كرة الإسكندر ذات القرون

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة
كرة الإسكندر ذات القرون

الكرة المقرنة لألكسندر هي تمثيل شاذ للكرة ثنائية الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وقد اكتشف هذا الجسم الطوبولوجي جيه دبليو ألكسندر ( 1924 ) . 

هو تمثيل طوبولوجي خاص لكرة ثنائية الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد. يشكل مع داخله كرة ثلاثية الأبعاد طوبولوجية ، تُعرف باسم كرة ألكسندر ذات القرون ، وبالتالي فهو متصل ببساطة ؛ أي يمكن تقليص كل حلقة إلى نقطة مع بقائها داخله. مع ذلك، فإن سطحه الخارجي ليس متصلاً ببساطة، على عكس السطح الخارجي للكرة المستديرة المعتادة.

تنص نظرية شونفليس في بُعدين على أنه يمكن تمديد أي منحنى مغلق بسيط في المستوى إلى تماثل شكلي للمستوى بأكمله. إذا صحّت هذه النظرية في ثلاثة أبعاد، فسيكون السطح الخارجي لأي كرة مغمورة متماثلًا شكليًا مع السطح الخارجي للكرة القياسية. تُثبت كرة ألكسندر ذات القرون خطأ هذه النظرية، لأن السطح الخارجي للكرة القياسية متصل ببساطة، بينمادهـxت{\displaystyle D_{ext}}ليس كذلك. لذلك، لا يوجد تماثل شكلي لـR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}التي يمكنها "تقويم" الكرة ذات القرون لتصبح كرة قياسية.

تاريخ

في أواخر القرن التاسع عشر، أثبتت نظرية منحنى جوردان أن كل منحنى مغلق بسيط في المستوى يقسمه إلى منطقتين. سعى علماء الرياضيات في تلك الحقبة، بمن فيهم كاميل جوردان وآرثر موريتز شونفليس ، إلى تعميم هذه النظرية على أبعاد أعلى. وقد أثبتت نظرية شونفليس بنجاح أنه في بعدين، يكون أي منحنى من هذا القبيل "منضبطًا" - أي أن المناطق التي يحدها تكون دائمًا متماثلة شكليًا مع الأقراص القياسية. وقد ساد الاعتقاد بأن مبدأً مماثلاً سينطبق على كرة ثنائية الأبعاد مغمورة في فضاء ثلاثي الأبعاد.

قلادة أنطوان

وضع عالم الرياضيات الفرنسي لويس أنطوان الأسس المفاهيمية للهياكل . في عام 1921، بنى أنطوان جسمًا طوبولوجيًا رائعًا يُعرف باسم " قلادة أنطوان" ، وهو عبارة عن مجموعة كانتور .R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}مكملها ليس متصلاً ببساطة.

استخدم أنطوان في تصميمه سلسلة من الحلقات الصلبة المتشابكة. وقد أثبت ذلك أنه يمكن تضمين جسم "صفري الأبعاد" (مجموعة كانتور) في الفضاء ثلاثي الأبعاد بطريقة "تعلق" الحلقات، وهي ظاهرة مستحيلة في بعدين.

مثال ألكسندر المضاد

في عام 1924، نشر جيمس واديل ألكسندر الثاني نتائج بحثه في وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . وقبل ذلك، كان ألكسندر قد نشر "برهانًا" على صحة نظرية شونفليس في ثلاثة أبعاد. وعندما أدرك خطأه، قام ببناء الكرة ذات القرون كمثال مضاد قاطع.

تجلّت عبقرية ألكسندر في إدراكه أن "الوحشية" التي وجدها أنطوان في مجموعة كانتور يمكن دمجها في سطح كرة ثنائية الأبعاد. فمن خلال استبدال الحلقات البسيطة لقلادة أنطوان بـ"قرون" تنمو من كرة، أثبت ألكسندر ما يلي:

  1. يمكن أن تكون الكرة "بسيطة" طوبولوجيًا (متماثلة الشكل معS2{\displaystyle S^{2}}).
  2. ومع ذلك، يمكن تضمينها "بشكل عشوائي" بحيث يتم ربط الفضاء الخارجي بعدد لا نهائي من المرات.

أجبر اكتشاف ألكسندر علماء الطوبولوجيا على التمييز بين التضمينات المروضة والتضمينات الجامحة.

أدى هذا التمييز إلى تطوير طوبولوجيا PL (الخطية القطعية) وساعد في النهاية على صياغة حدسية بوانكاريه المعممة .

بناء

رسم تخطيطي للخطوات التكرارية القليلة الأولى في بناء كرة ألكسندر ذات القرون، من ورقة ألكسندر الأصلية لعام 1924

إن بناء الكرة ذات القرون للإسكندر هو عملية تكرارية.

الكرة المقرنة لألكسندر هي التضمين (الطوبولوجي) الخاص للكرة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد الذي تم الحصول عليه من خلال البناء التالي، بدءًا من الطارة القياسية : [ 1 ]

  1. قم بإزالة شريحة شعاعية من الطارة.
  2. قم بتوصيل حلقة مثقوبة قياسية بكل جانب من جوانب القطع، بحيث تكون متشابكة مع الحلقة الموجودة على الجانب الآخر.
  3. كرر الخطوتين 1 و2 على الحلقتين اللتين أضفتهما للتو إلى ما لا نهاية .
بناء متحرك لكرة الإسكندر.

تمثل كرة ألكسندر ذات القرون الحد الأقصى لهذه العملية مع ازدياد عدد التكراراتن{\displaystyle n}يقترب من اللانهاية (ن→∞{\displaystyle n\to \infty }).

من خلال النظر فقط في نقاط الطورات التي لم تتم إزالتها في مرحلة ما، تكون النتيجة هي تضمين الكرة مع إزالة مجموعة كانتور .

يمتد هذا التضمين إلى خريطة متصلة من الكرة بأكملها، وهو محقن (وبالتالي تضمين طوبولوجي لأن الكرة مضغوطة) لأن النقاط الموجودة في الكرة التي تقترب من نقطتين مختلفتين من مجموعة كانتور ستنتهي في "قرون" مختلفة في مرحلة ما وبالتالي سيكون لها صور مختلفة.

الحدود الناتجة هي سطح متصل. ولأن القرون تصبح رقيقة للغاية، فإن "نهايات" القرون لا تُشكّل ثقوبًا، بل مجموعة نقاط كانتور على السطح. ويمكن إثبات أن الجسم الناتج لا يزال متماثلًا شكليًا مع كرة ثنائية الأبعاد قياسية. وبشكل بديهي، يمكن تخيّل "فك" القرون واحدًا تلو الآخر؛ إلا أنه نظرًا لوجود عدد لا نهائي من المستويات المتشابكة، لا يمكن القيام بذلك عن طريق التماثل الشكلي للفضاء ثلاثي الأبعاد المحيط.

تعريف

بصورة رسمية، دعS2{\displaystyle S^{2}}كن الكرة القياسية ثنائية الأبعاد. تضمينو:S2↪R3{\displaystyle f:S^{2}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{3}}يُطلق عليها اسم الكرة ذات القرون ألكسندر إذا كانت صورتها هي نهاية بناء تكراري محدد يتضمن "قرونًا" متشابكة.

بخلاف الكرة القياسية، فإن مكمل كرة ألكسندر ذات القرون فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}ليست متصلة ببساطة . على وجه التحديد، المجموعة الأساسية للمكون غير المحدود منR3∖و(S2){\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus f(S^{2})}وهي ليست تافهة، بمعنى أن هناك حلقات في الخارج لا يمكن تقليصها باستمرار إلى نقطة دون المرور عبر السطح.

التمييز الطوبولوجي للمكونات

وفقًا لنظرية فصل جوردان-بروير ، فإن أي تضمين لكرة ثنائية الأبعاد فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}يقسم الفضاء إلى مكونين متصلين تمامًا : "داخلي" محدود و"خارجي" غير محدود. في حالة كرة ألكسندر ذات القرون، يُظهر هذان المكونان خصائص طوبولوجية مختلفة جذريًا.

المكون الداخلي (المنطقة المحددة)

الجزء الداخلي من كرة الإسكندر ذات القرون، المشار إليها هنا باسمدأنانت{\displaystyle D_{int}}، وهو حسن السلوك نسبياً.

على الرغم من التعقيد الشبيه بالكسور الهندسية للحدود، فإن المنطقة الداخلية متماثلة الشكل مع الكرة الثلاثية المفتوحة.ب3{\displaystyle B^{3}}يمكن تقليص أي حلقة مرسومة بالكامل داخل الجزء الداخلي بشكل مستمر إلى نقطة دون الخروج من الجزء الداخلي. إغلاق الجزء الداخلي،دأنانت¯{\displaystyle {\overline {D_{int}}}}، هي خلية طوبولوجية ثلاثية الأبعاد.

المكون الخارجي (المنطقة غير المحدودة)

المنطقة الخارجية،دهـxت=R3∖دأنانت¯{\displaystyle D_{ext}=\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {D_{int}}}}يكمن "خلل" كرة ألكسندر ذات القرون في هذه النقطة. وهي بمثابة مثال مضاد للحدس القائل بأن الفضاء خارج الكرة يجب أن يتصرف مثل الفضاء خارج الكرة القياسية.

المجموعة الأساسية للخارج،π1(دهـxت){\displaystyle \pi _{1}(D_{ext})}الأمر ليس تافهاً. توجد حلقات مغلقة في الخارج "معلقة" عبر عدد لا نهائي من فروع الأبواق. تشكل "أطراف" الأبواق مجموعة كانتور فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. ولأن القرون تتشابك في عملية محدودة، فلا يمكن سحب حلقة تحيط بإحدى "الدرجات" الأولية من خلال البنية الدقيقة المتزايدة للمقابض المتشابكة.

مقارنة العقارات
ملكيةالمكونات الداخليةالمكون الخارجي
هل هو متماثل الشكل مع الكرة/الفضاء القياسي؟نعم (ب3{\displaystyle B^{3}})لا
ببساطة متصل ؟نعملا
المجموعة الأساسيةπ1{\displaystyle \pi _{1}}تافه (0{\displaystyle 0})غير تافه
حدود مسطحة محلياً؟نعملا (مجموعة كانتور الجامحة)

ملكيات

التماثل المتماثل مع الكرة

على الرغم من مظهرها، فإن كرة ألكسندر ذات القرون متماثلة شكليًا مع كرة الوحدة القياسية.

توجد خريطة متصلة وتقابليةح:S2→S{\displaystyle h:S^{2}\to S}مع معكوس مستمر.

من وجهة نظر جوهرية (من وجهة نظر كائن ثنائي الأبعاد يعيش على السطح)، فإن الكرة ذات القرون ليس بها ثقوب، ولا حواف، وهي "طبيعية" تمامًا.

الكرة ذات القرون الإسكندر مقابل الكرة
ملكيةكرة الإسكندر ذات القرونمعيار ثنائي الكرات
الطوبولوجيا الجوهريةمتماثل الشكل لـS2{\displaystyle S^{2}}متماثل الشكل لـS2{\displaystyle S^{2}}
المكون الخارجيليس مجرد اتصالببساطة متصل
المجموعة الأساسية للمكون الخارجيمولد بلا حدودتافه (0)
التسطح المحليفشل في أداء مجموعة كانتوريثبت في كل مكان
نوع التضمينبريترويض

المجموعة الأساسية

إن أشهر خصائص كرة الإسكندر ذات القرون هي أن سطحها الخارجي،دهـxت=R3∖دأنانت¯{\displaystyle D_{ext}=\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {D_{int}}}}، ليس الأمر مجرد اتصال .

في التضمين الكروي القياسي، تكون المجموعة الأساسية للخارج هي:π1(R3∖Ssتأندأرد2)=0{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus S_{standard}^{2})=0}

أما بالنسبة للكرة ذات القرون الخاصة بالإسكندر، فهي كالتالي:π1(R3∖S)≠0{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus S)\neq 0}

إذا وُضِعَت حلقة حول أول "جسر" أو "درجة" في الهيكل (حيث يكاد أول قرنين يلتقيان)، فلا يمكن تقليص هذه الحلقة إلى نقطة. وأي محاولة لسحب الحلقة "عن" القرنين تؤدي إلى تعلّقها بالجيل التالي الأصغر من القرون المتشابكة. ولأن هذه العملية تستمر إلى ما لا نهاية، فلا يمكن إزالة هذا التعلّق أبدًا.

التسطح المحلي

يكون السطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد "مسطحًا محليًا" عند نقطة ما إذا كان، بالقرب من تلك النقطة، يبدو التضمين كسطح مستوٍ قياسي يقسم الفضاء. وتكون كرة ألكسندر ذات القرون مسطحة محليًا في كل مكان باستثناء نقاط مجموعة حدودها ( مجموعة كانتور حيث تلتقي أطراف القرون).

عند نقاط كانتور هذه، تكون الكرة "جامحة". هذه المجموعة من النقاط الجامحة هي السبب في فشل نظرية شونفليس في ثلاثة أبعاد.

مثال مضاد لنظرية شونفليس

في علم الطوبولوجيا ، تُقدّم نظرية شونفليس نتيجةً أساسيةً حول كيفية تضمين الكرات في الفضاء الإقليدي. وبينما تُطبّق النظرية بشكلٍ مثاليّ في بُعدين، تُشكّل كرة ألكسندر ذات القرون المثال المضادّ الرئيسي الذي يُثبت عدم صحتها في ثلاثة أبعاد.

تنص النظرية، التي سميت على اسم آرثر موريتز شونفليس ، على أنه بالنسبة لأي منحنى مغلق بسيط ( منحنى جوردان )ج{\displaystyle C}في الطائرةR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يوجد تماثل شكليو:R2→R2{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}بحيثو(ج){\displaystyle f(C)}هي دائرة الوحدة القياسية.

وهذا يعني باختصار:

  1. أي حلقة مغلقة في الفضاء ثنائي الأبعاد تكون "مروضة".
  2. "الداخل" عبارة عن قرص دائمًا.
  3. يكون "الخارج" دائمًا متماثلًا شكليًا مع الجزء الخارجي من دائرة قياسية.
  4. يمكنك دائمًا "تقويم" أو "فك العقدة" لأي حلقة ثنائية الأبعاد وتحويلها إلى دائرة مثالية من خلال تشويه شامل للمستوى.

كان يُعتقد في البداية أن هذا سيعمم على الأبعاد الثلاثة: أي كرة ثنائية الأبعاد مضمنة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}يمكن تقويمها لتصبح كرة مستديرة قياسية. لكن كرة ألكسندر ذات القرون تثبت أن هذا مستحيل.

لأن المجموعة الأساسية للسطح الخارجي للكرة القرنية لألكسندر غير تافهة (π1(دهـxت)≠0{\displaystyle \pi _{1}(D_{ext})\neq 0})، بينما المجموعة الأساسية للسطح الخارجي للكرة القياسية تافهة (π1=0{\displaystyle \pi _{1}=0}لا يمكن أن يكون هناك تماثل مكاني للفضاء المحيطR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}وهذا يربط أحدهما بالآخر.

يجب أن يحافظ التشاكل المتماثل للفضاء بأكمله على المجموعة الأساسية للمتممة. وبما أن المجموعات مختلفة، فإن التضمينات مختلفة جوهريًا.

الكرة ذات القرون في ألكسندر هي كرة من الناحية الطوبولوجية، لكنها ليست متماثلة طوبولوجيًا مع الكرة القياسية.

نظرية مازور-براون

على الرغم من فشل نظرية شونفليس الأصلية في ثلاثة أبعاد، فقد تم إنقاذ نسخة منها عام 1960 على يد مورتون براون وباري مازور . تُعرف هذه النسخة باسم نظرية شونفليس المعممة ، وتنص على أن النظرية صحيحة في جميع الأبعاد.ن{\displaystyle n}إذا كان تضمين الكرة "مسطحًا محليًا" في كل مكان. تتجنب كرة ألكسندر ذات القرون هذا لأنها ليست مسطحة محليًا عند نقاط مجموعة كانتور الخاصة بها.

تأثير ذلك على النظرية

الكرة المقرنة، مع داخلها، هي كرة ثلاثية الأبعاد طوبولوجية ، تُعرف باسم كرة ألكسندر المقرنة ، وبالتالي فهي متصلة اتصالًا بسيطًا ؛ أي يمكن تقليص أي حلقة إلى نقطة مع بقائها داخل الكرة. أما السطح الخارجي فليس متصلًا اتصالًا بسيطًا، على عكس السطح الخارجي للكرة المستديرة المعتادة؛ إذ لا يمكن تقليص حلقة تربط طارة في البناء المذكور أعلاه إلى نقطة دون أن تلامس الكرة المقرنة. يُبين هذا أن نظرية جوردان-شونفليس لا تنطبق في ثلاثة أبعاد، كما كان يعتقد ألكسندر في الأصل. كما أثبت ألكسندر أن النظرية تنطبق في ثلاثة أبعاد بالنسبة للتضمينات الخطية / الناعمة القطعية . يُعد هذا أحد الأمثلة الأولى التي برزت فيها الحاجة إلى التمييز بين فئات المشعبات الطوبولوجية ، والمشعبات التفاضلية، والمشعبات الخطية القطعية.

لنعتبر الآن كرة ألكسندر المقرنة كتطبيق مُضمّن في الكرة ثلاثية الأبعاد ، والتي تُعتبر بدورها تكثيفًا أحادي النقطة للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ . يُطلق على إغلاق المجال غير البسيط الاتصال اسم كرة ألكسندر المقرنة الصلبة . على الرغم من أن كرة ألكسندر المقرنة الصلبة ليست متعددة الشعب ، فقد أثبت آر إتش بينغ أن مُضاعفها ( وهو متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد الناتج عن لصق نسختين من كرة ألكسندر المقرنة معًا على طول النقاط المتناظرة لحدودهما) هو في الواقع الكرة ثلاثية الأبعاد. [ 2 ] يمكن النظر في تطبيقات لصق أخرى للكرة المقرنة الصلبة بنسخة منها، ناتجة عن تماثلات مختلفة للكرة الحدودية مع نفسها. وقد ثبت أيضًا أن هذا التطبيق هو الكرة ثلاثية الأبعاد. تُعد كرة ألكسندر المقرنة الصلبة مثالًا على المكعب المُجعّد ؛ أي مجال مُكمّل مُغلق لتطبيق كرة ثنائية الأبعاد في الكرة ثلاثية الأبعاد.

يمكن تعميم بناء ألكسندر لتوليد كرات أخرى ذات قرون عن طريق زيادة عدد القرون في كل مرحلة من مراحل بناء ألكسندر أو النظر في البناء المماثل في أبعاد أعلى.

توجد طرق أخرى مختلفة تمامًا لبناء هذه الكرات "الجامحة". ومن الأمثلة الأخرى، التي اكتشفها ألكسندر أيضًا، كرة أنطوان ذات القرون ، والمستوحاة من قلادة أنطوان ، وهي عبارة عن دمج غير طبيعي لمجموعة كانتور في الكرة ثلاثية الأبعاد.

كرات قرنية ذات أبعاد أعلى

يمكن تعميم هذا التصميم على أي بُعدن>3{\displaystyle n>3}لأين≥3{\displaystyle n\geq 3}يوجد تضمين لـ(ن-1){\displaystyle (n-1)}-جسم كرويSن-1{\displaystyle S^{n-1}}داخلRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بحيث لا يكون المكون غير المحدود لمكمله متصلاً ببساطة. وغالبًا ما يُشار إلى هذه باسم كرات ألكسندر ذات الأبعاد الأعلى .

بحيرات وادا

رسوم متحركة لعملية حفر البحيرات حتى اليوم الخامس

بينما تتناول الكرة ذات القرون تعقيد الحدود، فإن بحيرات وادا هي ثلاث مجموعات مفتوحة منفصلة في المستوى أو الفضاء، تشترك جميعها في نفس الحدود تمامًا. وكثيرًا ما تُذكر إلى جانب كرة ألكسندر ذات القرون كمثال كلاسيكي على عجز الحدس البشري عن إدراك خصائص الحدود اللانهائية المتكررة.

مجال بينغ

سميت كرة بينغ (أو كرة بينغ "المعلقة") على اسم آر إتش بينغ ، وهي عبارة عن تضمين جامح آخر.

  • بينما يستخدم تصميم ألكسندر قرونًا متشابكة لا تتلامس أبدًا، فإن تصميم بينغ أكثر تناقضًا مع الحدس.
  • أثبت محرك بحث بينغ أنه يمكن لصق كرتين صلبتين من نوع ألكسندر ذي القرون معًا على طول حدودهما لإنتاج كرة ثلاثية الأبعاد.S3{\displaystyle S^{3}}لقد كانت هذه نتيجة هائلة في إظهار أن القطع "البرية" يمكن أن تتجمع لتشكل كلاً "مروضًا".

قلادة أنطوان

باعتبارها السلف الروحي للكرة ذات القرون، فإن قلادة أنطوان هي قطعة من مجموعة كانتورR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}بمكمل غير متصل ببساطة. يمكن اعتبار كرة ألكسندر ذات القرون محاولةً لـ"تغطية" عقد أنطوان بسطح متصل. تمثل "النقاط غير المنتظمة" للكرة ذات القرون (أطراف القرون) مجموعة كانتور من نوع أنطوان.

ملخص

ملخص
هدفالأبعادعلم الأمراض الرئيسي
قلادة أنطوان0 (مجموعة كانتور)أول كائن لإظهار مكمل غير متصل ببساطة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.
كرة الإسكندر ذات القرون2 (سطحي)مثال مضاد لفرضية شونفليس ثلاثية الأبعاد.
مجال بينغ2 (سطحي)كرة لا يمكن تقسيمها إلى قرصين بواسطة أي مستوى.
قوس فوكس-آرتين البري1 (قطعة مستقيمة)قوس (مسار بسيط) فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}مكملها ليس متصلاً ببساطة.

انظر أيضاً

البنى الطوبولوجية

  • قلادة أنطوان – أول مجموعة "برية" من كانتور في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والتي كانت بمثابة مصدر إلهام للكرة ذات القرون.
  • بحيرات وادا – ثلاث مجموعات مفتوحة متصلة في المستوى تشترك في نفس الحدود.
  • دائرة وارسو – مجموعة فرعية مضغوطة من المستوى غير متصلة محليًا، تعمل كمثال مضاد في نظرية الشكل.
  • سجادة سيربينسكي وإسفنجة مينجر – هياكل كسورية تستكشف حدود الأبعاد والقياس.
  • القوس البري ، وتحديداً قوس فوكس-آرتين - تضمين فترة زمنية في الفضاء ثلاثي الأبعاد يكون "معقدًا" عند كل نقطة.
  • سطح شجرة كانتور
  • عقدة برية

المفاهيم الرياضية

  • نظرية منحنى جوردان – النظرية الأساسية التي تعممها الكرة ذات القرون (وتتحدىها) في الأبعاد الأعلى.
  • نظرية شونفليس - النظرية المحددة، التي تعتبر الكرة ذات القرون مثالاً مضاداً لها في نسختها ثلاثية الأبعاد.
  • المجموعة الأساسية - الأداة الجبرية المستخدمة لإثبات أن الجزء الخارجي من الكرة ذات القرون ليس متصلاً ببساطة.

علماء الطوبولوجيا البارزون

مواضيع أخرى في علم الطوبولوجيا

مراجع

  1. ↑ هوكينج ويونج 1988 ، الصفحات 175-176 . سبيفاك 1999 ، الصفحة 55  
  2. ↑ بينغ، ر. هـ. (1952)، "تشاكل تماثلي بين الكرة ثلاثية الأبعاد ومجموع كرتين صلبتين ذواتي قرون"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 56 (2): 354-362 ، doi : 10.2307/1969804 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969804 ، MR 0049549   

الاقتباسات

أوراق تاريخية وأصلية

نظرية شونفليس والكرات الجامحة

الكتب الدراسية والدراسات المتخصصة

التصور والفن