التوجيه (الهندسة)

بشكل عام، يُعرَّف موضع واتجاه جسم صلب في الفضاء بأنه موضع واتجاه إطار مرجعي آخر، ثابت بالنسبة للجسم، ويتحرك معه في الحركة والدوران ( الإطار المرجعي المحلي للجسم ، أو نظام الإحداثيات المحلي )، وذلك بالنسبة إلى الإطار المرجعي الرئيسي. يلزم على الأقل ثلاث قيم مستقلة لوصف اتجاه هذا الإطار المحلي. وتصف ثلاث قيم أخرى موضع نقطة على الجسم. تتغير مواضع جميع نقاط الجسم أثناء الدوران باستثناء تلك الواقعة على محور الدوران. إذا كان للجسم الصلب تناظر دوراني، فلا يمكن تمييز جميع الاتجاهات إلا بملاحظة كيفية تطور الاتجاه بمرور الوقت انطلاقًا من اتجاه ابتدائي معروف. على سبيل المثال، يمكن تحديد اتجاه خط أو قطعة مستقيمة أو متجه في الفضاء بقيمتين فقط، كجيبَي تمام الاتجاه . مثال آخر هو موضع نقطة على سطح الأرض، والذي يُوصف غالبًا باستخدام اتجاه خط يصلها بمركز الأرض، ويُقاس باستخدام زاويتَي الطول والعرض . وبالمثل، يمكن وصف اتجاه المستوى بقيمتين أيضًا، على سبيل المثال عن طريق تحديد اتجاه خط عمودي على ذلك المستوى، أو باستخدام زوايا الميل والانحراف.

ترد تفاصيل إضافية حول الأساليب الرياضية لتمثيل اتجاه الأجسام الصلبة والمستويات في ثلاثة أبعاد في الأقسام التالية.

في بُعدين، يُحدد اتجاه أي جسم (خط، أو متجه، أو شكل مستوٍ ) بقيمة واحدة: الزاوية التي دار بها. توجد درجة حرية واحدة فقط ونقطة ثابتة واحدة فقط يدور حولها الجسم.

عندما يكون هناك d أبعاد، فإن تحديد اتجاه جسم ليس له أي تناظر دوراني يتطلب d ( d − 1) / 2 قيم مستقلة.

تُنسب أول محاولة لتمثيل اتجاه ما إلى ليونارد أويلر . فقد تخيّل ثلاثة أطر مرجعية يمكن تدويرها حول بعضها البعض، وأدرك أنه بالبدء بإطار مرجعي ثابت وإجراء ثلاث دورات، يمكنه الحصول على أي إطار مرجعي آخر في الفضاء (باستخدام دورتين لتثبيت المحور الرأسي ودورة أخرى لتثبيت المحورين الآخرين). تُسمى قيم هذه الدورات الثلاث زوايا أويلر .

زوايا تيت-برايان

هذه ثلاث زوايا، تُعرف أيضًا بزوايا الانعراج والميل والدوران، وزوايا الملاحة، وزوايا كاردان. رياضيًا، تُشكّل هذه الزوايا مجموعة من ستة احتمالات ضمن مجموعات الاثني عشر الممكنة لزوايا أويلر، ويُعدّ ترتيبها هو الأنسب لوصف اتجاه مركبة مثل الطائرة. في هندسة الطيران، يُشار إليها عادةً بزوايا أويلر.

أدرك أويلر أيضاً أن تركيب دورانين يكافئ دورانًا واحدًا حول محور ثابت مختلف ( نظرية أويلر للدوران ). لذلك، فإن تركيب الزوايا الثلاث الأولى يجب أن يساوي دورانًا واحدًا فقط، وكان حساب محوره معقدًا حتى تم تطوير المصفوفات.

انطلاقًا من هذه الحقيقة، قدّم طريقةً متجهةً لوصف أي دوران، حيث يكون متجه الدوران على محور الدوران وقيمته مساوية لقيمة الزاوية. بالتالي، يمكن تمثيل أي اتجاه بمتجه دوران (يُسمى أيضًا متجه أويلر) يُؤدي إليه من الإطار المرجعي. وعند استخدامه لتمثيل اتجاه، يُطلق على متجه الدوران عادةً اسم متجه الاتجاه أو متجه الوضع.

هناك طريقة مماثلة تسمى تمثيل المحور والزاوية ، تصف الدوران أو التوجيه باستخدام متجه وحدة محاذي لمحور الدوران، وقيمة منفصلة للإشارة إلى الزاوية (انظر الشكل).

مع ظهور المصفوفات، أُعيدت صياغة نظريات أويلر. ووُصفت الدورانات بمصفوفات متعامدة تُعرف بمصفوفات الدوران أو مصفوفات جيب التمام الاتجاهي. وعند استخدامها لتمثيل اتجاه ما، تُسمى مصفوفة الدوران عادةً بمصفوفة الاتجاه أو مصفوفة الوضع.

المتجه الأويلري المذكور أعلاه هو المتجه الذاتي لمصفوفة الدوران (لمصفوفة الدوران قيمة ذاتية حقيقية وحيدة ). حاصل ضرب مصفوفتي دوران هو تركيب الدورانات. لذا، كما في السابق، يمكن تحديد الاتجاه على أنه الدوران من الإطار الأصلي للوصول إلى الإطار المطلوب وصفه.

فضاء التكوين لجسم غير متناظر في فضاء ^ذي n بُعد هو SO( n ) × Rⁿ . يمكن تصور التوجيه بربط أساس من متجهات المماس بالجسم. يحدد اتجاه كل متجه توجيهه.

هناك طريقة أخرى لوصف الدورانات وهي استخدام رباعيات الدوران ، والتي تُسمى أيضًا بالمتجهات الدورانية. وهي تُكافئ مصفوفات الدوران ومتجهات الدوران. وبالمقارنة مع متجهات الدوران، يُمكن تحويلها من وإلى المصفوفات بسهولة أكبر. وعند استخدامها لتمثيل الاتجاهات، تُسمى رباعيات الدوران عادةً رباعيات الاتجاه أو رباعيات الوضع.

وضع الجسم الصلب هو اتجاهه، كما هو موضح، على سبيل المثال، باتجاه إطار ثابت في الجسم بالنسبة إلى إطار مرجعي ثابت. يُوصف الوضع بإحداثيات الوضع ، ويتكون من ثلاثة إحداثيات على الأقل. ^{[ 2 ]} تعتمد إحدى طرق توجيه الجسم الصلب على دوران محاور الجسم؛ أي الدوران ثلاث مرات متتالية حول محاور الإطار المرجعي الثابت للجسم، مما يُحدد زوايا أويلر للجسم . ^{[ 3 ] [ 4 ]} وتعتمد طريقة أخرى على الدوران حول المحور الطولي، والميل، والانعراج ، ^{[ 5 ]} مع العلم أن هذه المصطلحات تشير أيضًا إلى الانحرافات التدريجية عن الوضع الاسمي.