^{[4] فقد طور} قسطنطين بيرون وغونتر لودفيج وآخرون فيما بعد بديهيات لا تفترض وجود فضاء هيلبرت أساسي. ^[5]

مستوحى من دفاع هانز رايشنباخ عن النسبية العامة ، قام الفيلسوف هيلاري بوتنام بترويج عمل ماكي في ورقتين بحثيتين في عامي 1968 و1975، ^[6] حيث نسب فكرة أن الشذوذ المرتبط بالقياسات الكمومية ينشأ عن فشل المنطق نفسه إلى مؤلفه المشارك، الفيزيائي ديفيد فينكلشتاين . ^[7] كان بوتنام يأمل في تطوير بديل محتمل للمتغيرات المخفية أو انهيار الدالة الموجية في مشكلة القياس الكمومي ، لكن نظرية جليسون تقدم صعوبات شديدة لتحقيق هذا الهدف. ^{[6] [8]} في وقت لاحق، تراجع بوتنام عن آرائه، وإن كان ذلك بضجة أقل بكثير، ^[6] لكن الضرر كان قد وقع. في حين أن العمل الأصلي لبيركهوف وفون نيومان لم يحاول سوى تنظيم الحسابات المرتبطة بتفسير كوبنهاجن لميكانيكا الكم، فقد نشأت الآن مدرسة من الباحثين، إما على أمل أن يوفر المنطق الكمومي نظرية قابلة للتطبيق للمتغيرات الخفية، أو يلغي الحاجة إلى واحدة. ^[9] أثبت عملهم عدم جدواه، والآن يقع في سمعة سيئة. ^[10]

يجد معظم الفلاسفة أن المنطق الكمومي منافس غير جذاب للمنطق الكلاسيكي . ومن غير الواضح (وإن كان صحيحًا ^[11] ) أن المنطق الكمومي هو منطق ، بمعنى وصف عملية التفكير، على عكس لغة ملائمة بشكل خاص لتلخيص القياسات التي أجرتها الأجهزة الكمومية. ^{[12] [13]} على وجه الخصوص، يزعم فلاسفة العلوم المعاصرون أن المنطق الكمومي يحاول استبدال الصعوبات الميتافيزيقية بالمشاكل غير المحلولة في الفيزياء، بدلاً من حل مشاكل الفيزياء بشكل صحيح. ^{[14] يكتب} تيم مودلين أن "المنطق الكمومي" يحل " مشكلة [القياس] من خلال جعل المشكلة مستحيلة التصريح بها". ^[15]

لقد تعرض حصان المنطق الكمومي للضرب المبرح والجلد والضرب المبرح، حتى أصبح على وشك الموت تماماً... حتى أن السؤال الآن ليس ما إذا كان الحصان سوف ينهض من جديد، بل السؤال هو: كيف وصل هذا الحصان إلى هنا في المقام الأول؟ إن قصة المنطق الكمومي ليست قصة فكرة واعدة تحولت إلى فشل، بل هي بالأحرى قصة السعي الدؤوب وراء فكرة سيئة... لقد أصبح العديد من الفلاسفة والفيزيائيين مقتنعين بأن تغيير المنطق (والأكثر دراماتيكية، رفض المنطق الكلاسيكي) سوف يساعد بطريقة أو بأخرى في فهم نظرية الكم، أو أنه قد تم اقتراحه أو فرضه علينا بطريقة أو بأخرى من قبل نظرية الكم. ولكن المنطق الكمومي، حتى من خلال تجسيداته وتنوعاته العديدة، سواء في الشكل الفني أو في التفسير، لم يسفر قط عن النتائج المرجوة.
— مودلين، هيلاري بوتنام ، ص 184-185

لا يزال المنطق الكمومي قيد الاستخدام المحدود بين المنطقيين كمثال مضاد مرضي للغاية (دالا كيارا وجيونتيني: "لماذا المنطق الكمومي؟ ببساطة لأن "المنطق الكمومي موجود!"). ^[16] على الرغم من أن البصيرة المركزية للمنطق الكمومي تظل فولكلورًا رياضيًا كمضخة حدس للتصنيف ، إلا أن المناقشات نادرًا ما تذكر المنطق الكمومي. ^[17]

أفضل فرصة لمنطق الكم للعودة إلى الحياة هي من خلال التطور الأخير في الحوسبة الكمومية ، والذي أدى إلى انتشار المنطق الجديد للتحليل الرسمي للبروتوكولات والخوارزميات الكمومية (انظر أيضًا § العلاقة بالمنطق الآخر). ^[18] قد يجد المنطق أيضًا تطبيقًا في اللغويات (الحاسوبية).

يمكن صياغة المنطق الكمومي على أنه نظرية القضايا modulo الهويات التالية: ^[19]

• أ = ¬¬ أ
• ∨ هي تبديلية وترابطية .
• يوجد عنصر أقصى ⊤، و ⊤ = b ∨¬ b لأي b .
• أ ∨¬(¬ أ ∨ ب ) = أ .

("¬" هو الترميز التقليدي لـ " لا "، و"∨" هو الترميز لـ " أو "، و"∧" هو الترميز لـ " و ".)

يقتصر بعض المؤلفين على الشبكات المعيارية المتعامدة ، والتي تلبي أيضًا قانون المعيارية المتعامدة: ^[20]

• إذا ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b )∨¬( a ∨ b ) فإن a = b .

("⊤" هو الترميز التقليدي للحقيقة و""⊥" هو الترميز التقليدي للزيف . )

تتضمن الصيغ البديلة مقترحات يمكن استخلاصها من خلال الاستنباط الطبيعي ^{[16] أو} حساب التفاضل والتكامل المتسلسل ^{[21] [22]} أو نظام الجداول . ^{[23] وعلى الرغم من} نظرية الإثبات المتطورة نسبيًا ، إلا أنه من غير المعروف أن المنطق الكمومي قابل للحسم . ^[19]

يفترض الجزء المتبقي من هذه المقالة أن القارئ على دراية بنظرية الطيف للمشغلات المترافقة ذاتيًا في فضاء هيلبرت. ومع ذلك، يمكن فهم الأفكار الرئيسية في حالة الأبعاد المحدودة .

تتكون صيغ هاملتونيان للميكانيكا الكلاسيكية من ثلاثة مكونات: الحالات ، والقابلة للملاحظة ، والديناميكيات . في أبسط حالة لجسيم واحد يتحرك في R ³ ، تكون مساحة الحالة هي مساحة الموضع والزخم R ^6. القابل للملاحظة هو بعض الدوال ذات القيمة الحقيقية f على مساحة الحالة. ومن أمثلة القابل للملاحظة موضع الجسيم أو زخمه أو طاقته. بالنسبة للأنظمة الكلاسيكية، يتم الحصول على القيمة f ( x )، أي قيمة f لحالة نظام معينة x ، من خلال عملية قياس f .

يتم توليد المقترحات المتعلقة بالنظام الكلاسيكي من البيانات الأساسية للنموذج

"يؤدي قياس f إلى الحصول على قيمة في الفاصل [ a , b ] لبعض الأعداد الحقيقية a , b ."

من خلال العمليات الحسابية التقليدية والحدود النقطية . ويترتب بسهولة من هذا التوصيف للمقترحات في الأنظمة الكلاسيكية أن المنطق المقابل مطابق للجبر البولياني لمجموعات بوريل الفرعية لمساحة الحالة. وبالتالي، فإنها تخضع لقوانين المنطق القياسي الكلاسيكي (مثل قوانين دي مورجان ) مع عمليات المجموعة للاتحاد والتقاطع المقابلة للروابط البوليانية وإدراج المجموعة الفرعية المقابلة للاستدلال المادي .

في الواقع، هناك ادعاء أقوى هو الصحيح: يجب أن يطيعوا المنطق اللانهائي L _{ω 1 ,ω} .

نلخص هذه الملاحظات على النحو التالي: نظام الاقتراح لنظام كلاسيكي هو شبكة ذات عملية تكميلية متعامدة مميزة : عمليات الشبكة للالتقاء والانضمام هي على التوالي تقاطع المجموعة واتحاد المجموعة. عملية التكميل المتعامد هي مكملة المجموعة. علاوة على ذلك، فإن هذه الشبكة مكتملة تسلسليًا ، بمعنى أن أي تسلسل { E i _} i _{∈ N من} عناصر الشبكة له حد أعلى أدنى ، وتحديدًا اتحاد نظرية المجموعة:$${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}}$$

في صياغة فضاء هيلبرت لميكانيكا الكم كما قدمها فون نيومان، يتم تمثيل الملاحظ الفيزيائي بواسطة بعض مشغلات المرافق الذاتي المحددة بكثافة (ربما غير محدودة ) على فضاء هيلبرت H. يحتوي A على تحلل طيفي ، وهو مقياس بقيمة إسقاطية E محدد على مجموعات بوريل الفرعية لـ R. على وجه الخصوص، بالنسبة لأي دالة بوريل محدودة f على R ، يمكن إجراء التمديد التالي لـ f إلى المشغلات: $${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$$

في حالة أن f هي دالة المؤشر لفاصل زمني [ a , b ]، فإن العامل f ( A ) هو إسقاط مترافق ذاتيًا على الفضاء الفرعي للمتجهات الذاتية المعممة لـ A بقيمة ذاتية في [ a , b ] . يمكن تفسير هذا الفضاء الفرعي باعتباره النظير الكمي للاقتراح الكلاسيكي

• يؤدي قياس A إلى الحصول على قيمة في الفاصل الزمني [ a ، b ].

وهذا يشير إلى الاستبدال الميكانيكي الكمومي التالي للشبكة المتممة المتعامدة من المقترحات في الميكانيكا الكلاسيكية، والتي تتمثل بشكل أساسي في البديهية السابعة لماكي :

• تتوافق مقترحات النظام الميكانيكي الكمومي مع شبكة الفضاءات الفرعية المغلقة لـ H ؛ نفي المقترح V هو المكمل المتعامد V ^⊥ .

الفضاء Q للمقترحات الكمومية مكتمل أيضًا تسلسليًا: أي تسلسل منفصل في أزواج { V _i } _i من عناصر Q له حد أعلى أصغري. هنا يعني انفصال W ₁ و W _{2 أن} W ₂ هي فضاء فرعي لـ W ₁ ^⊥ . الحد الأعلى الأصغر لـ { V _i } _i هو المجموع المباشر الداخلي المغلق .

الدلالات القياسية للمنطق الكمومي هي أن المنطق الكمومي هو منطق مشغلي الإسقاط في فضاء هيلبرت أو ما قبل هيلبرت القابل للفصل ، حيث يرتبط p القابل للملاحظة بمجموعة الحالات الكمومية التي يكون فيها p (عند قياسه) له قيمة ذاتية 1. ومن هناك،

• ¬p هو المكمل المتعامد لـ p (لأنه بالنسبة لتلك الحالات، فإن احتمال ملاحظة p ، P( p ) = 0)،
• p ∧ q هو تقاطع p و q ، و
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) يشير إلى الحالات التي تتراكب p و q .

تتمتع هذه الدلالات بالخاصية اللطيفة المتمثلة في أن فضاء ما قبل هيلبرت يكون كاملاً (أي هيلبرت) إذا وفقط إذا كانت المقترحات تلبي القانون المعياري، وهي النتيجة المعروفة باسم نظرية سولير . ^[24] على الرغم من أن الكثير من تطوير المنطق الكمومي كان مدفوعًا بالدلالات القياسية، إلا أنه لا يتميز بالأخيرة؛ فهناك خصائص إضافية تلبيها تلك الشبكة والتي لا يلزم أن تكون موجودة في المنطق الكمومي. ^[16]

يشير هيكل Q على الفور إلى اختلاف مع هيكل الترتيب الجزئي لنظام الاقتراح الكلاسيكي. في الحالة الكلاسيكية، مع الأخذ في الاعتبار الاقتراح p ، فإن المعادلات

⊤ = ص ∨ س و

⊥ = ص ∧ س

يوجد حل واحد فقط، ألا وهو المكمل النظري للمجموعة لـ p . وفي حالة شبكة الإسقاطات، يوجد عدد لا نهائي من الحلول للمعادلات أعلاه (أي مكمل جبري مغلق لـ p يحلها؛ ولا يلزم أن يكون المكمل المتعامد).

بشكل عام، يتمتع التقييم القياسي بخصائص غير عادية في المنطق الكمومي. يجب أن تكون الشبكة المتممة المتعامدة التي تقبل تماثل الشبكة الكلي إلى {⊥,⊤} منطقية. الحل البديل القياسي هو دراسة التماثلات الجزئية القصوى q مع خاصية التصفية:

إذا كان a ≤ b و q ( a ) = ⊤، فإن q ( b ) = ⊤. ^[10]

تصف التعبيرات في المنطق الكمومي الأشياء القابلة للملاحظة باستخدام بناء جملة يشبه المنطق الكلاسيكي. ومع ذلك، على عكس المنطق الكلاسيكي، يفشل قانون التوزيع a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) عند التعامل مع الأشياء القابلة للملاحظة غير القابلة للتبديل ، مثل الموضع والزخم. يحدث هذا لأن القياس يؤثر على النظام، وقياس ما إذا كان الانفصال صحيحًا لا يقيس أيًا من الانفصالات صحيح.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك جسيمًا بسيطًا أحادي البعد مع موضع يُشار إليه بـ x وزخم يُشار إليه بـ p ، وقم بتعريف الملاحظات:

• أ - | ص | ≤ 1 (في بعض الوحدات)
• ب — س ≤ 0
• ج — س ​​≥ 0

الآن، الموضع والزخم عبارة عن تحويلات فورييه لبعضهما البعض، وتحويل فورييه لدالة غير صفرية قابلة للتكامل التربيعي مع دعامة مضغوطة هو تحويل كامل وبالتالي لا يحتوي على أصفار غير معزولة. لذلك، لا توجد دالة موجية يمكن تطبيعها في فضاء الزخم وتختفي على وجه التحديد عند x ≥ 0. وبالتالي، فإن a ∧ b وبالمثل a ∧ c خاطئان، لذا فإن ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) خاطئ. ومع ذلك، فإن a ∧ ( b ∨ c ) يساوي a ، وهو بالتأكيد ليس خاطئًا (هناك حالات يكون فيها نتيجة قياس قابلة للتطبيق ). علاوة على ذلك: إذا كانت مساحة هيلبرت ذات الصلة لديناميكيات الجسيم لا تقبل سوى زخم لا يزيد عن 1، فإن a تكون صحيحة.

لفهم المزيد، دع p ₁ و p ₂ تكونان دالتي الزخم (تحويلات فورييه) لإسقاطات دالة موجة الجسيم إلى x ≤ 0 و x ≥ 0 على التوالي. دع | p _i |↾ _≥1 يكون تقييد p _i لزخم يساوي (بالقيمة المطلقة) ≥1.

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) تتوافق مع الحالات التي بها | p ₁ |↾ _≥1 = | p ₂ |↾ _≥1 = 0 (هذا صحيح حتى إذا عرفنا p بشكل مختلف بحيث نجعل مثل هذه الحالات ممكنة؛ أيضًا، a ∧ b تتوافق مع | p ₁ |↾ _≥1 =0 و p ₂ =0). وفي الوقت نفسه، تتوافق a مع الحالات التي بها | p |↾ _≥1 = 0. كمشغل، p = p ₁ + p ₂ ، وقد تتداخل | p ₁ |↾ _≥1 و | p ₂ |↾ _≥1 غير الصفرية لإنتاج صفر | p |↾ _≥1 . مثل هذا التداخل هو مفتاح ثراء المنطق الكمومي وميكانيكا الكم.

بالنظر إلى الشبكة المتممة المتعامدة Q ، فإن φ القابلة للملاحظة لماكي هي تماثل مضاف قابل للعد من الشبكة المتممة المتعامدة لمجموعات بوريل الفرعية من R إلى Q. بالرموز، يعني هذا أنه لأي تسلسل { S _i } _i من مجموعات بوريل الفرعية المنفصلة أزواجيًا من R ، فإن {φ( S _i )} _i هي اقتراحات متعامدة أزواجيًا (عناصر Q ) و

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

على نحو مماثل ، فإن ما يمكن ملاحظته من خلال Mackey هو مقياس ذو قيمة إسقاطية على R.

مبرهنة ( مبرهنة طيفية ). إذا كانت Q هي شبكة الفضاءات الفرعية المغلقة لهيلبرت H ، فإن هناك تطابقًا ثنائيًا بين قابلات ماكي ومشغلات المرافقة الذاتية المحددة بكثافة على H.

مقياس الاحتمال الكمومي هو دالة P معرفة على Q بقيم في [0,1] بحيث P("⊥)=0, P(⊤)=1 وإذا كان { E _i } _i عبارة عن تسلسل من العناصر المتعامدة الزوجية لـ Q ، فإن

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

يتم إحداث كل قياس احتمالي كمي على الفضاءات الفرعية المغلقة لمساحة هيلبرت بواسطة مصفوفة كثافة  - عامل غير سلبي للأثر 1. رسميًا،

المبرهنة . ^[25] افترض أن Q هي شبكة من الفضاءات الفرعية المغلقة لفضاء هيلبرت القابل للفصل ذي البعد المركب 3 على الأقل. ثم بالنسبة لأي مقياس احتمال كمي P على Q يوجد عامل فئة أثر فريد S بحيث يكون لأي إسقاط مترافق ذاتي E في Q.$${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$$

يدمج المنطق الكمومي في المنطق الخطي ^[26] والمنطق النمطي B. ^[16] في الواقع، غالبًا ما تبدأ المنطق الحديث لتحليل الحوسبة الكمومية بالمنطق الكمومي، وتحاول تطعيم الميزات المرغوبة لتمديد المنطق الكلاسيكي عليه؛ ثم تتضمن النتائج بالضرورة المنطق الكمومي. ^[27] [ ^28]

يمكن تضمين الشبكة المتممة المتعامدة لأي مجموعة من المقترحات الكمومية في الجبر البولياني، والذي يكون قابلاً بعد ذلك للمنطق الكلاسيكي. ^[29]

على الرغم من أن العديد من معالجات المنطق الكمومي تفترض أن الشبكة الأساسية يجب أن تكون متعامدة معياريًا، إلا أن مثل هذه المنطق لا يمكنها التعامل مع أنظمة كمية متفاعلة متعددة. في مثال يرجع إلى Foulis وRandall، توجد مقترحات متعامدة معياريًا مع نماذج هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة والتي لا يسمح اقترانها بأي نموذج متعامد معياري. ^[8] وعلى نحو مماثل، فإن المنطق الكمومي مع القانون المتعامد المعياري يبطل نظرية الاستنتاج . ^[30]

لا يسمح المنطق الكمومي بأي مادة شرطية معقولة ؛ أي رابط رتيب بمعنى تقني معين يقلل من فئة القضايا إلى جبر بولياني . ^{[31] وبالتالي} ، يكافح المنطق الكمومي لتمثيل مرور الوقت. ^[26] أحد الحلول الممكنة هو نظرية الترشيح الكمومي التي طورها بيلافكين في أواخر السبعينيات والثمانينيات . ^{[32] [33]} ومع ذلك، من المعروف أن نظام BV ، وهو جزء استدلالي عميق من المنطق الخطي وهو قريب جدًا من المنطق الكمومي، يمكنه التعامل مع زمكانات منفصلة تعسفية . ^[34]

مرتبة زمنيا

• ج. فون نيومان، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، ترجمة روبرت ت. باير، تحرير نيكولاس أ. ويلر؛ مطبعة جامعة برينستون، 2018 (الأصل 1932). ص 160-164. JSTOR  j.ctt1wq8zhp. طبعة 1955 متوفرة في أرشيف الإنترنت .
• ج. بيركهوف وج . فون نيومان ، "منطق ميكانيكا الكم"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، المجلد 37، العدد 4، ص 823-843، 1936. جيه ستور 1968621. دي أو آي 10.2307/1968621.
• ج. ماكي ، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم ، دبليو إيه بنيامين، 1963. هاثي تراست 2027/mdp.39015001329567.
• هـ. بوتنام ، هل المنطق تجريبي؟، دراسات بوسطن في فلسفة العلم، المجلد الخامس، تحرير روبرت س. كوهين وماركس دبليو. وارتوفسكي، 1969.
• G. منطق كالمباخ المتعامد ، Z. Logik und Grundl. الرياضيات، المجلد. 20، 1974، ص 395-406.
• ج. كالماباخ، المنطق المعياري كحساب من نوع هيلبرت ، في القضايا الحالية في المنطق الكمومي، بلينوم بريس، نيويورك، محرر. إي. بلتراميتي وآخرون، 1981، ص 333-340
• الشبكات المعيارية G. Kalmbach ، أكاديميك بريس، لندن، 1983

• جويدو باشياجالوبي، "هل المنطق تجريبي؟"، في كتاب دليل المنطق الكمومي والبنى الكمومية: المنطق الكمومي ، تحرير ك. إنجيسير، ودي. إم. جاباي، ودي. ليمان؛ إلسيفير، 2009. ص 49-78.
• تيم مودلين ، "حكاية المنطق الكمومي" في كتاب هيلاري بوتنام ؛ سلسلة "الفلسفة المعاصرة في بؤرة الاهتمام"، مطبعة جامعة كامبريدج ، 2005. DOI: 10.1017/CBO9780511614187.006 ISBN 9780521012546 . 
• دي روند، سي؛ دومينيك، جي؛ فريتس، ​​إتش. "المنطق الكمومي في المنظور التاريخي والفلسفي". موسوعة الفلسفة على الإنترنت .
• ويلس، ألكسندر. "المنطق الكمومي ونظرية الاحتمالات". في زالتا، إدوارد ن. (المحرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة .

• أ. بالتاج وس. سميتس، "LQP: المنطق الديناميكي للمعلومات الكمومية"، البنى الرياضية في علوم الكمبيوتر ، المجلد 16، العدد 3، ص 491-525، 2006. DOI 10.1017/S0960129506005299 arXiv 2110.01361
• أ. بالتاج، ج. بيرجفيلد، ك. كيشيدا، ج. ساك، س. سميتس وس. زونغ، "PLQP & Company: المنطق القابل للحسم لخوارزميات الكم"، المجلة الدولية للفيزياء النظرية ، المجلد 53، العدد 10، ص 3628-3647، 2014.
• م. ل. دالا كيارا و ر. جيونتيني، "المنطق الكمومي"، في كتاب دليل المنطق الفلسفي ، المجلد 6، د. جاباي و ف. جوينتنر (المحرران)، كلوير، 2002. arXiv quant-ph/0101028
• M. L. Dalla Chiara وR. Giuntini وR. Leporini، "Quantum Computational Logics: A Survey"، في Trends in Logic ، المجلد 21، V. F. Hendricks وJ. Malinowski (المحرران)، Springer، 2003. arXiv quant-ph/0305029
• نورمان ميجيل، مستكشف المنطق الكمومي في ميتاماث ، 2019.
• ن. بابانيكولاو، "التفكير رسميًا حول الأنظمة الكمومية: نظرة عامة"، أخبار ACM SIGACT ، 36(3)، 2005. ص 51-66. arXiv cs/0508005.

• د. كوهين، مقدمة إلى فضاء هيلبرت والمنطق الكمومي ، سبرينغر فيرلاغ، 1989. أساسي ومصور جيدًا؛ مناسب للطلاب الجامعيين المتقدمين.
• غونتر لودفيج، Der Grundlagen der Quantenmechanik (بالألمانية)، سبرينغر، 1954. العمل النهائي. صدر باللغة الإنجليزية باسم:
  • غونتر لودفيج، أساسيات ميكانيكا الكم ، المجلد 1، ترجمة كارل أ. هاين؛ دار نشر سبرينغر، 1983.
  • غونتر لودفيج، أساس بديهي لميكانيكا الكم ، المجلد 1: "اشتقاق بنية فضاء هيلبرت"، ترجمة ليو ف. بورون، تحرير كارل جوست؛ سبرينغر، 1985. DOI: 10.1007/978-3-642-70029-3. ISBN 978-3-642-70029-3 . 
• المنطق الكمي في مختبر n
• ج. بيرون ، أسس الفيزياء الكمومية ، دبليو إيه بنيامين، 1976.