مسائل جائزة الألفية

في مجال الطوبولوجيا الهندسية ، تتميز الكرة ثنائية الأبعاد بكونها السطح الوحيد المغلق والبسيط الاتصال ثنائي الأبعاد. في عام 1904، طرح هنري بوانكاريه سؤالاً حول ما إذا كانت عبارة مماثلة تنطبق على الأشكال ثلاثية الأبعاد. عُرف هذا السؤال باسم حدسية بوانكاريه، والتي تنص صياغتها الدقيقة على ما يلي: ^{[ 9 ]}

أي مشعب طوبولوجي ثلاثي الأبعاد مغلق ومتصل ببساطة يجب أن يكون متماثلًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد .

على الرغم من أن التخمين عادة ما يتم ذكره بهذا الشكل، إلا أنه مكافئ (كما تم اكتشافه في الخمسينيات) لطرحه في سياق المشعبات الملساء والتشاكلات التفاضلية .

قدّم غريغوري بيرلمان برهانًا على هذه الفرضية، إلى جانب فرضية الهندسة الأكثر قوة ، في عامي 2002 و2003. وقد أكمل حل بيرلمان برنامج ريتشارد هاميلتون لحل فرضية الهندسة، والذي كان قد طوره على مدار العشرين عامًا السابقة. تمحور عمل هاميلتون وبيرلمان حول تدفق ريتشي لهاميلتون ، وهو نظام معقد من المعادلات التفاضلية الجزئية مُعرّف في مجال الهندسة الريمانية .

تقديراً لإسهاماته في نظرية تدفق ريتشي، مُنح بيرلمان ميدالية فيلدز عام 2006، إلا أنه رفض استلامها. ^{[ 10 ]} ولإثباته حدسية بوانكاريه، مُنح بيرلمان جائزة الألفية في 18 مارس 2010. ^{[ 11 ]} إلا أنه رفض الجائزة والمبلغ المالي المصاحب لها، مصرحاً بأن إسهام هاميلتون لا يقل أهمية عن إسهامه. ^{[ 1 ]}

قدم أندرو وايلز البيان الرسمي لتخمين بيرش وسوينرتون-داير . ^{[ 12 ]} يتناول هذا التخمين، الذي سُمي نسبةً إلى برايان جون بيرش وبيتر سوينرتون-داير ، أنواعًا معينة من المعادلات: تلك التي تُعرّف المنحنيات الإهليلجية على الأعداد النسبية . ينص التخمين على وجود طريقة بسيطة لتحديد ما إذا كانت هذه المعادلات تمتلك عددًا محدودًا أو غير محدود من الحلول النسبية. وبشكل أكثر تحديدًا، تنص نسخة جائزة الألفية من التخمين على أنه إذا كان رتبة المنحنى الإهليلجي E هي r ، فإن دالة L المرتبطة به L ( E , s ) تتلاشى عند الرتبة r عندما s = 1 .

تخمين هودج هو أنه بالنسبة للأصناف الجبرية الإسقاطية ، فإن دورات هودج هي تركيبات خطية عقلانية من الدورات الجبرية .

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

نسمي هذا مجموعة فئات هودج من الدرجة 2k على X.

الصيغة الحديثة لفرضية هودج هي:

ليكن X منوعًا إسقاطيًا عقديًا غير شاذ. عندئذٍ، كل فئة هودج على X هي توليفة خطية ذات معاملات نسبية لفئات التماثل للأصناف الفرعية العقدية لـ X.

وقد قدم بيير ديلين البيان الرسمي للمشكلة . ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

تصف معادلات نافيير -ستوكس حركة الموائع ، وهي إحدى ركائز ميكانيكا الموائع . ومع ذلك، لا يزال الفهم النظري لحلولها غير مكتمل، على الرغم من أهميتها في العلوم والهندسة. بالنسبة لنظام المعادلات ثلاثي الأبعاد، وبافتراض بعض الشروط الابتدائية ، لم يثبت علماء الرياضيات بعدُ وجود حلول سلسة دائمًا. تُعرف هذه المسألة بمشكلة وجود حلول سلسة في معادلات نافيير-ستوكس .

تكمن المشكلة، المقتصرة على حالة التدفق غير القابل للانضغاط ، في إثبات إما وجود حلول سلسة ومحددة عالميًا تستوفي شروطًا معينة، أو عدم وجودها دائمًا وانهيار المعادلات. وقد صاغ تشارلز فيفرمان البيان الرسمي للمشكلة . ^{[ 14 ]}

السؤال المطروح هو ما إذا كان بإمكان خوارزمية ما، بالنسبة لجميع المسائل التي يمكن التحقق من حلها بسرعة (أي في زمن متعدد الحدود )، إيجاد ذلك الحل بسرعة أيضًا. ولأن الأولى تصف فئة المسائل المسماة NP، بينما تصف الثانية P، فإن السؤال يُعادل السؤال عما إذا كانت جميع المسائل في NP تنتمي أيضًا إلى P. يُعتبر هذا السؤال عمومًا من أهم الأسئلة المفتوحة في الرياضيات وعلوم الحاسوب النظرية، لما له من آثار بعيدة المدى على مسائل أخرى في الرياضيات ، وعلم الأحياء ، ^{[ 15 ]} والفلسفة ، ^{[ 16 ]} وعلم التشفير (انظر: نتائج إثبات المسائل في P مقابل NP ). ومن الأمثلة الشائعة على مسائل NP التي لا يُعرف أنها تنتمي إلى P مسألة قابلية الإرضاء البولياني .

يتوقع معظم علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب أن P  ≠  NP؛ ومع ذلك، لا يزال هذا الأمر غير مثبت. ^{[ 17 ]}

وقد أدلى ستيفن كوك بالبيان الرسمي للمشكلة . ^{[ 18 ]}

دالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta (s)}$هي دالة يمكن ^أن تكون وسائطها أي عدد مركب عدا 1، وقيمها أيضًا أعداد مركبة. يمكن التعبير عن هذه الدالة كمجموع لانهائي لقوى كسر الوحدة : ^{[ 19} ]$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .}$$امتدادها التحليلي يحتوي على أصفار عند الأعداد الزوجية السالبة؛ أي،${\displaystyle \zeta (s)=0}$متى ${\displaystyle s}$هو أحد${\displaystyle -2}$،${\displaystyle -4}$،${\displaystyle -6}$وهكذا. تُسمى هذه الأصفار بالصفرية. مع ذلك، فإن الأعداد الزوجية السالبة ليست القيم الوحيدة التي تكون عندها دالة زيتا صفرًا. تُسمى القيم الأخرى بالأصفار غير الصفرية. تهتم فرضية ريمان بمواقع هذه الأصفار غير الصفرية، وتنص على ما يلي:

الجزء الحقيقي لكل صفر غير تافه لدالة زيتا لريمان هو${\textstyle {\frac {1}{2}}}$.

تنص فرضية ريمان على أن جميع الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان لها جزء حقيقي يساوي 1/2 . إن إثبات هذه الفرضية أو دحضها سيكون له آثار بعيدة المدى في نظرية الأعداد ، وخاصة فيما يتعلق بتوزيع الأعداد الأولية . كانت هذه هي المسألة الثامنة لهيلبرت ، ولا تزال تُعتبر مسألة مفتوحة مهمة بعد مرور قرن من الزمان.

لقد كانت هذه المشكلة معروفة منذ أن طرحها برنارد ريمان لأول مرة في عام 1859. وقد قدم إنريكو بومبيري عرضًا للمشكلة في معهد كلاي . ^{[ 20 ]}

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعرف فجوة الكتلة بأنها الفرق في الطاقة بين الفراغ وحالة الطاقة الأدنى التالية . طاقة الفراغ تساوي صفرًا بحكم التعريف، وبافتراض أن جميع حالات الطاقة يمكن اعتبارها جسيمات في موجات مستوية، فإن فجوة الكتلة هي كتلة أخف جسيم.

بالنسبة لحقل حقيقي معين${\displaystyle \phi (x)}$يمكننا القول إن النظرية تحتوي على فجوة في الكتلة إذا كانت دالة النقطتين تتمتع بالخاصية التالية:

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

مع${\displaystyle \Delta _{0}>0}$تمثل هذه القيمة أدنى قيمة طاقة في طيف الهاميلتوني، وبالتالي فجوة الكتلة. هذه الكمية، التي يسهل تعميمها على مجالات أخرى، هي ما يُقاس عادةً في حسابات الشبكة.

تُشكّل نظرية يانغ-ميلز الكمومية الأساس النظري الحالي لمعظم التطبيقات النظرية التي تُعنى بدراسة واقع وإمكانات فيزياء الجسيمات الأولية . ^{[ 21 ]} تُعدّ هذه النظرية تعميمًا لنظرية ماكسويل في الكهرومغناطيسية ، حيث يحمل المجال الكهرومغناطيسي اللوني نفسه شحنة. وباعتبارها نظرية مجال كلاسيكية، فإن لها حلولًا تنتقل بسرعة الضوء، لذا من المفترض أن يصف شكلها الكمومي جسيمات عديمة الكتلة ( الغلوونات ). مع ذلك، فإن ظاهرة الحصر اللوني المفترضة لا تسمح إلا بوجود حالات مقيدة من الغلوونات، مُشكّلةً جسيمات ذات كتلة. هذه هي فجوة الكتلة . جانب آخر من الحصر هو الحرية التقاربية، مما يجعل من الممكن تصور وجود نظرية يانغ-ميلز الكمومية دون التقيد بمستويات الطاقة المنخفضة. تكمن المشكلة في إثبات وجود نظرية يانغ-ميلز الكمومية وفجوة الكتلة بشكل قاطع.

أثبت أنه لأي مجموعة قياس بسيطة مضغوطة G، توجد نظرية يانغ-ميلز كمومية غير تافهة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$وله فجوة كتلة Δ > 0. ويشمل الوجود إثبات خصائص بديهية لا تقل قوة عن تلك المذكورة في ستريتر وويتمان (1964)، ^{[ 22 ]} وأوستروالدر وشرادر (1973)، ^{[ 23 ]} وأوستروالدر وشرادر (1975). ^{[ 24 ]}

تم تقديم البيان الرسمي للمشكلة من قبل آرثر جافي وإدوارد ويتن . ^{[ 25 ]}