الطوبولوجيا الأدية

في الجبر التبادلي ، وهو الدراسة الرياضية للحلقات التبادلية ، تعتبر الطوبولوجيات الأدية عائلة من الطوبولوجيات على المجموعة الأساسية للوحدة النمطية ، وهي تعمم الطوبولوجيات p -adic على الأعداد الصحيحة .

ليكن R حلقة تبديلية و M وحدة نمطية على R. عندئذٍ، يُحدد كل مثالي 𝔞 في R طوبولوجيا على M تُسمى الطوبولوجيا 𝔞 -adic، وتتميز بالقياس الزائف.$${\displaystyle d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid xy\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.}$$ العائلة$${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$$^{[ 1 ]} وهو أساس هذه البنية الطوبولوجية.

الطوبولوجيا 𝔞 -adic هي طوبولوجيا خطية (طوبولوجيا مولدة بواسطة بعض الوحدات الفرعية).

فيما يتعلق بالطوبولوجيا، فإن عمليات الجمع والضرب القياسي في الوحدة النمطية متصلة ، مما يجعل M وحدة نمطية طوبولوجية . ومع ذلك، ليس بالضرورة أن تكون M وحدة نمطية هاوسدورف ؛ فهي هاوسدورف إذا وفقط إذا$${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}}$$بحيث يصبح d مقياسًا حقيقيًا . وبالارتباط بالمصطلحات المعتادة في علم الطوبولوجيا، حيث يُطلق على فضاء هاوسدورف أيضًا اسم الفضاء المنفصل، في هذه الحالة، تُسمى الطوبولوجيا 𝔞 -adic بالطوبولوجيا المنفصلة . ^{[ 1 ]}

بحسب نظرية كرول للتقاطع ، إذا كانت R حلقة نوثرية وهي مجال تكاملي أو حلقة محلية ، فإنه يتحقق ما يلي:${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0}$لأي مثالي مناسب 𝔞 من R. وبالتالي في ظل هذه الشروط، لأي مثالي مناسب 𝔞 من R وأي وحدة نمطية R - M ، فإن الطوبولوجيا 𝔞 -adic على M منفصلة.

بالنسبة لوحدة فرعية N من M ، يُنشئ التشاكل الكنسي إلى M / N طوبولوجيا خارج القسمة التي تتطابق مع الطوبولوجيا 𝔞 -adic. ولا تنطبق النتيجة المماثلة بالضرورة على الوحدة الفرعية N نفسها: فليس بالضرورة أن تكون طوبولوجيا الفضاء الفرعي هي الطوبولوجيا 𝔞 -adic. ومع ذلك، تتطابق الطوبولوجيتان عندما يكون R نوثريًا و M مولدًا نهائيًا . وهذا ما يُستنتج من مبرهنة آرتين-ريس . ^{[ 2 ]}

عندما تكون M فضاءً هاوسدورف، يمكن إكمال M كفضاء متري؛ ويُرمز إلى الفضاء الناتج بـ${\displaystyle {\widehat {M}}}$ولها بنية الوحدة النمطية التي تم الحصول عليها من خلال توسيع عمليات الوحدة النمطية بالاستمرارية. وهي أيضًا مطابقة (أو متماثلة شكليًا مع):$${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$$حيث يمثل الجانب الأيمن نهاية معكوسة لوحدات القسمة تحت الإسقاط الطبيعي. ^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$لتكن حلقة متعددة الحدود على حقل k و 𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n ) المثالي الأعظمي المتجانس (الوحيد) . عندئذٍ${\displaystyle {\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$، حلقة متسلسلة القوى الرسمية على k في n متغيرات. ^{[ 4 ]}

الإغلاق 𝔞 -adic لوحدة فرعية${\displaystyle N\subseteq M}$يكون${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$^{[ 5 ]} يتطابق هذا الإغلاق معNعندماتكونRكاملة من الناحية𝔞Mمولدًا نهائيًا. ^{[ 6 ]}

يُطلق على R اسم زاريسكي بالنسبة إلى 𝔞 إذا كان كل مثالي في R مغلقًا 𝔞 -أديًا. وهناك توصيف لذلك:

R هو زاريسكي بالنسبة إلى 𝔞 إذا وفقط إذا كان 𝔞 موجودًا في جذر جاكوبسون لـ R.

على وجه الخصوص، تُعتبر الحلقة المحلية النويثرية حلقة زاريسكي بالنسبة للمثال الأعظمي. ^{[ 7 ]}