نظرية ألكسندروف حول متعددات السطوح

نظرية ألكسندروف حول المجسمات متعددة الأوجه هي نظرية صلابة في الرياضيات، تصف المجسمات المحدبة ثلاثية الأبعاد بدلالة المسافات بين النقاط على أسطحها. وتنص على أن المجسمات المحدبة ذات الأشكال المختلفة لها أيضًا فضاءات مترية مختلفة للمسافات السطحية، كما أنها تميز الفضاءات المترية الناتجة عن المسافات السطحية على المجسمات متعددة الأوجه. وقد سُميت هذه النظرية نسبةً إلى عالم الرياضيات السوفيتي ألكسندر دانيلوفيتش ألكسندروف ، الذي نشرها في أربعينيات القرن العشرين. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

يشكّل سطح أي متعدد السطوح محدب في الفضاء الإقليدي فضاءً متريًا ، حيث تُقاس المسافة بين نقطتين بطول أقصر مسار بينهما على طول السطح. ضمن أقصر مسار واحد، تتساوى المسافات بين أزواج النقاط مع المسافات بين النقاط المتناظرة على قطعة مستقيمة لها نفس الطول؛ ويُعرف المسار الذي يتمتع بهذه الخاصية بالجيوديسية . هذه الخاصية للأسطح متعددة السطوح، وهي أن كل زوج من النقاط متصل بجيوديسية، لا تنطبق على العديد من الفضاءات المترية الأخرى، وعندما تنطبق، يُسمى الفضاء فضاءً جيوديسيًا. يُطلق على الفضاء الجيوديسي المُشكّل من سطح متعدد السطوح اسم امتداده . ^{[ 3 ]}

يمكن تصور المجسم متعدد السطوح على أنه مطوي من ورقة ( شبكة للمجسم)، ويرث نفس هندسة الورقة: فلكل نقطة p داخل أحد أوجه المجسم، فإن جوارًا مفتوحًا صغيرًا بما فيه الكفاية حول p سيكون له نفس المسافات التي تقطعها مجموعة جزئية من المستوى الإقليدي . وينطبق الأمر نفسه حتى على النقاط الموجودة على حواف المجسم: إذ يمكن نمذجتها محليًا كمستوى إقليدي مطوي على طول خط ومضمن في فضاء ثلاثي الأبعاد، لكن الطي لا يغير بنية أقصر المسارات على طول السطح. مع ذلك، فإن رؤوس المجسم لها بنية مسافة مختلفة: فالهندسة المحلية لرأس المجسم هي نفسها الهندسة المحلية عند قمة المخروط . ويمكن تشكيل أي مخروط من ورقة مسطحة أُزيل منها جزء على شكل إسفين عن طريق لصق الحواف المقطوعة عند موضع إزالة الإسفين. تُسمى زاوية الجزء المُزال من الوتد بالعيب الزاوي للرأس، وهي قيمة موجبة أقل من  2π . يُمكن قياس عيب رأس متعدد السطوح بطرح زوايا الأوجه عند ذلك الرأس من 2π . على سبيل المثال، في رباعي الأوجه المنتظم، تبلغ زاوية كل وجه π /3، ويوجد ثلاث زوايا عند كل رأس، لذا فإن طرحها من 2π يُنتج عيبًا مقداره π عند كل رأس من الرؤوس الأربعة. وبالمثل، يحتوي المكعب على عيب مقداره π / 2 عند كل رأس من رؤوسه الثمانية. تنص نظرية ديكارت حول العيب الزاوي الكلي ( وهي صيغة من نظرية غاوس-بونيه ) على أن مجموع العيوب الزاوية لجميع الرؤوس يساوي دائمًا 4π بالضبط . باختصار، فإن تطور متعدد السطوح المحدب هو جيوديسي، ومتماثل ( مكافئ طوبولوجيًا) للكرة، وإقليدي محليًا باستثناء عدد محدود من نقاط المخروط التي يكون مجموع عيوبها الزاوية 4π . ^{[ 3 ]}  

تُقدّم نظرية ألكسندروف عكس هذا الوصف. تنصّ على أنه إذا كان الفضاء المتري جيوديسيًا، ومتماثلًا شكليًا مع كرة، وإقليديًا محليًا باستثناء عدد محدود من نقاط المخروط ذات النقص الزاوي الموجب (الذي يساوي مجموعه بالضرورة 4π  ) ، فإنه يوجد متعدد سطوح محدب يكون امتداده هو الفضاء المعطى. علاوة على ذلك، يُعرَّف هذا متعدد السطوح بشكل فريد من المقياس: أي متعددي سطوح محدبين لهما نفس مقياس السطح يجب أن يكونا متطابقين مع بعضهما البعض كمجموعات ثلاثية الأبعاد. ^{[ 3 ]}

قد يكون المجسم متعدد السطوح الذي يمثل الفضاء المتري المعطى متدهورًا : فقد يشكل مضلعًا محدبًا ثنائي الأبعاد مغطى بسطحين ( مجسمًا ثنائي السطوح ) بدلًا من مجسم ثلاثي الأبعاد كامل. في هذه الحالة، يتكون مقياس سطحه من نسختين من المضلع (ضلعيه) ملتصقتين معًا على طول الحواف المتناظرة. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

يتمتع المجسم العشري الوجوه المنتظم بنفس مقياس السطح الذي يتمتع به المجسم الدلتا الوجوه غير المحدب الذي يتم فيه دفع هرم خماسي المثلثات إلى الداخل

مجسم سداسي رباعي الأوجه غير محدب ذو 24 وجهًا، له نفس هندسة السطح للمجسم الثماني الأوجه المنتظم.

على الرغم من أن نظرية ألكسندروف تنص على وجود متعدد سطوح محدب فريد ذي سطح ذي مقياس معين، فإنه من الممكن أيضًا وجود متعددات سطوح غير محدبة بنفس المقياس. ومن الأمثلة على ذلك المجسم العشري الوجوه المنتظم : إذا أُزيلت خمسة من مثلثاته، واستُبدلت بخمسة مثلثات متطابقة تُشكل تجويفًا في متعدد السطوح، فإن مقياس السطح الناتج يبقى دون تغيير. ^{[ 7 ]} يستخدم هذا المثال نفس الطيات للمجسم المحدب وغير المحدب، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، يمكن إعادة طي سطح ثماني السطوح المنتظم على طول طيات مختلفة إلى متعدد سطوح غير محدب ذي 24 وجهًا مثلثيًا متساوي الأضلاع، وهو ما يُعرف باسم " كليتوب" (Kleetope) الناتج عن لصق أهرامات مربعة على مربعات مكعب. تلتقي ستة مثلثات عند كل رأس إضافي ناتج عن إعادة الطي هذه، لذا فإن عيبها الزاوي يساوي صفرًا وتبقى إقليدية محلية. في الرسم التوضيحي لثماني الأوجه المطوي من أربعة سداسيات، يتم الحصول على هذه المثلثات الـ 24 عن طريق تقسيم كل سداسي إلى ستة مثلثات. ^{[ 5 ]}

يمكن وصف عملية تطوير أي متعدد السطوح بشكل ملموس من خلال مجموعة من المضلعات ثنائية الأبعاد، بالإضافة إلى تعليمات لربطها معًا على طول حوافها لتشكيل فضاء متري، ويمكن التحقق بسهولة من شروط نظرية ألكسندروف للفضاءات الموصوفة بهذه الطريقة. مع ذلك، قد تصبح الحواف التي يتم عندها ربط مضلعين معًا مسطحة وتقع داخل أوجه متعدد السطوح الناتج، بدلًا من أن تصبح حوافًا لمتعدد السطوح. (للاطلاع على مثال لهذه الظاهرة، انظر إلى الرسم التوضيحي لأربعة سداسيات ملتصقة لتشكيل ثماني السطوح). لذلك، حتى عند وصف عملية التطوير بهذه الطريقة، قد لا يكون واضحًا شكل متعدد السطوح الناتج، أو أشكال أوجهه، أو حتى عدد أوجهه. لا يؤدي برهان ألكسندروف الأصلي إلى خوارزمية لإنشاء متعدد السطوح (على سبيل المثال، من خلال تحديد إحداثيات رؤوسه) لتحقيق الفضاء المتري المعطى. في عام 2008، قدم بوبينكو وإزميستيف مثل هذه الخوارزمية. ^{[ 8 ]} يمكن لخوارزميتهم تقريب الإحداثيات بدقة تعسفية، في وقت شبه متعدد الحدود . ^{[ 9 ]}

تُعدّ نظرية كوشي من أوائل نظريات الوجود والوحدانية للمجسمات المحدبة ، إذ تنص على أن شكل المجسم المحدب يتحدد بشكل فريد من خلال شكل واتصال أوجهه. وتُعزز نظرية ألكسندروف هذه النظرية بإثباتها أنه حتى لو سُمح للأوجه بالانحناء أو الطي، دون تمدد أو انكماش، فإن اتصالها يظل هو ما يُحدد شكل المجسم. وبدورها، تستخدم برهان ألكسندروف لجزء الوجود من نظريته تعزيزًا لنظرية كوشي من قِبل ماكس دين ليشمل الصلابة المتناهية الصغر . ^{[ 3 ]}

ينطبق ما يُشابه نتيجة ألكسندروف على الأسطح المحدبة الملساء: يمكن تمثيل مشعب ريماني ثنائي الأبعاد ، يكون انحناؤه الغاوسي موجبًا في كل مكان ويبلغ مجموعه  4π ، بشكل فريد كسطح لجسم محدب أملس في ثلاثة أبعاد. إن تفرد هذا التمثيل هو نتيجة ستيفان كوهن-فوسن عام 1927، مع بعض شروط الانتظام على السطح التي أُزيلت في أبحاث لاحقة. وقد أثبت ألكسندروف وجوده باستخدام حجة تتضمن حدود المقاييس متعددة السطوح. ^{[ 10 ]} عمّم أليكسي بوغوريلوف هاتين النتيجتين، مُحددًا تطورات الأجسام المحدبة العشوائية في ثلاثة أبعاد. ^{[ 3 ]}

ومن نتائج بوغوريلوف الأخرى المتعلقة بالفضاءات المترية الجيوديسية المشتقة من المجسمات المحدبة، صيغة من نظرية الجيوديسيات الثلاث : لكل مجسم محدب ثلاثة مسارات شبه جيوديسية مغلقة بسيطة على الأقل. هذه المسارات عبارة عن منحنيات تكون خطوطًا مستقيمة محليًا باستثناء مرورها برأس، حيث يُشترط أن تكون الزوايا على جانبيها أقل من π . ^{[ 11 ]}

يمكن وصف تطورات المجسمات الزائدية المثالية بطريقة مشابهة للمجسمات المحدبة الإقليدية: كل مشعب ثنائي الأبعاد ذو هندسة زائدية منتظمة ومساحة محدودة، مكافئ تركيبياً لكرة مثقوبة بشكل محدود، يمكن تمثيله كسطح لمجسم مثالي. ^{[ 12 ]}