معادلة يونغ-لابلاس

في الفيزياء ، معادلة يونغ - لابلاس ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) هي معادلة تصف فرق الضغط الشعري الذي يتم الحفاظ عليه عبر الواجهة بين سائلين ساكنين ، مثل الماء والهواء ، بسبب ظاهرة التوتر السطحي أو التوتر الجداري الذي يعمل ضد انحناء السطح (على الرغم من أن استخدام الأخير لا ينطبق إلا إذا افترضنا أن الجدار رقيق جدًا).

تربط معادلة يونغ-لابلاس فرق الضغط بشكل السطح أو الجدار، وهي ذات أهمية جوهرية في دراسة الأسطح الشعرية الساكنة . وهي عبارة عن بيان لتوازن الإجهاد العمودي للسوائل الساكنة التي تلتقي عند سطح فاصل، حيث يُعامل هذا السطح الفاصل كسطح (سمكه صفر). $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \Delta p}$هو ضغط لابلاس ، وهو فرق الضغط عبر سطح التماس بين السائلين (الضغط الخارجي مطروحًا منه الضغط الداخلي).${\displaystyle \gamma }$هو التوتر السطحي (أو التوتر الجداري )،${\displaystyle {\hat {n}}}$هل متجه الوحدة العمودي يشير إلى خارج السطح؟${\displaystyle H_{f}}$هو متوسط ​​الانحناء ، و${\displaystyle R_{1}}$و${\displaystyle R_{2}}$تمثل هذه أنصاف أقطار الانحناء الرئيسية . تجدر الإشارة إلى أنه يتم الأخذ في الاعتبار الإجهاد العمودي فقط، لأن السطح الفاصل الساكن لا يكون ممكناً إلا في حالة غياب الإجهاد المماسي. ^{[ 1 ]}

سُميت المعادلة نسبةً إلى توماس يونغ ، الذي وضع النظرية النوعية للتوتر السطحي عام 1805، وبيير سيمون لابلاس الذي أكمل الوصف الرياضي لها في العام التالي. وتُعرف أحيانًا باسم معادلة يونغ-لابلاس-غاوس، حيث وحّد كارل فريدريش غاوس عمل يونغ ولابلاس عام 1830، مشتقًا المعادلة التفاضلية والشروط الحدية باستخدام مبادئ الشغل الافتراضي ليوهان برنولي . ^{[ 2 ]}

إذا كان فرق الضغط صفراً، كما هو الحال في غشاء الصابون بدون جاذبية، فإن السطح البيني سيتخذ شكل سطح أدنى .

توضح المعادلة أيضاً الطاقة اللازمة لتكوين المستحلب . ولتكوين قطرات المستحلب الصغيرة شديدة الانحناء، يلزم طاقة إضافية للتغلب على الضغط الكبير الناتج عن صغر نصف قطرها.

يؤدي ضغط لابلاس، الذي يكون أكبر بالنسبة للقطرات الأصغر، إلى انتشار الجزيئات خارج أصغر القطرات في المستحلب ويدفع إلى زيادة خشونة المستحلب من خلال نضج أوستوالد .

في أنبوب ضيق بما فيه الكفاية (أي ذو رقم بوند منخفض ) ذي مقطع عرضي دائري (نصف قطره a )، يشكل السطح الفاصل بين سائلين هلالًا يمثل جزءًا من سطح كرة نصف قطرها R. وترتبط قفزة الضغط عبر هذا السطح بنصف القطر والتوتر السطحي γ بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

يمكن إثبات ذلك بكتابة معادلة يونغ-لابلاس في صورتها الكروية مع شرط حدّي لزاوية التلامس ، وشرط حدّي آخر لارتفاع مُحدد، على سبيل المثال، عند أسفل السطح الهلالي. الحل هو جزء من كرة، ولن يكون موجودًا إلا لفرق الضغط الموضح أعلاه. هذا مهم لأنه لا توجد معادلة أو قانون آخر لتحديد فرق الضغط؛ فوجود حل لقيمة مُحددة لفرق الضغط يُحدد ذلك.

سيكون نصف قطر الكرة دالة فقط لزاوية التلامس θ، والتي بدورها تعتمد على الخصائص الدقيقة للسوائل ومادة الحاوية التي تتلامس معها السوائل المعنية: $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

بحيث يمكن كتابة فرق الضغط على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

للحفاظ على التوازن الهيدروستاتيكي ، يُوازن الضغط الشعري المُستحث بتغير في الارتفاع، h ، والذي قد يكون موجبًا أو سالبًا، اعتمادًا على ما إذا كانت زاوية التبلل أقل من 90 درجة أو أكبر منها. بالنسبة لسائل كثافته ρ: $${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$ حيث g هو تسارع الجاذبية . يُعرف هذا أحيانًا باسم قانون جورين أو ارتفاع جورين ^{[ 3 ]} نسبةً إلى جيمس جورين الذي درس هذا التأثير في عام 1718. ^{[ 4 ]}

بالنسبة لأنبوب زجاجي مملوء بالماء في الهواء عند مستوى سطح البحر :

• γ = 0.0728 جول/م² ^عند 20 درجة مئوية
• θ = 20° (0.35 راديان )
• ρ = 1000  كجم/ ^م³
• g = 9.8  م/ ^ث²

وبالتالي، يُعطى ارتفاع عمود الماء بالمعادلة التالية: $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$ وبالتالي، بالنسبة لأنبوب  عرضه 2 مم (نصف قطره 1  مم)، سيرتفع الماء 14  مم. أما بالنسبة لأنبوب شعري نصف قطره 0.1  مم، فسيرتفع الماء 14  سم (حوالي 6 بوصات ).

عند تضمين تأثيرات الجاذبية أيضًا ، بالنسبة لسطح حر وفرق ضغط بين السوائل يساوي Δp عند المستوى h=0 ، يتحقق توازن، عندما يكون السطح البيني في حالة اتزان، بين Δp والضغط الهيدروستاتيكي وتأثيرات التوتر السطحي . تصبح معادلة يونغ-لابلاس كما يلي:$${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left[{\frac {1}{R_{1}(h)}}+{\frac {1}{R_{2}(h)}}\right]}$$ لاحظ أن متوسط ​​انحناء سطح التماس بين السائلين يعتمد الآن على h .

يمكن تحويل المعادلة إلى صيغة لا بُعدية بدلالة مقياس الطول المميز لها، وهو طول الشعيرات الدموية : $${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ والضغط المميز$${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

بالنسبة للماء النظيف عند درجة الحرارة والضغط القياسيين ، يبلغ طول الشعيرات الدموية حوالي 2 مم .

تصبح المعادلة غير البعدية عندئذٍ: $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left[{\frac {1}{{R_{1}}^{*}(h)}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}(h)}}\right].}$$

وبالتالي، يتحدد شكل السطح بمعامل واحد فقط، وهو الضغط الزائد للسائل، Δp * ^، ويُحدد مقياس السطح بطول الشعيرات الدموية . ويتطلب حل المعادلة شرطًا ابتدائيًا للموقع، وميل السطح عند نقطة البداية.

تتكون قطرة معلقة عند ضغط زائد مقداره Δp ^{* =} 3 وشروط ابتدائية r₀ ₌ 10⁻⁴ ، z₀ = 0، _dz / dr = 0

يتم تكوين جسر سائل عند ضغط زائد قدره Δp ^* = 3.5 وشروط ابتدائية r₀ ₌ 0.25 ^{- 4} ، z₀ = 0، _dz / dr = 0

في الطب، يُشار إليه غالبًا باسم قانون لابلاس ، ويُستخدم في سياق فسيولوجيا القلب والأوعية الدموية ، ^{[ 6 ]} وكذلك فسيولوجيا الجهاز التنفسي ، على الرغم من أن الاستخدام الأخير غالبًا ما يكون خاطئًا. ^{[ 7 ]}

أجرى فرانسيس هوكسبي بعضًا من أقدم الملاحظات والتجارب في عام 1709 ^{[ 8 ]} ، وكررها جيمس جورين في عام 1718 ، حيث لاحظ أن ارتفاع السائل في عمود شعري يعتمد فقط على مساحة المقطع العرضي عند السطح، وليس على أي أبعاد أخرى للعمود. ^{[ 4 ] [ 9 ]}

وضع توماس يونغ أسس المعادلة في بحثه المنشور عام 1804 بعنوان "مقال عن تماسك السوائل" ^{[ 10 ]} ، حيث شرح بأسلوب وصفي المبادئ التي تحكم التلامس بين السوائل (إلى جانب العديد من جوانب سلوك السوائل الأخرى). ثم تابع بيير سيمون لابلاس هذا العمل في كتابه "الميكانيكا السماوية" ^{[ 11 ]} بالوصف الرياضي الرسمي المذكور أعلاه، والذي أعاد إنتاج العلاقة التي وصفها يونغ سابقاً بأسلوب رمزي.

تبنى لابلاس الفكرة التي طرحها هوكسبي في كتابه "التجارب الفيزيائية الميكانيكية " (1709)، ومفادها أن هذه الظاهرة ناتجة عن قوة جذب غير محسوسة على مسافات محسوسة. ^{[ 12 ] [ 13 ]} أما الجزء المتعلق بتأثير جسم صلب على سائل ، والتأثير المتبادل بين سائلين، فلم يُدرس بشكل كامل، ولكنه أُكمل في نهاية المطاف على يد كارل فريدريش جاوس . ^{[ 14 ]} ثم أضاف فرانز إرنست نيومان (1798-1895) بعض التفاصيل لاحقًا. ^{[ 15 ] [ 9 ] [ 16 ]}

• ماكسويل، جيمس كليرك ؛ ستروت، جون ويليام (1911). "الخاصية الشعرية"  . في تشيشولم، هيو (محرر). الموسوعة البريطانية . المجلد  5 (  الطبعة الحادية عشرة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 256-275 . 
• باتشيلور، جي كي (1967) مقدمة في ديناميكا الموائع ، مطبعة جامعة كامبريدج
• جورين، ج. (1716). "وصف لبعض التجارب التي عُرضت أمام الجمعية الملكية؛ مع بحث في سبب صعود الماء وتعليقه في الأنابيب الشعرية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية . 30 ( 351-363 ): 739-747 . doi : 10.1098/rstl.1717.0026 . S2CID 186211806 . 
• تادروس، ت. ف. (1995) المواد الفعالة بالسطح في الكيماويات الزراعية ، سلسلة علوم المواد الفعالة بالسطح، المجلد 54، ديكر