قيود ويل

في الرياضيات ، يُعرف تقييد الكميات القياسية ( أو ما يُسمى أيضًا " تقييد ويل ") بأنه دالة تُنتج، لأي امتداد محدود للحقول L/k وأي تنوع جبري X على L ، تنوعًا آخر Res _{L / k} X ، مُعرّفًا على k . وهو مفيد في اختزال المسائل المتعلقة بالتنوعات على الحقول الكبيرة إلى مسائل تتعلق بتنوعات أكثر تعقيدًا على الحقول الأصغر.

ليكن L/k امتدادًا منتهيًا للحقول، وليكن X صنفًا معرفًا على L. الدالة${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$يُعرَّف ^{الانتقال} من المخططات k إلى المجموعات بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(على وجه الخصوص، النقاط العقلانية من الرتبة k لـ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$( هي النقاط العقلانية L لـ X .) يُطلق على التنوع الذي يمثل هذا المؤثر اسم تقييد الكميات القياسية، وهو فريد حتى التشاكل الفريد إن وجد.

من منظور حزم المجموعات، فإن تقييد الكميات القياسية ليس سوى دفع للأمام على طول التشكل${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$وهو المرافق الأيمن لحاصل ضرب الألياف للمخططات ، لذا يمكن إعادة صياغة التعريف أعلاه بشكل أكثر عمومية. على وجه الخصوص، يمكن استبدال امتداد الحقول بأي تشاكل من الطوبولوجيات الحلقية ، ويمكن تخفيف الفرضيات على X إلى، على سبيل المثال، الحزم. ويأتي هذا على حساب تقليل التحكم في سلوك تقييد الكميات العددية.

بالنسبة لأي امتداد محدود للحقول، فإن تقييد الكميات القياسية يحول المتنوعات شبه الإسقاطية إلى متنوعات شبه إسقاطية. ويتم ضرب بُعد المتنوع الناتج بدرجة الامتداد.

في ظل فرضيات مناسبة (مثل: مسطحة، مناسبة، معروضة بشكل محدود)، أي تشاكل${\displaystyle T\to S}$ينتج عن الفضاءات الجبرية تقييد للدالة العددية التي تأخذ المكدسات الجبرية إلى المكدسات الجبرية، مع الحفاظ على خصائص مثل Artin و Deligne-Mumford وقابلية التمثيل.

فيما يلي أمثلة بسيطة:

1. ليكن L امتدادًا محدودًا لـ k من الدرجة s . عندئذٍ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$و${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$هو فضاء أفيني ذو أبعاد s${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$على نطاق المواصفات .
2. إذا كان X عبارة عن صنف L- أفيني ، معرفًا بواسطة$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dotsc ,f_{m});}$$يمكننا الكتابة${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$كما هو موضح في المواصفات${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$، أين${\displaystyle y_{i,j}}$(${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$) هي متغيرات جديدة، و${\displaystyle g_{l,r}}$(${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$) هي كثيرات حدود في${\displaystyle y_{i,j}}$يتم الحصول عليها بأخذ أساس k${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{s}}$من L والضبط${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}}$و${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}}$.

إذا كان المخطط مخططًا زمريًا، فإن أي قيد ويل عليه سيكون كذلك أيضًا. يُستخدم هذا بشكل متكرر في نظرية الأعداد ، على سبيل المثال:

1. الطارة$${\displaystyle \mathbb {S}$$ :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}} حيث${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$يرمز إلى المجموعة الضربية، ويلعب دورًا مهمًا في نظرية هودج ، لأن فئة تاناكيان لهياكل هودج الحقيقية مكافئة لفئة تمثيلات${\displaystyle \mathbb {S} .}$تمتلك النقاط الحقيقية بنية زمرة لي متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$انظر مجموعة مامفورد-تيت .
2. قيد ويل${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$من مجموعة متنوعة (تبديلية)${\displaystyle \mathbb {G} }$وهو مرة أخرى مجموعة متنوعة (تبديلية) من الأبعاد${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$إذا كانت L قابلة للفصل على k .
3. يؤدي تقييد الكميات القياسية على الأصناف الأبيلية (مثل المنحنيات الإهليلجية ) إلى أصناف أبيلية، إذا كانت L قابلة للفصل على k . استخدم جيمس ميلن هذا لاختزال حدسية بيرش وسوينرتون-داير للأصناف الأبيلية على جميع حقول الأعداد إلى نفس الحدسية على الأعداد النسبية.
4. في التشفير المنحني الإهليلجي ، يستخدم هجوم هبوط ويل تقييد ويل لتحويل مشكلة اللوغاريتم المنفصل على منحنى إهليلجي فوق حقل امتداد محدود L/K، إلى مشكلة لوغاريتم منفصلة على مجموعة جاكوبيان لمنحنى إهليلجي فائق فوق الحقل الأساسي K، والتي من المحتمل أن تكون أسهل في الحل بسبب صغر حجم K.

إن تقييد الكميات القياسية يشبه تحويل جرينبيرج، ولكنه لا يعممه، لأن حلقة متجهات ويت على الجبر التبادلي A ليست بشكل عام جبر A.

المرجع الأصلي هو القسم 1.3 من محاضرات ويل 1959-1960، المنشورة على النحو التالي:

• أندريه ويل. "الأديلات والمجموعات الجبرية"، التقدم في الرياضيات 23 ، بيركهاوزر 1982. ملاحظات المحاضرات التي ألقيت في الفترة 1959-1960.

مراجع أخرى:

• سيغفريد بوش ، فيرنر لوتكيبوهميرت، ميشيل رينو . "نماذج نيرون"، سبرينغر-فيرلاغ، برلين 1990.
• جيمس إس. ميلن . "حول حسابيات الأصناف الأبيلية"، Invent. Math. 17 (1972) 177-190.
• مارتن أولسون. "مكدسات هوم وتقييد الكميات العددية"، مجلة ديوك للرياضيات، 134 (2006)، 139-164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• بيورن بونين. "نقاط عقلانية على المتنوعات"، http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• نايجل سمارت ، صفحة نزول ويل مع قائمة المراجع، https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html